6.5 量子化现象（讲义）物理粤教版必修第三册

本高中物理讲义聚焦量子化现象核心知识点，从黑体辐射的实验规律与经典理论矛盾出发，引入普朗克能量子假说，再通过光电效应实验规律及爱因斯坦光子说解释，最终整合光的波粒二象性，构建微观能量量子化的认知支架。 资料以科学思维为核心，通过概念辨析（如宏观连续与微观量子化对比）、实验规律逻辑分析（如光电效应截止频率与光强关系）培养模型建构与科学推理能力。随学随练和分层练习题（含高考真题）助力课中教学实施与课后查漏补缺，提升学生科学探究与态度责任素养。

第六章 电磁现象与电磁波 第5节 量子化现象 课标要点 1. 了解黑体辐射现象，知道能量子假说，认识微观世界能量是量子化的，区别宏观世界能量连续的特点。 2. 认识光电效应现象，掌握光电效应的实验规律，理解光子说对光电效应的解释。 3. 初步了解光的波粒二象性，知道光既具有波动性，又具有粒子性。 学习重难点 重点：理解光电效应实验规律，建立光子的观念，体会能量量子化思想。 难点：区分宏观连续与微观量子化，理解光同时具有粒子性与波动性的辩证认识。 知识点 黑体辐射与能量子（重点） 一、核心知识点 1.黑体：能够完全吸收入射的各种波长电磁波而不发生反射的物体。 2.黑体辐射：黑体向外辐射电磁波，辐射强度随波长变化，经典理论无法解释实验曲线。 3.普朗克能量子假说：微观粒子的能量不是连续的，是一份一份的，每一份称为能量子。 4.量子化含义：微观世界能量取值分立、不连续；宏观物体能量表现为连续。 二、解题方法 做题抓住概念辨析：区分宏观能量连续、微观能量量子化；知道普朗克是量子理论的开端。 三、思维方法 建立宏观现象与微观本质的对比思维，经典物理不能解释微观现象，需要全新量子观念。 随学随练 1．（25-26高二下·河北沧州·期末）红色激光发射器的输出功率为，假设红色激光器可以向四周均匀地辐射光子，已知红色激光的波长为，普朗克常量，真空中光速，在距离激光发射器处的接收器单位时间单位面积接收的光子数为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）四种温度下黑体热辐射的强度与波长的关系如图所示。有关黑体辐射的实验规律和科学家们对黑体辐射的研究，下列说法正确的是（     ） A．在同一温度下，波长越短的电磁波辐射强度越大 B．随着温度升高，辐射强度的极大值向波长较长的方向移动 C．随着温度升高，波长短的辐射强度增大，波长长的辐射强度减小 D．黑体的辐射强度按波长的分布与材料的表面状况无关，只与温度有关 3．（2026·河北衡水·模拟预测）普朗克质量是质量的自然单位，它是宏观尺度与微观尺度的分界点。已知万有引力常量为G、光速为c、普朗克常量为h，K为无单位常数。下列关于普朗克质量的表达式可能正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点 光电效应（重点） 一、核心知识点 1.光电效应现象：光照射金属表面，金属逸出光电子的现象。 2.实验规律：存在截止频率；光电子最大初动能与光强无关；瞬时效应；饱和光电流随入射光强度增大而增大。 3.爱因斯坦光子说：光由一份一份的光子组成，光子能量只由频率决定。 4.光电效应方程，解释全部实验规律。 二、解题方法 抓住因果关系：光子频率决定能否发生光电效应、光电子最大初动能；光照强度只决定光子数目，影响饱和光电流。 三、思维方法 用粒子视角看待光，跳出光只是波的固有认知，用光子模型分析实验现象。 随学随练 1．（25-26高二下·北京·期末）把一块带负电的锌板连接在验电器上，验电器指针张开一定的角度。用紫外线灯照射锌板，发现验电器指针的张角发生变化。下列推断合理的是（     ） A．验电器指针的张角会不断变大 B．验电器指针的张角会变小 C．验电器指针的张角发生变化是因为锌板获得了电子 D．若改用红外线照射锌板也一定会使验电器指针的张角发生变化 2．（多选）（24-25高二下·山东济宁·阶段检测）美国物理学家密立根利用图甲所示的电路研究金属的遏止电压与入射光频率的关系，描绘出图乙中的图像，由此算出普朗克常量。电子电荷量用表示，下列说法正确的是（　　） A．入射光的频率增大，为了测遏止电压，则滑动变阻器的滑片应向端移动 B．增大入射光的强度，光电子的最大初动能也增大 C．由图像可知，这种金属的截止频率为 D．由图像可求普朗克常量表达式为 3．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）光电效应是光具有粒子性的有力证据。如图所示，是测定最大初动能和阴极材料的逸出功的实验装置。当开关断开时，用光子能量为的一束光照射阴极K，发现电流表读数不为零。合上电键，调节滑动变阻器，发现当电压表读数大于或等于1.25V时，电流表读数为零。请由上述实验数据求： (1)此时光电子的最大初动能； (2)该阴极材料的逸出功。 知识点 光的波粒二象性 一、核心知识点 1.光的波动性：干涉、衍射现象可以证明。 2.光的粒子性：光电效应可以证明。 3.波粒二象性：光同时具有波动性和粒子性；少量光子体现粒子性，大量光子体现波动性。 二、解题方法 看到干涉衍射对应波动性；光电效应对应粒子性。 三、思维方法 辩证思维，光不是单纯的波，也不是单纯的实物粒子，两种属性同时存在。 随学随练 1．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）关于电磁波和能量量子化，下列说法中正确的是（　　） A．普朗克认为微观粒子的能量是连续的 B．电磁波是麦克斯韦预言，而赫兹证实了电磁波 C．麦克斯韦认为均匀变化的电场能激发出变化的磁场，空间将产生电磁波 D．在真空中无线电波、红外线、可见光、紫外线的波长依次变短，速度依次变小 2．（24-25高三下·广东广州·阶段检测）关于下列材料或仪器的原理说法正确的是（　　） A．光纤由纤芯和包层组成，纤芯的折射率小于包层的折射率 B．红外体温计是根据物体的温度越高发射的红外线波长越长的原理进行工作的 C．超声波测速仪是利用了多普勒效应，汽车驶向测速仪的速度越大，接收到的反射波频率就越高 D．钳形电流表既可以测交变电流的大小，也可以测恒定电流的大小 3．（多选）（25-26高二下·山东菏泽·阶段检测）一激光器发光功率为，发出的激光在折射率为的介质中波长为，若在真空中速度为，普朗克常量为，则下列叙述正确的是（     ） A．该激光在真空中的波长为 B．该波的频率为 C．该激光器在内辐射的能量子数为 D．该激光器在内辐射的能量子数为 题型 黑体辐射与能量量子化概念辨析题 一、核心知识 1.黑体是理想化物理模型，和物体颜色无关，可完全吸收入射所有电磁波，自身向外辐射电磁波 2.黑体温度升高，总辐射能量增大，辐射强度峰值对应的波长向短波移动 3.普朗克能量子假说：微观粒子能量取值分立、不连续；宏观世界能量表现为连续，经典物理无法解释黑体辐射实验结果 二、解题方法 逐项甄别易错概念，牢记黑体的定义误区，分清宏观、微观两套能量规律，不使用生活经验套用微观规律 三、思维方法 物理模型思维，区分理想模型和现实物体；对比思维，分开经典宏观规律与量子微观规律 活学活用 1．（25-26高二下·陕西西安·期末）人眼对绿光最为敏感，如果每秒有个绿光的光子射入瞳孔，眼睛就能察觉。一功率为的绿灯点光源均匀地向各个方向辐射波长约为的绿光，人瞳孔的直径约为，普朗克常量为，真空中光速为/s。（不计空气对光的吸收等其他因素）则人能够看到这盏绿灯的最远距离约为（     ） A． B． C． D． 2．（多选）（2026·浙江杭州·二模）普朗克为了解释黑体辐射现象，第一次提出了能量量子化理论。在任意给定温度（热力学温度）下，辐射强度的极大值对应的波长满足（为常量）；黑体单位面积上的热辐射功率（为常量）。假定地球、太阳与人体均可视为黑体，当地球接收到的太阳热辐射功率与自身热辐射功率相等时达到热平衡状态。已知：日地距离约为太阳半径的200倍，人体温度约为，，下列说法正确的是（　　） A．黑体辐射实验规律表明，随着温度的升高，短波区辐射强度增加，长波区辐射强度减少 B．根据题中所给信息可知太阳表面的温度约为5500℃ C．地球表面热力学温度约为太阳表面热力学温度的 D．地球表面热力学温度约为太阳表面热力学温度的 题型 光电效应规律逻辑分析题 一、核心知识 1.能否发生光电效应只取决于入射光频率，存在金属极限频率，与光照强弱无关 2.光电子最大初动能只由入射光频率决定，光照强度只决定光子数目，仅影响饱和光电流大小 3.光电效应具备瞬时性，不存在能量积累的过程，光子说可以完整解释全部实验规律 二、解题方法 隔离两组变量：频率决定能否发生光电效应、光电子动能；光照强度只决定光子数量，二者互不干扰，用光子粒子模型分析判断 三、思维方法 打破经典光波固有认知，切换粒子视角梳理因果逻辑，摒弃“强光慢慢攒能量打出电子”的错误直觉 活学活用 1．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段检测）赫兹在研究电磁波的实验中偶然发现，接收电路的间隙如果受到光照，就更容易产生电火花，这就是最早发现的光电效应。按如图所示的电路研究光电效应，当绿光照射阴极K时，电流表指针发生了偏转，下列说法正确的是（　　） A．阴极K发射的光电子来自于电源的负极 B．光照条件不变，电压表示数增大时，电流表示数也一定增大 C．调换电源的正负极，电流表的示数可能不为零 D．换用红光照射阴极K，如果照射时间足够长，一定能发生光电效应 2．（25-26高二下·天津南开·期末）如图甲所示的电路，可用于研究光电效应中光电流大小与照射光的强弱频率等物理量的关系。图中A、K两极间的电压大小可调，电源的正负极也可以对调。分别用、、三束单色光照射，调节A、K间的电压，得到光电流与电压的关系如图乙所示。由图可知（     ） A．研究遏止电压时，电源左端应为负极 B．单色光光子的能量大于单色光光子的能量 C．用光照射时产生的光电子的最大初动能大于用光照射时产生的光电子的最大初动能 D．光电效应实验证实了光具有波动性 基础通关 1．（2021·河北·高考真题）普朗克常量，光速为c，电子质量为，则在国际单位制下的单位是（　　） A． B．m C． D． 2．（24-25高二下·重庆·期中）题图是在、两种温度条件下，黑体辐射强度与辐射波长的关系图像，下列说法正确的是（　　） A． B．随着温度的升高，黑体辐射的峰值波长向长波方向移动 C．随着温度的升高，各种波长的电磁波的辐射强度均增加 D．黑体辐射的强度不仅与温度有关，还与材料的种类及表面状况有关 3．（2020·江苏·高考真题）“测温枪”（学名“红外线辐射测温仪”）具有响应快、非接触和操作方便等优点。它是根据黑体辐射规律设计出来的，能将接收到的人体热辐射转换成温度显示。若人体温度升高，则人体热辐射强度I及其极大值对应的波长的变化情况是（　　） A．I增大，增大 B．I增大，减小 C．I减小，增大 D．I减小，减小 4．（2021·浙江·高考真题）2020年12月我国科学家在量子计算领域取得了重大成果，构建了一台76个光子100个模式的量子计算机“九章”，它处理“高斯玻色取样”的速度比目前最快的超级计算机“富岳”快一百万亿倍。关于量子，下列说法正确的是（　　） A．是计算机运算的一种程序 B．表示运算速度的一个单位 C．表示微观世界的不连续性观念 D．类似于质子、中子的微观粒子 5．（2026·江苏镇江·一模）非接触式温度计在公共场所被广泛应用，其测温原理是基于黑体辐射规律。下列描绘两种温度下黑体辐射强度与波长关系的图像中，符合黑体辐射实验规律的是（　　） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·宁夏吴忠·期末）有关黑体辐射的研究表明：辐射强度、波长分布与辐射体的温度有密切关系，此研究对冶金工业的迅速发展有巨大贡献。如图所示，图中画出了四种温度下黑体辐射的强度与波长的关系，据此以下判断不正确的是（　　） A．在同一温度下，辐射强度最大的电磁波波长不是最大的，也不是最小的，而是处在最大与最小波长之间 B．在同一温度下，波长越短的电磁波辐射强度越大 C．随着温度的升高，各种波长的辐射强度都增加 D．随着温度的升高，辐射强度的极大值向波长较短的方向移动 7．（24-25高二上·江苏扬州·期中）关于电磁波、能量量子化、电磁感应现象，下列说法正确的是（　　） A．麦克斯韦预言并证实了电磁波的存在 B．电磁波是一种客观存在的物质 C．普朗克认为微观粒子的能量是连续的 D．奥斯特通过实验发现了“磁生电”是一种在变化、运动的过程中才能出现的现象 8．（2026·河北沧州·一模）2026年1月，“中国天眼”FAST（如图）在国际上首次捕捉到重复快速射电暴，若FAST探测到某次快速射电暴发射的电磁波光子的能量为，已知普朗克常量，光速，则该电磁波的波长范围为（　　） A．1～3cm B．1～30cm C．3～9cm D．10～30cm 9．（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）人眼对绿光最为敏感，如果每秒有6个绿光光子射入瞳孔，眼睛就能察觉。现有一个光源以0.1W的功率均匀地向各个方向发射频率为的绿光，已知瞳孔在暗处的直径为，普朗克常量为，不计空气对光的吸收。下列说法正确的是（　　） A．射入瞳孔的光的能量是连续的 B．每秒射入瞳孔引起视觉所需的最低能量约为 C．光源每秒发射的光子数约为个 D．若眼睛能看到这个光源，则眼睛距光源的最远距离约为210km 10．（多选）（2025·浙江·一模）有关下列四幅图的描述，正确的是（　　） A．图1是黑体辐射的实验规律，图中 B．图2中，在梁的自由端施力，梁发生弯曲，上表面应变片的电阻变大 C．图3中，强磁体从带有裂缝的铝管中静止下落（不计空气阻力）可视为做自由落体运动 D．图4中，电子感应加速器是通过感生电场来实现电子的加速 素养提升 1．（24-25高二下·江苏镇江·期末）在T1、T2两种温度条件下，黑体辐射强度与辐射波长的关系图像如下图所示，则下列关于黑体辐射，说法正确的是（　　） A． B．随着温度的升高，黑体辐射的峰值向长波方向移动 C．图像与坐标轴围成的面积相等且都是1 D．黑体不仅可以反射电磁波，还可以向外辐射电磁波 2．（24-25高二下·辽宁·期末）对比学习可以帮助同学们抓住规律的要点。对比教材中两组相似的曲线，图甲为某气体在0℃和100℃温度下单位速率区间的分子数占总分子数的百分比随气体分子速率的变化规律；图乙为在T1、T2两种温度下黑体的辐射强度与其辐射电磁波波长的关系。下列说法正确的是（　　） A．图甲中虚线对应100℃时的情形 B．由图甲可知，温度升高后每个速率区间的分子数占总分子数的百分比都变大了 C．由图乙可知，温度升高后各种波长的辐射强度都增加了 D．由图乙可知，温度升高后黑体辐射强度的极大值向波长较长的方向移动 3．（2026·江西九江·二模）普朗克质量是质量的自然单位，它是宏观尺度与微观尺度的分界点，当物质的质量大于普朗克质量时，它的行为是确定的，表现出宏观的物质特性；当物质的质量小于普朗克质量时，它的行为是不确定的，表现出微观的量子特性。万有引力常量为G、光速为c、普朗克常量为h，K为无单位常数。下列关于普朗克质量的表达式可能正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）黑洞是一类特殊的天体，质量极大，引力极强，在它附近（黑洞视界）范围内，连光也不能逃逸，并伴随着很多新奇的物理现象。传统上认为，黑洞“有进无出”，任何东西都不能从黑洞视界里逃逸出来，但霍金、贝肯斯坦等人经过理论分析，认为黑洞也在向外发出热辐射，此即著名的“霍金辐射”，因此可以定义一个“黑洞温度”“T”。其中T为“黑洞”的温度，h为普朗克常量，c为真空中的光速，G为引力常量，M为黑洞的质量。K是一个有重要物理意义的常量，叫做“玻尔兹曼常量”。以下几个选项中能用来表示“玻尔兹曼常量”单位的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·天津河西·阶段检测）被誉为“中国天眼”的大口径球面射电望远镜已发现660余颗新脉冲星，领先世界。天眼对距地球为L的天体进行观测，其接收光子的横截面半径为R。若天体射向天眼的辐射光子中，有倍被天眼接收，天眼每秒接收到该天体发出的频率为的N个光子。普朗克常量为h，则该天体发射频率为光子的功率为（　　） A． B． C． D． 迁移创新 1．（20-21高二下·江苏苏州·期中）有人设想在进行宇宙探测时，给探测器安上反射率极高（可认为100%）的薄膜，并让它正对太阳，用光压为动力推动探测器加速。已知某探测器在轨道上运行，阳光恰好垂直照射在薄膜上，薄膜面积为S，每秒每平方米面积照射到的太阳光能为E，若探测器总质量为M，光速为c，则探测器获得的加速度大小的表达式是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·单元测试）太阳帆航天器是一种利用太阳光的压力进行太空飞行的航天器，如图所示。在没有空气的宇宙中，太阳光光子会连续撞击太阳帆，使太阳帆获得的动量逐渐增加，从而产生加速度。太阳帆飞船无需燃料，只要有阳光，就会不断获得动力加速飞行。有人设想在探测器上安装有面积极大、反射功率极高的太阳帆，并让它正对太阳。已知太阳光照射太阳帆时每平方米面积上的辐射功率为 P0，探测器和太阳帆的总质量为 m，太阳帆的面积为 s，每个光子的能量为p，此时探测器的加速度大小为（　　） A． B． C． D． 3．（2022高三·全国·竞赛）本题中提到的黑体都是余弦辐射体，将一个热容为的半径为的均匀的球形的黑体 A 放在一个半径为的均匀的薄球壳B内，两个球心的距离为。在时，A 的温度为。A内部的热传导很快。 （2.1）B是热容为，初始温度为的黑体。求时刻A的温度。 （可保留代数方程， 积分，微分方程等，若数学计算过于复杂。） （2.2）B的内壁是可以完全反射热辐射的镜面。求时刻A的温度。 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 电磁现象与电磁波 第5节 量子化现象 课标要点 1. 了解黑体辐射现象，知道能量子假说，认识微观世界能量是量子化的，区别宏观世界能量连续的特点。 2. 认识光电效应现象，掌握光电效应的实验规律，理解光子说对光电效应的解释。 3. 初步了解光的波粒二象性，知道光既具有波动性，又具有粒子性。 学习重难点 重点：理解光电效应实验规律，建立光子的观念，体会能量量子化思想。 难点：区分宏观连续与微观量子化，理解光同时具有粒子性与波动性的辩证认识。 知识点 黑体辐射与能量子（重点） 一、核心知识点 1.黑体：能够完全吸收入射的各种波长电磁波而不发生反射的物体。 2.黑体辐射：黑体向外辐射电磁波，辐射强度随波长变化，经典理论无法解释实验曲线。 3.普朗克能量子假说：微观粒子的能量不是连续的，是一份一份的，每一份称为能量子。 4.量子化含义：微观世界能量取值分立、不连续；宏观物体能量表现为连续。 二、解题方法 做题抓住概念辨析：区分宏观能量连续、微观能量量子化；知道普朗克是量子理论的开端。 三、思维方法 建立宏观现象与微观本质的对比思维，经典物理不能解释微观现象，需要全新量子观念。 随学随练 1．（25-26高二下·河北沧州·期末）红色激光发射器的输出功率为，假设红色激光器可以向四周均匀地辐射光子，已知红色激光的波长为，普朗克常量，真空中光速，在距离激光发射器处的接收器单位时间单位面积接收的光子数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】一个光子的能量为 根据，有 激光发射器单位时间辐射的光子的能量为 则单位时间激光发射器发射的光子总数为 解得个 激光发射器向外辐射的光子分布在以发射器为圆心、为半径的球面上 则接收器单位时间单位面积接收的光子数为 解得个。 故选C项。 2．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）四种温度下黑体热辐射的强度与波长的关系如图所示。有关黑体辐射的实验规律和科学家们对黑体辐射的研究，下列说法正确的是（     ） A．在同一温度下，波长越短的电磁波辐射强度越大 B．随着温度升高，辐射强度的极大值向波长较长的方向移动 C．随着温度升高，波长短的辐射强度增大，波长长的辐射强度减小 D．黑体的辐射强度按波长的分布与材料的表面状况无关，只与温度有关 【答案】D 【详解】A．根据图像可知，在同一温度下，随波长的增大，辐射强度先增大后减小，并不是波长越短的电磁波辐射强度越大，故A错误； B．根据图像可知，随着温度升高，辐射强度的极大值向波长较短的方向移动，故B错误； C．根据图像可知，随着温度升高，各种波长的辐射强度均增大，故C错误； D．黑体只能够发生热辐射，可知黑体的辐射强度按波长的分布与材料的表面状况无关，只与温度有关，故D正确。 故选D。 3．（2026·河北衡水·模拟预测）普朗克质量是质量的自然单位，它是宏观尺度与微观尺度的分界点。已知万有引力常量为G、光速为c、普朗克常量为h，K为无单位常数。下列关于普朗克质量的表达式可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知K无单位，普朗克质量量纲为质量量纲，因此根号内的物理量组合量纲要为。首先明确三个常量的量纲（为长度量纲，为时间量纲）：光速c：量纲为 普朗克常量：由，能量，频率，得 引力常量G：由，得 A．的量纲为，与质量量纲不符，故A错误； B．的量纲为，与质量量纲一致，故B正确； C．的量纲为，与质量量纲不符，故C错误； D．的量纲为，与质量量纲不符，故D错误。 故选B。 知识点 光电效应（重点） 一、核心知识点 1.光电效应现象：光照射金属表面，金属逸出光电子的现象。 2.实验规律：存在截止频率；光电子最大初动能与光强无关；瞬时效应；饱和光电流随入射光强度增大而增大。 3.爱因斯坦光子说：光由一份一份的光子组成，光子能量只由频率决定。 4.光电效应方程，解释全部实验规律。 二、解题方法 抓住因果关系：光子频率决定能否发生光电效应、光电子最大初动能；光照强度只决定光子数目，影响饱和光电流。 三、思维方法 用粒子视角看待光，跳出光只是波的固有认知，用光子模型分析实验现象。 随学随练 1．（25-26高二下·北京·期末）把一块带负电的锌板连接在验电器上，验电器指针张开一定的角度。用紫外线灯照射锌板，发现验电器指针的张角发生变化。下列推断合理的是（     ） A．验电器指针的张角会不断变大 B．验电器指针的张角会变小 C．验电器指针的张角发生变化是因为锌板获得了电子 D．若改用红外线照射锌板也一定会使验电器指针的张角发生变化 【答案】B 【详解】AB．锌板带负电，用紫外线照射发生光电效应，光电子从锌板逸出，锌板所带负电荷量减少，验电器指针的张角应先变小，故A错误，B正确； C．光电效应现象中，电子从金属表面逸出，锌板是失去了电子，而不是获得了电子，故C错误； D．红外线的频率小于紫外线，光子能量 较小，若红外线光子能量小于锌的逸出功，则不会发生光电效应，验电器指针张角不会变化，故D错误。 故选B。 2．（多选）（24-25高二下·山东济宁·阶段检测）美国物理学家密立根利用图甲所示的电路研究金属的遏止电压与入射光频率的关系，描绘出图乙中的图像，由此算出普朗克常量。电子电荷量用表示，下列说法正确的是（　　） A．入射光的频率增大，为了测遏止电压，则滑动变阻器的滑片应向端移动 B．增大入射光的强度，光电子的最大初动能也增大 C．由图像可知，这种金属的截止频率为 D．由图像可求普朗克常量表达式为 【答案】CD 【详解】A．入射光的频率增大，光电子的最大初动能增大，则遏止电压增大，测遏止电压时，应使滑动变阻器的滑片P向N端移动，A错误。 B．根据光电效应方程Ekm=hν-W0 光电子的最大初动能与入射光的强度无关，B错误。 CD．根据Ekm=hν-W0=eUc 得Uc=ν- 结合图像可知h= 当遏止电压为0时，ν=νc，CD正确。 故选CD。 3．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）光电效应是光具有粒子性的有力证据。如图所示，是测定最大初动能和阴极材料的逸出功的实验装置。当开关断开时，用光子能量为的一束光照射阴极K，发现电流表读数不为零。合上电键，调节滑动变阻器，发现当电压表读数大于或等于1.25V时，电流表读数为零。请由上述实验数据求： (1)此时光电子的最大初动能； (2)该阴极材料的逸出功。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，遏止电压，则光电子的最大初动能 （2）根据光电效应方程得 解得逸出功 知识点 光的波粒二象性 一、核心知识点 1.光的波动性：干涉、衍射现象可以证明。 2.光的粒子性：光电效应可以证明。 3.波粒二象性：光同时具有波动性和粒子性；少量光子体现粒子性，大量光子体现波动性。 二、解题方法 看到干涉衍射对应波动性；光电效应对应粒子性。 三、思维方法 辩证思维，光不是单纯的波，也不是单纯的实物粒子，两种属性同时存在。 随学随练 1．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）关于电磁波和能量量子化，下列说法中正确的是（　　） A．普朗克认为微观粒子的能量是连续的 B．电磁波是麦克斯韦预言，而赫兹证实了电磁波 C．麦克斯韦认为均匀变化的电场能激发出变化的磁场，空间将产生电磁波 D．在真空中无线电波、红外线、可见光、紫外线的波长依次变短，速度依次变小 【答案】B 【详解】A．普朗克在1900年提出能量量子化假说，认为微观粒子的能量是离散的（即，其中为普朗克常数），而非连续的，故A错误； B．麦克斯韦于1865年通过方程组预言电磁波的存在，赫兹在1887年通过实验首次证实电磁波，故B正确； C．麦克斯韦方程组表明，均匀变化的电场产生恒定磁场（因变化率恒定），而恒定磁场不会激发电场，因此无法形成传播的电磁波，故C错误； D．在真空中，所有电磁波（包括无线电波、红外线、可见光、紫外线）的传播速度均为光速，速度相同；但波长从无线电波到紫外线依次变短（无线电波波长最长，紫外线波长最短），故D错误。 故选B。 2．（24-25高三下·广东广州·阶段检测）关于下列材料或仪器的原理说法正确的是（　　） A．光纤由纤芯和包层组成，纤芯的折射率小于包层的折射率 B．红外体温计是根据物体的温度越高发射的红外线波长越长的原理进行工作的 C．超声波测速仪是利用了多普勒效应，汽车驶向测速仪的速度越大，接收到的反射波频率就越高 D．钳形电流表既可以测交变电流的大小，也可以测恒定电流的大小 【答案】C 【详解】A．光纤由纤芯和包层组成，根据全反射条件，只有光从光密介质射向光疏介质时，才能发生全反射，纤芯的折射率大于包层的折射率，A错误； B．红外体温计是根据物体的温度越高发射的红外线强度越大的原理进行工作的，B错误； C．根据多普勒效应，波源和接收者相互靠近时，接收到的频率升高，超声波测速仪是利用了多普勒效应，汽车驶向测速仪的速度越大，接收到的反射波频率就越高，C正确； D．钳形电流表可以测交变电流的大小，不能测恒定电流的大小，因为恒定的电流不能在钳形电流表的线圈中产生感应电流，D错误。 故选C。 3．（多选）（25-26高二下·山东菏泽·阶段检测）一激光器发光功率为，发出的激光在折射率为的介质中波长为，若在真空中速度为，普朗克常量为，则下列叙述正确的是（     ） A．该激光在真空中的波长为 B．该波的频率为 C．该激光器在内辐射的能量子数为 D．该激光器在内辐射的能量子数为 【答案】AC 【详解】A．由 知在介质中速度 在真空中波长，故A正确； B．频率，故B错误； CD．在内辐射能量 每个能量子能量 故在内辐射的能量子数为，故C正确，D错误。 故选AC。 题型 黑体辐射与能量量子化概念辨析题 一、核心知识 1.黑体是理想化物理模型，和物体颜色无关，可完全吸收入射所有电磁波，自身向外辐射电磁波 2.黑体温度升高，总辐射能量增大，辐射强度峰值对应的波长向短波移动 3.普朗克能量子假说：微观粒子能量取值分立、不连续；宏观世界能量表现为连续，经典物理无法解释黑体辐射实验结果 二、解题方法 逐项甄别易错概念，牢记黑体的定义误区，分清宏观、微观两套能量规律，不使用生活经验套用微观规律 三、思维方法 物理模型思维，区分理想模型和现实物体；对比思维，分开经典宏观规律与量子微观规律 活学活用 1．（25-26高二下·陕西西安·期末）人眼对绿光最为敏感，如果每秒有个绿光的光子射入瞳孔，眼睛就能察觉。一功率为的绿灯点光源均匀地向各个方向辐射波长约为的绿光，人瞳孔的直径约为，普朗克常量为，真空中光速为/s。（不计空气对光的吸收等其他因素）则人能够看到这盏绿灯的最远距离约为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设人能看到绿灯的最远距离为，点光源向四周均匀辐射，距离处单位面积每秒接收的能量为 瞳孔面积为 则每秒瞳孔接收的总能量为 刚好能察觉时，每秒接收的能量等于6个光子的总能量，单个光子能量为，故 联立解得 故选D。 2．（多选）（2026·浙江杭州·二模）普朗克为了解释黑体辐射现象，第一次提出了能量量子化理论。在任意给定温度（热力学温度）下，辐射强度的极大值对应的波长满足（为常量）；黑体单位面积上的热辐射功率（为常量）。假定地球、太阳与人体均可视为黑体，当地球接收到的太阳热辐射功率与自身热辐射功率相等时达到热平衡状态。已知：日地距离约为太阳半径的200倍，人体温度约为，，下列说法正确的是（　　） A．黑体辐射实验规律表明，随着温度的升高，短波区辐射强度增加，长波区辐射强度减少 B．根据题中所给信息可知太阳表面的温度约为5500℃ C．地球表面热力学温度约为太阳表面热力学温度的 D．地球表面热力学温度约为太阳表面热力学温度的 【答案】BC 【详解】A．黑体辐射的实验规律为：温度升高时，所有波长的辐射强度均增加，仅辐射强度的极大值向短波方向移动，长波区辐射强度并未减少，故A错误； B．辐射强度的极大值对应的波长满足 人体温度约为， 根据，可知 解得，故B正确； CD．设太阳半径为R，由题知日地距离r=200R，太阳总辐射功率 太阳辐射均匀分布在半径为r的球面上，地球所在位置单位面积接收功率为 热平衡时，地球接收功率等于自身辐射功率：设地球半径为RE​，地球接收功率 地球辐射总功率 联立解得，故C正确，D错误； 故选BC。 题型 光电效应规律逻辑分析题 一、核心知识 1.能否发生光电效应只取决于入射光频率，存在金属极限频率，与光照强弱无关 2.光电子最大初动能只由入射光频率决定，光照强度只决定光子数目，仅影响饱和光电流大小 3.光电效应具备瞬时性，不存在能量积累的过程，光子说可以完整解释全部实验规律 二、解题方法 隔离两组变量：频率决定能否发生光电效应、光电子动能；光照强度只决定光子数量，二者互不干扰，用光子粒子模型分析判断 三、思维方法 打破经典光波固有认知，切换粒子视角梳理因果逻辑，摒弃“强光慢慢攒能量打出电子”的错误直觉 活学活用 1．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段检测）赫兹在研究电磁波的实验中偶然发现，接收电路的间隙如果受到光照，就更容易产生电火花，这就是最早发现的光电效应。按如图所示的电路研究光电效应，当绿光照射阴极K时，电流表指针发生了偏转，下列说法正确的是（　　） A．阴极K发射的光电子来自于电源的负极 B．光照条件不变，电压表示数增大时，电流表示数也一定增大 C．调换电源的正负极，电流表的示数可能不为零 D．换用红光照射阴极K，如果照射时间足够长，一定能发生光电效应 【答案】C 【详解】A．阴极K发射的光电子是阴极材料中的电子吸收光子能量后逸出的，并非来自电源的负极，故A错误； B．光照条件不变，当电压表示数增大到一定程度时，光电流达到饱和，此时再增大电压，电流表示数不再增大，故B错误； C．调换电源的正负极，此时所加电压为反向电压，若光电子的初动能足够大，仍有部分光电子能到达阳极，电流表的示数可能不为零，故C正确； D．发生光电效应的条件是入射光的频率大于金属的极限频率，红光的频率低于绿光，换用红光照射阴极K，若红光频率小于阴极材料的极限频率，无论照射时间多长，都不能发生光电效应，故D错误。 故选 C。 2．（25-26高二下·天津南开·期末）如图甲所示的电路，可用于研究光电效应中光电流大小与照射光的强弱频率等物理量的关系。图中A、K两极间的电压大小可调，电源的正负极也可以对调。分别用、、三束单色光照射，调节A、K间的电压，得到光电流与电压的关系如图乙所示。由图可知（     ） A．研究遏止电压时，电源左端应为负极 B．单色光光子的能量大于单色光光子的能量 C．用光照射时产生的光电子的最大初动能大于用光照射时产生的光电子的最大初动能 D．光电效应实验证实了光具有波动性 【答案】B 【详解】A．光电子从K极逸出，研究遏止电压时，光电子受力向左，可知A极板应带负电，所以电源右端应为负极，故A错误； B．根据， 逸出功只与电极材料有关，反向遏止电压越大，光的频率越大，所以b光的频率最大，、频率相同。根据光子的能量公式可知单色光光子的能量大于单色光光子的能量，故B正确； C．、频率相同，根据 可知用光照射时产生的光电子的最大初动能等于用光照射时产生的光电子的最大初动能，故C错误； D．光电效应实验证实了光具有粒子性，故D错误。 故选B。 基础通关 1．（2021·河北·高考真题）普朗克常量，光速为c，电子质量为，则在国际单位制下的单位是（　　） A． B．m C． D． 【答案】B 【详解】根据可得它们的单位为： 故选B。 2．（24-25高二下·重庆·期中）题图是在、两种温度条件下，黑体辐射强度与辐射波长的关系图像，下列说法正确的是（　　） A． B．随着温度的升高，黑体辐射的峰值波长向长波方向移动 C．随着温度的升高，各种波长的电磁波的辐射强度均增加 D．黑体辐射的强度不仅与温度有关，还与材料的种类及表面状况有关 【答案】C 【详解】AC．根据黑体辐射规律可知，温度升高，各种波长的辐射强度均增加，则有 故A错误，C正确； B．根据黑体辐射规律可知，随着温度的升高，黑体辐射的峰值波长向短波方向移动，故B错误； D．黑体辐射的强度仅与温度有关，与材料的种类及表面状况无关，故D错误。 故选C。 3．（2020·江苏·高考真题）“测温枪”（学名“红外线辐射测温仪”）具有响应快、非接触和操作方便等优点。它是根据黑体辐射规律设计出来的，能将接收到的人体热辐射转换成温度显示。若人体温度升高，则人体热辐射强度I及其极大值对应的波长的变化情况是（　　） A．I增大，增大 B．I增大，减小 C．I减小，增大 D．I减小，减小 【答案】B 【详解】黑体辐射的实验规律如图 特点是，随着温度升高，各种波长的辐射强度都有增加，所以人体热辐射的强度增大；随着温度的升高，辐射强度的峰值向波长较短的方向移动，所以减小。 故选B。 4．（2021·浙江·高考真题）2020年12月我国科学家在量子计算领域取得了重大成果，构建了一台76个光子100个模式的量子计算机“九章”，它处理“高斯玻色取样”的速度比目前最快的超级计算机“富岳”快一百万亿倍。关于量子，下列说法正确的是（　　） A．是计算机运算的一种程序 B．表示运算速度的一个单位 C．表示微观世界的不连续性观念 D．类似于质子、中子的微观粒子 【答案】C 【详解】量子是不可分割的最小的单元，体现了物质的不连续性，即通常所说的“量子化”。 故选C。 5．（2026·江苏镇江·一模）非接触式温度计在公共场所被广泛应用，其测温原理是基于黑体辐射规律。下列描绘两种温度下黑体辐射强度与波长关系的图像中，符合黑体辐射实验规律的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】黑体辐射的特点：一方面，各种波长的辐射强度随温度升高都有增加，另一方面，辐射强度的极大值向波长较短的方向移动。故选A。 6．（22-23高二上·宁夏吴忠·期末）有关黑体辐射的研究表明：辐射强度、波长分布与辐射体的温度有密切关系，此研究对冶金工业的迅速发展有巨大贡献。如图所示，图中画出了四种温度下黑体辐射的强度与波长的关系，据此以下判断不正确的是（　　） A．在同一温度下，辐射强度最大的电磁波波长不是最大的，也不是最小的，而是处在最大与最小波长之间 B．在同一温度下，波长越短的电磁波辐射强度越大 C．随着温度的升高，各种波长的辐射强度都增加 D．随着温度的升高，辐射强度的极大值向波长较短的方向移动 【答案】B 【详解】AB．在同一温度下，辐射强度最大的电磁波波长不是最大的，也不是最小的，而是处在最大波长与最小波长之间，故A正确，不符合题意、B错误，符合题意； C．黑体辐射的强度与温度有关，随着温度的升高，各种波长的辐射强度都增加，故C正确，不符合题意； D．随着温度的升高，黑体辐射强度的极大值向波长较短的方向移动，故D正确，不符合题意。 故选B。 7．（24-25高二上·江苏扬州·期中）关于电磁波、能量量子化、电磁感应现象，下列说法正确的是（　　） A．麦克斯韦预言并证实了电磁波的存在 B．电磁波是一种客观存在的物质 C．普朗克认为微观粒子的能量是连续的 D．奥斯特通过实验发现了“磁生电”是一种在变化、运动的过程中才能出现的现象 【答案】B 【详解】A．麦克斯韦预言了电磁波的存在，证实电磁波存在的人时赫兹，故A错误； B．电磁波具有能量，是一种物质，赫兹最早通过实验证明了电磁波的存在，故B正确； C．普朗克首先提出微观粒子的能量是量子化的，不是连续的，故C错误； D．法拉第通过实验发现了“磁生电”是一种在变化、运动的过程中才能出现的现象，故D错误。 故选B。 8．（2026·河北沧州·一模）2026年1月，“中国天眼”FAST（如图）在国际上首次捕捉到重复快速射电暴，若FAST探测到某次快速射电暴发射的电磁波光子的能量为，已知普朗克常量，光速，则该电磁波的波长范围为（　　） A．1～3cm B．1～30cm C．3～9cm D．10～30cm 【答案】A 【详解】根据可得 当时； 当时，则该电磁波的波长范围为1～3cm。 故选A。 9．（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）人眼对绿光最为敏感，如果每秒有6个绿光光子射入瞳孔，眼睛就能察觉。现有一个光源以0.1W的功率均匀地向各个方向发射频率为的绿光，已知瞳孔在暗处的直径为，普朗克常量为，不计空气对光的吸收。下列说法正确的是（　　） A．射入瞳孔的光的能量是连续的 B．每秒射入瞳孔引起视觉所需的最低能量约为 C．光源每秒发射的光子数约为个 D．若眼睛能看到这个光源，则眼睛距光源的最远距离约为210km 【答案】D 【详解】A．根据光子说，光的能量是量子化的，每份（光子）能量为，不是连续值，故A错误； B．单个绿光光子能量 引起视觉最低需要6个光子，对应能量，故B错误； C．光源每秒发射总能量为，每秒发射光子数个，故C错误； D．设最大距离为，点光源在距离处的光强为 瞳孔面积 每秒进入瞳孔的光子数需满足 代入化简得，代入数值计算得，故D正确。 故选D。 10．（多选）（2025·浙江·一模）有关下列四幅图的描述，正确的是（　　） A．图1是黑体辐射的实验规律，图中 B．图2中，在梁的自由端施力，梁发生弯曲，上表面应变片的电阻变大 C．图3中，强磁体从带有裂缝的铝管中静止下落（不计空气阻力）可视为做自由落体运动 D．图4中，电子感应加速器是通过感生电场来实现电子的加速 【答案】ABD 【详解】A．图1中，随着温度的升高，辐射强度的极大值向波长较短的方向移动，所以T1>T2，故A正确； B．图2中，在梁的自由端施力F，梁发生弯曲，上表面拉伸，应变片的长度l变长，横截面积S变小，根据电阻定律可知上表面应变片的电阻变大，故B正确； C．图3中，强磁体从带有裂缝的铝管中静止下落，铝管会产生感应电流，即产生电磁阻尼现象，阻碍强磁体的运动，故不可视做自由落体运动，故C错误； D．图4中，电子感应加速器是通过变化的磁场产生感生电场来实现电子的加速，故D正确。 故选ABD。 素养提升 1．（24-25高二下·江苏镇江·期末）在T1、T2两种温度条件下，黑体辐射强度与辐射波长的关系图像如下图所示，则下列关于黑体辐射，说法正确的是（　　） A． B．随着温度的升高，黑体辐射的峰值向长波方向移动 C．图像与坐标轴围成的面积相等且都是1 D．黑体不仅可以反射电磁波，还可以向外辐射电磁波 【答案】A 【详解】A．因为温度为T1时辐射强度的峰值较大，所以，故A正确； B．随着温度的升高，黑体辐射的峰值向短波方向移动，B错误； C．图像与坐标轴围成的面积不相等，C错误； D．黑体不反射电磁波，D错误。 故选A。 2．（24-25高二下·辽宁·期末）对比学习可以帮助同学们抓住规律的要点。对比教材中两组相似的曲线，图甲为某气体在0℃和100℃温度下单位速率区间的分子数占总分子数的百分比随气体分子速率的变化规律；图乙为在T1、T2两种温度下黑体的辐射强度与其辐射电磁波波长的关系。下列说法正确的是（　　） A．图甲中虚线对应100℃时的情形 B．由图甲可知，温度升高后每个速率区间的分子数占总分子数的百分比都变大了 C．由图乙可知，温度升高后各种波长的辐射强度都增加了 D．由图乙可知，温度升高后黑体辐射强度的极大值向波长较长的方向移动 【答案】C 【详解】A．根据麦克斯韦速率分布图像可知，温度升高时，分子速率分布会向速率较大的方向偏移，则图甲中虚线对应0℃时的情形，故A错误； B．温度升高后，分子速率分布向速率较大的方向偏移，只是在速率较大区间分子数占分子数的百分比增大，而在速率较小区间分子数占总分子数的百分比减小，并不是每个速率区间的分子数占总分子数的百分比都变大，故B错误； CD．根据黑体辐射的实验规律，温度升高时，黑体辐射强度的极大值向波长较短的方向移动，同时各种波长的辐射强度都增加了，故C正确，D错误。 故选C。 3．（2026·江西九江·二模）普朗克质量是质量的自然单位，它是宏观尺度与微观尺度的分界点，当物质的质量大于普朗克质量时，它的行为是确定的，表现出宏观的物质特性；当物质的质量小于普朗克质量时，它的行为是不确定的，表现出微观的量子特性。万有引力常量为G、光速为c、普朗克常量为h，K为无单位常数。下列关于普朗克质量的表达式可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题可通过量纲分析法判断，物理公式等号两侧量纲必须一致，已知K无单位，普朗克质量量纲为质量量纲，因此根号内的物理量组合量纲要为。 首先明确三个常量的量纲（为长度量纲，为时间量纲）： 光速：量纲为 普朗克常量：由，能量，频率，得 引力常量：由，得 A．的量纲为，与质量量纲不符，故A错误； B．的量纲为，与质量量纲一致，故B正确； C．的量纲为，与质量量纲不符，故C错误； D．的量纲为，与质量量纲不符，故D错误。 故选B。 4．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）黑洞是一类特殊的天体，质量极大，引力极强，在它附近（黑洞视界）范围内，连光也不能逃逸，并伴随着很多新奇的物理现象。传统上认为，黑洞“有进无出”，任何东西都不能从黑洞视界里逃逸出来，但霍金、贝肯斯坦等人经过理论分析，认为黑洞也在向外发出热辐射，此即著名的“霍金辐射”，因此可以定义一个“黑洞温度”“T”。其中T为“黑洞”的温度，h为普朗克常量，c为真空中的光速，G为引力常量，M为黑洞的质量。K是一个有重要物理意义的常量，叫做“玻尔兹曼常量”。以下几个选项中能用来表示“玻尔兹曼常量”单位的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题干给出的公式 变形得玻尔兹曼常量 其中的单位为 的单位为 的单位为 的单位为 的单位为 代入玻尔兹曼常量的表达式可得的单位是 故选A。 5．（24-25高二下·天津河西·阶段检测）被誉为“中国天眼”的大口径球面射电望远镜已发现660余颗新脉冲星，领先世界。天眼对距地球为L的天体进行观测，其接收光子的横截面半径为R。若天体射向天眼的辐射光子中，有倍被天眼接收，天眼每秒接收到该天体发出的频率为的N个光子。普朗克常量为h，则该天体发射频率为光子的功率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知 可得该天体发射频率为光子的功率为 故选A。 迁移创新 1．（20-21高二下·江苏苏州·期中）有人设想在进行宇宙探测时，给探测器安上反射率极高（可认为100%）的薄膜，并让它正对太阳，用光压为动力推动探测器加速。已知某探测器在轨道上运行，阳光恰好垂直照射在薄膜上，薄膜面积为S，每秒每平方米面积照射到的太阳光能为E，若探测器总质量为M，光速为c，则探测器获得的加速度大小的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】光子垂直照射后全部反射，每秒在薄膜上产生的总能量为，结合单个光子的能量 则个光子的总能量为 解得 结合单个光子的动量 则光子的总动量变化量大小为 以光子为研究对象，应用动量定理 式中，解得 根据牛顿第三定律，光子对探测器的作用力大小为 根据牛顿第二定律 解得 故选A。 2．（24-25高一上·全国·单元测试）太阳帆航天器是一种利用太阳光的压力进行太空飞行的航天器，如图所示。在没有空气的宇宙中，太阳光光子会连续撞击太阳帆，使太阳帆获得的动量逐渐增加，从而产生加速度。太阳帆飞船无需燃料，只要有阳光，就会不断获得动力加速飞行。有人设想在探测器上安装有面积极大、反射功率极高的太阳帆，并让它正对太阳。已知太阳光照射太阳帆时每平方米面积上的辐射功率为 P0，探测器和太阳帆的总质量为 m，太阳帆的面积为 s，每个光子的能量为p，此时探测器的加速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】每秒光照射到帆面上的能量 E=P0s 光子的平均能量 ε=hf 光子的频率 每秒射到帆面上的光子数 联立可得 每个光子的动量 光射到帆面被反弹，由动量定理得 Ft=2Ntp 对飞船，由牛顿第二定律得 F=ma 联立解得 故A正确，BCD错误。 3．（2022高三·全国·竞赛）本题中提到的黑体都是余弦辐射体，将一个热容为的半径为的均匀的球形的黑体 A 放在一个半径为的均匀的薄球壳B内，两个球心的距离为。在时，A 的温度为。A内部的热传导很快。 （2.1）B是热容为，初始温度为的黑体。求时刻A的温度。 （可保留代数方程， 积分，微分方程等，若数学计算过于复杂。） （2.2）B的内壁是可以完全反射热辐射的镜面。求时刻A的温度。 【答案】（2.1）见解析；（2.2） 【详解】（此解答中球坐标的方位角取值为） （2.1）如图1所示，以两个球心的连线为轴，记为B上平面内具有极角的点，考虑B上处单位面积发出的热辐射。 以为原点建立坐标系，轴指向。平面与平面重合。容易获得从坐标系变换到坐标系的公式 于是A的球心在坐标系中的坐标为 考虑从发出的具有极角和方位角的辐射，该射线的参数方程为 为了求该射线到的距离，考虑该射线上的点，其到的距离为 其中 为在变化时的最小取值（二次函数最低点），由方程 可以解得 范围内的解为 的形式在定性上有不同，主要分为两种情形：的情形： 此时对于任意的，轴都会穿过A，因此，能定义在整个，且是单值函数 的情形： 此时对于，轴会穿过A。因此，在上是关于的单值函数。 对于，轴不穿过A。因此，在上是关于的多值函数，其有两支与。，等号仅在时取到。 B在处小面积的辐射中，能射到A的功率为 其中是温度为的黑体表面的辐射率（单位面积上单位立体角的辐射通量），，而 其中 ，从而B对A的总辐射功率为 或者 其中常数 A对B的总辐射功率显然为 B对外耗散的总辐射功率显然为 从而可以建立微分方程组 即 其中由式[eq：黑体辐射参数]给出。理论上可由式[eq：黑体辐射微分方程]解出 。 （2.2）此情形给出平凡的结果 这是因为，A 的几乎全部辐射最终总能被反射回A。某根辐射在球形镜面内来回反射时， 它总在某个包含球心的平面内.。每一次反射的偏转角与的比值我们可以假定为无理数 （因为几乎所有的实数都是无理数）。从而，被反射的某根辐射可以稠密地铺满两个同心圆之间的区域.。该区域总是能与A有非空的交集（因为一开始该辐射就是从A上射出的）， 因此辐射总能回到A。 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $