4.3认识相似三角形（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的定义、表示方法、相似比及性质，通过对比全等与形状相同但大小不同的图形导入，搭建从全等三角形到相似三角形的知识支架，帮助学生衔接旧知。 其亮点在于以合作学习测量三角形边角抽象定义，培养数学眼光中的抽象能力和几何直观，通过典例分析和分层练习强化对应关系推理与比例运算，发展数学思维中的推理意识，规范符号语言表达提升数学语言的模型意识。学生能在探究中深化理解，教师可借助结构化资源提高教学效率。

4.3 认识相似三角形 第四章 三角形相似 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 通过实例观察、测量对比，抽象概括相似三角形的定义，认识相似符号，理解相似比的概念，分清相似比的顺序性； 掌握相似三角形“对应角相等，对应边成比例”的性质，能依据定义判断两个三角形相似，规范书写对应顶点，完成简单证明； 能从生活情境中发现相似三角形，初步体会相似在测量、图案设计中的用途 导入新课 观察上面两组图形，它们之间有什么关系？ 第一组 第二组 第一组 大小相等， 形状相同。 全等 第二组 大小不相等， 形状相同。 合作学习 做一做 量一量图4-11中△和△各内角的度数和各边的边长。 A B C 1.两三角形中各内角之间有什么关系？ 2.计算两个三角形的各边长，这两个三角形的各边之间有什么关系？ 设小正方形的边长为1，则： ， ，，； 这两个三角形是什么关系呢？ 对应边成比例 对应角相等 4 新知探究 总 结 一般的， 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 A B C 1.相似用符号“∽”表示，读作“相似于”，如图，△和△相似，记作：△∽△ 2.相似三角形对应边的比叫做相似比，如图△∽△，则相似比为： 3.可以用定义判定三角形相似： ∵ △∽△ 相似三角形的定义 对应点写在对应的位置上 还可以用其他的比例来表示相似比吗？ 如果是△∽△，则相似比怎样表示？ 5 典例分析 练一练 如图，△ABC 与△A'B'C' 是相似三角形。 (1)用符号表示图中两个相似三角形。 (2)写出各对对应角。 (3)写出对应边成比例的比例式，并求出 △ABC与△A'B'C' 的相似比。 △∽△ 比例式为： 设小正方形的边长为1，则：AB=4，=2， =2 △∽△的相似比为2。 当△∽△时，它们具有什么性质呢？ 新知探究 总 结 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 A B C 符号语言： ∵△∽△ 根据定义，相似三角形有如下性质： 长边对长边 短边对短边 中边对中边 书写时，字母顺序一定要一一对应。 7 典例分析 练一练 1.已知△ABC∽△PQR, 且△ABC与△PQR的相似比是，则= ，= 。 2.已知，△ABC∽△ABC如果∠A=50°，∠B=100°，∠C的度数为（　） Ａ. 100° Ｂ. 55° 　Ｃ. 30° Ｄ.25° C 3.已知△ABC的三边长分别是3，4，5，与其相似的三角形△DEF的最大边是25，则△DEF的周长等于＿＿. 60 新知探究 做一做 如图，D，E 分别是△ABC 的两条边上的点，△ADE与△ABC 相似。 根据以下两个不同的图形，分别写出△ADE与△ABC的对应角，以及对应边成比例的比例式。 E D C B A (1) D E C B A (2) 图（1）中的对应角为： 比例式为： 图（2）中的对应角为： 比例式为： 9 新知探究 做一做 2.两个全等三角形是不是相似三角形?如果是，那么它们的相似比是多少? A C B D F E 如图，△ABC ≌△DEF ∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F AB=DE，AC=DF，BC=EF △ABC∽△DEF 两个全等三角形是相似三角形,它们的相似比是1。 如果两个三角形相似，它们一定全等吗？ 10 典例分析 典例1 已 知：如图，D、E 分别是AB，AC的中点。 求证：△ADE∽△ABC E D C B A 证明：∵D、E分别是AB，AC的中点 DE∥BC，DE= BC； ∠ADE=∠B，∠AED=∠C； 在△ADE 和△ABC 中 ， ∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A △ADE∽△ABC （相似三角形的定义） ｝ 三角形两边的中点 三角形的中位线 三角形中有平行线出现，马上联想“A”字基本模型 线段的位置关系及数量关系 典例分析 典例2 如图,D、E 分别是△ABC的AB, AC 边上的点，△ABC∽△ADE 。已知AD:DB=1:2，BC=9cm，求DE 的长。 A D E C B 解 ：∵△ABC∽△ADE, (相似三角形的对应边成比例)。 ∵, ， ， 即 答：DE 的长为3cm。 对应边成比例 先到对应，再求比例 分清部分，再算整体 比例列式，代入求值 课堂小结 相似三角形 定 义 性 质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 一般的， 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 课堂练习 1. 如图D是AB上的一点，△ABC∽△ACD,且 AD:AC=2:3, ∠ADC=65°。 (1)求∠ACB的度数。 (2)写出△ABC与△ACD 的对应边成比例的比例式，并说出相似比。 A D C B 解：(1)∵△ABC ∽△ACD = ∵∠ADC=65° =65° (2)∵△ABC ∽△ACD ∵ ，即相似比为。 课堂练习 2. 如图，AB，CD相交于点O，△AOC∽△BOD。 (1)若OC:OD=1:2，AC=5, 求BD的长。 (2)若∠A=35°，∠AOC=100°,求∠D 的度数。 A C D B O 解：（1）∵△AOC ∽△BOD ∵，AC=5 = BD=10 （2）∵△AOC ∽△BOD ，∠AOC=∠ =35°，∠=100° 在△BOD 中 ∠D=180°--∠BOD =180°-35°-100° =45° 课堂练习 3. 如图，D，E 分别是AB，AC上的点， △ADE∽△ABC，相似比是 ( 1 ) 若DE=4cm，求BC 的长。 ( 2 ) 若AE=7cm，求EC 的长。 解：（1）∵△ADE ∽△ABC ∵DE=4 BC=10cm A C E D B （2）∵△ADE ∽△ABC ∵AE=7 AC=17.5 EC=AC-AE=17.5-7=10.5cm 课堂练习 3. 如图①②，在下面两组图形中，每组的两个三角形相似，a表示已知数。试分别确定，x。 解：①∵△ABC ∽△ ∵AC=18, = ，即 =9 D A C B O 3 5 x a ② ① A C B B′ C′ A′ 2a a x 18 ②∵△ABO ∽△CDO ∵AB=x, = a = 在△CDO中，= =即= 课堂练习 4. 如图，△ABC∽△ACD， 点D在AB上。若AC=3cm，AD=2cm，求AB的长。 解：∵△ABC ∽△ ∵ AC=3cm, AD=2cm AB =cm A D C B 相似看字母，对应按顺序； 共角找两边，中间平方积； 交叉列等式，代入算数据。 课堂练习 5. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=BC，CD⊥AB于点D 。 求证：△ACD∽△ABC。 证明：在Rt△ABC中， ∵AC=BC ∴∠A=∠B= 在Rt△ADC中 ∵ ∠A= ∴∠ACD= ∴∠ACD=∠B 设AC=BC=a，则 C A B D 在△ACD和△ABC中 ∠ACD=∠B，∠A=∠A，∠ADC=∠ACB △ACD∽△ABC ｝ $