专题02 相似三角形综合（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以题型分类为框架，系统覆盖相似三角形判定、性质及应用，通过网格、动点、实际应用等情境构建从基础到综合的训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |网格中相似问题|4题|结合网格作图与计算，考查图形直观与比例关系|从相似判定（AA/SAS）到格点图形性质应用| |动点相似问题|4题|动态过程中相似三角形存在性分析，含多解讨论|性质应用→分类讨论→方程思想| |相似应用|6题|联系投影、测量等实际情境，构建数学模型|实际问题→相似模型→比例计算| |相似综合|8题|结合四边形、函数、旋转等综合考查，含探究性问题|单一知识点→知识交汇→综合推理|

专题02 相似三角形综合 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形综合 题型1 网格中相似三角形问题 题型2 相似三角形中动点问题 题型3 相似三角形应用 题型4 相似三角形综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形综合 ◆题型1网格中相似三角形问题 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，画出一个，使是轴对称图形，且点在格点上； (2)在图②中，在线段上找一点，使； (3)在图③中，画线段，使与的夹角为（画一条即可）． 【答案】(1) 如图，以为腰的即为所求； ， (2) 点即为所求． (3) 如图：线段即为所求； 【分析】本题主要考查了网格作图、等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质作图即可； （2）找到格点E，F，连接，交于D，点，即为所求； （3）取格点C、F、G、连接、、交于点O，得为等腰直角三角形，再证四边形是平行四边形，得，根据平行线的性质即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）如图②，，， ∴ ∵，， ∴ （3）取格点C、F、G、连接、、， 由图知：，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴为等腰直角三角形， ， ∵，，， 四边形是平行四边形， ∴， ， 即与的夹角为. 2．如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 【答案】(1)3 (2)①如图，即为所求； ②如图，即为所求 【分析】（1）根据网格及相似三角形的判定和性质即可求解； （2）①利用网格画出即可； ②结合网格及勾股定理，利用三边对应成比例画图，且使三角形的一条边为网格中可以画出的最长线段． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）①证明：根据网格可得：， ∴， ∴； ②∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， ． (2)如图②，在上找一点F，使． (3)如图③，在上找一点M，连结、，使． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，进而求解； （2）由勾股定理求出的长，根据构造相似比为的两个相似三角形求解； （3）根据相似三角形的判定和性质作图即可． 【详解】（1）解：由图可知，， ∴， ∴； （2）解：如图，， ∵， ∴，且相似比为， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴，且相似比为， ∴， ∵，， ∴． 4．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法） (1)在图①中，在线段上画出点M，使 (2)在图②中，在线段上画出点N，使 (3)在图③中，在线段上画出点Q，使 【答案】(1) 解：如图①，取格点C，D，使，且， 连接，交于点M， 则， ， 即， 则点M即为所求． (2) 如图②，取格点E，F，使，且， 连接，交于点N， 则， ， 即， 则点N即为所求． (3) 如图③，取格点G，连接交于点Q， 则点Q即为所求． 【分析】本题考查作图-应用与设计作图、相似三角形的判定与性质、垂线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点C，D，使，且，连接，交于点M，则点M即为所求． （2）取格点E，F，使，且，连接，交于点N，则点N即为所求． （3）利用网格，过点P作的垂线，与的交点即为点Q 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 ◆题型2 相似三角形中动点问题 1．如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到，由于未指定对应顶点，需分两种情况讨论相似三角形的对应边比例关系，列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 若与相似，分两种情况： ①当时， ∴，即，解得； ②当时， ∴，即，解得； 综上所述，的长为4或9 ． 2．如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q同时从点B开始沿BC边运动，速度为的速度，当P、Q运动____________时，与相似． 【答案】或 【分析】设运动时间为，分及两种情况考虑，利用相似三角形的性质即可完成． 【详解】设运动时间为，则，， 当时，则， 即， 解得：； 当时，则， 即， 解得：； 综上，当的值为或； 故答案为：或． 【点睛】本题是与相似三角形有关的动点问题，考查了相似三角形的性质，注意分类讨论． 3．如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A=90°，AB=6cm，BC=12cm，点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为1cm/s，点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2cm/s，如果动点E，F同时从A，B两点出发，连接EF，若设运动时间为t s，解答下列问题： （1）当t为多少时，△BEF为等腰直角三角形； （2）是否存在某一时刻t，使△EFB∽△FDC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当t=2时，△BEF为等腰直角三角形；（2）存在，当t=时，△EFB∽△FDC 【分析】（1）由已知条件易证四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠B=∠C=90°，若△BEF为等腰直角三角形，则BE=BF，进而可求出t的值； （2）若△EFB∽△FDC，则，结合题目的已知条件可得到关于t的方程，解方程即可得知是否存在t的值． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°， ∴四边形ABCD为矩形， ∴∠A=∠B=∠C=90°， 当△BEF为等腰直角三角形时，只能是BE=BF，AE=t， 则BE=AB-AE=6-t，BF=2t， ∴2t=6-t， 解得：t=2， ∴当t=2时，△BEF为等腰直角三角形． （2）存在   ∵△EFB∽△FDC， ∴ ∵BE=6-t，BF=2t，CF=12-2t， 即， 解得：t=或t=6， 又∵t=6时，B与E重合，所以不符合，舍去， 综上所述，当t=时，△EFB∽△FDC． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、矩形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 4．如图，点，，连接，动点M、N分别同时从点A，O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示点M的坐标为_____，点N的坐标为____． (2)当四边形的面积恰好为76时，求此时t的值； (3)试求t为何值时，与相似? 【答案】(1)，； (2)秒或6秒 (3)秒或2秒 【分析】（1）根据路程=速度×时间可求解； （2）根据，可得，解方程即可； （3）分两种情形列出方程即可解决问题． 【详解】（1）∵，， ∴，， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴或6， ∴当秒或6秒时，四边形AMNB的面积为． （3）∵与相似，， ∴或 ∴或， 解得：或2， ∴当秒或2秒时，与相似． 【点睛】本题是相似相似三角形的判定、坐标与图形的性质、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． ◆题型3 相似三角形应用 1．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出，再得出，则，进而可得，然后得出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 2．如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 【答案】 【分析】证明，得出对应边成比例，求出相关线段即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 解得． 3．如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为_______． 【答案】/24厘米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而根据垂直的定义可得，再根据已知得：，从而在中，利用勾股定理可求出的长，然后根据线段的中点定义可得，再证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， 点D为的中点， ， ， ， ， ， 解得：， ∴钢梁的长为， 故答案为：． 4．如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 【答案】136步 【分析】先计算两组对应边的比值，结合对顶角相等证明，再利用相似三角形对应边成比例求出长度． 【详解】解：已知，，，， ， ， 与是对顶角， ， 两边对应成比例且夹角相等，故， ， 已知步，代入得：， 之间相距136步． 5．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 6．真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木塔，明代改建砖塔．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图）高度”的实践活动，方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上．已知点F，G，E，C与真身宝塔底处的点A在同一直线上，，，，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出真身宝塔的高度． 【答案】 【分析】根据题意得，，从而可得，，四边形为矩形，再由相似三角形的性质以及矩形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意得，， ∴，，四边形为矩形， ∴，，． ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 故真身宝塔的高度为． ◆题型4 相似三角形综合 1．如图，在正方形中，为上一点，且，连接．过点作，垂足为，连接并延长交于点，连接，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，，先得出，则可得的长，再过点作于点，作于点，得出，，求出的长，进而求出与的面积即可． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得， 如图，过点作于点，作于点， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∴与的面积之比为． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造相似三角形． 2．如图，中，，，垂足为D，E，连接．若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，先求出，证明，得到比例式，由比例证明得到比例式求即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 3．如图，矩形中，，将绕点A旋转，使点C落到延长线上的点F处，点B对应点E，连接交于点G，若，则矩形的周长为________． 【答案】 【分析】设与交于M，设，则，根据矩形性质以及旋转性质证明，利用相似比可表示出，则，得到，于是利用得到，解出a的值，利用勾股定理求出的长，从而求出最后结果． 【详解】解：设与交于M，如图， 设，则， 四边形为矩形， ，，， ， 将绕点A旋转，使点C落到延长线上的点F处， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 解得，（舍去）， ， 在中，， 矩形的周长． 4．【问题提出】 （1）如图，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接与交于点，若，求证：； 【迁移应用】 （2）如图，在中，，，点，分别是边，上的点，连接交于点，且，求的值； 【拓展提高】 （3）如图，在四边形中，点是边上的一点，连接与交于点，，，，请直接写出的值． 【答案】 （）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）； （） 【分析】（）根据矩形的性质得到，求得，得到，根据相似三角形的性质得到，求得； （）根据补角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，得到，于是得到结论； （）过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，则四边形是平行四边形，得到∴，，，同（）可得，在上取一点使得，连接，根据平行线的性质得到，推出是等边三角形，得到，， 求得，根据相似三角形的性质得到，设 ，则，，得到 ，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（）略 （）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴的值为； （）如图所示，过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，则四边形是平行四边形， ∴，，， 同（）可得， ∵， ∴设，， 在上取一点使得，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，同角的补角相等，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，等边三角形的性质与判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 5．如图，在中，，，点在上，且，连接．过点作的垂线交于点，交于点，连接，． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的值． 【答案】(1)4 (2) 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； (3)2 【分析】（1）直接由勾股定理求解即可； （2）证明，得到，再由代入求证即可； （3）先证明点为的中点，然后求出，，再由共高三角形面积比等于底之比求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）略 （3）解：由（2）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．    (1)求证：． (2)当，时，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． (2) 【分析】（1）根据等边对等角得出，根据矩形的性质得出，，即可证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据，得出，设，则， ，，根据相似三角形的性质列出等式，解方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，∵， ∴，， ∴， 解得， ∴．    【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7．如图，平面直角坐标系中，已知直线的函数表达为，与x轴，y轴分别交于B、C两点，在x轴上有点A，且， (1)写出点C坐标______，点B坐标______；求出的长？ (2)若点D从C点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，点F从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒，是否存在点D，使以点B、D、F为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点D、F、E分别在线段、、上运动，是否存在有最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）先求解一次函数与坐标轴的交点坐标，即可得到点B，C的坐标，再证明，利用相似三角形的性质可得答案； （2）分当时，当时，两种情况讨论； （3）作D关于对称的点M，作D关于对称的点N，连接，得到是等腰三角形，当四点共线，时，有最小值，则有最小值，同理（1）求出，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵一次函数， ∴当，则，当，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∵， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 根据题意：， ∴， 解得：， 此时，， ∴， ∴； 如图，当时，过点D作于点G， ∴， ∴， ∴， 解得：， 此时，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，以点B、D、F为顶点的三角形与相似时，D的坐标为或； （3）解：存在有最小值为，理由如下： 作D关于对称的点M，作D关于对称的点N，连接， 则，， ∴， ∴是等腰三角形， 当四点共线，时，有最小值，则有最小值， 如图，此时，点四点重合， ∴， ∵点D与点N关于对称， ∴， 同理（1）得， ∴， ∴存在有最小值为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，对称的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 8．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点，点在线段上，满足，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿运动，两点同时出发，其中一点到达点时两点运动停止．设运动时间为秒． (1)分别求出的长； (2)求证：； (3)当是直角三角形时，求出的值． 【答案】(1) (2)证明：由运动可得， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ； (3)或 【分析】（1）根据正方形，点，得到，再根据，得到，； （2）由运动可得，结合得到，再根据正方形，得到，即可证明； （3）过作于，于，则四边形是矩形，，当时，点到达，点到达，此时；当时，，此时，是钝角三角形；当时，，此时，，，然后根据和分类讨论，利用一线三垂直模型证明相似，代入列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形，点， ∴，， ∵点在线段上，满足， ∴，； （2）略 （3）解：由运动可得，，，则，， ∵是直角三角形， ∴或或， 过作于，于，则四边形是矩形，， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∵， ∴， 当时，点到达，点到达，此时； 当时，，此时，是钝角三角形； 当时，，此时，，， 当时，，， ∴， ∴， 代入数值得， 解得， 满足的只有； 当时，同理可得， ∴， 代入数值得， 整理得，方程无解； 综上所述，当是直角三角形时，或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定进行分析即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即，是一对特殊的相似， ∴相似的两个三角形共有6对． 2．如图，菱形和菱形的边长分别为4和6，、、三点在同一条直线上，且，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设交于点，根据菱形的对边平行，利用相似三角形对应边成比例列式求出，然后求出，根据菱形邻角互补求出，再求出点到的距离以及点到的距离；然后根据阴影部分的面积，根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：如图，设交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点． ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∵菱形和菱形的边长分别为4和6， ∴， 解得， 则， ∵四边形和四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积， =． 3．下列说法正确的是（     ） A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．有一个角是的两个等腰三角形相似 【答案】C 【分析】根据相似三角形对应角相等的要求，逐一判断各选项即可得出结论． 【详解】解：A、两个直角三角形只有一组直角相等，其余两个锐角不一定对应相等， ∴两个直角三角形不一定相似，故A错误； B、两个等腰三角形的顶角、底角不一定对应相等， ∴两个等腰三角形不一定相似，故B错误； C、所有等腰直角三角形的三个角都为，，，对应角都相等， ∴两个等腰直角三角形相似，故C正确； D、有一个角是的等腰三角形，可以是顶角也可以是底角，两个三角形的内角不一定对应相等， ∴不一定相似，故D错误． 4．如图，在中，，，，为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形性质得出为中点且，由垂线段最短可知当时最小，利用相似三角形性质计算即可 ． 【详解】解：四边形为平行四边形， 为中点，， ， 当时，最短，即最小， 如图， 在中，，， ， ，， ， ，即， ， ， 即的最小值为． 5．如图，的边长分别为1，，2，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画，使得，其相似比．嘉嘉说：“k的值有3个．”佳佳对嘉嘉说：“k不能取．” 对他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，佳佳不正确 B．嘉嘉不正确，佳佳正确 C．他俩都正确 D．他俩都不正确 【答案】A 【分析】根据题意可得，在正六边形网格找与相似的三角形，即找三边的比值为的直角三角形，分析图形可得共三种情况，即可解答． 【详解】解：∵的边长分别为1，，2，即，，， ∴，即 ∴为直角三角形， ∵ ∴，． 在正六边形网格中作出三边比为的直角三角形，如图所示： 在中，，故相似比； 在中，，故相似比； 在中，，故相似比； ∴k可取，，． 综上所述，嘉嘉正确，佳佳不正确． 二、填空题 6．如图，在中，是的中点，是上靠近的三等分点，与交于点，若，则__________． 【答案】3 【分析】过点E作，交于点，证明，，利用三角形相似的性质，代换证明即可； 【详解】解：过点E作，交于点， 在中，∵是的中点， ∴， ∵是上靠近的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 【答案】4或 【分析】设运动时间是t秒，根据题意得，，，根据相似三角形的性质可得或，进而求解即可． 【详解】解：设运动时间是t秒， ∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动． ∴，，， ∵，且以为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或 ∴或． 即当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是4或． 8．利用无人机探照灯可以测量坡面的坡度．如图，一架无人机探照灯在点处，测得它的下边缘光线落在坡脚点处，上边缘光线落在斜坡点处，此时无人机离水平地面为8米．将无人机沿水平方向前进3米到达点处，探照灯的上、下边缘光线，落在斜坡，处，，此时点恰好在的正上方，现测得，则的值为____________． 【答案】 【分析】连接，作于，根据题意是直角三角形，根据勾股定理求出的长，证明，根据对应线段成比例，推出，求出，推出，分别求出和，进而求出，根据，，进而求出。 【详解】如图，连接，作于， 点恰好在的正上方， ， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 三、解答题 9．在中，点，分别在，上．若，则称线段是中所对的“等截线”． (1)如图1，已知是中所对的“等截线”，，，求的值（请直接写出答案）． 【概念应用】 (2)如图2，在等腰中，，，，求所对的“等截线”的长度． 【深入探究】 (3)小明探究发现：任意三角形都存在某个角所对的“等截线”，且这条“等截线”唯一存在．如何画出“等截线”？他从阅读著名数学家波利亚的名著中受到启发：以为例，画出所对的“等截线”的部分步骤如下． 画法 图形 ①在上适当的位置取点，作直线，交于点 ②在上截取，连接并延长，交于点 ③在上取点，使得 ④作，交于点 … 请你根据以上信息，说明步骤④中的的长度即为所对的“等截线”的长度． 【答案】(1) (2) (3)解：如图，作交于点，过点作交于点， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是所对的“等截线”， ∴的长度即为所对的“等截线”的长度． 【分析】（1）先得出，，再设，求出，的长，进而可得，的长，然后根据正切的定义求解即可； （2）设是所对的“等截线”，连接，设，先得出，则，再证出，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可； （3）作交于点，作交于点，得出四边形是菱形，根据得出，根据菱形的性质即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，，， ∵是中所对的“等截线”， ∴， ∴，， ∴在中，． （2）解：如图，设是所对的“等截线”，连接． 设， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得（经检验，是所列方程的解）或（不符合题意，舍去）， ∴所对的“等截线”的长度是． （3）略． 10．【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． (1)如图1，在正方形中，，交于点G，则______（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作交于点M，过点B作交于点 乙方案：过点E作交于点M，过点G作交于点 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明． 【结论应用】 (3)如图3，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合．若，，求折痕的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形中，，，，点E、F分别在线段上，且，求的值． 【答案】(1)1 (2)证明：甲方案：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N； 四边形是矩形， ，，， 四边形均为平行四边形，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ； 乙方案：如图2，过点E作交于点M，过点G作交于点N，交于点O， 四边形是矩形， ，，， 四边形均为矩形， ， ， ，， ，， ， ， 又， ， ， ∴． (3)折痕的长为 (4)的值为 【分析】（1）证明，则，即可得到答案； （2）甲方案：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N；证明， ，，再证明，根据相似三角形的性质进行解答即可；乙方案：如图2，过点E作交于点M，过点G作交于点N，交于点O，证明，，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）由矩形的性质可得，，由勾股定理得，由（2）可知，，即可得到答案； （4）过点D作，交的延长线于，过点A作交EF于点，连接AC，过点F作于点，过点E作于点，证明，则，证明，最后证明 ，利用相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）略 （3）解：由矩形的性质可得，， 由勾股定理得， 由（2）可知，， ， ， 即折痕的长为； （4）解：如图4，过点D作，交的延长线于，过点A作于点，连接，过点F作于点，过点E作于点， ， ，， 四边形是矩形， ∴， ，，， ， ， ∴， ∵ ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ， ， （不合题意舍去）或 ， ， 同（2）知， ， 又， ∴ ， ， ， ， ， 即的值为． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，线段、的长是一元二次方程的两根（），，． (1)求点A、C的坐标； (2)求直线的解析式； (3)在x轴上是否存在点P，使以点C、E、P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】(1)A的坐标是，C的坐标是； (2)； (3)存在，P的坐标是和. 【分析】（1）首先解方程求得方程的根，则A和C的坐标即可求得； （2）根据三角函数求得B的坐标，作轴于点F，根据，利用相似三角形的性质求得和的长，即可求得E的坐标，利用待定系数法确定函数关系式； （3）根据题意可判断点P在x轴正半轴，设P的坐标是，则．分成和两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：（1）解方程，即， 即或， 解得：， 又， ，， 的坐标是，的坐标是． （2）解：， ，则B的坐标是． . ， . 过点作轴于点F． 则， . ， ，. 则，则点E的坐标是 . 设直线的解析式是， ，    解得： . 则直线的解析式是. （3）解：当时，， 即， . ， . ， . 根据题意可知点P在x轴正半轴，设P的坐标是，则． ①当时，， 即， 解得：， 则点P的坐标是； ②当时，， 则， 解得：， 则点P的坐标是． 综上可知，点P的坐标是和． 12．在沙滩上撑开的太阳伞如图所示，伞檐离地面的距离是，伞面撑开最宽处有，伞形成的阴影离伞脚，试问身高的小明在什么范围内不会被太阳光晒到？ 【答案】小明站在伞脚的右侧，离伞脚到处，不会被太阳光晒到 【分析】解题时先结合题图获取伞高、伞面宽度、原有阴影长度、人的身高这些已知数值，依托平行投影光线平行的几何特征证明两个直角三角形相似，代入边长比例式计算出人头顶影子最远点到伞脚的距离，结合原有阴影下限，划定出不受光照的距离范围． 【详解】解：如图，过太阳伞的一个端点E作于F，设小明站在处时，其影子的最外端与点H重合， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小明站在伞脚的右侧，离伞脚到处，不会被太阳光晒到． 13．如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且． (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 【答案】(1) 证明：， ， ， 又在中，点为中点， ， ， ； (2) 证明：平分， ， ， ， 又点是中点，， ， ， ∵ ， ， ． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据已知易证，，由直角三角形的性质可得，进而得到，即可证明结论； （2）由题意得，易证，由直角三角形的性质可得，推出，，易证，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 14．已知，如图，在中，点分别在边和上，，点是与CD的交点． (1)求证：． (2)如果，求． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得到，即可得出结论； （2）由，，求出，得到，由，得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．已知：如图，在梯形中，，连接，是等边三角形，，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】(1) 证明：如图所示， ∵为等边三角形， ∴, ∵， ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴, ∵，且， ∴， ∴． (2) 证明：∵， ∴为等边三角形，即， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点是线段的黄金分割点． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据为等边三角形，，得到,由，得到,,由，得到,结合，得到，由相似三角形的判定方法即可求解； （2）根据题意可得为等边三角形，即，由为等边三角形，得到，根据，得到，即，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02相似三角形综合 内容概览 目常考题型精准突破 考点一相似三角形综合 题型1网格中相似三角形问题 题型2相似三角形中动点问题 题型3相似三角形应用 题型4相似三角形综合 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ●考点一相似三角形综合●— ◆题型1网格中相似三角形问题 1.图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线 段AB的端点均在格点上.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留必 要的作图痕迹， B 图① 图② 图③ (I)在图①中，画出一个△ABC,使△ABC是轴对称图形，且点C在格点上； (②)在图②中，在线段AB上找一点D,使AD:DB=2:3: (3)在图③中，画线段FG,使FG与AB的夹角为45°（画一条即可）. 2.如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正 方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段AD与BC交于点P. 1/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 PA ()图1中PD的值为 (2)请仅用无刻度的直尺作图. ①请在图2中以线段BD为一边，画一个格点△DBE,使它与△ABC相似； ②请在图3中画一个最大的格点△4BG,使它与△ABC相似. 3.图①、图②、图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为 1,点A、B、C、D均在格点上.在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求 画图，保留作图痕迹，不要求写出画法。 B B D D 图① 图② 图③ BE (1)如图①， CE (2)如图②，在BC上找一点F,使BF=2 (3)如图③，在AC上找一点M,连结BM、DM,使△ABM∽aCDM 4.图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上， 在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图.（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺， 不要求写出画法) 图① 图② 图③ (I)在图①中，在线段AB上画出点M,使AM=3BM. 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在图②中，在线段AB上画出点N,使AN=2BN (3)在图③中，在线段AB上画出点Q,使PQ⊥AB. ◆题型2相似三角形中动点问题 1.如图，直角梯形ABCD中，ADIIBC,∠B=90°，AD=3,BC=6,点E在高AB上滑动，若△DAE与 △EBC相似，则当AE=2时，EB=() E B A.4 B.6 C.4或9 D.4或6 2.如图，在△ABC中，AB=6cm,BC=12cm,动点P从点A开始沿AB边运动，速度为lCm/s;动点O 同时从点B开始沿BC边运动，速度为3cms的速度，当P、Q运动 时，△ABC与△QBP相似. BO 3.如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A=90°，AB=6c,BC=12C,点E由点A出发沿AB方向向点B 匀速移动，速度为lcs,点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2Cs,如果动点E,F同时 从A,B两点出发，连接EF,若设运动时间为tS,解答下列问题： (1)当t为多少时，△BEF为等腰直角三角形： (2)是否存在某一时刻t,使△EFB∽△FDC?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 4.如图，点A(10,0),B(0,20),连接AB,动点MN分别同时从点A,0出发，以1单位长度/秒和2单 位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒. 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N 个 O←-MAx (I)用含t的代数式表示点M的坐标为一，点N的坐标为一， (2)当四边形AMNB的面积恰好为76时，求此时t的值； (3)试求t为何值时，△MOW与△AOB相似？ ◆题型3相似三角形应用 1.如图，MN为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜MN的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜MN左 侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛AB,透过凸透镜后成的像为CD.平行于主光轴的光线AF，通过凸透镜 折射后经过焦点，并与光线A0会聚于点C.若物距OB=6cm,像距OD=12cm,则凸透镜MN的焦距 OE的长为() M A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 2.如图，马路上有两根垂直于地面BD的路灯AB和CD,其中AB=CD=7.2m,BD=18m,身高为l.8m 的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点E处时，在路灯A、C的光线照射下他的影子顶端恰 好分别落在地面上的H点和F点，EH=2.4m(其中B,F,E,H,D五点在同一直线上)，则EF的 长为 1m. D 3.如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度AB=60Cm,台阶部分铺红地毯，地 毯长度为l4Ocm,支撑钢梁DE⊥AC,且D为BC的中点，则钢梁DE的长为 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 舞台 台阶 4.如图，为了测量山脚B、C之间的距离，选定一点O,量得OB=120步，OC=80步，在BO的延长线 上取点D,使OD=60步，在C0的延长线上取点A,使OA=40步，量得AD=68步，你知道B、C之间 相距多少步吗？ 5,【综合与实践】主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O,经测量， 得到AB=CD=136cm,OA=OC=5lcm,OE=OF=34cm,现将晒衣架完全稳固张开，横杆链EF成一条线段， 测得EF=32cm 图1 图2 (1)晒衣架完全稳固张开时，连接AC,证明：AC川EF: (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 6.真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木 塔，明代改建砖塔.乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图)高度”的实践活动， 方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为l.6m的标杆CD,此时地面上的点E,标杆的顶端点 D,真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F,标杆的 顶端点H,真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上.已知点F,G,E,C与真身宝塔底处的点A在同一直 线上，EC=0.8m,FG=1.2m,CG=11.35m,根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出 真身宝塔的高度AB 5/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型4相似三角形综合 1.如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且CE=2BE,连接DE.过点A作AF⊥DE,垂足为F, 连接BF并延长交CD于点G,连接CF,则△BEF与△CFG的面积之比为() D G B E 7 A.9 B c. D. 2.如图，△ABC中，BD⊥AC,CE⊥AB,垂足为D,E,连接DE,若AE=1,CE=2,BC=3,则 DE的长度是() D A. 2 B. 3V5 5 c.35 3 D. 3.如图，矩形ABCD中，BC=1,将△ABC绕点A旋转，使点C落到AD延长线上的点F处，点B对应点 E,连接AC交EF于点G,若CG=2DF,则矩形的周长为 6/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G 4.【问题提出】 (1)如图l,在矩形ABCD中，点E,F分别是边AD,AB上的点，连接CE与DF交于点O,若 CE AB ∠FOC=90°，求证：DF=AD: E E D 图1 图2 图3 【迁移应用】 (2)如图2，在oABCD中，AB=4,AD=7,点E,F分别是边AD,AB上的点，连接CE与DF交于点 CE O,且∠COD+∠BAD=1800,求DF的值： 【拓展提高】 (3)如图3，在四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，连接BD与CE交于点O, AB 1 BC 4 CE ∠B0C=∠BAD=∠BCD=120,AD3:CD3,请直接写出BD的值. 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2V5,点D在AB上，且BD=3AD,连接CD.过点A作 CD的垂线交CD于点E,交BC于点F,连接BE,AE=2. (1)求CE的长： (2)求证：BD2=9DEDC: SA腿的值. (3)求SBDE 6.如图，已知矩形ABCD,点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线于点H,连结AF交EH于点G,GE=GH G (I)求证：BE=CF AB5 (2②)当FH6,AD=4时，求EF的长. ?,如图，平面直角坐标系中，已知直线℃的函数表达为y行x+,与x轴，y轴分别交于8、C两点 在x轴上有点A,且∠ACB=90°， (1)写出点C坐标，点B坐标；求出AC的长？ (2)若点D从C点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段CB运动，点F从B点出发，以每秒1个单位长 度的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动：设运动时间为t秒， 是否存在点D,使以点B、D、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点D的坐标；若不存在， 请说明理由. (3)若点D、F、E分别在线段BC、AB、AC上运动，是否存在DE+EF+FD有最小值？若存在，请求出 最小值；若不存在，请说明理由， 8.在平面直角坐标系中，正方形OABC的位置如图所示，点B(12,12),点D在线段AC上，满足 AD=3DC,动点E从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿AB运动，动点F从点C出发以每秒1个单位 长度的速度沿CB运动，E,F两点同时出发，其中一点到达点B时两点运动停止.设运动时间为秒， B D 备用图 备用图 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()分别求出CD,AD的长： (2)求证：△AED∽aCFD: (3)当△DEF是直角三角形时，求出t的值. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.如图，点E在ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交AD,AC于F、G.图中相似的两个三角形 共有() D B A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 2.如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为4和6，B、C、G三点在同一条直线上，且∠A=120°， 则图中阴影部分的面积是() B G A.85 B.9V3 C.43 D.63 3.下列说法正确的是() A.两个直角三角形相似 B.两个等腰三角形相似 C.两个等腰直角三角形相似 D.有一个角是30°的两个等腰三角形相似 4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4,AC=8,P为BC上一点，连接PA,以PA,PC为邻边 作平行四边形PAOC,连接P2交AC于点O,则P9的最小值为() 9/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D ⊙ 16 A. 4V5 B 5 c.5 D.&5 5 5 5.如图，△DEF的边长分别为1，√3,2，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三 角形的顶点为顶点画。ABC,使得△ABC∽△DEF,其相似比DE =k.嘉嘉说：“k的值有3个.”佳佳 对嘉嘉说：“k不能取25.” 对他俩的说法，正确的是() F D A.嘉嘉正确，佳佳不正确 B.嘉嘉不正确，佳佳正确 C.他俩都正确 D.他俩都不正确 二、填空题 6.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BC上靠近B的三等分点，BD与AE交于点F,若 AF=FE,则九= 7.如图，△ABC中，AB=8cm,AC=16cm,点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C 同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动.其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动.那么，当 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是 8.利用无人机探照灯可以测量坡面的坡度.如图，一架无人机探照灯在点D处，测得它的下边缘光线DA 落在坡脚点A处，上边缘光线DB落在斜坡点B处，此时无人机离水平地面MA为8米.将无人机沿水平方 向前进3米到达点E处，探照灯的上、下边缘光线EC,EB落在斜坡C,B处，AD∥BEDB∥CE,此时 点E恰好在的正上方，现测得BC三=。AB,则nB4N的值 M7777777A77777TN 三、解答题 9.在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上.若BD=DE=EC,则称线段DE是△ABC中∠A所对的 “等截线” D B 图1 图2 (I)如图1，己知DE是△ABC中∠A所对的“等截线”，∠BDE=150°，∠DEC=120°，求tanC的值（请直 接写出答案)· 【概念应用】 (②)如图2，在等腰△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BC=2,求∠A所对的“等截线”的长度. 【深入探究】 (3)小明探究发现：任意三角形都存在某个角所对的“等截线”，且这条“等截线”唯一存在.如何画出 “等截线”？他从阅读著名数学家波利亚的名著中受到启发：以△ABC为例(AB<AC<2AB),画出∠A所 11/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对的“等截线”的部分步骤如下. 画法 图形 ①在AB上适当的位置取点P,作直线PK∥AC, PK交BC于点K ②在PK上截取P四=PB,连接B吧并延长，交 AC于点G ③在KC上取点M,使得QM=PO B ④作CNII OM,CN交BG于点N 请你根据以上信息，说明步骤④中的CN的长度即为∠A所对的“等截线”的长度. 10.【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究. D H G B F C 图1 图2 图3 图4 AF (①如图L,在正方形ABCD中，AF⊥DE'AF交DE于点G,则DE (填比值)； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形ABCD中，EF⊥GH,EF分别交ADBC于点E、F,GH分别交AB、DC于点G、 EF AB H,求证：GHAD 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作AM∥EF交BC于点M,过点B作BN∥HG交CD于点N 乙方案：过点E作EM⊥BC交BC于点M,过点G作GN⊥CD交CD于点N 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明. 【结论应用】 12/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合.若AB=3,BC=4,求折痕EF的长： 【拓展运用】 (④)如图4，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10,BC=CD=5,点E、F分别在线段AB、BC DE 上，且AF⊥DE'求AF的值. 11.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B,直线CD与x轴、y轴分别交 于点C、点D,AB与CD相交于点E,线段OA、OC的长是一元二次方程x-18x+72=0的两根( OA>0C）,BE=5,0B=4OM. (1)求点A、C的坐标： (2)求直线CD的解析式： (3)在x轴上是否存在点P,使以点C、E、P为顶点的三角形与△DCO相似？若存在，请求出点P的坐标： 如不存在，请说明理由. 12.在沙滩上撑开的太阳伞如图所示，伞檐离地面的距离是4m,伞面撑开最宽处有2m,伞形成的阴影离 伞脚lm,试问身高l.6m的小明在什么范围内不会被太阳光晒到？ 2m 4m A中末 1m 2m 13.如图，线段AD、BC相交于点E,点F是线段ED的中点，连接AB、BD、CD,分别延长BA、FC交 AE BE 于点G·已知∠BAD=90,且CE=DE 13/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G E B (I)求证：∠ABE=∠FCD. BG BC ②)如果DA平分∠BDC,求证：BD2CF· 14.已知，如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，AD·AB=AE·AC,点F是BE与CD的交 点. E F C (I)求证：△FDB△FEC」 (2)如果AB=15,AC=18,AD=6,求EF:DF. 15.己知：如图，在梯形ABCD中，ABIICD,连接AC、BD,△ABC是等边三角形，DE∥BC,DE与 AC交于点E,∠ADB=2∠DBC. D B (I)求证：△ADE∽△DBC: (2)求证：点E是线段AC的黄金分割点. 14/14的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02相似三角形综合 常考题型精准突破 。考点一相似三角形综合·一 ◆题型1网格中相似三角形问题 1.(1) 如图，以AB为腰的△ABC即为所求： B 图① (2) 点D即为所求。 图② 3) 如图：线段FG即为所求： A B 图③ 【详解】(1)略 (2)如图②，AEI‖BE,△AED△BFD, 1/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE AD BFBD AE=2,BF=3, .AD:DB=2:3 (3)取格点C、F、G、连接BC、AC、FG, 由图知：AB=V32+P=V10,BC=V32+1P=V10, .AB=BC. .AC=V42+22=√20， 4C2=(V20=20 :AB2+BC2=(1o+(1o=20, ..AB2+BC2 AC2 ∴.△ABC为等腰直角三角形， .∠BAC=45° :AF=CG=1,AC=V4+2=√20，FG=√4+22=20， ∴.四边形AFGC是平行四边形， .AC∥FG. ∴.∠BAC=∠B0OG=45° 即FG与AB的夹角为45° 2.(1)3 (2)①如图，△DBE即为所求： ②如图，△4BG即为所求 (B,)B 2/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：根据题意得：AB∥CD .△ABP△DCP 器8， (2)①证明：根据网格可得：∠BDE=∠BAC=45°， .DEl AC ∴△3DEABAC: ②：AB=VP+1P=V2,AC=2,BC=V12+32=V10, 4B=VP+22=5,4G=VP+32=V10,B,C=V32+4=5, AB210 AC 210 BC10 ·4B5=5,4G105’BG5’ AB AC BC ABAC BC' .△ABCn△ABC. 3.时 B (2) 图② +A 3) O 图③ 【详解】(1)解：由图可知，AB/CD, ∴△ABEADCE, BE AB 1 ∴CEDC2 (2)解：如图，BC=V3+42=5, 3/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图② DBII CE .ADBFAECF,且相似比为DB:EC=2:3, 2 2 .BF= BC= 2+3 x5=2, (3)解：如图， N C 图③ .AN IICD. ∴.△NAMADCM,且相似比为NA:DC=2:3, .AM:CM=2:3 AB:CD=2:3,∠BAM=∠C=90°， ∴.△ABM∽ACDM 4.(1) 解：如图①，取格点C,D,使AC=3,BD=1,且AC∥BD, 连接CD,交AB于点M, 则△ACMBDM, AM_AC=3, BM BD 即AM=3BM, 则点M即为所求. 4/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B 图① (2) 如图②，取格点E,F,使AE=2,BF=1,且AE‖BF, 连接EF,交AB于点N, 则△AENABEN, :N、AE BN BF 2 即.AN=2BN, 则点N即为所求， A -E -----W4F B 图② (3) 如图③，取格点G,连接PG交AB于点Q, 则点Q即为所求。 A GO B 图③ ◆题型2相似三角形中动点问题 1.C 5/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 612 2. 7或5 3.【详解】解：(1)，四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°， .四边形ABCD为矩形， ∴LA=B=LC-90° 当△BEF为等腰直角三角形时，只能是BE=BF,AE=t, BE-AB-AE-6-1,BF-2t. 2=6-t,解得：2， ∴当仁2时，△BEF为等腰直角三角形 (2)存在 △EFB∽△FDC, BE BF CF CD .BE=6-t,BF=2t,CF=12-2t, 6-t_21 即12-216' 3 解得：2或6， 又6时，B与E重合，所以不符合，舍去， 3 综上所述，当2时，△EFB∽△PDC. 4.(1)10-1,0),(0,20； (2)4秒或6秒 (3)5秒或2秒 【详解】(1)ON=2,OM=(10-t). .N(0,21）,M(10-4,0) 故答案为：(（10-4,0)，(0,21)： (2):S四边形HMNB=SAAB0-SAMON, 476-X10x20-2×21x0-0. 2 .1=4或6， 6125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴当1=4秒或6秒时，四边形AMB的面积为76 (3):△MON与△AOB相似，∠MON=∠AOB=90°， OM ON OM ON ·OA=0B或OB=OA ,10-t_2110-t24 六10=20或20=10， 解得：1=5或2， .当1=5秒或2秒时，△MON与△AOB相似. ◆题型3相似三角形应用 1.C 2.3.6 3.24cm/24厘米 4.136步 5.(1)证明：，0A=0C=51cm,OE=0F=34cm, OA OC 0E0F, .∠AOC=∠EOF, ∴.△AOC∽△EOF, ∴.∠A=∠OEF, .ACll EF (2)连衣裙总长度小于120cm时，连衣裙才不会拖在地面上 【详解】(1)证明：略 (2)解：如图，过点O作ON⊥EF于N,过点A作AM⊥BD于M, B MD .OE =OF=34cm,ON L EF,EF =32cm, :EN-FN=1EF=16em, 2 7/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0N=VOE2-EW2=V342-162=30cm, AB=CD=136cm,04=OC=51cm, .AB-OA CD-OC,OB=OD=136-51=85cm, OE OF :OB OD' .∠EOF=∠BOD. .AOEFAOBD. .∠OEF=∠OBD .∠ONE=∠AMB=90°」 .△OEN∽AABM」 OE ON 34=30 ·AB=AM,即136AM: 解得：AM=120cm, ,连衣裙总长度小于120cm时，连衣裙才不会拖在地面上. 6.47m 【详解】解：根据题意得HG∥CD//AB,∠HGC=∠DCG=∠HDC=90°， ∴.△EDC∽△EBA,△FHG∽△FBA,四边形HGCD为矩形， 0器照%0m FG EC FAEA’ 1.2 0.8 ∴1.2+1135+CA0.8+CA' 解得CA=-22.7m, 1.60.8 AB0.8+22.7 .4B=47m 故真身宝塔的高度AB为47m. ◆题型4相似三角形综合 1.B 2.B 3.2W5-2V5+2 8/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4. (1)证明：，四边形ABCD是矩形， .∠A=∠CDE=90°， .∠AFD+∠ADF=90°， ,∠FOC=∠EOD=90° .∠ADF+∠CED=90°. ∴.∠CED=∠AFD ∴.△DAFACDE. CE CD ·DFAD' .CD=AB. CE AB DE AD (2).∠COD+∠BAD=180°，∠COD+∠DOE=180°， .∠DOE=∠DAF, .∠ODE=∠ADF, .△ODE∽AADF, DF DE DA OD' ,四边形ABCD是平行四边形，· .CD∥AB,AB=CD, .∠A+∠ADC=180°， 又：∠FOC+∠COD=180°， ∴.∠ADC=∠COD .∠DCE=∠OCD」 ∴.△DCE∽aOCD, DE CE OD CD' DF CE ∴.DACD1 DF CECE AB DAAB 即DFAD' ,AB=4,AD=7, 9/25 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE 4 ∴DF的值为7： (3)如图所示，过点C作CN∥AD,交AB延长线于N,过点D作DM∥AB,交NC延长线于M,则 四边形DANM是平行四边形， A D W- p ℃M .∠M=∠A=120°，DM=AN,MN=AD, BD AD 同(2)可得CEDM' AB 1 :AD3' .设AB=a,AD=3a. 在NM上取一点P使得NB=NP,连接BP, .AD∥MN,∠A=120°， ∠N=60°， .△NBP是等边三角形， .BP=NB=NP,∠BPN=60° ∴.∠BPC=120°=∠M, :∠BCD=120°. .∠PCB+∠PBC=60°=∠PCB+∠MCD, ∴.∠PBC=∠MCD ∴.△PBC∽aMCD. CM DM CD 3 PB PC BC 4' 设DM=3x,则PC=4x,BP=PN=BN=AN-AB=3x-a, .CM 93 =4x-4 a .MN=PN+PC+CM=AD=3a, 93 .3x-a+4x 4-4a=30, 19 370, 解得：x 10/25 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DM=3x 370, 57 .CE_DM37a 19 BD AD 3a 37 5.(1)解：：AC=25,AE=2,AE⊥CD, ∴.CE=VAC2-AE2=4: (2)略 (3)解：由(2)知∠DAE=∠ACD, .AE⊥CD .∠AED=∠CEA=90°， .△AEDACEA, 、AE DE AD CEAE AC' 2-DE=AD ·4-22W5' .DE =1,AD=5 .BD=3AD=35. .AB=AD+BD=45. .AD×AB=V5×4V5=20, :AC2=(25=20, .AC2=AD×AB, AD AC ·ACAB! :∠DAC=∠CAB ∴.△DACOACAB. .∠ACD=∠ABC, .∠DAE=∠ACD .∠DAE=∠ABC. ..FA=FB, ∠BAC=90°， 11/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DAE+∠FAC=∠ABC+∠FCA=90°， .∠FAC=∠FCA, ∴FC=FA, ..FB=FC, :∠BAC=90°， c-2455. .EF=AF-AE=3, 设SMDE=S, BD =3AD .S.BDE =3S 'SAABE=SAADE +SAODE=4S, 指 SABEL AE 2 ·SANEF EF3' SBr=6S」 SA避-6S=2 SAMDE 38 6.(1) 证明：，FH⊥EF,GE=GH, ∴GE=GF=GH, .∠GFE=∠E, ,四边形ABCD是矩形， .AB=CD,∠ABC=∠DCB=90°， ∴△ABF≌aDCE(AAS), .BF=CE, .BF-BC=CE-BC,BE =CF. (2)CDIFH .△DCE~△HFE, 12/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EC CD EF FH' CD=AB. CD AB 5 FHFH 6 设BE=CF=x,BC=AD=4, ∴.CE=x+4,EF=2x+4, ,x+4_5 ∴.2x+46 解得x=1, .EF=6 H A D G 6 4 12 3+ 7.【详解】(1)解：：一次函数y= 5 当x=0则y-号当y0:则0-+号 3 5 9 ..x= 5 .c) sc-g得-s .∠ACB=90° ∴.∠ACO+∠BCO=LCAO+∠ACO=90°， .∠BCO=∠CAO, .∠A0C=∠B0C=90°， ∴.△AOC∽aCOB 13/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12 AC=0C=5-4 BC OB 93' 5 AC=4: (2)解：由(1)知BC=3,AC=4, .'.AB=AC2+BC2=5, ∠B=∠B 3÷1=3(s), ∴.0<1≤3， 如图，当∠DFB=∠ACB=90°时， OF B .△DFB∽AACB. BD BF AB-BC' 根据题意：BD=BC-CD=3-t,BF=t, .3-t_t …53 解得：1=9 8’ 此时，BF=9 BD=3-915 88 DF-DF-.OF-0B-BF-21 40 0引 如图，当∠FDB=∠ACB=90°时，过点D作DG⊥AB于点G, 14/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A FOGB .△FDB∽△ACB, BD BF BC AB 3-11 .3=5 解得：115 8’ 此时，BF=5,BD=3-15_9 88 DF=BF2-BD2 -3 2 SBFD=7 139_1x15DG, C1 DE-BD-BF-DG,即2X2828 :DG=9 10 ·BG=VBD2-DG-27 0 :.0G=0B-BG=8 9 g2) 27399 综上，以点B、D、F为顶点的三角形与。4BC相似时，D的坐标为402或8'10： 24 (3)解：存在DE+EF+FD有最小值为5，理由如下： 作D关于AC对称的点M,作D关于AB对称的点N,连接MN,AM,AD,AN,FM,FN,DE,DF,EF, 15/25 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B AM AD,AN AD,FM FD,EN ED. .AM =AN, ∴.△AMN是等腰三角形， 当M,F,E,N四点共线，AD⊥BC时，AD有最小值，则AM,MN有最小值， 如图，此时，点D,M,F,C四点重合， C(D,M.F) E -iN .AM=AN=AC=4, ,点D与点N关于AB对称， &MN⊥AB,ME=EN=)MN, 2 同理(1)得ME=12 5 .'MN =2ME 24 5 24 ∴存在DE+EF+FD有最小值为5， 8.()(1)解：：正方形0ABC,点B(12,12), .0OA=AB=BC=OC=12,AC=VOA+OC2=12√2， :点D在线段AC上，满足AD=3DC, 4D-4C=2.D=4c=2, (2)证明：由运动可得AE=31,CF=t, AE 3t t CF 1 ∴AD923V2'CD3W2' 16/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE CF AD CD' AE AD CF CD' ,正方形OABC, ∴.∠DAE=∠DCF=45°， △AEDACFD: (3)解：由运动可得AE=3,CF=1,0≤31≤12,0≤1≤12，则BE=12-31,BF=12-4,0≤1≤4， ,△DEF是直角三角形， ∴.∠DEF=90°或∠DFE=90°或∠EDF=90°， 过D作DM⊥BC于M,DN⊥AB于N,则四边形MBND是矩形，∠MDN=9O°， NEB F M Cx∠DAE=∠DCF=45 ∴.∠DAN=∠ADN=45°， .AN=DN, :AN2+DN2=AD2,AD=9√2， .AN =DN=9. 同理可得DM=CM=3, ,△AED∽ACFD ∴.∠ADE=∠CDF, 当1=3时，点E到达N,点F到达M,此时∠MDN=∠EDF=90°： 当0≤1<3时，∠ADE=∠CDF<45°，此时∠EDF>90°，△DEF是钝角三角形： 当3<1≤4时，∠ADE=∠CDF>45°，此时∠EDF<90°，FM=1-3,EN=31-9, 当∠DFE=90°时，∠DFE=∠B=∠DMF=90°，∠DFM=∠FEB=90°-∠EFB, ∴.△EFB∽△FDM, BE BF FM DM' 12-3t12-t 代入数值得t-3=3, 17/25 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得t=12±6V2, 满足3<1≤4的只有t=12-62: 当∠DEF=90°时，同理可得△EFB∽△DEN, BE BF DN EN' 12-3t_12-1 代入数值得9=31-9' 整理得（t-4)+8=0,方程无解： 综上所述，当aDEF是直角三角形时，t=3或12-6v2. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 题号 1 2 3 4 答案 C C D 二、填空题 6.3 32 7.4或5 16 8.21 三、解答题 90w54 (2)v5-1 (3)解：如图，作ND∥AC交AB于点D,过点D作DE∥CN交AC于点E, y D ∴.四边形CEDN是平行四边形. 18/25 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,PK∥AC,ND∥AC, .PK∥DN, .△BPQ∽aBDN BO PO ·BNDN CN∥QM, .aBOM∽aBNC BO OM ·BNCW' PO OM DN CN' ..OM=PO, .CN=DN. .平行四边形CEDN是菱形. .CN=CE=DE=DN, 又.PK∥DN, .∠PQB=∠DNB .PO=PB .∠PQB=∠PBQ. .∠DNB=LPB2, .'BD=DN .'BD=DE=CE, ∴.DE是∠A所对的“等截线”， ∴.CN的长度即为∠A所对的“等截线”的长度. 10.(1)1 (2)证明：甲方案：如图2，过点A作AM∥EF交BC于点M,过点B作BN∥HG交CD于点N; A E D H N 四边形 是矩形， G B M F 图2 ABCD 19/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD∥BC,AB∥CD,∠ABC=∠BCD=9O°，AD=BC, ∴四边形AEFM、HGBN均为平行四边形，∠BAM+∠AMB=90°， :BN=GH AM=EF, .EF⊥GH .AM⊥BN, .∠NBC+∠AMB=90°， .∠BAM=∠NBC 又：∠ABM=∠BCN=90°， BAM△CBN, :B、AM BCBN· EF AB GH AD 乙方案：如图2，过点E作EM⊥BC交BC于点M,过点G作GN⊥CD交CD于点N,EM交GH于点 0, A E D H 四边形 是矩形， G ----月W B M F 图2 ABCD .∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AD=BC,ABIICD ∴.四边形AEMB、GBCN均为矩形， .AB=EM,GN=BC=AD :EF⊥GH,EM⊥GN, ∴.∠MEF+∠EOH=90°，∠GOM+∠HGN=90°， ∠EOH=LGOM, ∠MEF=∠HGN, 又∠EMF=∠GNH=90°， ∴△EFM∽aGHN, EF EM GH GN' 20125 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF AB ∴GHAD 5 (3)折痕EF的长为4 DE ④AF的值为5 11.(1)A的坐标是(12,0)，C的坐标是(-6,0)： 4 (2②y=3+8: (3)存在，P的坐标是(19,0)和(3,0). 【详解】(1)解：(1)解方程x2-18x+72=0,即(x-12)(x-6)=0, 即x-12=0或x-6=0, 解得：x=12,x2=6, 又0A>0C, .0A=12,0C=6, :A的坐标是(12,0)，C的坐标是(-6,0). (2解：0a-04 0B=16,则B的坐标是(0,16). :.AB=V0A2+0B2=V122+162=20 BE=5, .AE=AB-BE=15 过点E作EF⊥x轴于点F. 则△AEF∽△ABO, AFEFAE OA OB AB .AF_EF 15 121620' ∴.AF=9,EF=12 则0F=12-9-3,则点E的坐标是(3,12）. 设直线CD的解析式是y=ax+b(k≠O). 21/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C(-6,0),E(3,12), 4 k= 3 -6k+b=0 解得： 3k+b=12 b=8 则直线CD的解析式是y=兮+8， y (3)解：当x=0时，y=8 即OD=8 .CD=V0C2+0D2=V62+82=10. 0F=3,0C=6 ∴.CF=OC+OF=9. EF=12, .CE=VCF2+EF2=V92+122=15 根据题意可知点P在x轴正半轴，设P的坐标是(p,0),则PC=p+6, CD OC D当△COD∽△CEP时，CP-CE' 10=6 即p+615’ 解得：p=19 则点P的坐标是(19,0)： OC CD ②当△CODn△CPE时，CP=CE' 6_10 则p+615’ 22/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：p=3, 则点P的坐标是(3,0)」 综上可知，点P的坐标是(19,0)和(3,0) 12.小明站在伞脚的右侧，离伞脚lm到2.2m处，不会被太阳光晒到 【详解】解：如图，过太阳伞的一个端点E作EF⊥AD于F,设小明站在MN处时，其影子的最外端与点 H重合， 2m 不E 4m FA✉ 1m 2m .NH∥EG, ∴.∠NHM=∠EGF. 又.∠EFG∠NMH=90°， ∴.△EFG∽△NMH, EF FG ·NMMH' 42 1.6M' ∴.MH=0.8 .AM=3-0.8=2.2(m), ∴小明站在伞脚的右侧，离伞脚1m到2.2m处，不会被太阳光晒到. 13.(1) 证明：E、BE CEDE ∠AEB=∠CED ∴.△AEB∽△CED ∴.∠ECD=∠BAD=90°，∠ABE=∠ADC, 又：在RtAECD中，点F为ED中点， ..CF=DF .∠ADC=∠FCD 23125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABE=∠FCD; (2) 证明：DA平分∠BDC, ∴.∠ADC=∠ADB」 :∠ABE=∠FCD=∠ADC, .∠ABE=∠ADB, 又：F点是DE中点，∠ECD=90°， :DE =2CF,FC=FE, .∴∠FEC=∠FCE, ∠FEC+∠BED=∠FCE+∠BCG=180° ∴.∠BED=∠BCG .△BED∽△GCB, BG BCBC BDDE2CF· 14.(1) 证明：AD·AB=AEAC, AD AC AE=AB, .∠BAE=∠CAD, ∴.△ABE∽△ACD ∴.∠ABE=∠ACD 又：∠DFB=∠EFC, .△DBOAFEC: 、13 (29· 15.(1) 证明：如图所示， D 46 y 24125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△ABC为等边三角形， .∠1=∠2=60°， ..AB II CD .∠3=∠2=60° .∠DCB=∠1+∠3=120°， DE∥BC, ∠EDC=180°-∠DCB=180°-120°=60°， .∠AED=∠EDC+∠3=120°， .∠AED=∠DCB. ·DE∥BC. .∠5=∠6， :∠ADB=2∠5，且∠ADB=∠4+∠6， .∠5=∠4， .△ADE∽△DBC. (2) 证明：.∠3=∠EDC=60° ∴△CDE为等边三角形，即CE=DE=CD, ,△ABC为等边三角形， .AC=BC. ,△ADE∽△DBC, AE DE ·CDBC 、AEEC ∴CE=AC,即EC2=AB.AC, ∴点E是线段AC的黄金分割点， 25/25