专题01 相似三角形之（双）A字型与（双）8字型模型（几何模型讲义）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学讲义以相似三角形核心模型为线索，通过模型分类框架系统梳理（双）A字型、（双）8字型及AX字模型，结合图形示例呈现每种模型的生成条件、比例关系和证明过程，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，A组基础题巩固模型应用，B组提升题强化综合转化，C组压轴题结合中考真题（如梯子测量问题）培养推理意识与几何直观。易错点总结针对性解决顶点对应等问题，助力不同层次学生掌握模型思想，为教师精准教学提供有效支持。

专题01 相似三角形之（双）A字型与（双）8字型模型 相似三角形是初中阶段最重要的几何知识，同时也是会经常作为压轴题出现；而相似三角形的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将相似三角形的问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决相似三角形的题型；相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形考查经常与其他知识点一起，如全等三角形、勾股定理、圆、二次函数和三角函数等，以综合题型为主，而且变化莫测。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.“A”字模型 2 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 5 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 8 易错点与方法总结 13 模型运用 14 A组（基础题） 14 B组（能力提升题） 23 C组（综合压轴题） 28 A 字型、8 字型（也叫 X 型）是相似三角形最基础的模型，来源于平行线分线段成比例定理。当一条直线平行于三角形的一边，与另外两边（或两边延长线）相交，就会截出和原三角形相似的新三角形，由此诞生基础 A 字型与 8 字型。 基础 A 字型：DE∥BC，DE 在△ABC 内部，得到△ADE∽△ABC。把平行线向三角形外延伸，交点落在边的延长线上，就演化出反 A 字型。两个 A 字型叠加，公共顶角、共用平行线条件，形成双 A 字型，可得到多组成比例线段。 将 A 字型图形旋转，两组对边相交，构成对顶的 “X” 结构，即为基础 8 字型。由 AB∥CD，可得△AOB∽△DOC。两组 8 字型嵌套共用交点，便得到双 8 字型。 两类模型本质都是利用平行线构造相等同位角、内错角，用 AA 判定相似。双 A、双 8 是在单模型基础上叠加，实现多次相似转化，常用于线段比例推导，是中考几何计算与证明的高频原型。 模型生成条件：核心依靠平行线，平行产生同位角、内错角相等，用 AA 判定三角形相似。无平行时，若存在一组公共角或对顶角再加一组等角，也可构成斜 A、斜 8 相似模型。 单A 字型比例关系：DE∥BC，△ADE∽△ABC，满足注意对应边找准，不要混淆被截线段与三角形完整边长。 单 8 字型（X 型）比例关系：AB∥CD，△AOB∽DOC，。利用对顶角作为一组等角，平行线提供另一组角，严格分清对顶对应顶点。 双 A 字型核心用法：共用同一个顶角，两套 A 字型嵌套，可得到多组比例等式。常借助中间比做桥梁，实现线段比例转化，重点梳理多层线段之间的对应关系。 双 8 字型核心用法：共用中间交点，两组 8 字型叠加相似。解题善于提取其中单个 8 字型，多次列比例式，通过等量代换推导求证，谨防顶点对应出错造成比例写错。 模型1.“A”字模型 【模型提炼与证明】 “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 【模型运用】 【典例1】（2026年河北省秦皇岛市山海关区自主招生数学试题）维修师傅需要站在图1所示的梯子上换教室里的灯管，淇淇绘制了图2所示的示意图，，为梯子两边的五等分点且，、分别落在一块地砖的一组对边上（），则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：，为梯子两边的五等分点， ， ， ， ， 即， ． 【典例2】（2026·辽宁锦州·模拟预测）如图，在中，点D、E分别在上，且、，若的面积为32，则的面积为（     ） A．9 B．18 C．27 D． 【答案】B 【分析】根据判定，根据，结合相似三角形面积比等于相似比的平方即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴． 【典例3】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在中，D、E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则_____． 【答案】1 【分析】证明，求出的长，再证明，求出的长即可. 【详解】解：∵D、E为边的三等分点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴. 【典例4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，D为边上一点，，，，那么_______． 【答案】6 【分析】证明，列出比例式进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴. 【典例5】（25-26九年级下·江苏常州·开学考试）如图，在中，点D在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵在和中 ，， ∴； (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可解答； （2）利用（1）的结论，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， ， ， (舍去负值)， 的长为． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 【模型提炼与证明】 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 【模型运用】 【典例1】（2025·河南新乡·模拟预测）如图，四边形中，垂直平分，交于点O，交于点E．若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据相似三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ． 【典例2】（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据平行线分线段成比例定理得出，解分式方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得：， 经检验：是分式方程的解， ∴线段的长为． 【典例3】（2025·山东临沂·模拟预测）如图，中，是的延长线上一点，与交于点，．若的面积为，则的面积为_______． 【答案】 【分析】根据平行四边形性质得到，，证明、，结合求出相关三角形面积，进而求出的面积． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ，，即， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【典例4】（2026·河北石家庄·二模）如图，在四边形中，，点为中点，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，． (1)求证：； (2)若为的四等分点，当时，求的值． 【答案】(1)证明：∵点为中点， ， ， ， 在和中，， ， (2) 【分析】（1）利用“”证明即可； （2）根据四等分点先求出，再证明即可求出、之间的关系，问题随之得解． 【详解】（1）解析略 （2）解：， ． 、、为的四等分点， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 【典例5】（2026·北京平谷·二模）已知，，点，分别是，的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：点，分别是，的中点， 是的中位线， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是菱形； (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理可知，，，可证，根据全等三角形的性质可证四边形是平行四边形，根据，可证四边形是菱形； （2）连接，交于点，设，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得：，，由，可以求出，可证，根据相似三角形的性质可知，所以可得，即可求出的长度． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如下图所示，连接，交于点， 设， ，， ，， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 模型3“AX”字模型（“A8”字模型） 【模型提炼与证明】 ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 【模型运用】 【典例1】（2026·广东清远·三模）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质及平行线分线段成比例定理，逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A正确； ∵， ∴， ∴，， 故选项B正确； ∵，， ∴， 故选项D正确； ∵，， ∴， ∴， 故选项C错误． 【典例2】（25-26九年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定进行分析即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即，是一对特殊的相似， ∴相似的两个三角形共有6对． 【典例3】（2026·江苏泰州·三模）如图，直线，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理，可得，进而可得的值，证明，由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 【典例4】（2026·河南周口·模拟预测）如图，在 中，分别是上的点，且，交于点 ，若，则______． 【答案】/ 【分析】先根据已知得到，则，证明，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则． 【典例5】（25-26八年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】 关于“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．”这一性质，华师版新、旧教材给出两种不同的证明方法． 已知：如图①，在中，点分别是和的中点． 求证：． 方法一：新版八下教材第99页如图②，过点作，且与的延长线交于点．由平行线性质和已知条件，可以证明，从而推出四边形是平行四边形，可得． 方法二：旧版九上教材第77页如图①，利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，再利用“相似三角形的对应边成比例，对应角相等”，可得，． (1)请按照方法二写出完整证明过程． 证明： (2)【结论应用】如图③，在四边形中，，点是对角线的中点，点、分别是、中点，，则的度数是 ． (3)【拓展延伸】如图④，在四边形中，，且，点、分别是、的中点，则的长度是 ． 【答案】(1)证明：∵点分别是和的中点， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴， ， ∴，； (2) (3) 【分析】本题考查了中位线的运用，难点不大，掌握中位线性质即可求解； （1）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可求解； （2）根据中位线性质可得是等腰三角形，即可求解； （3）在上取中点，连接，得是等腰直角三角形，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：∵点是对角线的中点，点、分别是、中点， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴是等腰三角形， ∵， ∴； （3）解：如图，在上取中点，连接 ， ∵点、分别是、的中点，， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ . 模型常见易错点 顶点对应关系出错：写相似和比例式时顶点乱序，A 字型、8 字型必须按相等角一一对应顶点。顶点错位会直接导致线段比例写反，计算结果全部错误，书写前先标记相等角。 混淆部分线段与整条边长：A 字型容易把误当作相似比，相似比是。分清被截出的小段和三角形完整边，不要直接拿分割后的两段作比。 无视平行直接套用模型：A、8 字型相似前提大多为平行线，无平行不能直接用模型。斜 A、斜 8 需要主动寻找第二组等角证明 AA 相似，不可看见图形像就直接默认相似。 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，点在平行四边形的边上，，与的延长线交于点，若，则平行四边形的周长为（     ） A．21 B．34 C．28 D．42 【答案】B 【分析】先由平行四边形得到，然后得到，然后利用，得到，，从而得到的长，最后得到平行四边形的周长． 【详解】四边形是平行四边形， ∴， ，， ， ， ，， ，， ， 的周长． 2．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，连接交于点P，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作交BF于点G，证明，则．进一步得到．证明，即可得到． 【详解】解：过点E作交BF于点G， ∴ ∴ ∵E是的中点， ∴． ∵F是的中点， ∴ 在平行四边形中， ∴． ∴ ∴， ∴． 3．（2026·河南平顶山·三模）如图，在矩形中，为边的中点，连接并延长交边的延长线于点，对角线交于点．已知，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用矩形的性质可证，然后根据相似比求出，再由证明，可得，再根据求出． 【详解】解：∵在矩形中，为边的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 4．（2026·河南驻马店·三模）如图，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线交于点．若，则线段的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出． 【详解】解：是的中位线，， ，， ， ， ． 5．（2026·福建泉州·二模）如图，正方形中，若点是边的中点，连接交对角线于点．已知，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形性质可知，进而证明，得到线段比，算出对角线后按比例求． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 点是边的中点， ， ， ， ， ． 6．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在菱形中，点在对角线上，连接，点在上，且，过点作交于点．若菱形的周长为，则的长为______． 【答案】 【分析】根据菱形的周长求出边长，利用菱形的对边平行得出，结合已知推出，进而判定，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，且周长为 7．（2026·福建福州·模拟预测）如图，等边的边长为a，点D，E分别在边AB，AC上，且，BE与CD相交于点F，则的值为______． 【答案】/0.5 【分析】证明，得出，，再证明，即可得，等量代换求出，同理得到证明，得到，等量代换求出，进而求解即可． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 8．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，在四边形中，．的平分线交于点，且，若，则的长是__________． 【答案】 【分析】先求出，再证明四边形为平行四边形，得到，，证明得到，，据此即可求出答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， ∴， ， ， ． 9．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，中，，的面积等于，的面积等于，，求的长． 【答案】14 【分析】根据和的面积比求出边长比，再根据，利用相似三角形的性质确定各边长的比例求出的长度，进而求出的长． 【详解】解：的面积等于，的面积等于， ． ． ， ． ， ， ． ， ， ． 10．（2026·山西长治·三模）如图，在中，分别延长，至点E，F，使得，连接交于点O，交于点G． (1)求证：； (2)若，，，则________． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴，即． ∵在和中， ∴． (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，从而有，由得出，即可运用“”证明结论； （2）设交于点H．由得到，因此．证明，得到，设，则，根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设交于点H． ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴． 由（1）可知，， ∴． ∵在和中， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴，解得， ∴． 11．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在中，点是边上的点，交对角线于点，，则的值为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质得到，，由得到，由得到，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ，， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行可判定，因此． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 13．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】C 【分析】延长交于点G，可证，得，得出，可证，求出，则的值可求． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则． 14．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，，垂足为D，E，连接．若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，先求出，证明，得到比例式，由比例证明得到比例式求即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 15．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形性质和角平分线性质证得为等腰三角形，求出其面积；再利用相似三角形性质得出与的关系，从而建立平行四边形面积与面积的联系求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 如图，连接， 可知， 在中，， ， ， ， ， 为中点，即， 设平行四边形中边上的高为， 则， 又， ． 16．（25-26九年级下·山东·自主招生）如图，在中，是的中点，是上靠近的三等分点，与交于点，若，则__________． 【答案】3 【分析】过点E作，交于点，证明，，利用三角形相似的性质，代换证明即可； 【详解】解：过点E作，交于点， 在中，∵是的中点， ∴， ∵是上靠近的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（25-26九年级上·江苏扬州·开学考试）如图，中，D为的中点，点E在上，且，要使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则_____． 【答案】 或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质. 根据题意可知为公共角，要使以、、为顶点的三角形与相似，需分两种情况进行讨论：一是，二是. 利用线段中点的定义求出的长，再根据相似三角形对应边成比例列出方程求解即可． 【详解】解：点为的中点，， ， ， 要使以、、为顶点的三角形与相似， 分两种情况讨论： 当时， ， 即， 解得； 当时， ， 即， 解得， 综上所述，的长为或 ． 18．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，点、分别是、的中点，连接、交于点，交于点，那么________． 【答案】 【分析】根据中位线的性质，可知，进而可知，根据线段关系可知相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知，进而可转化出答案． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴是的中位线， 则，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 则． 19．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为____________． 【答案】6 【分析】证明，则，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 20．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，平行四边形中，点是边上的一点，连接，交于点F；若，的面积为8，则的面积是____________． 【答案】70 【分析】由平行四边形的性质得，，从而可得，再结合相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为8， ∴，， ∴． 21．（2025·山西·模拟预测）如图，在平行四边形 中， ，，．按以下步骤作图：①以 为圆心，以适当长为半径作弧，交 、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交 于点 ，交 边于点 ；则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图知，平分，根据角平分线的定义得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，推出是等边三角形，得到，根据相似三角形的性质求得，过A作交的延长线于G，根据勾股定理得到的长，于是得到结论． 【详解】解：由作图知，平分， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 过A作交的延长线于G， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 22．（2026·河南周口·三模）如图，在中，是上的中线，交于点F，．若，，则的长为（     ） A．2 B． C．9 D．12 【答案】B 【分析】我们注意到是上的中线，故尝试延长到点，使得，连接，可证明，进而可得，然后利用相似三角形的性质求出线段的值，最后根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图所示，延长到点，使得，连接， 是上的中线， ． ， ． 在和中， ， ， ， ， ． ， ，， ，． ， ． 23．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，，，连接交于点．若，，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积计算得边长，，在中，由勾股定理得，过点作，垂足为，根据得，证明，得，设，得，，由图得，则可得，求解即可得，，根据计算即可得的值． 【详解】解：∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， 过点作，垂足为， ，即， 解得，， 在中，，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 设，则， 点在上，且、、 共线， ， ， ∴， 由图形可知，点 位于与之间， ， ， 解得：，即， ， ， 的值为 ． 24．（25-26八年级下·吉林长春·期末）综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 【答案】(1)1； (2)3 (3)60 【分析】（1）因为，，所以用平行线分线段成比例定理可得是中点，得到与的比值；再结合与的比例关系，用平行线分线段成比例定理可求与的比值； （2）可利用（1）中得到的线段比例关系，结合，推导与的比值； （3）先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合是中点、的条件，用全等三角形，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理得到线段与，与的比例，再根据同高三角形面积比等于底边长的比，逐步推导各部分面积与面积的关系，最终求出平行四边形的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：∵D是的中点，是的中点， 是的中位线， ∴． 又是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴． ， ， 因此． （3）解：延长交延长线于， ∵平行四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 取的中点N，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点P，使， 则， ∴， 在上取点T，Q，使，，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴    ， ∵E是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相同， ∴， ∵， ∴． 25．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， (2)证明：四边形是正方形， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， 【分析】（1）由四边形是正方形，得，，然后通过“”证明 即可； （2）由四边形是正方形，得，所以，由全等三角形性质可得，，故有，然后证明，得，即，所以． 【详解】（1）略 （2）略 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似三角形之（双）A字型与（双）8字型模型 相似三角形是初中阶段最重要的几何知识，同时也是会经常作为压轴题出现；而相似三角形的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将相似三角形的问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决相似三角形的题型；相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形考查经常与其他知识点一起，如全等三角形、勾股定理、圆、二次函数和三角函数等，以综合题型为主，而且变化莫测。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.“A”字模型 2 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 5 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 8 易错点与方法总结 13 模型运用 14 A组（基础题） 14 B组（能力提升题） 23 C组（综合压轴题） 28 A 字型、8 字型（也叫 X 型）是相似三角形最基础的模型，来源于平行线分线段成比例定理。当一条直线平行于三角形的一边，与另外两边（或两边延长线）相交，就会截出和原三角形相似的新三角形，由此诞生基础 A 字型与 8 字型。 基础 A 字型：DE∥BC，DE 在△ABC 内部，得到△ADE∽△ABC。把平行线向三角形外延伸，交点落在边的延长线上，就演化出反 A 字型。两个 A 字型叠加，公共顶角、共用平行线条件，形成双 A 字型，可得到多组成比例线段。 将 A 字型图形旋转，两组对边相交，构成对顶的 “X” 结构，即为基础 8 字型。由 AB∥CD，可得△AOB∽△DOC。两组 8 字型嵌套共用交点，便得到双 8 字型。 两类模型本质都是利用平行线构造相等同位角、内错角，用 AA 判定相似。双 A、双 8 是在单模型基础上叠加，实现多次相似转化，常用于线段比例推导，是中考几何计算与证明的高频原型。 模型生成条件：核心依靠平行线，平行产生同位角、内错角相等，用 AA 判定三角形相似。无平行时，若存在一组公共角或对顶角再加一组等角，也可构成斜 A、斜 8 相似模型。 单A 字型比例关系：DE∥BC，△ADE∽△ABC，满足注意对应边找准，不要混淆被截线段与三角形完整边长。 单 8 字型（X 型）比例关系：AB∥CD，△AOB∽DOC，。利用对顶角作为一组等角，平行线提供另一组角，严格分清对顶对应顶点。 双 A 字型核心用法：共用同一个顶角，两套 A 字型嵌套，可得到多组比例等式。常借助中间比做桥梁，实现线段比例转化，重点梳理多层线段之间的对应关系。 双 8 字型核心用法：共用中间交点，两组 8 字型叠加相似。解题善于提取其中单个 8 字型，多次列比例式，通过等量代换推导求证，谨防顶点对应出错造成比例写错。 模型1.“A”字模型 【模型提炼与证明】 “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 【模型运用】 【典例1】（2026年河北省秦皇岛市山海关区自主招生数学试题）维修师傅需要站在图1所示的梯子上换教室里的灯管，淇淇绘制了图2所示的示意图，，为梯子两边的五等分点且，、分别落在一块地砖的一组对边上（），则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·辽宁锦州·模拟预测）如图，在中，点D、E分别在上，且、，若的面积为32，则的面积为（     ） A．9 B．18 C．27 D． 【典例3】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在中，D、E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则_____． 【典例4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，D为边上一点，，，，那么_______． 【典例5】（25-26九年级下·江苏常州·开学考试）如图，在中，点D在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 【模型提炼与证明】 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 【模型运用】 【典例1】（2025·河南新乡·模拟预测）如图，四边形中，垂直平分，交于点O，交于点E．若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 【典例2】（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【典例3】（2025·山东临沂·模拟预测）如图，中，是的延长线上一点，与交于点，．若的面积为，则的面积为_______． 【典例4】（2026·河北石家庄·二模）如图，在四边形中，，点为中点，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，． (1)求证：； (2)若为的四等分点，当时，求的值． 【典例5】（2026·北京平谷·二模）已知，，点，分别是，的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，求的长． 模型3“AX”字模型（“A8”字模型） 【模型提炼与证明】 ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 【模型运用】 【典例1】（2026·广东清远·三模）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26九年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【典例3】（2026·江苏泰州·三模）如图，直线，，则（     ） A． B． C． D． 【典例4】（2026·河南周口·模拟预测）如图，在 中，分别是上的点，且，交于点 ，若，则______． 【典例5】（25-26八年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】 关于“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．”这一性质，华师版新、旧教材给出两种不同的证明方法． 已知：如图①，在中，点分别是和的中点． 求证：． 方法一：新版八下教材第99页如图②，过点作，且与的延长线交于点．由平行线性质和已知条件，可以证明，从而推出四边形是平行四边形，可得． 方法二：旧版九上教材第77页如图①，利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，再利用“相似三角形的对应边成比例，对应角相等”，可得，． (1)请按照方法二写出完整证明过程． 证明： (2)【结论应用】如图③，在四边形中，，点是对角线的中点，点、分别是、中点，，则的度数是 ． (3)【拓展延伸】如图④，在四边形中，，且，点、分别是、的中点，则的长度是 ． 模型常见易错点 顶点对应关系出错：写相似和比例式时顶点乱序，A 字型、8 字型必须按相等角一一对应顶点。顶点错位会直接导致线段比例写反，计算结果全部错误，书写前先标记相等角。 混淆部分线段与整条边长：A 字型容易把误当作相似比，相似比是。分清被截出的小段和三角形完整边，不要直接拿分割后的两段作比。 无视平行直接套用模型：A、8 字型相似前提大多为平行线，无平行不能直接用模型。斜 A、斜 8 需要主动寻找第二组等角证明 AA 相似，不可看见图形像就直接默认相似。 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，点在平行四边形的边上，，与的延长线交于点，若，则平行四边形的周长为（     ） A．21 B．34 C．28 D．42 2．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，连接交于点P，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河南平顶山·三模）如图，在矩形中，为边的中点，连接并延长交边的延长线于点，对角线交于点．已知，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河南驻马店·三模）如图，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线交于点．若，则线段的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·福建泉州·二模）如图，正方形中，若点是边的中点，连接交对角线于点．已知，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在菱形中，点在对角线上，连接，点在上，且，过点作交于点．若菱形的周长为，则的长为______． 7．（2026·福建福州·模拟预测）如图，等边的边长为a，点D，E分别在边AB，AC上，且，BE与CD相交于点F，则的值为______． 8．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，在四边形中，．的平分线交于点，且，若，则的长是__________． 9．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，中，，的面积等于，的面积等于，，求的长． 10．（2026·山西长治·三模）如图，在中，分别延长，至点E，F，使得，连接交于点O，交于点G． (1)求证：； (2)若，，，则________． 11．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在中，点是边上的点，交对角线于点，，则的值为(     ) A． B． C． D． 12．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 13．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 14．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，，垂足为D，E，连接．若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26九年级下·山东·自主招生）如图，在中，是的中点，是上靠近的三等分点，与交于点，若，则__________． 17．（25-26九年级上·江苏扬州·开学考试）如图，中，D为的中点，点E在上，且，要使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则_____． 18．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，点、分别是、的中点，连接、交于点，交于点，那么________． 19．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为____________． 20．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，平行四边形中，点是边上的一点，连接，交于点F；若，的面积为8，则的面积是____________． 21．（2025·山西·模拟预测）如图，在平行四边形 中， ，，．按以下步骤作图：①以 为圆心，以适当长为半径作弧，交 、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交 于点 ，交 边于点 ；则的长度为（    ） A． B． C． D． 22．（2026·河南周口·三模）如图，在中，是上的中线，交于点F，．若，，则的长为（     ） A．2 B． C．9 D．12 23．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，，，连接交于点．若，，，则的值为________． 24．（25-26八年级下·吉林长春·期末）综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 25．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $