第1章 14-五年高考真题练（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了空间向量与立体几何的核心内容，涵盖用空间向量解决证明、求值问题，空间角计算及探索性问题等考点，通过五年高考真题分类和知识框架图串联知识点，帮助学生构建完整的知识体系。 其亮点在于以高考真题为载体，采用“考点分类-真题解析-素养提升”的复习策略，如通过建立空间直角坐标系、计算法向量培养学生的空间观念和逻辑推理能力，分层设计基础证明与综合求值题，满足不同学生需求，助力教师精准把握复习重点，提升学生知识应用能力。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 五年高考真题练 第1讲　描述运动的基本概念 考点1　用空间向量解决立体几何中的证明、求值问题 1.[2025全国一卷,17]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BC∥AD. (1)证明:平面PAB⊥平面PAD; (2)设PA=AB= ,BC=2,AD=1+ ,且点P,B,C,D均在球O的球面上. (i)证明:点O在平面ABCD内; (ii)求直线AC与PO所成角的余弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:因为PA⊥底面ABCD,AD⊂底面ABCD,所以PA⊥AD,又AB⊥AD,AB∩PA=A,AB,PA⊂平 面PAB,所以AD⊥平面PAB,又AD⊂平面PAD,所以平面PAB⊥平面PAD. (2)由(1)知PA,AB,AD两两垂直.以AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图,则P (0,0, ),A(0,0,0),D(0,1+ ,0),C( ,2,0),B( ,0,0).   (i)证明:设O(x,y,z), 则OP= ,OB= , 第1讲　描述运动的基本概念 OC= ,OD= , 由题知OP=OB=OC=OD,解得x=z=0,y=1, 则O(0,1,0),故O在线段AD上,即点O在平面ABCD内. (ii)因为 =( ,2,0), =(0,1,- ), 所以cos< , >= = = , 故直线AC与PO所成角的余弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025北京,17]如图,在四棱锥P-ABCD中,△ADC与△BAC均为等腰直角三角形,∠ADC=90°,∠BAC=90 °,E为BC的中点. (1)若F,G分别为PD,PE的中点,求证:FG∥平面PAB; (2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求直线AB与平面PCD所成角的正弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:取PA的中点N,PB的中点M,连接FN,MN,GM,∵△ADC与△ABC为等腰直角三角形且∠ ADC=90°,∠BAC=90°,∴AC= AD,BC= AB. 不妨设AD=CD=2,∴AC=AB=2 ,BC=4. ∵E,F,N,M,G分别为BC,PD,PA,PB,PE的中点, ∴FN= AD=1,GM= BE= BC=1,且FN∥AD,GM∥BC. ∵∠DAC=45°,∠ACB=45°,∴AD∥BC,∴FN∥GM, ∴四边形FGMN为平行四边形,∴FG∥MN, ∵FG⊄平面PAB,MN⊂平面PAB,∴FG∥平面PAB. 第1讲　描述运动的基本概念   (2)∵PA⊥平面ABCD,AB,AC⊂平面ABCD,∴PA⊥AB,PA⊥AC,又AB⊥AC,∴PA,AB,AC两两互相垂直. 以A为原点,AC,AB,AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),设AD=CD=2,则B(0,2 ,0),C(2 ,0,0),D( ,- ,0),P(0,0,2 ),∴ =(0,2 ,0), =( , , 0), =(-2 ,0,2 ), 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), ∴ ∴  第1讲　描述运动的基本概念 取x=1,∴y=-1,z=1,∴n=(1,-1,1). 设直线AB与平面PCD所成的角为θ, 则sin θ=|cos< ,n>|= = = = , 即直线AB与平面PCD所成角的正弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2024天津,17]如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB∥DC,AB=AA1=2,AD= DC=1,M,N分别为DD1,B1C1的中点. (1)求证:D1N∥平面CB1M; (2)求平面CB1M与平面BB1C1C所成角的余弦值; (3)求点B到平面CB1M的距离.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:取B1C的中点P,连接NP,MP, 又N为B1C1的中点, 所以在△B1CC1中,NP∥CC1,NP= CC1. 因为M是DD1的中点,DD1∥CC1, 所以D1M= DD1= CC1,且D1M∥CC1. 所以D1M∥NP,D1M=NP, 故四边形D1MPN是平行四边形,所以D1N∥MP, 又MP⊂平面CB1M,D1N⊄平面CB1M, 所以D1N∥平面CB1M. (2)因为A1A⊥平面ABCD,AD⊥AB,所以以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 第1讲　描述运动的基本概念   易得B(2,0,0),C(1,1,0),B1(2,0,2),M(0,1,1), 所以 =(1,-1,2), =(-1,0,1), =(0,0,2). 设平面CB1M与平面BB1C1C的法向量分别为m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2), 则   则z2=0,取x1=1,x2=1,得y1=3,z1=1,y2=1, 所以m=(1,3,1),n=(1,1,0), 第1讲　描述运动的基本概念 所以|cos<m,n>|= = = , 故平面CB1M与平面BB1C1C所成角的余弦值为 . (3)由(2)知 =(0,0,2),平面CB1M的一个法向量为m=(1,3,1),则点B到平面CB1M的距离为 =  = . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2024新课标Ⅱ,17]如图,平面四边形ABCD中,AB=8,CD=3,AD=5 ,∠ADC=90°,∠BAD=30°,点E,F满 足 =  , =  .将△AEF沿EF翻折至△PEF,使得PC=4 . (1)证明:EF⊥PD; (2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:由题知AE= AD=2 ,AF= AB=4,∠FAE=30°,∴EF2=AE2+AF2-2AE·AFcos 30°=4, ∴EF2+AE2=AF2,∴AE⊥EF,∴EF⊥PE, 又PE∩AE=E,PE,AE⊂平面PED, ∴EF⊥平面PED,又PD⊂平面PED,∴EF⊥PD. (2)连接EC,∵CD=3,DE=AD-AE=3 ,∠ADC=90°, ∴EC= = =6, 又PE=AE=2 ,PC=4 ,∴EC2+PE2=PC2,∴PE⊥EC,又PE⊥EF,EC∩EF=E,EC,EF⊂平面ABCD, ∴PE⊥平面ABCD.又ED⊂平面ABCD,∴PE⊥ED, 又PE⊥EF,EF⊥ED,∴PE,EF,ED两两垂直, ∴以E为原点,EF,ED,EP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图, 第1讲　描述运动的基本概念   则A(0,-2 ,0),F(2,0,0),C(3,3 ,0),D(0,3 ,0),P(0,0,2 ),∴ =(2,0,-2 ), = =(2,2 ,0), =(0,-3  ,2 ), =(3,0,0). 设m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2)分别为平面PBF,平面PCD的法向量, 则   令x1= ,则m=( ,-1,1).令y2=2,则n=(0,2,3). 第1讲　描述运动的基本概念 ∴cos<m,n>= = ,∴sin<m,n>= , ∴所求正弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2023全国乙理,19]如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=2 ,PB=PC= ,BP,AP,BC的中点分别 为D,E,O,AD= DO,点F在AC上,BF⊥AO. (1)证明:EF∥平面ADO①; (2)证明:平面ADO⊥平面BEF; (3)求二面角D-AO-C的正弦值②. ①关键点拨　证明F是AC的中点. ②心中有“数”　结合定义转化,利用向量法求解. 第1讲　描述运动的基本概念 真题降维     关键信息 信息判断 信息处理 D,E,O分别为对应线段的中点,且 BF⊥AO 容易确定DO∥PC,尝试证明EF∥PC 证明F为AC的中点,可根据点在线上设 =λ ,由 · =0,得到λ=  AB⊥BC,AB=2,BC=2 ,PB=PC = ,AD= DO 在△ABO和△AOD中计算,发现垂直关系 先确定AO⊥OD,即得AO⊥EF,结合AO⊥BF得到AO⊥平面BEF,进而证得结论 二面角D-AO-C的棱是AO,且BF ⊥AO 结合上面已证得的OD⊥AO,转化为求解cos< , > 确定基向量 , ,然后利用向量的数量积求解,再结合同角三角函数的基本关系式求正弦值 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明的关键是在平面ADO中寻找与EF平行的直线,观察题图,易知证明方向为“EF∥DO”, 由“中点D,E,O”可知要证F为AC的中点,而根据已知条件不易直接通过计算解决,故联想到使用向量 法解决. 证明:由题可知,| |=2 ,由点F在AC上,可设 =λ ,0≤λ≤1,∵ · =| || |cos∠BAC=2×2 ×  =4,BF⊥AO,∴ · =(λ - )· = | |2- | |2+  · =8λ-4=0,解得λ= , ∴F为AC的中点.由O,D分别为BC,BP的中点,得OD∥PC,同理得EF∥PC,∴EF∥OD, ∵OD⊂平面ADO,EF⊄平面ADO,∴EF∥平面ADO. (2)证明关键:寻找其中一个面内的某条直线与另一平面内的两条相交直线垂直,显然直线AO为“目标 直线”.已知AO⊥BF,再找另一垂直关系即可(AO⊥EF). 证明:∵O为BC的中点,∴OB= BC= ,又AB=2,AB⊥BC,∴AO= = =PC=2OD,又AD=  第1讲　描述运动的基本概念 OD,∴AD2=AO2+OD2,即AO⊥OD,∵EF∥OD,∴AO⊥EF,又∵BF⊥AO,BF∩EF=F,BF,EF⊂平面BEF,∴ AO⊥平面BEF,∵AO⊂平面ADO,∴平面ADO⊥平面BEF. (3)解题关键:容易在二面角的两个半平面内找到与棱垂直的直线,故考虑研究两直线的方向向量的夹 角. 设二面角D-AO-C的平面角为θ,由题图可知θ为钝角,∵AO⊥OD,AO⊥BF,∴θ为 和 的夹角. 由题意得| |= | |= ,| |= | |= ,  = ( + )= ( - +2 )= ( -3 ), · =0.在△OBD中,BD=OD= ,OB= ,则cos∠BOD = = ,∴ · =| || |·cos∠BOD= × × =1.∴cos θ= = = 第1讲　描述运动的基本概念  = =- ,∴sin θ= = ,∴二面角D-AO-C的正弦值为 . 解后反思　求二面角的方法有两个:①定义法;②向量法.对于本题,已知AO⊥OD,AO⊥BF,所以可平移 BF,然后利用定义求解,但步骤有点烦琐,从而可直接利用向量 与 的夹角解决.此外,本题也可通过 建系求解,计算相对烦琐. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2023全国甲理,18]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的 距离为1. (1)证明:A1C=AC; (2)已知AA1与BB1的距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:∵A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, ∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC. 又AC∩A1C=C,AC,A1C⊂平面AA1C1C, ∴BC⊥平面AA1C1C. 又∵BC⊂平面BCC1B1,∴平面BCC1B1⊥平面AA1C1C. 过A1作A1H⊥CC1,垂足为H,又平面BCC1B1⊥平面AA1C1C,平面BCC1B1∩平面AA1C1C=CC1,A1H⊂平面AA1 C1C,∴A1H⊥平面BCC1B1,∴A1H=1. 易知∠CA1C1=90°,在Rt△A1CC1中,CC1=2=2A1H, ∴H为CC1的中点,∴△A1CC1为等腰直角三角形, ∴A1C=A1C1.易知AC􀱀A1C1,∴A1C=AC. (2)以C为坐标原点,CA,CB,CA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.在平面BCC1B1内,过H 第1讲　描述运动的基本概念 作HQ∥BC,交BB1于点Q,连接A1Q,如图.   易知CC1⊥A1H,CC1⊥HQ,CC1􀱀BB1,又A1H∩HQ=H,A1H,HQ⊂平面A1HQ,∴CC1⊥平面A1HQ,BB1⊥平面 A1HQ,又A1Q⊂平面A1HQ,∴BB1⊥A1Q,∴A1Q=2,∴在Rt△A1HQ中,HQ= . 易知A1C=AC= ,则A( ,0,0),B1(- , , ),C1(- ,0, ),B(0, ,0),∴ =(-2 , , ), =(0, , 0), =(- ,0, ). 设平面BCC1B1的法向量为n=(x,y,z), 第1讲　描述运动的基本概念 则 取x=1,得n=(1,0,1). 设直线AB1与平面BCC1B1所成的角为θ, 则sin θ=|cos< ,n>|= =  = . ∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[新高考Ⅰ,20]如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线 为l. (1)证明:l⊥平面PDC; (2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD. 因为底面ABCD为正方形,所以AD⊥DC. 又DC∩PD=D,DC,PD⊂平面PDC, 所以AD⊥平面PDC. 因为AD∥BC,AD⊄平面PBC,所以AD∥平面PBC. 由已知得l∥AD,因此l⊥平面PDC. (2)以D为坐标原点, 的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),C(0,1,0),B (1,1,0),P(0,0,1),所以 =(0,1,0), =(1,1,-1). 第1讲　描述运动的基本概念   由(1)可设Q(a,0,1),则 =(a,0,1). 设n=(x,y,z)是平面QCD的法向量, 则 可取n=(-1,0,a). 所以cos<n, >= = . 设PB与平面QCD所成的角为θ, 第1讲　描述运动的基本概念 则sin θ= × =  . 因为  ≤ ,当且仅当a=1时,等号成立, 所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 考点2　已知空间角解决立体几何问题 8.[2025全国二卷,17]如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,点E在AB上,EF∥AD, AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为 60°. (1)证明:A'B∥平面CD'F; (2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:因为AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上,所以AE∥DF,FC∥EB,所以A'E∥D'F, 因为D'F⊂平面CD'F,A'E⊄平面CD'F,所以A'E∥平面CD'F, 因为FC∥EB,FC⊂平面CD'F,EB⊄平面CD'F,所以EB∥平面CD'F, 又EB∩A'E=E,EB,A'E⊂平面A'EB,所以平面A'EB∥平面CD'F, 又A'B⊂平面A'EB,所以A'B∥平面CD'F. (2)因为∠DAB=90°,所以AD⊥AB,又因为AB∥FC,EF∥AD,所以EF⊥FC, 以F为原点,FE,FC所在直线以及过F且垂直于平面BEFC的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如 图. 第1讲　描述运动的基本概念   易知D'F⊥EF,CF⊥EF,又平面EFD'A'与平面EFCB所成的二面角为60°,所以∠D'FC=60°. 设AD=1,易得F(0,0,0),B(1,2,0),C(0,1,0),D' ,E(1,0,0),所以 =(-1,-1,0), = , =(1,0, 0), = . 设平面BCD'的法向量为n=(x,y,z), 第1讲　描述运动的基本概念 则 所以  令y= ,则z=1,x=- ,则n=(- , ,1). 设平面EFD'A'的法向量为m=(x1,y1,z1), 则 所以  令y1= ,则z1=-1,所以m=(0, ,-1), 所以|cos<m,n>|= = = , 所以平面BCD'与平面EFD'A'所成的二面角的正弦值为 = . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2024新课标Ⅰ,17]如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB= . (1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC①; (2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为 ,求AD. ①心中有“数”　平行关系不易找时,转变思路先证垂直. ②关键点拨　合理表示出二面角的正弦值,可考虑坐标法、几何法、射影面积法等.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:因为PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AD,又因为AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PA ⊂平面PAB,所以AD⊥平面PAB,又AB⊂平面PAB,所以AD⊥AB. 在△ABC中,AB= ,BC=1,AC=2,则AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC,因为A,B,C,D四点共面(易错点), (在空间中,垂直于同一条直线的两直线不一定平行,只有在共面的情况下才能得到两直线平行的结论, 防止遗漏关键条件“四点共面”而失分) 所以AD∥BC,又因为BC⊂平面PBC,AD⊄平面PBC,所以AD∥平面PBC. (2)以D为原点,直线DA,DC分别为x,y轴,过点D作与平面ABCD垂直的直线为z轴(方法技巧), (线线垂直与线面垂直的垂足不重合时,一般通过“平移”来处理) 建立空间直角坐标系,如图所示. 第1讲　描述运动的基本概念   则Dz∥AP,令AD=t,得A(t,0,0),P(t,0,2),D(0,0,0), 因此DC= = ,则C(0, ,0), 所以 =(-t, ,0), =(0,0,2), =(t,0,2), =(0, ,0). 设平面ACP的法向量为n1=(x1,y1,z1), 所以 故z1=0,不妨取x1= ,则y1=t,所以n1=( ,t,0), 第1讲　描述运动的基本概念 设平面CPD的法向量为n2=(x2,y2,z2), 所以 故y2=0,不妨取z2=t,则x2=-2,所以n2=(-2,0,t), 因为二面角A-CP-D的正弦值为 , 由图形知该二面角为锐角,所以其余弦值为 , 所以 =|cos<n1,n2>|= = ,解得t= (舍负),所以AD= . 第1讲　描述运动的基本概念 考点3　用空间向量解决探索性问题 10.[北京高考,16]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E 为PD的中点,点F在PC上,且 = . (1)求证:CD⊥平面PAD; (2)求二面角F-AE-P的余弦值; (3)设点G在PB上,且 = .判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.又因为AD⊥CD,且AD∩PA=A,AD, PA⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD. (2)过A作AD的垂线交BC于点M. 因为PA⊥平面ABCD,AM,AD⊂平面ABCD, 所以PA⊥AM,PA⊥AD. 如图,建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1).   第1讲　描述运动的基本概念 所以 =(0,1,1), =(2,2,-2), =(0,0,2). 所以 =  = , = + = . 设平面AEF的法向量为n=(x,y,z), 则  令z=1,则y=-1,x=-1,所以n=(-1,-1,1). 易知平面PAD的一个法向量p=(1,0,0). 所以cos<n,p>= =- . 由图知,二面角F-AE-P为锐二面角, 第1讲　描述运动的基本概念 所以其余弦值为 . (3)直线AG在平面AEF内.理由如下: 因为点G在PB上,且 = , =(2,-1,-2), 所以 =  = , = + = . 由(2)知,平面AEF的一个法向量为n=(-1,-1,1). 因为 ·n=- + + =0, 所以直线AG在平面AEF内. 第1讲　描述运动的基本概念 强基计划 11.[2025重庆高中数学联赛]四面体A-BCD满足AB⊥BC,BC⊥CD,CD⊥AB,AB=BC=CD=1,设AB,BC,CD 的中点分别为L,M,N,则点M到直线LN的距离为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　根据题意,以点B为原点, , 的方向分别为x轴、y轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标 系,连接LM,   则L ,M ,N 0,1,  ,所以 = , = - ,1,  , 所以点M到直线LN的距离d= = . 第1讲　描述运动的基本概念 $