第3章 3.2 双曲线（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

该高中数学课件系统涵盖双曲线的定义、方程、几何性质及知识辨析，通过与椭圆对比导入，构建从定义到方程再到性质的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以知识辨析深化理解，通过分类考点（如焦点三角形、渐近线离心率）培养数学思维，典例解析结合推理与运算，助力学生提升解题能力，为教师提供系统教学资源。

知识点 1 双曲线的定义 3.2 双曲线 必备知识 清单破 1.双曲线的定义 　　平面上到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值为正常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲 线.这两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距. 2.当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点);当2a>|F1F2| 时,动点的轨迹不存在;当2a=0时,动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 第1讲　描述运动的基本概念 1.标准方程 当焦点在x轴上时, - =1(a>0,b>0);当焦点在y轴上时, - =1(a>0,b>0). 知识点 2 双曲线的方程 2.一般方程 　　双曲线的一般方程为Ax2-By2=1,其中AB>0,当A>0,B>0时,焦点在x轴上;当A<0,B<0时,焦点 在y轴上. 第1讲　描述运动的基本概念 1.双曲线的简单几何性质 知识点 3 双曲线的简单几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程  - =1(a>0,b>0)  - =1(a>0,b>0) 图形     第1讲　描述运动的基本概念 性质 范围 x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 对称性 对称轴:x轴、y轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线 y=± x y=± x 离心率 e= ,e∈(1,+∞) 实轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长等于2a,a 叫作双曲线的实半轴长 虚轴 线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长等于2b,b 叫作双曲线的虚半轴长 a,b,c的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) 第1讲　描述运动的基本概念 2.e= = = >1,它反映了双曲线开口的大小,e越大,开口就越大. 知识拓展 1.等轴双曲线 　　实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线.它有如下性质: (1)方程形式为x2-y2=λ(λ≠0); (2)渐近线方程为y=±x,两条渐近线互相垂直; (3)实轴长和虚轴长都等于2a,离心率e= . 2.距离 　　双曲线 - =1(a>0,b>0)右支上任意一点M到左焦点的最小距离为a+c,到右焦点的最 小距离为c-a. 第1讲　描述运动的基本概念 3.焦半径 　　双曲线上一点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段叫作双曲线的焦半径,记 r1=|PF1|,r2=|PF2|. (1) - =1(a>0,b>0),若点P在右支上,则r1=ex0+a,r2=ex0-a;若点P在左支上,则r1=-ex0-a,r2=-ex0+ a. (2) - =1(a>0,b>0),若点P在上支上,则r1=ey0+a,r2=ey0-a;若点P在下支上,则r1=-ey0-a,r2=-ey0+ a. 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.已知平面上一点M到两个定点F1,F2的距离之差为常数2a(a>0,2a<|F1F2|),则点M的轨迹是双 曲线吗? 2.双曲线和椭圆的标准方程中,a,b,c的关系相同吗? 3.给定一个方程Ax2+By2=1,它一定表示双曲线吗? 4.双曲线的焦点到其渐近线的距离是不是定值? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不是.它表示双曲线的一支.当|MF1|-|MF2|=2a时,M的轨迹为焦点为F2的这一侧的一支; 当|MF2|-|MF1|=2a时,M的轨迹为焦点为F1的这一侧的一支. 2.不相同.双曲线的标准方程中,c2=a2+b2,a>0,b>0,a与b的大小关系不确定;椭圆的标准方程中, a2=b2+c2,其中a>b>0. 3.不一定.当AB<0时表示双曲线,当A>0,B>0,且A≠B时表示椭圆,当A=B>0时表示圆. 4.是.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b,此结论在解小题时可直接应用. 第1讲　描述运动的基本概念 关键能力 定点破 定点 1 双曲线标准方程的求解 1.定义法 　　根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出标准方程. 2.待定系数法 　　其步骤如下: (1)定位置:根据条件确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上,还是二者都有可能. (2)设方程:根据焦点位置,设其方程为 - =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>0),焦点位置不确 定时,可设为mx2+ny2=1(mn<0). (3)寻关系:根据已知条件列出关于a,b或m,n的方程组. (4)得方程:解方程组,将a,b或m,n的值代入所设方程即可. 第1讲　描述运动的基本概念 3.双曲线方程的常见设法 (1)渐近线方程为y=± x的双曲线方程可设为 - =λ(λ≠0,m>0,n>0);如果渐近线方程为Ax ±By=0,那么双曲线方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0,A>0,B>0). (2)与双曲线 - =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为 - =λ (λ≠0)或 - =λ(λ≠0). (3)与双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率相等的双曲线方程可设为 - =λ(λ>0)或 - =λ (λ>0),这是因为由离心率不能确定焦点位置. (4)与椭圆 + =1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为 - =1(b2<λ<a2). 第1讲　描述运动的基本概念 典例 求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)以椭圆 + =1长轴的端点为焦点,且经过点(3, ); (2)过点P ,Q ,且焦点在坐标轴上; (3)渐近线方程为y=± x,且经过点A(2,-3). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且c=2 . 设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0), 则a2+b2=c2=8, 由双曲线过点(3, )得 - =1, ∴a2=3,b2=5. 故所求双曲线的标准方程为 - =1. (2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0. ∵点P,Q在双曲线上, ∴ 解得  第1讲　描述运动的基本概念 故双曲线的标准方程为 - =1. (3)解法一:当焦点在x轴上时,设标准方程为 - =1(a1>0,b1>0),由题意得 = .① ∵点A(2,-3)在双曲线上,∴ - =1.② ①②联立,无解. 当焦点在y轴上时,设方程为 - =1(a2>0,b2>0),由题意得 = .③ ∵点A(2,-3)在双曲线上,∴ - =1.④ 联立③④,可得 =8, =32. ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 第1讲　描述运动的基本概念 解法二:由题意可设双曲线方程为 -y2=λ(λ≠0), ∵A(2,-3)在双曲线上,∴ -(-3)2=λ,即λ=-8. ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 第1讲　描述运动的基本概念 1.双曲线上一点P(不在坐标轴上)与其两个焦点F1,F2构成的三角形PF1F2称为焦点三角形. 令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,|F1F2|=2c,则 (1)|r1-r2|=2a. (2)4c2= + -2r1r2cos θ. (3) = r1r2sin θ= =c|yP|. (4)设∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,双曲线的离心率e= = = = =  . 定点 2 双曲线的焦点三角形 第1讲　描述运动的基本概念 (5)焦点三角形PF1F2的内切圆圆心的横坐标恒为定值a或-a. 　　推导:当P在右支上时,设焦点三角形F1PF2内切圆的圆心为I,I的横坐标为xI,△F1PF2的内 切圆与三边的切点分别为M,N,R,如图所示,则|F1R|-|F2R|=|F1M|-|F2N|=|F1M|+|PM|-(|F2N|+|PN|)=| PF1|-|PF2|=2a,即c+xI-(c-xI)=2a,解得xI=a.同理可得点P在左支上时,xI=-a.   2.由三角形的边角关系(正、余弦定理)和双曲线的定义等知识可以解决焦点三角形的面 积、周长及有关角、变量的范围等问题. 第1讲　描述运动的基本概念 典例 设F1,F2分别为双曲线 - =1的左、右焦点,P为双曲线上一点,且∠F1PF2=120°,则△F1 PF2的面积为　　　    . 解析    由题意可得a=5,b=3,c= ,则F1(- ,0),F2( ,0),则|F1F2|=2 ,||PF1|-|PF2||=10. 由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2= +3|PF1|·|PF2|=100+3| PF1|·|PF2|=136,∴|PF1|·|PF2|=12, ∴△F1PF2的面积S= |PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2= ×12× =3 . 答案    3  第1讲　描述运动的基本概念 定点 3 双曲线的渐近线和离心率 1.焦点在x轴上和y轴上的双曲线的渐近线方程不同,注意区分. 2.双曲线的两条渐近线的斜率互为相反数. 3.渐近线与离心率的关系: = ,e= . 4.求双曲线的渐近线与离心率的关键是通过给出的几何关系建立关于参数a,c(或a,b或b,c)的 关系式,结合c2=a2+b2进行求解. 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知双曲线 - =1(b>0)上任意一点P到两条渐近线的距离之积等于3,则该双曲线的 离心率等于　    (　    ) A. 　　　　    B. 　　　　    C. 　　　　    D.  解析    易知双曲线的焦点在x轴上,所以渐近线方程为y=± x,即bx± y=0.设P(x0,y0),则 -  =1,即b2 -5 =5b2,P到两条渐近线的距离之积为 · = =  =3,所以b2= , 故双曲线的离心率e= = = = . D 第1讲　描述运动的基本概念 定点 4 直线与双曲线的中点弦问题 1.将直线方程与双曲线方程联立,消元后,用判别式、根与系数的关系和中点坐标公式求解. 2.用“点差法”和中点坐标公式求解,注意检验.直线与椭圆的相交弦问题也是利用“点差 法”和中点坐标公式求解,因为一定存在过椭圆内一点的直线,并且该点为直线被椭圆所截 得的弦的中点,所以无检验环节;但是在直线与双曲线的中点弦问题中,该直线不一定存在,因 此需要检验. 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知双曲线的方程为x2- =1,是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出弦所在的直 线方程;如果不存在,请说明理由. 解析    不存在.理由如下: 解法一:假设存在被B(1,1)平分的弦.易知弦所在直线的斜率一定存在,设其方程为y=k(x-1)+1, 与x2- =1联立,得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0, 则Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0, 解得k< . 设弦的两端点分别为M(x1,y1),N(x2,y2), 则x1+x2= . ∵B(1,1)是弦MN的中点, ∴ =1×2,解得k=2,不满足k< . 第1讲　描述运动的基本概念 故不存在被点B(1,1)平分的弦. 解法二:假设存在被B(1,1)平分的弦. 设弦的两端点分别为M(x1,y1),N(x2,y2), 则x1+x2=2,y1+y2=2,且  ①-②,得(x1+x2)(x1-x2)- (y1+y2)(y1-y2)=0. ∴kMN= =2, ∴直线MN的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1. 由 消去y,得2x2-4x+3=0, 第1讲　描述运动的基本概念 ∵Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0, ∴直线MN与双曲线不相交,故不存在被点B(1,1)平分的弦. 易错警示 　　“点差法”在求解中点弦问题时较常用,使用时除了注意运算要正确,还有注意检验直 线与双曲线是否有交点. 第1讲　描述运动的基本概念 　　一般地,设直线l:y=kx+m(m≠0),双曲线C: - =1(a>0,b>0).联立并消去y得(b2-a2k2)x2- 2a2mkx-a2m2-a2b2=0. (1)当b2-a2k2=0,即k=± 时,直线l与双曲线的渐近线平行,故直线l与双曲线C相交于一点. (2)当b2-a2k2≠0,即k≠± 时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2). Δ>0⇒直线l与双曲线有两个公共点; Δ=0⇒直线l与双曲线有一个公共点; Δ<0⇒直线l与双曲线没有公共点. 定点 5 直线与双曲线的位置关系   第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),讨论双曲线与直线公共点的个数; (2)若直线l:y=kx-1与双曲线C:x2-y2=1交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为 ,求实 数k的值. 思路点拨    (1) (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与双曲线方程,得一元二次方程,根据根与系数的关系得到x1+x2, x1x2,并求出k的范围,根据△AOB的面积为 列出等式,进而求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)联立 消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*) 当1-k2=0,即k=±1时,方程(*)只有一个解,即x= . 故k=±1时,直线与双曲线有一个公共点,直线l与渐近线平行. 当1-k2≠0,即k≠±1时,易得Δ=4(4-3k2), 令Δ>0,得- <k< 且k≠±1,方程(*)有两个不相等的解,即方程组有两组解,故直线与双曲 线有两个公共点. 令Δ=0,得k=± ,方程(*)有两个相等的解,故直线与双曲线只有一个公共点,直线l与双曲线 相切. 令Δ<0,得k<- 或k> ,此时方程(*)无实数解,即方程组无解,故直线与双曲线无公共点. 第1讲　描述运动的基本概念 综上所述,当k=±1或k=± 时,直线与双曲线有一个公共点;当- <k<-1或-1<k<1或1<k<  时,直线与双曲线有两个公共点;当k<- 或k> 时,直线与双曲线无公共点. (2)由  消去y,整理得(1-k2)x2+2kx-2=0, 由 解得- <k< 且k≠±1. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=- ,x1x2=- . 易知直线l恒过点(0,-1),设为D. 第1讲　描述运动的基本概念 当x1x2<0时,S△OAB=S△OAD+S△OBD= |x1|·1+ |x2|·1= |x1-x2|= . 当x1x2>0时,S△OAB=|S△OAD-S△OBD|= = |x1-x2|= . 所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2 )2, 即 + =8,所以k=0或k=± . 经检验,均符合题意,所以k=0或k=± . 第1讲　描述运动的基本概念 $