第4章 4.3 组合（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

该高中数学课件围绕组合的定义、组合数公式及性质展开，通过“纪念币分配”等知识辨析题衔接排列知识，构建从概念到公式再到性质的学习支架，帮助学生逐步理解组合的核心内容。 其亮点在于结合具体实例（如运动员选派、小球分配问题），通过知识辨析培养数学眼光，典例解析发展数学思维，方法总结强化数学语言。学生能提升解题能力，教师可直接利用系统资源优化教学。

　　一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,不论次序地构成一组,叫作从n个不 同元素中取出m个元素的一个组合. 　　根据组合的定义,两个组合相同,则这两个组合的元素完全相同. 知识点 1 组合 4.3 组合 必备知识 清单破 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 组合数 1.组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,所有不同组合的个数叫作从n个不同 元素中取出m个元素的组合数,用符号 表示. 2.组合数公式 (1) = = ; (2) = ; (3) =  反映对称性,当m> 时,通常将 转化为  ; (4) = + . 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.“现将4枚相同的纪念币送给10人中的4人留念,有多少种送法”是排列问题,还是组合问题? 2.“abc”与“bca”是相同的排列吗?它们是相同的组合吗? 3.从a,b,c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是 吗? 4.若 = (m,n,p∈N+,且m,p≤n),则m=p吗? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.组合问题.将4枚相同的纪念币送给4人并无顺序,故该问题是组合问题. 2.不是;是.“abc”与“bca”所含元素相同,但元素的顺序不同,故它们是相同的组合,但不是 相同的排列. 3.不是. 是从a,b,c三个不同的元素中任取两个元素的组合数.而组合是指从a,b,c三个不同元 素中取出两个元素作为一组,它不是一个数,而是具体的一件事. 4.不一定.若 = ,则m=p或m+p=n. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 组合数的运算与性质 关键能力 定点破 1.组合数的运算 形式 主要适用范围 乘积式: =   含具体数字(特别是m是数字)的组合数求值 阶乘式: =  含字母的组合数的化简、证明 第1讲　描述运动的基本概念 2.组合数性质的应用 (1) = :当m> 时,计算 转化为计算 会更简单. (2) = + :顺用可将一个组合数拆成两个,逆用可将两个组合数合并为一个,变形应用 可为某些项相互抵消提供方便,在解题时要注意灵活运用. 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)式子 (n∈N+)可表示为 (　    ) A. 　　　　　　    B.  C.101 　　　　    D.101  (2) + + +…+ + + 的值为(　    ) A. 　　　　    B.  C. -1　　　　    D. -1 (3)证明: =  . D C 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)分数的分母是100!,分子是101个连续正整数的乘积,最大的为n+100,最小的为n,故   =101· =101 . (2) + + +…+ + +  = + + + +…+ + + -  = + + +…+ + + -1 =… = + -1= -1. (3)证明:  = ·  = = . 第1讲　描述运动的基本概念 方法总结 　　与组合数有关的化简、求值或证明问题,涉及具体数字的可以直接用乘积式计算,涉及 字母的多选用阶乘式计算,计算时还应注意利用组合数的性质简化运算.另外要注意 中m,n 的范围,求解后要验证所得结果是否符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 　　由于组合问题与顺序无关,只与取出的元素有关,因此对被取元素按要求分类,是解决问 题的基本方法,含有条件的组合问题常有以下两类题型: (1)“含有”或“不含有”某些元素:“含有”,则先将这些元素取出,再由其他元素补足;“不 含有”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素:可用直接法对被取元素分类求解,当直接法分类复杂 时,利用逆向思维间接求解. 定点 2 有限制条件的组合问题 第1讲　描述运动的基本概念 典例 有男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.从中选派5人外出比赛,按下列要求 分别有多少种选法? (1)男运动员3名,女运动员2名; (2)至少有1名女运动员; (3)既有队长,又有女运动员. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)共有 × =120种选法. (2)解法一(直接法):“至少有1名女运动员”包含有1名、2名、3名或者4名女运动员,所以共 有  +  +  +  =246种选法. 解法二(间接法):从10人中任选5人有 种选法,其中全是男运动员的选法有 种, 所以“至少有1名女运动员”共有 - =246种选法. (3)“既有队长,又有女运动员”分选女队长和不选女队长(选男队长)两种情况,共有 +  ( - )=191种选法. 第1讲　描述运动的基本概念 　　分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相同,就是不可区分的, 而后者即使两组元素个数相同,但因分配的对象不同,仍然是可区分的. (1)分组问题的求解策略 定点 3 分组与分配问题  第1讲　描述运动的基本概念 常见形式 处理方法 非均匀不 编号分组 将n个不同元素分成m(m≤n)组,每组元素个 数均不相等,依次记为m1,m2,…,mm,不考虑各 组间的顺序,不管是否分尽,其分法种数N=  · · ·…·  均匀不编 号分组 将n个不同元素分成不编号的m(m≤n)组,假 定其中r组元素个数相等,不管是否分尽,其分 法种数为 (其中N为非均匀不编号分组中 的分法种数).若再有k组均匀分组,则应再除 以  第1讲　描述运动的基本概念 非均匀编 号分组 将n个不同元素分成m(m≤n)组,各组元素个 数均不相等,且考虑各组间的顺序,其分法种 数为N· (其中N为非均匀不编号分组中的 分法种数) 均匀编号 分组 将n个不同元素分成m(m≤n)组,其中r组元素 个数相等且考虑各组间的顺序,其分法种数 为 · (其中N为非均匀不编号分组中的分 法种数) 第1讲　描述运动的基本概念 (2)相同元素分配问题的处理策略 将n个相同的物品分给m(m≤n)个不同的对象(每人至少分得一个),可看作将n个相同的元素 排成一行,这n个元素之间就出现了(n-1)个空隙,我们将(m-1)个“隔板”插入到这(n-1)个空隙 中,就把n个元素隔成了有序的m份,这种借助虚拟“隔板”分配元素的方法称为隔板法.由此 可知,将n个相同的物品分给m个不同的对象(每人至少分得一个),共有 种方法. 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 把10个相同的小球全部放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的小球数 不小于盒子的编号数,则不同的放法共有　　　    种. 解析    在编号为2,3的两个盒子中分别放入1,2个小球,这样还剩10-3=7个小球, 则问题变为求把7个相同的小球全部放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,每个盒子至少放入1 个小球的不同放法的种数,由隔板法可知共有 =15种放法. 15 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 按下列要求分6本不同的书,各有多少种不同的分法? (1)分给甲、乙、丙三人,每人两本; (2)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本; (3)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本; (4)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)依题意为平均分配问题,先将6本不同的书平均分成3组,有 种分法,再将3组 书分配给甲、乙、丙三人,有 种方法,因此共有 · =   =90种分法. (2)依题意为不平均分组问题,先从6本书中选1本为一份,有 种分法,再从其余的5本书中选2 本为一份,有 种分法,最后三本为一份有 种分法,因此共有   =60种分法. (3)依题意为不平均分配问题,由题(2)知6本书有   =60种分组方法,再分给甲、乙、丙三 人,共有    =360种分法. (4)依题意可以分为三类:①“2,2,2”型,由(1)知有90种分法;②“1,2,3”型,由(3)知有360种分 法;③“1,1,4”型,有 · =90种分法. 所以一共有90+360+90=540种分法. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 4 排列与组合的综合应用 1.正确区分“排列”与“组合” 元素是否有序是区分排列与组合的重要标志,无序的问题用组合的知识解答,有序的问题用 排列的知识解答.要按元素(或位置)的性质进行分类,按事情发生的过程进行分步. 2.排列与组合的综合问题的解题思路 (1)先特殊后一般; (2)先组合后排列. 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图,一个正方形花圃被分成5份.   (1)若给这5个部分种花,要求相邻两部分种植不同颜色的花,现有红、黄、蓝、绿4种颜色的 花,有多少种不同的种植方法? (2)若在这5个部分中放入7个不同的盆栽,要求每个部分都有盆栽,有多少种不同的放法? 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:先对A部分种植,有4种不同的种植方法,再对B部分种植,有3种不同的种植 方法,然后对C部分种植,分两类: ①若C部分与B部分种植的花的颜色相同,则D部分有2种不同的种植方法,E部分有2种不同的 种植方法,共有4×3×1×2×2=48种不同的种植方法; ②若C部分与B部分种植的花的颜色不同,则C部分有2种不同的种植方法,D部分有1种种植方 法,E部分有2种不同的种植方法,共有4×3×2×1×2=48种不同的种植方法. 综上,共有48+48=96种不同的种植方法. 解法二:由图形知,A,E可同色,B,C可同色,C,E可同色(不可与另两组同时同色),因此可用三色, 也可用四色种植. 若选四色,则“A,E同色”或“B,C同色”或“C,E同色”,有3× =72种不同的种植方法; 若选三色,则“A,E同色”且“B,C同色”,有 =24种不同的种植方法. 第1讲　描述运动的基本概念 综上,共有72+24=96种不同的种植方法. (2)将7个盆栽分成5组,有两种分法: ①分成2、2、1、1、1,有 种分法; ②分成3、1、1、1、1,有 种分法. 将分好的5组全排列,对应5个部分, 则一共有 · =16 800种放法. 第1讲　描述运动的基本概念 $