第4章 12 两个数列的公共项问题（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦“两个数列的公共项问题”，属数列章节核心内容，通过疑难点导入，衔接数列通项公式等前置知识，以观察归纳法、最小公倍数法等四种方法为学习支架，引导学生掌握公共项的通项公式及前n项和求解。 其亮点在于方法系统且实例丰富，通过典例解析（如等差数列公共项用观察法与不定方程法推导）培养数学眼光与思维，规律总结步骤化（递推定项法三步骤）强化数学语言表达。学生能提升分析判断能力，教师可借助清晰路径高效教学。

第4章 数列 第1讲　描述运动的基本概念 12　两个数列的公共项问题 疑难点 第1讲　描述运动的基本概念 　　求解两个数列的公共项问题,通常求数列的通项公式以及前n项和,考查观察、分析、判断能力,确 定新数列的首项以及各项的规律特征是解题的关键.常见的方法如下: 1.观察归纳法:通常列举两数列的公共项,通过观察、分析,找到两数列公共项的特点、规律,归纳猜想 进而求其通项公式以及前n项和. 2.最小公倍数法:若两个等差数列(各项都是正整数)的公共项按从小到大的顺序排列所得的新数列仍 为等差数列,则其公差为两个等差数列的公差的最小公倍数. 3.解不定方程法:两个等差数列{an}、{bn}的公共项问题,本质上是关于m,n的等式an=bm的二元不定方程 存在正整数解,利用数的整除性解不定方程. 第1讲　描述运动的基本概念 4.递推定项法:从中选取一个数列,一般选取增长“较快”的数列,假如该数列的第n项是两个数列的公 共项,然后逐一递推验证该数列的第(n+1)项、第(n+2)项、…是不是两个数列的公共项,进一步从中找 到规律,得到两个数列的公共项按从小到大排列的数列的通项公式. 勘破疑难 1.利用观察归纳法确定两个数列的公共项易于思考与计算,考查不完全归纳法(先列举后猜想). 2.确定两个等差数列(各项都是正整数)的公共项,注意运用“二级结论”:公共项从小到大排列仍为等 差数列,公差是原来两个等差数列公差的最小公倍数.在解决选择题或填空题时更加简便快捷. 3.递推定项法是求两个数列{an}、{bn}的公共项所构成的新数列{cn}的一种“通法”. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则a2=_________,数列{an}的通项 公式为an=____________. (2)数列{bn}与{cn}的通项公式分别为bn=4n,cn=8n,它们的公共项由小到大排列得到数列{an},则数列{an} 的通项公式为______________. (3)数列{bn}与{cn}的通项公式分别为bn=2n,cn=3n-16,它们的公共项由小到大排列得到数列{an},则数列 {an}的通项公式为________________.     an=22n-1         an=64n         6n-5         7     第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一(观察归纳法):数列{2n-1}的项依次为1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,…, 数列{3n-2}的项依次为1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,…, 观察可知,两个数列的公共项依次为1,7,13,19,25,…,可以看出a2=7,数列{an}是首项为1,公差为6的等差 数列,所以{an}的通项公式为an=1+6×(n-1)=6n-5. 解法二(最小公倍数法):因为数列{2n-1}是以1为首项,2为公差的等差数列,数列{3n-2}是以1为首项,3为 公差的等差数列,所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项,6为公差的等差数列, 所以a2=7,{an}的通项公式为an=1+6×(n-1)=6n-5. 解法三(解不定方程法):因为两数列{2n-1}与{3n-2}存在公共项, 所以设2n-1=3m-2,m,n∈N*,则3m=2n+1,得m= = , 因为2,3互质,所以n+2应该是3的倍数,不妨设n+2=3k,k∈N*, 第1讲　描述运动的基本概念 则n=3k-2,所以m=2k-1. 由于2n-1=2(3k-2)-1=6k-5,3m-2=3(2k-1)-2=6k-5, 所以两数列的公共项就是6k-5,k∈N*,所以两数列的公共项所构成的新数列{an}是首项为1,公差为6的等 差数列,所以a2=7,通项公式为an=1+6×(n-1)=6n-5. 解法四(递推定项法):记bn=2n-1,cn=3n-2. 因为两数列{2n-1}与{3n-2}存在公共项,所以设bm=cn,即2m-1=3n-2,m,n∈N*. 因为cn=3n-2,所以cn+1=3(n+1)-2=3n+3-2=3n-2+3=2m-1+3=2 -1, 由m+ ∉N*,可知cn+1不是{bn}中的项,即cn+1不是两个数列的公共项. 进一步得cn+2=3(n+2)-2=3n+6-2=3n-2+6=2m-1+6=2(m+3)-1, 由m+3∈N*,可知cn+2是{bn}中的项,且bm+3=cn+2, 第1讲　描述运动的基本概念 所以cn+2是两个数列的公共项. 因此,若ak=bm=cn,k,m,n∈N*,则ak+1=bm+3=cn+2. 所以ak+1-ak=bm+3-bm=2(m+3)-1-(2m-1)=6,且a1=1, 所以两数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项,6为公差的等差数列,所以a2=7,{an}的通项公式 为an=1+6×(n-1)=6n-5. (2)数列{cn}的项增长“较快”,所以依据数列{cn}递推找公共项. 设bm=cn,即4m=8n,得2m=3n,m,n∈N*. 因为cn=8n, 所以cn+1=8n+1=8×8n=8×4m= , 由m+ ∉N*可知cn+1不是{bm}中的项,即cn+1不是两个数列的公共项. 第1讲　描述运动的基本概念 cn+2=8n+2=82·8n=43·4m=4m+3, 由m+3∈N*,可知cn+2是{bn}中的项,即cn+2是两个数列的公共项. 因此,若ak=bm=cn,k∈N*,则ak+1=bm+3=cn+2. 所以 = = =64且a1=64, 所以两数列的公共项构成的新数列{an}是以64为首项,64为公比的等比数列,所以{an}的通项公式为an= 64·64n-1=64n. (3)数列{bn}的项增长“较快”,所以依据数列{bn}递推找公共项. 设bm=cn,即2m=3n-16,m,n∈N*. 因为bm=2m, 所以bm+1=2m+1=2·2m=2(3n-16)=6n-32=3× -16, 第1讲　描述运动的基本概念 由2n- ∉N*可知bm+1不是{cn}中的项,即bm+1不是两个数列的公共项. bm+2=2m+2=22·2m=4(3n-16)=12n-64=3(4n-16)-16, 由4n-16∈N*,可知bm+2是{cn}中的项,所以bm+2是两个数列的公共项. 因此,若ak=bm=cn,k∈N*,则ak+1=bm+2=c4n-16, 所以 = = =4,且a1=2, 所以两数列的公共项所构成的新数列{an}是以2为首项,4为公比的等比数列,所以{an}的通项公式为an= 2·4n-1=22n-1. 第1讲　描述运动的基本概念 规律总结　递推定项法求两个数列{bn}、{cn}的公共项所构成的新数列{an}的一般步骤: (1)设an=bk=cm,k,m,n∈N*,从中得到项数k,m的关系; (2)在增长“较快”的数列,如{cn}中验证某个公共项cm后面的递推项cm+1,cm+2,…是不是另一个数列{bn} 中的项,从而发现第an+1项; (3)由an,an+1之间的递推关系得出数列{an}的通项公式. 第1讲　描述运动的基本概念 $