专题04 代数式的规律探究（压轴题专项训练）数学新教材湘教版七年级上册

**基本信息** 以“特殊到一般、数形转化、函数建模”为核心，构建数字、图形、单项式规律探究的系统化方法体系，通过题型模版实现解题能力迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|三大核心+两条验证原则|统领规律探究思维框架| |数字类|5类+3变式|符号分离、拆项观察、周期定位|从基础数列到复杂数阵的抽象递进| |图形类|5类+3变式|数形结合、拆分建模、周期计算|从平面数量到立体计数的空间拓展| |单项式类|5类+3变式|系数指数分离、多变量关联|从单字母到多字母代数式的模型构建| |压轴挑战|24题|综合应用+高阶思维|融合跨模块方法，提升创新意识与推理能力|

专题04 代数式的规律探究 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数字类规律探索 类型二、图形类规律探索 类型三、单项式的规律探究 —攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 代数式规律探究问题是初中数学代数板块的核心重难点，所有题型均围绕“特殊到一般、数形转化、函数建模”三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是模式识别必须精准建立序号与项值的代数映射，二是通项猜想必须严格代入特殊值进行验证与检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数字类规律探索 典例1 已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，代入进行计算，可知数列3个为一次循环，按此规律即可进行求解． 【详解】解：由题意可知，时，，，，，…， 其规律是3个为一次循环， ∵， ∴ 题型模版 一、基础数列与符号交替型 题型特征：给出一串按特定规律排列的数字，常伴随正负号交替出现（如 ），要求求第 个数或特定项的值。 解题技巧： 符号与数值分离：首先观察符号规律，正负交替通常用 或 表示；其次单独观察数字绝对值的递增/递减规律。 标序号对比：给每一项标上序号 ，将数值与序号建立代数联系（如一次式、平方、乘方等）。 熟记经典模型：快速识别奇数列（ ）、偶数列（ ）、平方数（ ）、三角形数（ ）等常见数列。 二、复杂分数与拆项组合型 题型特征：给出一组分数序列（如 ），分子、分母或符号均存在变化规律。 解题技巧： 拆项观察法：将分数拆分为“符号”、“分子”、“分母”三个独立部分，分别寻找各自随序号 变化的规律。 统一格式：若部分数字未写成分数形式（如整数 可看作 ），需先将其统一为分数形式，再观察分子分母的变化趋势。 组合通项：将三部分规律合并，得出第 个分数的完整表达式。 三、等式与代数推理型 题型特征：给出一组具有相同结构的算式或等式（如 ），要求写出第 个等式或计算连加/连乘的值。 解题技巧： 对比左右两边：分别观察等式左边和右边随序号 变化的部分，将具体数字替换为含 的代数式。 错位相减法：遇到求和类问题（如等比数列求和），设原式为 ，将等式两边同乘公比后与原式相减，消去中间项求出总和。 裂项相消法：遇到分母为连续自然数乘积的分数求和（如 ），将其拆分为 ，相加后中间项会相互抵消，仅剩首尾两项。 四、乘方与尾数周期型 题型特征：给出包含乘方运算的数字序列（如 ），要求求结果的个位数字或末几位数字。 解题技巧： 列举找周期：耐心计算出前几次乘方的结果，观察尾数是否出现循环（如 的幂次尾数按 循环，周期为 ）。 除法求余定位：用目标指数除以周期长度，根据余数确定其在循环周期中的具体位置。 整除处理：若刚好整除（余数为 ），则对应周期内的最后一个数字。 五、数阵与日历规律型 题型特征：将数字按特定形状（如杨辉三角、正方形数阵、日历九宫格）排列，要求寻找特定位置的数字或区域内数字之和。 解题技巧： 设元代数化：设定一个关键位置的数字为未知数（如中心数 或左上角数），利用数阵中横向或纵向的等差关系，用含 的代数式表示其他位置的数。 边界值突破：优先寻找每一行（或每一层）的最后一个数字（如平方数、三角形数），以此作为定位基准。 运算化简：对方框内所有数进行求和或比较，将代数式化简，通常会得到与未知数无关的常数或简单的倍数关系。 变式1-1（1）有一列数2，9，8，2，6，…从第三个数起，每个数都是前面两个数乘积的个位数字．这列数中的第2012个数是( )． （2）1，8，27，64，…这列数中第n个数是( )． 【答案】 4 【分析】（1）根据规则写出数列，找到循环规律，通过计算余数确定第2012个数； （2）分析每个数和对应序号的关系，推导第n个数的表达式。 【详解】解：（1）按照题目规则写出数列找循环：前两个数是，，从第三个数起依次计算：，个位是，即第三个数是；，个位是，即第四个数是；，个位是，即第五个数是；，个位是，即第六个数是；，个位是，即第七个数是；，个位是，即第八个数是；，个位是，即第九个数是，开始重复前面第三个数的结果；因此，去掉前个不参与循环的数，循环节为，长度为。计算：，，没有余数，因此第个数对应循环节的最后一个数，即； （2）观察数列规律：第个数为，第个数为，第个数为，第个数为，以此类推，第个数为． 变式1-2所有数位上的数字之和为的数被称为“整十数”，所有整十数从小到大排列，是第________个整十数． 【答案】 【分析】分情况讨论：该数为一位数，两位数，三位数，四位数时，根据“整十数”的定义求解即可． 【详解】解：只需统计不超过且各位数字和为的正整数个数（即的序号）． 按位数分类： （1）一位数，数字最大为，和不可能等于，共个， （2）两位数，设十位为、个位为，则， 可取，，……，，对应，，……，，共个（，，…，）； （3）三位数，设百位为，十位为、个位为， 由题意得，即， 对固定的，， 为的非负整数对， 解数为： 解数 合计个； （4）四位数（不超过） ①千位为（即）后三位和需为， 即，，为且和为， 解数同上为个， ②千位为且不超过， 设数为，需且数值， ，， 由得，，，， 对应，，， ：此时该四位数，不符合要求． 共个：，，； 总计． 变式1-3 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，那么第n个三角形数是________． 【答案】 【分析】观察已知三角形数的变化规律，可得第个三角形数是从1到的连续正整数的和，计算求和即可得到结果． 【详解】解：第一个三角形数为 ， 第二个三角形数为 ， 第三个三角形数为 ， 第四个三角形数为 ， 依此类推，可得第个三角形数为 ． 类型二、图形类规律探索 典例2 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第个图形是正方形，第个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第个图形，…，则第个图形中正方形的个数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据前个图形的正方形数量，归纳出通用规律表达式，再把代入求值． 【详解】解：根据题意可知， 第个图形中正方形的个数为个， 第个图形中正方形的个数为个， 第个图形中正方形的个数为个， 则第个图形中正方形的个数为个， 故第个图形中正方形的个数为个． 题型模版 一、几何图形数量递增型 题型特征：给出由点、线段、三角形或正方形等基本图形按规律拼接而成的系列图案，要求探究第 个图形中某种基本图形的总数量。 解题技巧： 数形结合：先计算出前几个图形（如 ）的具体数量，寻找相邻图形之间的数量差（常为等差数列）。 拆分观察：将复杂图形拆分为“固定不变的部分”和“随 增加的部分”，分别寻找规律。 建立模型：若每次增加的数量相同，通常为一次函数模型（如 ）；若增加的数量也在递增，通常为二次函数模型（如 ）。 二、数表与数字排列型 题型特征：将数字按特定形状（如三角形、正方形、螺旋形）排列，要求寻找特定位置上的数字，或某一行/列的数字之和。 解题技巧： 找边界值：优先寻找每一行（或每一层）的最后一个数字（或第一个数字），这通常是解题的突破口（如平方数、三角形数）。 行列定位：明确目标数字所在的行数和列数，利用行数和列数的代数式来表示该数字。 方向判断：注意数字排列的方向（如蛇形排列、顺时针/逆时针），根据奇偶性判断增减趋势。 三、图形周长与面积变化型 题型特征：给出图形不断叠加或向外扩展的规律，要求探究第 个图形的周长或面积。 解题技巧： 整体与局部：观察每次增加一个单元后，周长或面积增加了多少。 重叠扣除：在计算拼接图形的周长时，务必注意内部重合的边不计入周长，需从总边数中减去重叠部分。 公式套用：面积通常与图形个数的倍数直接相关，周长则需结合图形外围的轮廓特征列出代数式。 四、颜色与周期性变换型 题型特征：图形或棋子按一定的颜色规律（如黑白交替、红黄蓝循环）排列，要求判断第 个图形的颜色或某种颜色的总数。 解题技巧： 确定周期：找出一个完整的颜色循环包含几个图形（周期长度 ）。 除法求余：用目标序号 除以周期 ，根据余数确定其在周期中的对应颜色。 整除计算：若求某种颜色的总数，用总个数除以周期，得到完整周期的个数，再乘以每个周期中该颜色的数量，最后加上余数部分中该颜色的数量。 五、立体图形展开与计数型 题型特征：由小正方体堆叠而成的立体图形，要求探究第 层或第 个立体图形中小正方体的总数或可见面的数量。 解题技巧： 分层计数：将立体图形按层拆解，分别计算每一层的小正方体个数，再求总和。 三视图辅助：通过主视图、左视图、俯视图来分析图形的结构，避免漏数被遮挡的正方体。 寻找通项：观察每层个数的规律（如 为平方数规律），利用求和公式得出总数。 变式2-1观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 【答案】C 【分析】观察可知第2个图在第1个图的基础上增加3个白色三角形，第3个图在第2个图的基础上增加个三角形，第4个图在第3个图的基础上增加个三角形，，第n个图在第个图的基础上增加个三角形，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个大三角形中白色三角形有个， 第②个大三角形中白色三角形有个， 第③个大三角形中白色三角形有个， ， 以此类推可知，第个大三角形中白色三角形有个， ∴第⑥个大三角形中白色的三角形有个． 变式2-2下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（     ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】B 【分析】观察图形可知，后一个图形比前一个图形多2张黑色正方形纸片，据此得出规律求解即可． 【详解】解：观察图形可知： 第①个图中有张； 第②个图中有张； 第③个图中有张； …… ∴第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为张． 变式2-3探索与思考． (1)你将要探索的是多边形内角和与多边形边数的关系．你可以利用三角形内角和为，在多边形内添一些辅助线，把多边形划分成多个三角形来计算．如图，分别算出几个多边形的内角和，从中找出规律． 你发现的多边形内角和与边数n的关系是：（     ）． (2)根据以上规律，可以算出五十边形的内角和是（     ）． 【答案】(1)边形内角和 (2) 【分析】（1）分别把四边形、五边形、六边形分割为三角形，即可发现它们的内角和等于三角形个数乘以，计算后可发现规律多边形内角和与边数n的关系是：n边形内角和为． （2）根据（1）的规律，把代入即可得五十边形的内角和． 【详解】（1）解：如图， ∵三角形内角和为， ∴四边形的内角和为：，其中， 五边形的内角和为：，其中， 六边形的内角和为：，其中， …… 观察发现，n边形内角和， ∴多边形内角和与边数n的关系是：n边形内角和． （2）解：由（1）得：多边形内角和与边数n的关系是：n边形内角和， ∴五十边形的内角和为：， ∴五十边形的内角和是． 类型三、单项式的规律探究 典例3 观察下列关于x的单项式，探究其规律：，…，按照上述规律，第1013个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，观察所给单项式，发现其系数及次数的变化规律即可解决问题． 【详解】解：∵，…， ∴第个单项式可表示为：， 当时，第个单项式是：． 故选C． 题型模版 初中数学“单项式规律探究”题型模板 1、 系数与字母分离观察型 题型特征：给出一组按规律排列的单项式序列，要求找出第 n个单项式。 解题技巧：将单项式拆解为“系数”、“字母”和“指数”三个部分分别观察。首先寻找系数绝对值的递增/递减规律及正负号交替规律；其次观察字母底数是否变化；最后分析字母指数的变化趋势。最后将三部分组合得出通项公式。 二、多变量指数关联型 题型特征：单项式包含两个或两个以上的字母，要求探究其排列规律。 解题技巧：分别独立观察每个字母的指数变化规律。特别注意挖掘各个字母指数之间的内在联系，例如观察“所有字母指数之和（即单项式的次数）”是否呈现等差数列规律，或者两个字母的指数之差是否为定值。 三、系数与次数联动型 题型特征：单项式的系数大小与其字母的指数存在某种固定的数学关系。 四、数表与图形排列型 题型特征：将一系列单项式按照特定的几何图形（如三角形、正方形阵列）或数表形式排列，要求寻找特定位置的单项式。 五、单项式运算迭代型 题型特征：给定一个初始单项式，规定一种重复的运算规则（如每次乘以 $-2x$），要求求经过多次运算后的结果或规律。 变式3-1斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如表．按此规律，当输入10时，输出结果为________． 输入 … 输出 … 【答案】 【分析】本题为单项式规律探究题. 结合斐波那契数列的特征，分别找出输出中系数、的次数、的次数的变化规律，即可求解. 【详解】解：根据表格中给出的输入输出数据，可得各部分的规律均满足： 从第3项开始，每一项等于前两项的和. ① 系数规律：输入时， ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为. ② 的次数规律： ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为. ③ 的次数规律： ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为. 综上，当输入时，输出结果为. 变式3-2观察下列单项式：，，，，，按此规律，可以得到第个单项式是___________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律探索，能根据所给单项式发现其系数及指数的变化规律是解题的关键．观察单项式序列的系数和指数的变化规律，系数为平方数且符号交替，指数与序号相同，由此得出第个单项式，进而得解． 【详解】解：第一个单项式：； 第二个单项式：； 第三个单项式：； 第四个单项式：； ， 因此第个单项式为． 当时，， 所以第个单项式为． 故答案为：． 变式3-3 观察下列关于的单项式，探究其规律：，．．．按照上述规律，第n个单项式表示为___________． 【答案】 【分析】本题考查单项式中的规律探究，观察可知，奇数位系数的符号为正，偶数位系数的符号为负，系数的绝对值为，的指数是从3开始的连续的奇数，据此进行作答即可． 【详解】解：观察可知，奇数位系数的符号为正，偶数位系数的符号为负，的指数是从3开始的连续的奇数， ∵， ， ， ∴第n个单项式的系数的绝对值为：， ∴第n个单项式表示为； 故答案为： 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．孟想和程真两同学玩扑克魔术，孟想将一副扑克牌（54张）理好后让程真从上往下取出所有第奇数张牌丢掉，然后再从剩下的牌中从上往下取出所有第奇数张牌丢掉，依次进行，直到剩下3张牌时，孟想对程真说“恭喜你得到一个985”，程真从上往下依次翻开果然是红桃9、红桃8、红桃5；请问：孟想在理牌时巧妙将这3张牌从上往下依次放在第几的位置（     ） A．12、24、48 B．16、32、48 C．16、36、54 D．32、36、48 【答案】B 【分析】每次丢弃奇数位牌后，剩余牌的初始位置为2的k次幂的倍数（k为丢弃次数），据此可推导剩余3张时的初始位置. 【详解】解：一副扑克牌共54张，每次从上往下丢弃第奇数张牌； ∵ 第1次丢弃后，剩余牌的初始位置为的倍数，共27张； 第2次丢弃后，剩余牌的初始位置为的倍数，共13张； 第3次丢弃后，剩余牌的初始位置为的倍数，共6张； 第4次丢弃后，剩余牌的初始位置为的倍数，共3张； ∴ 剩余3张从上到下的初始位置依次为，，. 2．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘加；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．如果对于正整数，经过步变换，第一次到达，就称为步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过个步骤变成，得，则下列结论错误的是（     ） A．当时， B．随着的增大，不一定也增大 C．若，则只能是 D．若，则只能是 【答案】D 【分析】对已知m的选项顺推计算步数，对已知n的选项逆推求m的可能值，结合“第一次到达1”的条件判断正误即可． 【详解】解：A、当时，变换过程为，共9步，即，故该选项正确，不符合题意； B、∵当时，变换过程为，共2步，即， 又∵当时，， ∴随着的增大，不一定也增大，故该选项正确，不符合题意； C、∵当时，即经过2步第一次到达1， ∴倒数第1步只能是（无正整数解）， ∴初始数只能是（无正整数解），故该选项正确，不符合题意； D、∵当时， ∴变换过程可以为，共5步；或，共5步， ∴不只能是，故该选项错误，符合题意． 3．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图所示，它揭示了（n为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论： ①展开式有项，系数和为；②的结果是； ③展开式中，系数最大为20；④的展开式中第三项的系数为190．其中正确的有（     ）   …… …… A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据杨辉三角的规律分别对四个结论进行判断即可． 【详解】解：验证结论①： ∵时，展开式有项，系数和为； 时，展开式有项，系数和为； 时，展开式有项，系数和为， ∴展开式有项，系数和为，结论①中系数和为，故错误； 验证结论②： ， 令，得，故②正确； 验证结论③： 根据杨辉三角系数规律，展开式各项系数为，展开式各项系数为， ∴展开式各项系数为，最大系数为，故③正确.； 验证结论④： 观察第三项系数规律： 时为， 时为， 时为， ∴展开式中第三项的系数为， 当时，第三项系数为，故④正确． 4．任取一个三位数作为起始数，把百位数字乘，若积不大于，则将积作为下一个数的百位数字，若积大于，则将积的两个数位上的数字之和作为下一个数的百位数字；将这个三位数的十位数字和个位数字均进行相同的操作，即完成第一次操作，得到下一个三位数．然后重复这个过程．以“”作为起始数，百位：，；十位：；个位：，第一次操作后得到的数是，，第次操作后得到的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照操作规则计算前几次操作的结果，找到循环周期，再通过计算余数确定第次操作的结果即可． 【详解】解：∵起始数为，由题知第次操作后得到的数为，对操作，，，，， ∴第次操作后得到，对操作，，，，，， ∴第次操作后得到，对操作，，，，，， ∴第次操作后得到，对操作，，，，，， ∴第次操作后得到，对操作，，，，， ∴第次操作后得到起始数， ∴操作结果每次为一个循环， ∵ ，余数为， ∴第次操作后得到的数与第次操作结果相同，为． 5．如图所示，将形状、大小完全相同的“▪”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“▪”的个数为，第2幅图形中“▪”的个数为，第3幅图形中“▪”的个数为，…，以此类推，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察图形中“▪”的个数，归纳出第幅图形中“▪”的个数的通项公式为，然后利用裂项相消法进行求和计算即可求解． 【详解】解：依题意，，，，，…∴ ∴ ． 6．如图1，连接等边三角形三边中点构成的小三角形，称为“中点等边三角形”（阴影部分），显然图1中有1个“中点等边三角形”；如图2，在图1中三个空白等边三角形中继续做“中点等边三角形”，可得图2中有4个“中点等边三角形”；如图3，在图2中9个空白等边三角形中继续做“中点等边三角形”，可知图3中有13个“中点等边三角形”，，依次类推，第5个图形中“中点等边三角形”的个数为（     ） A．120 B．121 C．122 D．123 【答案】B 【分析】根据给出的图形找出规律：第2个图形比第1个图形多3个；第3个图形比第2个图形多个，第4个图形比第3个图形多个；第5个图形比第4个图形多个，从而得出答案即可． 【详解】解：∵图1中有1个“中点等边三角形”， 图2中有个“中点等边三角形”， 图3中有个“中点等边三角形”， 图4中有个“中点等边三角形”， 图5中的 “中点等边三角形”个数为：（个）． 7．将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕……，如果对折8次，可以得到的折痕数为（     ） A．15 B．64 C．127 D．255 【答案】D 【分析】先找规律，总结出对折n次：折痕数：，问题得解． 【详解】先找规律： 对折1次：折痕数：（条）； 对折2次：折痕数：（条）； 对折3次：折痕数：（条）； 对折n次：折痕数：（条）； 当时：折痕数：（条）． 8．有一枚棋子放在图中号位置上，现按顺时针方向，第一次跳一步，跳到号位置；第二次跳两步，跳到号位置；第三次跳三步，又跳到号位置；……，这样一直进行下去，永远跳不到的位置序号是（     ） A．仅③ B．仅⑤ C．仅⑥ D．③或⑥ 【答案】D 【分析】依次算出每次落点找出循环规律，根据落点出现情况确定永远无法跳到的序号． 【详解】解：根据题意可知，棋子每次跳的位置依次为、、、、、、、、、、、、、、，...，每次为一个周期循环， 故永远跳不到的位置序号是③或⑥． 9．按一定规律排列的单项式：，，，，，，，则第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由给出的单项式得出规律： 根号下被开方数满足，单项式的符号满足， 则第n个单项式是． 10．观察下列单项式：，根据你发现的规律，第2025个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的规律探究，熟练掌握识别系数符号、数值和指数的变化模式并归纳出通用公式是解题的关键． 通过观察单项式的系数符号、系数数值和字母的指数，找出规律，进而推导出第个单项式的表达式，再代入求解． 【详解】解：∵第个单项式的系数符号为，系数数值为，指数为 ∴第个单项式为 当时， ∵为奇数， ∵系数数值为 ∵指数为 ∴第个单项式为 故选：B． 11．观察下列单项式，则第个单项式是__________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的规律问题． 观察单项式的符号、系数、的指数和的指数的变化规律．符号交替出现，系数是2的幂的倒数，的指数是连续的奇数，的指数也是连续的奇数，且与序号相关． 【详解】解：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， ……， 由此归纳，第个单项式为． 故答案为：． 12．已知整式，其中和为正整数，为非负整数，且，则满足条件的整式中的单项式有________个，满足条件的整式一共有________个． 【答案】 5 31 【分析】本题主要考查了整式的相关概念及分类讨论思想，熟练掌握根据条件对取值分类讨论并计算满足条件的整式个数是解题的关键．根据已知条件（为自然数，为正整数 ），对的可能取值进行分类讨论，分别计算不同值下满足条件的整式的个数，据此解答即可． 【详解】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴，， 满足条件的整式有，共1个， 当时，则， ∴，，，，， 满足条件的整式有，共5个， 当时，则， ∴，，，，，，，，，， 满足条件的整式共有：，，，，，，，，，，共10个， 当时，则， ∴，，，，，，，，，， 满足条件的整式有：，，，，，，，，，，共10个， 当时，则， ∴，，，，， 满足条件的整式有：，，，，，共5个， ∴满足条件的单项式有：，，，，，共5个； 满足条件的整式共有个． 故答案为：，． 13．观察下列单项式：，，，，…，则第个单项式是_____________ 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律题，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．根据已知单项式发现，系数为的次方，的次数是连续的奇数，的次数是连续的偶数，即可得到答案． 【详解】解：第1个单项式：， 第2个单项式， 第3个单项式， 第4个单项式， …… 观察发现，第个单项式是． 故答案为： 14．下表是一个改造的三阶幻方，表中已经给出3个数．请在空格中填入适当的数，使得每行、每列以及对角线上各数之和都等于27，则用这9个数可以构造出不同幻方的种数是________种． 10 13 12 【答案】8 【分析】先求出基础幻方，再通过基础幻方的旋转和翻转得到不同的幻方，即可． 【详解】解：如下表： a b 10 13 c d e f 12 根据题意得：， ， ， ，， ， 所以基础幻方为 6 11 10 13 9 5 8 7 12 顺时针旋转得到： 8 13 6 7 9 11 12 5 10 顺时针旋转得到： 12 7 8 5 9 13 10 11 6 顺时针旋转得到： 10 5 12 11 9 7 6 13 8 水平翻转（左右对称）得到： 10 11 6 5 9 13 12 7 8 水平翻转（左右对称）顺时针旋转得到： 12 5 10 7 9 11 8 13 6 水平翻转（左右对称）顺时针旋转得到： 8 7 12 13 9 5 6 11 10 水平翻转（左右对称）顺时针旋转得到： 6 13 8 11 9 7 10 5 12 所以用这9个数可以构造出不同幻方的种数是8种． 15．下表中，填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，________． 【答案】 【分析】由前三个图可发现四个数之间的规律如图所示： 【详解】解：由前三个图可知： 左下角的数， 右上角的数， ． 16．符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…… （2），，，，…… 利用以上规律计算： _______． 【答案】 【分析】根据题意可得（n为正整数），（m为大于1的正整数），据此规律求解即可． 【详解】解：∵，，，，……， ∴以此类推，可知（n为正整数）； ∵，，，，……， ∴以此类推，可知（m为大于1的正整数）； ∴ ． 17．把整数代入得到，称为第一次操作，再将作为的值代入得到，称为第二次操作，以此类推，若，经过第次操作后得到的结果是_________． 【答案】 【分析】先观察数字，再找出数字变化规律，最后按照规律写出数字． 【详解】解：根据题意，将代入中， ， ， ， ， ， ， 观察数据可知，从第二次开始和不断循环出现， ∵， ∴经过第次操作后得到的结果是． 18．如图，电子跳蚤游戏盘为，，，，如果电子跳蚤开始时在边上的点，．第一步跳蚤跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为（为正整数），则点与之间的距离为_____________． 【答案】 【分析】根据跳蚤的运动规则，找出其运动轨迹的规律．通过计算前几次落点的位置，发现跳蚤的运动具有周期性，进而判断点与点重合，最后求出点与之间的距离． 【详解】解：∵，， ∴， 第一步从到，，， 第二步从到，，， 第三步从到，，， 第四步从到，，， 第五步从到，，， 第六步从到，， 由此可知，点与点重合， 又∵， ∴点与点重合， ∴点与点之间的距离为． 19．观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则=________． 【答案】9803 【分析】根据图形的一般规律，找出第个的规律即可求解． 【详解】解：由题意可得：； ； ； ； ， 由此可知：第n个图形有：， ∴． 20．中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪，摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，宋代以后出现了笔算，在个位数划上斜线以表示负数，如表示，表示，则表示______ 【答案】 【详解】 解：根据题意，表示． 21．类比裂项相消： (1)猜想： ； (2)计算： ① ② 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据，，，得出一般规律即可得出； （2）①可根据（1）的结论进行解答； ②可类比（1）的裂项方法，将其通项分解后再进行计算． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴； （2）解：① ； ② ． 22．八年级下数学教材17页，你知道吗？The symbol 5! is called five factorial（5的阶乘），and meansThus，正整数的阶乘记作，即 ，利用阶乘的意义，我们可以得到 如： ， 闯关问题 (1) ； (2)化简：（结果用含阶乘的式子表示）． (3)求除以的余数； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）按阶乘定义直接计算乘积即可； （2）仿照题目给出的拆分方法，对每一项裂项后中间项抵消，得到化简结果； （3）先得出大于等于5的阶乘都是40的倍数，只需计算低于5阶的部分即可求出余数． 【详解】（1）解：根据阶乘定义得： ； （2）根据题意：对任意正整数，有： （3）当时， ∴所有的都是40的倍数，除以40余数为0， 将原式分组得： 所有含的项的和都是40的倍数，除以40余数为0， ∴计算剩余部分： ∴原式除以40的余数为． 23．很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【问题提出】如何利用图形几何意义的方法推证：？ 如图1，表示1个的正方形，即：，表示1个的正方形，与恰好可以拼成1个的正方形，因此：，，就可以表示2个的正方形，即：，而，，，恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：． (1)【尝试解决】如图2，请类比上述的推导方法，通过图形面积的几何意义进行推证：_________． (2)【类比归纳】请用上面的表示几何图形面积的方法探究：____________． (3)【拓展应用】根据以上结论，计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）类比题干面积拼接方法，、、对应图形面积之和恰好等于边长为的大正方形面积，计算边长平方得到结果． （2）由（1）的规律归纳，前个自然数立方和等于前个自然数和的平方求解即可． （3）先套用立方和公式把根号内转化为，开平方后计算到的和． 【详解】（1）解：如图， 表示1个的正方形，即：，表示1个的正方形，表示1个的正方形，与恰好可以拼成1个的正方形，与恰好可以拼成1个的正方形，与恰好可以拼成1个的正方形， 因此：，，就可以表示2个的正方形，即：，，，，，就可以表示3个的正方形，即：， 而，，，，，，，，恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：； （2）解：∵， ， ， ∴； （3）解： ． 24．【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题． (1)探究一：点阵等式规律 观察下面的点阵（图）和相应的等式： ①； ②； ③； ④；… ①填空：（     ）2； ②猜想：（     ）2（是正整数）． (2)探究二：平面密铺规律 如图，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有块正方形、块正三角形；第二层有块正方形、块正三角形；以此类推． ①第层中分别含有________块正方形和________块正三角形； ②第层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含的代数式表示）． (3)【应用拓展】 某市打算在一个新建广场中央，采用如图的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和块正方形地砖，若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计算过程． 【答案】(1)①5；② (2)①6，30；② (3)还需要600块正三角形地砖 【分析】（1）根据给出的等式进行推导即可得出结果； （2）观察可知，每一层均有6块正方形，后一层比前一层多12块正三角形，据此进行求解即可； （3）根据（2）中规律进行作答即可. 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； …， ∴；； （2）解：观察可知，每一层均有6块正方形，后一层比前一层多12块正三角形， ∴①第层中分别含有6块正方形和块正三角形； ②第层中分别含有6块正方形和块正三角形； （3）解：铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案10层； ∵铺设层需要正三角形地板砖的数量为：， ∴当时，． 故铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 代数式的规律探究 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数字类规律探索 类型二、图形类规律探索 类型三、单项式的规律探究 —攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 代数式规律探究问题是初中数学代数板块的核心重难点，所有题型均围绕“特殊到一般、数形转化、函数建模”三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是模式识别必须精准建立序号与项值的代数映射，二是通项猜想必须严格代入特殊值进行验证与检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数字类规律探索 典例1 已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 题型模版 一、基础数列与符号交替型 题型特征：给出一串按特定规律排列的数字，常伴随正负号交替出现（如 ），要求求第 个数或特定项的值。 解题技巧： 符号与数值分离：首先观察符号规律，正负交替通常用 或 表示；其次单独观察数字绝对值的递增/递减规律。 标序号对比：给每一项标上序号 ，将数值与序号建立代数联系（如一次式、平方、乘方等）。 熟记经典模型：快速识别奇数列（ ）、偶数列（ ）、平方数（ ）、三角形数（ ）等常见数列。 二、复杂分数与拆项组合型 题型特征：给出一组分数序列（如 ），分子、分母或符号均存在变化规律。 解题技巧： 拆项观察法：将分数拆分为“符号”、“分子”、“分母”三个独立部分，分别寻找各自随序号 变化的规律。 统一格式：若部分数字未写成分数形式（如整数 可看作 ），需先将其统一为分数形式，再观察分子分母的变化趋势。 组合通项：将三部分规律合并，得出第 个分数的完整表达式。 三、等式与代数推理型 题型特征：给出一组具有相同结构的算式或等式（如 ），要求写出第 个等式或计算连加/连乘的值。 解题技巧： 对比左右两边：分别观察等式左边和右边随序号 变化的部分，将具体数字替换为含 的代数式。 错位相减法：遇到求和类问题（如等比数列求和），设原式为 ，将等式两边同乘公比后与原式相减，消去中间项求出总和。 裂项相消法：遇到分母为连续自然数乘积的分数求和（如 ），将其拆分为 ，相加后中间项会相互抵消，仅剩首尾两项。 四、乘方与尾数周期型 题型特征：给出包含乘方运算的数字序列（如 ），要求求结果的个位数字或末几位数字。 解题技巧： 列举找周期：耐心计算出前几次乘方的结果，观察尾数是否出现循环（如 的幂次尾数按 循环，周期为 ）。 除法求余定位：用目标指数除以周期长度，根据余数确定其在循环周期中的具体位置。 整除处理：若刚好整除（余数为 ），则对应周期内的最后一个数字。 五、数阵与日历规律型 题型特征：将数字按特定形状（如杨辉三角、正方形数阵、日历九宫格）排列，要求寻找特定位置的数字或区域内数字之和。 解题技巧： 设元代数化：设定一个关键位置的数字为未知数（如中心数 或左上角数），利用数阵中横向或纵向的等差关系，用含 的代数式表示其他位置的数。 边界值突破：优先寻找每一行（或每一层）的最后一个数字（如平方数、三角形数），以此作为定位基准。 运算化简：对方框内所有数进行求和或比较，将代数式化简，通常会得到与未知数无关的常数或简单的倍数关系。 变式1-1（1）有一列数2，9，8，2，6，…从第三个数起，每个数都是前面两个数乘积的个位数字．这列数中的第2012个数是( )． （2）1，8，27，64，…这列数中第n个数是( )． 变式1-2所有数位上的数字之和为的数被称为“整十数”，所有整十数从小到大排列，是第________个整十数． 变式1-3 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，那么第n个三角形数是________． 类型二、图形类规律探索 典例2 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第个图形是正方形，第个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第个图形，…，则第个图形中正方形的个数（     ） A． B． C． D． 题型模版 一、几何图形数量递增型 题型特征：给出由点、线段、三角形或正方形等基本图形按规律拼接而成的系列图案，要求探究第 个图形中某种基本图形的总数量。 解题技巧： 数形结合：先计算出前几个图形（如 ）的具体数量，寻找相邻图形之间的数量差（常为等差数列）。 拆分观察：将复杂图形拆分为“固定不变的部分”和“随 增加的部分”，分别寻找规律。 建立模型：若每次增加的数量相同，通常为一次函数模型（如 ）；若增加的数量也在递增，通常为二次函数模型（如 ）。 二、数表与数字排列型 题型特征：将数字按特定形状（如三角形、正方形、螺旋形）排列，要求寻找特定位置上的数字，或某一行/列的数字之和。 解题技巧： 找边界值：优先寻找每一行（或每一层）的最后一个数字（或第一个数字），这通常是解题的突破口（如平方数、三角形数）。 行列定位：明确目标数字所在的行数和列数，利用行数和列数的代数式来表示该数字。 方向判断：注意数字排列的方向（如蛇形排列、顺时针/逆时针），根据奇偶性判断增减趋势。 三、图形周长与面积变化型 题型特征：给出图形不断叠加或向外扩展的规律，要求探究第 个图形的周长或面积。 解题技巧： 整体与局部：观察每次增加一个单元后，周长或面积增加了多少。 重叠扣除：在计算拼接图形的周长时，务必注意内部重合的边不计入周长，需从总边数中减去重叠部分。 公式套用：面积通常与图形个数的倍数直接相关，周长则需结合图形外围的轮廓特征列出代数式。 四、颜色与周期性变换型 题型特征：图形或棋子按一定的颜色规律（如黑白交替、红黄蓝循环）排列，要求判断第 个图形的颜色或某种颜色的总数。 解题技巧： 确定周期：找出一个完整的颜色循环包含几个图形（周期长度 ）。 除法求余：用目标序号 除以周期 ，根据余数确定其在周期中的对应颜色。 整除计算：若求某种颜色的总数，用总个数除以周期，得到完整周期的个数，再乘以每个周期中该颜色的数量，最后加上余数部分中该颜色的数量。 五、立体图形展开与计数型 题型特征：由小正方体堆叠而成的立体图形，要求探究第 层或第 个立体图形中小正方体的总数或可见面的数量。 解题技巧： 分层计数：将立体图形按层拆解，分别计算每一层的小正方体个数，再求总和。 三视图辅助：通过主视图、左视图、俯视图来分析图形的结构，避免漏数被遮挡的正方体。 寻找通项：观察每层个数的规律（如 为平方数规律），利用求和公式得出总数。 变式2-1观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 变式2-2下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（     ） A．11 B．13 C．15 D．17 变式2-3探索与思考． (1)你将要探索的是多边形内角和与多边形边数的关系．你可以利用三角形内角和为，在多边形内添一些辅助线，把多边形划分成多个三角形来计算．如图，分别算出几个多边形的内角和，从中找出规律． 你发现的多边形内角和与边数n的关系是：（     ）． (2) 根据以上规律，可以算出五十边形的内角和是（     ）． 类型三、单项式的规律探究 典例3 观察下列关于x的单项式，探究其规律：，…，按照上述规律，第1013个单项式是（   ） A． B． C． D． 题型模版 初中数学“单项式规律探究”题型模板 1、 系数与字母分离观察型 题型特征：给出一组按规律排列的单项式序列，要求找出第 n个单项式。 解题技巧：将单项式拆解为“系数”、“字母”和“指数”三个部分分别观察。首先寻找系数绝对值的递增/递减规律及正负号交替规律；其次观察字母底数是否变化；最后分析字母指数的变化趋势。最后将三部分组合得出通项公式。 二、多变量指数关联型 题型特征：单项式包含两个或两个以上的字母，要求探究其排列规律。 解题技巧：分别独立观察每个字母的指数变化规律。特别注意挖掘各个字母指数之间的内在联系，例如观察“所有字母指数之和（即单项式的次数）”是否呈现等差数列规律，或者两个字母的指数之差是否为定值。 三、系数与次数联动型 题型特征：单项式的系数大小与其字母的指数存在某种固定的数学关系。 四、数表与图形排列型 题型特征：将一系列单项式按照特定的几何图形（如三角形、正方形阵列）或数表形式排列，要求寻找特定位置的单项式。 五、单项式运算迭代型 题型特征：给定一个初始单项式，规定一种重复的运算规则（如每次乘以 $-2x$），要求求经过多次运算后的结果或规律。 变式3-1斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如表．按此规律，当输入10时，输出结果为________． 输入 … 输出 … 变式3-2观察下列单项式：，，，，，按此规律，可以得到第个单项式是___________． 变式3-3 观察下列关于的单项式，探究其规律：，．．．按照上述规律，第n个单项式表示为___________． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．孟想和程真两同学玩扑克魔术，孟想将一副扑克牌（54张）理好后让程真从上往下取出所有第奇数张牌丢掉，然后再从剩下的牌中从上往下取出所有第奇数张牌丢掉，依次进行，直到剩下3张牌时，孟想对程真说“恭喜你得到一个985”，程真从上往下依次翻开果然是红桃9、红桃8、红桃5；请问：孟想在理牌时巧妙将这3张牌从上往下依次放在第几的位置（     ） A．12、24、48 B．16、32、48 C．16、36、54 D．32、36、48 2．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘加；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．如果对于正整数，经过步变换，第一次到达，就称为步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过个步骤变成，得，则下列结论错误的是（     ） A．当时， B．随着的增大，不一定也增大 C．若，则只能是 D．若，则只能是 3．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图所示，它揭示了（n为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论： ①展开式有项，系数和为；②的结果是； ③展开式中，系数最大为20；④的展开式中第三项的系数为190．其中正确的有（     ）   …… …… A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．任取一个三位数作为起始数，把百位数字乘，若积不大于，则将积作为下一个数的百位数字，若积大于，则将积的两个数位上的数字之和作为下一个数的百位数字；将这个三位数的十位数字和个位数字均进行相同的操作，即完成第一次操作，得到下一个三位数．然后重复这个过程．以“”作为起始数，百位：，；十位：；个位：，第一次操作后得到的数是，，第次操作后得到的数是（     ） A． B． C． D． 5．如图所示，将形状、大小完全相同的“▪”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“▪”的个数为，第2幅图形中“▪”的个数为，第3幅图形中“▪”的个数为，…，以此类推，则的值为（） A． B． C． D． 6．如图1，连接等边三角形三边中点构成的小三角形，称为“中点等边三角形”（阴影部分），显然图1中有1个“中点等边三角形”；如图2，在图1中三个空白等边三角形中继续做“中点等边三角形”，可得图2中有4个“中点等边三角形”；如图3，在图2中9个空白等边三角形中继续做“中点等边三角形”，可知图3中有13个“中点等边三角形”，，依次类推，第5个图形中“中点等边三角形”的个数为（     ） A．120 B．121 C．122 D．123 7．将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕……，如果对折8次，可以得到的折痕数为（     ） A．15 B．64 C．127 D．255 8．有一枚棋子放在图中号位置上，现按顺时针方向，第一次跳一步，跳到号位置；第二次跳两步，跳到号位置；第三次跳三步，又跳到号位置；……，这样一直进行下去，永远跳不到的位置序号是（     ） A．仅③ B．仅⑤ C．仅⑥ D．③或⑥ 9．按一定规律排列的单项式：，，，，，，，则第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 10．观察下列单项式：，根据你发现的规律，第2025个单项式是（　　） A． B． C． D． 11．观察下列单项式，则第个单项式是__________． 12．已知整式，其中和为正整数，为非负整数，且，则满足条件的整式中的单项式有________个，满足条件的整式一共有________个． 13．观察下列单项式：，，，，…，则第个单项式是_____________ 14．下表是一个改造的三阶幻方，表中已经给出3个数．请在空格中填入适当的数，使得每行、每列以及对角线上各数之和都等于27，则用这9个数可以构造出不同幻方的种数是________种． 10 13 12 15．下表中，填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，________． 16．符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…… （2），，，，…… 利用以上规律计算： _______． 17．把整数代入得到，称为第一次操作，再将作为的值代入得到，称为第二次操作，以此类推，若，经过第次操作后得到的结果是_________． 18．如图，电子跳蚤游戏盘为，，，，如果电子跳蚤开始时在边上的点，．第一步跳蚤跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为（为正整数），则点与之间的距离为_____________． 19．观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则=________． 20．中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪，摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，宋代以后出现了笔算，在个位数划上斜线以表示负数，如表示，表示，则表示______ 21．类比裂项相消： (1)猜想： ； (2)计算： ① ② 22．八年级下数学教材17页，你知道吗？The symbol 5! is called five factorial（5的阶乘），and meansThus，正整数的阶乘记作，即 ，利用阶乘的意义，我们可以得到 如： ， 闯关问题 (1) ； (2)化简：（结果用含阶乘的式子表示）． (3)求除以的余数； 23．很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【问题提出】如何利用图形几何意义的方法推证：？ 如图1，表示1个的正方形，即：，表示1个的正方形，与恰好可以拼成1个的正方形，因此：，，就可以表示2个的正方形，即：，而，，，恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：． (1)【尝试解决】如图2，请类比上述的推导方法，通过图形面积的几何意义进行推证：_________． (2)【类比归纳】请用上面的表示几何图形面积的方法探究：____________． (3)【拓展应用】根据以上结论，计算：． 24．【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题． (1)探究一：点阵等式规律 观察下面的点阵（图）和相应的等式： ①； ②； ③； ④；… ①填空：（     ）2； ②猜想：（     ）2（是正整数）． (2)探究二：平面密铺规律 如图，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有块正方形、块正三角形；第二层有块正方形、块正三角形；以此类推． ①第层中分别含有________块正方形和________块正三角形； ②第层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含的代数式表示）． (3)【应用拓展】 某市打算在一个新建广场中央，采用如图的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和块正方形地砖，若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计算过程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $