15.1.2 线段的垂直平分线 学历案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学学历案围绕线段垂直平分线的性质定理、判定定理及尺规作图展开，通过探究操作、推理证明、对比思辨、实操应用等学习支架，引导学生从直观猜想到逻辑论证，掌握核心知识与技能。 以学生为主体，通过动手测量猜想性质，独立证明培养推理能力，逆向思辨辨析判定与互逆命题，发展数学思维。教师示范作图原理、分层训练指导，帮助学生规范几何语言，提升几何建模与逻辑推理能力，落实核心素养。

第十五章 轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 学历案 教材：人教 2024 版八年级上册 P65-P68 课时：1 课时（40 分钟） 课型：新授课 一、学情分析 学生已掌握轴对称的定义与性质，明确对称轴是对称点连线的垂直平分线，具备全等三角形证明基础。本节课是轴对称性质的深化与落地，是后续等腰三角形、最短路径问题的核心铺垫。 学生易错点： 1. 混淆线段垂直平分线性质与判定的使用场景； 2. 几何推理逻辑颠倒、书写不规范； 3. 只会机械尺规作图，不理解作图原理； 4. 对互逆命题、互逆定理的真假性辨析不清。 二、学习目标 1. 通过课本探究操作，猜想并证明线段垂直平分线性质定理，熟练掌握规范几何推理语言。 2. 通过逆命题思辨，掌握线段垂直平分线判定定理，能准确区分性质与判定，理解互逆命题、互逆定理。 3. 掌握尺规作线段垂直平分线的方法，理解作图原理，会利用作图找轴对称图形对称轴、过点作垂线。 4. 能灵活选用定理进行计算、证明，突破易错题型，提升几何建模与逻辑推理能力。 三、学习重难点 重点：线段垂直平分线的性质定理、判定定理；尺规作线段垂直平分线 难点：性质与判定的灵活选用；互逆命题辨析；几何规范证明 四、学法指导 操作猜想→推理证明→对比思辨→实操建模→分层训练→错题复盘 五、课前预学（3 分钟） 阅读教材 P65内容，结合上节知识自主思考： 1. 线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离有何规律？ 2. 若一个点到线段两端距离相等，这个点具备怎样的位置特征？ 3. 预学困惑： 。 六、课中研学（31 分钟） 任务一：探究证明，掌握线段垂直平分线性质（12 分钟） 活动 1 课本探究・直观猜想 观察教材 P65 图 15.1-6，直线l垂直平分线段AB，点在直线l上。 PnA PnB 学生动手测量线段P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B……长度，可以发现，P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B，… ，如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等.自主猜想：线段垂直平分线上的点，到线段两端点距离相等。 活动 2 严谨证明 测量有误差，所以还要证明 已知：直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在直线l上 求证：PA=PB 学生独立利用全等三角形（SAS）完成证明，小组互查纠错，学生代表板书。 证明：当点P与点C不重合时， ∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． 归纳得出定理 线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 规范几何语言 ∵点P在线段AB的垂直平分线上 ∴PA=PB 即时口答巩固 1. 如图，在△ABC中，AC＝12，BC＝8，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是　20　． 2.如图，已知CD垂直平分AB，若AC＝4 cm，AD＝5 cm，则四边形ADBC的周长是　18　cm. 任务二：逆向思辨，掌握判定定理与互逆命题（13 分钟） 活动 3 逆向思考・生成判定 将性质定理的条件、结论互换，得到逆命题： 若一个点到一条线段两个端点的距离相等，则这个点在这条线段的垂直平分线上。 尝试证明逆命题 如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 提示：过点P 作线段AB 的垂线PC 板书完整过程 证明：过点P作PC⊥AB，垂足为点C．则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， PA =PB， PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．∴AC =BC． 又 PC⊥AB，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上． 归纳判定定理 线段垂直平分线判定定理：与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 规范几何语言 ∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 重难点升华・精准辨析（课堂核心突破） 1. 性质定理：由「点在线上」推「线段相等」，用于证线段相等； 2. 判定定理：由「线段相等」推「点在线上」，证点在垂直平分线上、证直线是垂直平分线。 活动 4 概念拓展・互逆命题与互逆定理 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 学生独立思考，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，说明结论.教师总结：这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 注意以下几点： 1. 互逆命题：题设和结论相互交换的两个命题，原命题为真，逆命题不一定为真； 2. 互逆定理：互为逆命题且均为真命题的一对定理。 3. 线段垂直平分线的性质与判定，是一组标准互逆定理（类比角平分线定理）。 课堂辨析抢答 判断推理依据，区分性质/判定： 1. ∵PA=PB，∴点P在AB垂直平分线上（ ） 2. ∵点P在AB垂直平分线上，∴PA=PB（ ） 任务三：尺规实操，掌握作图技能与原理（11 分钟） 活动 5 课本核心作图：作线段的垂直平分线 全体学生尺规同步操作，教师示范、精讲原理： 作图步骤 1. 分别以线段两端点A、B为圆心，以大于1/2的长度为半径画弧，两弧交于两点； 2. 过两交点作直线，该直线即为线段AB的垂直平分线。 原理升华：作图本质是利用垂直平分线判定定理，取两个到A、B距离相等的点，两点确定一条直线。 易错提醒：半径必须大于线段一半，否则圆弧无交点、作图失败。 拓展应用 利用尺规作图找轴对称图形对称轴、过直线外一点作已知直线的垂线。 任务四：应用 1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（　　　） A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ ACB 答案：A 2.如图所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm，则AC的长是 . 答案：10cm 3.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB和AB外一点C． 求作：AB的垂线，使它经过点C． 【作法】（1）以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E； （2）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F； （3）作直线CF，则直线CF就是所求作的垂线． 七、分层课堂巩固练习（3 分钟） 基础巩固 1. 教材 P67 练习 1：梳理线段AB、AC、CE的数量关系，推导AB+BD与DE的关系。 2. 教材 P67 练习 2：结合AB=AC、MB=MC，证明直线AM是线段BC的垂直平分线。 能力提升 3. 若点P在AB垂直平分线上，PB=10cm，则PA= cm。 4. 已知MA=MB、NA=NB，则直线MN与线段AB的位置关系是 。 拓展拔高 5. 在△ABC 中，AB、AC的垂直平分线交于点O，求证：OA=OB=OC。 八、课堂小结（2 分钟） 学生口述梳理本节课核心框架： 1. 两个互逆定理：性质（线上点→距相等）、判定（距相等→线上点）； 2. 一组核心概念：互逆命题、互逆定理（真假性不同步）； 3. 一项实操技能：尺规作线段垂直平分线，掌握作图原理与易错点； 4. 解题核心思路：证线段相等用性质，证点在线上用判定。 九、课后固学 1. 基础作业：教材习题 15.1 第 4、5、7 题，规范书写几何证明步骤。 2. 实操作业：独立完成尺规作图，保留痕迹：①线段垂直平分线；②过直线外一点作垂线。 3. 错题整理：梳理性质、判定混用易错题型，总结解题技巧。 4. 预习作业：预习 15.2 等腰三角形。 十、学后反思 1. 本节课已熟练掌握的知识与技能： 2. 仍存在的困惑与薄弱点： 3. 自我提升改进方向： 课堂板书 15.1.2 线段的垂直平分线 1. 性质：点在线上 ⇒ 距离相等（证线段相等） 2. 判定：距离相等 ⇒ 点在线上（证位置关系） 3. 互逆命题：原真逆未必真 4. 尺规作图：半径＞1/2线段长，两点定直线 学科网（北京）股份有限公司 $