第1章 08-专题强化练2 空间几何体中的建系设点方法与技巧（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何，通过专题专项练引入三棱柱、四棱锥等实例，从基础建系技巧（如共顶点垂直棱、线面垂直）到复杂几何体（斜棱柱、棱台）应用，构建前后衔接的学习支架。 其亮点是“方法技巧+名师支招+例题解析”结合，系统总结5种建系方法及悬空点坐标求法，例题覆盖多种几何体，培养学生空间观念和推理能力，帮助学生用数学语言表达几何关系，提升解题能力，为教师提供系统教学资源。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 专题强化练2　空间几何体中的建系设点方法与技巧 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2026吉林白城第一中学月考]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=4,点A1在底面 ABC内的射影为BC的中点,D为B1C1的中点. (1)证明:A1D⊥平面A1BC; (2)求二面角C-A1B-B1的正弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:如图,设O为A1在底面ABC内的射影,连接A1O,AO,OD,则A1O⊥平面ABC. 因为AO⊂平面ABC,所以AO⊥OA1,因为O为BC的中点,AB=AC,所以AO⊥BC, 因为BC∩OA1=O,BC⊂平面A1BC,OA1⊂平面A1BC,所以AO⊥平面A1BC. 又D为B1C1的中点,所以OD∥CC1且OD=CC1,则OD∥AA1且OD=AA1,所以四边形AODA1为平行四边形, 所以AO∥A1D,所以A1D⊥平面A1BC.   (2)由(1)及题意,可建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0). 第1讲　描述运动的基本概念 因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=4,所以A1(0,0, ),A( ,0,0),B(0, ,0), 则 =( ,0,0), =(0,- , ), =(- ,0, ). 由(1)知AO⊥平面A1BC,则 =( ,0,0)是平面A1BC的一个法向量, 因为AA1∥BB1,且AA1=BB1,所以 = =(- ,0, ). 设平面A1BB1的法向量为m=(x,y,z),则 即  取z=1,得x=y= ,所以m=( , ,1),则cos<m, >= = , 所以二面角C-A1B-B1的正弦值为 = . 第1讲　描述运动的基本概念 方法技巧 常见的建立空间直角坐标系的技巧 1.利用共顶点且相互垂直的三条棱建系,如图1. 2.利用线面垂直建系,如图2. 3.利用面面垂直建系,如图3. 4.利用正棱锥的底面中心与高所在直线建系,如图4. 5.利用图形中的对称关系建系.图形中有一定的对称关系 (如正三棱柱、正四棱柱等)时,利用图形自身的对称性可 建立空间直角坐标系. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026广东东莞四校联考]如图,PC⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB⊥BC,PC=2,AD=CD= ,点F在线段PD上 且满足CF⊥PD,点E在线段PA上且满足 =λ (0<λ<1),连接EF. (1)证明:CF⊥平面PAD; (2)若CE⊥PD,求λ的值; (3)若存在λ,使直线BE与平面PAC所成的角为 ,求AB的长的取值范围.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:∵PC⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴PC⊥AD, 又∵AD⊥CD,PC∩CD=C,PC,CD⊂平面PCD,∴AD⊥平面PCD, ∵CF⊂平面PCD,∴AD⊥CF, 又∵CF⊥PD,AD∩PD=D,AD,PD⊂平面PAD,∴CF⊥平面PAD. (2)由(1)可知CF⊥PD,又CE⊥PD,CE∩CF=C,CE,CF⊂平面CEF, ∴PD⊥平面CEF,又∵EF⊂平面CEF, ∴PD⊥EF, 由(1)可知,AD⊥PD,∴AD∥EF. 则△PEF与△PAD相似,则 = , 在Rt△PCD中,PC=2,CD= , 第1讲　描述运动的基本概念 ∴DP= , ∴DF=CDcos∠PDC= × = , ∴λ= = = . (3)以B为原点,BC,BA所在直线分别为x轴,y轴,过点B且垂直于平面BAC的直线为z轴,建立如图所示的空 间直角坐标系.   ∵AD⊥CD,AD=CD= ,∴AC= =2,不妨设AB=a,BC=b,a>0,b>0, ∵AB⊥BC,∴AB2+BC2=AC2,即a2+b2=4,则b2=4-a2>0,故0<a2<4(*). 第1讲　描述运动的基本概念 易得B(0,0,0),A(0,a,0),C(b,0,0),P(b,0,2),则 =(-b,a,0), =(0,0,2), =(b,-a,2), 设E(x,y,z),则 =(x,y-a,z), 由 =λ 可得  则E(bλ,(1-λ)a,2λ), ∴ =(bλ,(1-λ)a,2λ),0<λ<1, 设平面PAC的法向量为n=(x1,y1,z1), 于是 所以  则z1=0,令x1=a,得y1=b,故n=(a,b,0),∴|n|= =2, 又| |=  第1讲　描述运动的基本概念 =  = , ∴sin  =|cos< ,n>|= = = ,结合a2+b2=4,化简得24λ2-6a2λ+a4-a2=0, 设f(λ)=24λ2-6a2λ+a4-a2,0<λ<1,(构造函数,通过研究函数的性质来研究动点的变化) ∵要存在λ,使直线BE与平面PAC所成的角为 ,∴f(λ)在(0,1)上有零点. 易知函数f(λ)在R上的图象的对称轴方程为λ= ,结合(*)知0< < ,故f(1)>f(0), 又f(1)=a4-7a2+24= + >0, ∴只需满足Δ=(-6a2)2-4×24×(a4-a2)=-60a4+96a2≥0,∴0<a≤ , ∴AB的长的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 名师支招　斜棱柱(锥)垂线(面)型建系时从以下方面思考:如果存在下底面的垂线,那么可直接将垂线 (或其平行线)作为z轴,在下底面内寻找或者作出一对相互垂直的直线作为x,y轴建系.此类坐标系建立 的难点是分析“悬空”的点的坐标.悬空点的坐标可以从以下角度求得:①寻找悬空点在各坐标平面内 的射影,求得射影点的坐标以及两点间的距离;②借助相等向量,寻找以悬空点为起点或终点的向量在 各坐标平面内的平行于坐标轴的相等向量,即可计算出悬空点的坐标. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026山西太原联考]在四棱锥E-ABCD中,ED⊥平面EBC,AD=ED,在底面ABCD中,AD∥BC,∠BAD= ∠CBA=90°,AB=BC=2AD. (1)若点F在线段BC上,试确定F的位置,使平面DEF⊥平面ABCD,并给出证明; (2)求二面角A-EB-C的余弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当F是BC的中点时,平面DEF⊥平面ABCD.证明如下:由F是BC的中点,得BF= BC,又AD∥BC, BC=2AD,所以AD∥BF,AD=BF,则四边形ADFB是平行四边形.根据∠BAD=∠CBA=90°,得四边形ADFB 是矩形,故BC⊥DF.因为ED⊥平面EBC,BC⊂平面EBC,所以BC⊥ED,因为DF∩ED=D,DF,ED⊂平面 DEF,所以BC⊥平面DEF,又BC⊂平面ABCD,所以平面DEF⊥平面ABCD. (2)结合(1)中结论,不妨令F为BC的中点,过点E作EO⊥DF于点O,因为平面DEF⊥平面ABCD,平面DEF ∩平面ABCD=DF,所以EO⊥平面ABCD, 以直线OF为x轴,直线OE为z轴,平面ABCD内过点O且垂直于DF的直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图 所示,   第1讲　描述运动的基本概念 设ED=AD=1,则AB=BC=2,因为ED⊥平面EBC,EF⊂平面EBC,所以ED⊥EF, 在Rt△DEF中,根据ED=1,DF=2,可得EF= ,EO= ,OD= ,OF= , 则E ,A ,B  ,1,0 ,C ,D ,则 = , =(0,2,0), =(2,0,0), =  . 因为ED⊥平面EBC,所以 = 为平面EBC的一个法向量. 设平面EAB的法向量为n=(x,y,z),则 即 则x=0, 令z=2,则y= ,所以n=(0, ,2). 第1讲　描述运动的基本概念 则cos< ,n>= = = , 设二面角A-EB-C的大小为θ,由图可知θ> ,所以cos θ=- , 因此二面角A-EB-C的余弦值为- . 方法技巧　斜面型棱锥建系技巧:从棱锥的顶点向下底面作垂线,通过题中条件,寻找并计算出棱锥的 高,以垂线为z轴,再在垂足处构造或者寻找一对互相垂直的直线作为x,y轴来建立坐标系. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026四川成都石室中学月考]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,| |=| |=| |=2,∠A1AD=∠A1AB=  ,∠BAD= . (1)求平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积; (2)设四面体A1ABD的外接球球心为O,求点B到平面OB1C1的距离. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题得S四边形ABCD=4,设AA1与底面ABCD所成的角为θ,A1在底面内的射影为O1,连接A1O1,过A1作A1 E⊥AB于E,连接O1E, 因为∠A1AD=∠A1AB= ,所以O1一定在AC上,由几何关系易知AB⊥O1E.(点拨:实际上,AB⊥平面A1O1E) 在Rt△A1O1E中,A1E2=A1 +O1E2,即 =(2sin θ)2+ 2cos θ·sin   2,又sin2θ+cos2θ=1, 故联立可解得sin θ= (舍负),所以此平行六面体的高A1O1=2× = , 所以此平行六面体的体积为4 . 第1讲　描述运动的基本概念   (2)连接BO1,DO1.由(1)可得| |= ,则| |= = ,又AC=2 , 所以O1为线段AC的中点, 则| |=| |=| |=| |= , 所以四面体A1ABD的外接球球心O与点O1重合,以O1为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 第1讲　描述运动的基本概念   则O(0,0,0),C1(-2 ,0, ),A( ,0,0),A1(0,0, ),D(0,- ,0), 所以 =(-2 ,0, ), = =(- ,- ,0), = =(- ,0, ), 设平面OB1C1的法向量为n=(x,y,z),则  取x=1,得y=-1,z=2, 所以n=(1,-1,2), 所以点B到平面OB1C1的距离d= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 名师支招　无垂面、垂线的斜棱柱,可利用其本身的结构特点(对称性等)来建系,如平行六面体型建系 时,可以利用平行六面体的特殊性,若平行六面体的某条侧棱和底面内与其有公共点的相邻两边所成的 角相等,则该侧棱在底面内的投影所在的直线是底面内与其有公共点的相邻两边所成角的角平分线所 在的直线,此时可以选侧棱上合适的点,作其在底面内的射影,并以这两点所连直线为z轴建系. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026安徽宿州宿城一中月考]如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,上、下底面是边长分别为4和6的等边三 角形,AA1⊥平面ABC,设平面AB1C1∩平面ABC=l,点E,F分别在直线l和直线BB1上,且满足EF⊥l,EF⊥BB1. (1)证明:EF⊥平面BCC1B1; (2)若直线EF和平面ABC所成角的余弦值为 ,求该三棱台的体积.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:在三棱台ABC-A1B1C1中,B1C1∥平面ABC, 因为B1C1⊂平面AB1C1,且平面AB1C1∩平面ABC=l,所以B1C1∥l, 因为EF⊥l,所以EF⊥B1C1, 所以EF⊥BC, 又EF⊥BB1,BC∩BB1=B,BC,BB1⊂平面BCC1B1, 所以EF⊥平面BCC1B1. (2)取BC的中点M,连接AM,以A为原点,直线AM为y轴,直线AA1为z轴,过点A且垂直于Ayz平面的直线为x 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,设三棱台的高为h,   第1讲　描述运动的基本概念 则B(3,3 ,0),B1(2,2 ,h),C(-3,3 ,0),则 =(6,0,0), =(-1,- ,h), 设平面BCC1B1的法向量为n=(x,y,z), 则 即  令z= ,可得平面BCC1B1的一个法向量为n=(0,h, ), 易得平面ABC的一个法向量为(0,0,1),记m=(0,0,1), 易得m·n= ,|n|= ,|m|=1, 所以cos<m,n>= = , 设直线EF与平面ABC所成的角为θ, 由cos θ= ,得sin θ= , 第1讲　描述运动的基本概念 由(1)知 ∥n,所以sin θ=|cos<m,n>|= = ,解得h= (舍负), 所以该三棱台的体积V= h(S△ABC+ + )=19 . 名师支招　正棱台型几何体的建系较简单,一般是以下底面正多边形的中心为原点,上、下底面中心的 连线为z轴建系.对于非正棱台型几何体,如有垂面或者垂线,则可参考垂面垂线型建系思维,无垂面、垂 线时,则可参考斜面型棱锥的建系思维. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026陕西榆林阶段检测]如图所示,在多面体ABCDEF中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,侧 面ABEF为菱形,平面ABEF⊥平面ABCD,M为棱BE的中点. (1)若N为DE的中点,求证:MN∥平面ABCD; (2)若AB=BC= AD,∠EBA=60°,求平面MAD与平面EFD夹角的余弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:连接BD,因为M,N分别为BE,DE的中点,所以MN为△EBD的中位线,所以MN∥BD, 又MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD. (2)取AB的中点O,连接OE,AE, 因为侧面ABEF为菱形,且∠EBA=60°, 所以△EBA为等边三角形,所以OE⊥AB, 又因为平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,OE⊂平面ABEF,所以OE⊥平面ABCD, 过O作AB的垂线,交BD于H, 以O为坐标原点,OH,OA,OE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示,   第1讲　描述运动的基本概念 设AD=4,则AB=BC= AD=2,故E(0,0, ),D(4,1,0),A(0,1,0),F(0,2, ),M , 则 = , = , =(0,2,0), =(4,1,- ), 设平面MAD的法向量为m=(x1,y1,z1),则  即 取y1=1,可得m=(0,1, ), 设平面EFD的法向量为n=(x2,y2,z2), 则  第1讲　描述运动的基本概念 即  取z2=4 ,可得n=(3,0,4 ), 则cos<m,n>= = , 故平面MAD与平面EFD夹角的余弦值为 . 方法技巧 不规则几何体建系技巧 1.若有垂面或垂线,则可参考垂面垂线型建系思维; 2.若无垂线和垂面,则可以通过选择几个合适的点,“切割出”棱锥,从而参考斜面型棱锥的建系思维. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026浙江舟山五校联考]定义:若一个四面体ABCD的三组对棱分别相等(即AB=CD,AC=BD,AD=BC), 则称该四面体为空间菱形.如图,已知空间菱形ABCD中,AB=a,AC=AD= . (1)若平面ABC⊥平面ABD,求实数a的值; (2)在(1)的条件下,求该空间菱形ABCD的体积; (3)若a= ,那么在棱CD上是否存在一点P,使得平面ABP与平面ABC的夹角为 ?若存在,求出 的 值;若不存在,请说明理由.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)取AB的中点E,连接CE,DE, 因为四面体ABCD为空间菱形,所以AC=AD=BD=BC= ,AB=CD=a, 根据等腰三角形的性质可知CE⊥AB,DE⊥AB,所以∠CED是二面角C-AB-D的平面角,当平面ABC⊥平 面ABD时,有∠CED= , 由CE⊥AB,DE⊥AB,AC=AD=BD=BC= ,AB=CD=a, 可得CE=DE= = ,因为∠CED= ,所以CE2+DE2=CD2,即3- +3- =a2,所以a=2.   第1讲　描述运动的基本概念 (2)由(1)可知CE⊥AB,DE⊥AB,因为DE∩CE=E,DE,CE⊂平面DEC,所以AB⊥平面DEC, 由(1)可知a=2,所以CE=DE= = , 所以空间菱形ABCD的体积为 S△ECD·AB= × × × ×2= . (3)把空间菱形ABCD放在长方体AGDF-OCHB中,并以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,   第1讲　描述运动的基本概念 设OB=b,OC=c,OA=d,由长方体的性质可得 ⇒  于是A ,B ,C ,D , 故 = , = 0, ,-  , 设棱CD上存在一点P,使得平面ABP与平面ABC的夹角为 ,设P(k,m,n),且 =λ (λ∈[0,1]),(关键点:根 据三点共线设参) 则 =λ  ,0,  ,可得P  λ, , λ ,所以 =  λ, , λ-  , 第1讲　描述运动的基本概念 设平面ABC的法向量为m=(x,y,z), 则 ⇒  取x=1,得m=(1, ,1), 设平面ABP的法向量为n=(x1,y1,z1), 则 ⇒   第1讲　描述运动的基本概念 取x1=1,得n=(1, (1-2λ),1), 因为平面ABP与平面ABC的夹角为 , 所以|cos<m,n>|= = ⇒ = ⇒3λ2-6λ+2=0,解得λ= , 因为λ∈[0,1], 所以λ= , 因此在棱CD上存在一点P,使得平面ABP与平面ABC的夹角为 ,此时 = . 第1讲　描述运动的基本概念 名师支招　无垂面垂线型几何体中缺少直接的线面垂直或面面垂直关系,需人为构造垂直条件.建系的 核心原则是寻找或添加辅助线(有时需补充图形),使三条两两垂直的直线交于一点,同时优先让坐标轴 经过更多的顶点或特殊点,以简化坐标计算. 第1讲　描述运动的基本概念 $