江苏省江浦高级中学2027届新高三暑假复习作业（七）-立体几何

江苏省江浦高级中学2027届高三暑假作业（七） （立体几何，含答案） 一、选择题 1．平面几何中，有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( ) A． B． C． D． 2．已知直线，平面，且，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知直线平行于平面,且它们的距离为,则到直线与到平面的距离都等于的点的集合是( ) A．空集 B．两条平行直线 C．一条直线 D．一个平面 4．四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于（ ） A． B． C． D． 5．(2020烟台一模)《九章算术》中记载,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,如图,在堑堵中,,,当阳马体积的最大值为时,堑堵的外接球的体积为( ) A． B． C． D． 6．已知是空间向量的一组基底,,, 是空间向量的另一组基底,若向量在基底下的坐标为,则向量在基底,, 下的坐标为( ) A． B． C． D． 7．已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的表面积为( ) A． B． C． D． 8．如图,棱长为的正方体中,为线段上的动点,则下列结论正确的是( ) A． B．平面平面 C．的最大值为 D．的最小值为 二、多选题 9．（多选题）如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图,为的中点,且轴,轴,那么在原平面图形中( ) A．与相等 B．的长度大于的长度 C．的长度大于的长度 D．的长度大于的长度 10．正三棱柱的所有定点均在表面积为的球的球面上,,则下列说法正确的是( ) A．到平面的距离为 B．到平面的距离为 C．球的半径 D．侧棱长. 11．在正四面体中,,,分别是,,的中点,下面结论中正确的是( ) A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 三、填空题 12．圆锥底面半径为,高为,点是底面圆周上一点,则一动点从点出发,绕圆锥侧面一圈之后回到点,则绕行的最短距离是__________. 13．一边长为的正三角形的两个顶点在平面上，另一个顶点在平面上的射影为，则当三棱锥的体积最大值时，二面角的大小为__________. 14．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，,.若，分别是棱，上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 四、解答题 15．如图,在三棱锥中,平面,. (1)求证:平面; (2)试在上找一点,使得平面平面,并证明你的结论. 16．（2017浙江卷）如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．如图，在三棱锥中，⊥底面，.点分别为棱的中点，是线段的中点，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长. 江苏省江浦高级中学2027届高三暑假作业(七） （立体几何参考答案） 一、选择题 1．平面几何中，有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( ) A． B． C． D． 选C，解：设任一点到四个平面的距离分别为，则正四面体的体积， 正四面体的体积等于，所以， 这样转化为求正四面体的高，求法，如图： 由点向平面引垂线，垂足为,连接,这样在直角三角形内，根据勾股定理：，故选C．.. 2．已知直线，平面，且，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 选B，解：，若，则．又因，所以成立．而，显然不能推出．所以“”是“”的必要不充分条件．故选B． 3．已知直线平行于平面,且它们的距离为,则到直线与到平面的距离都等于的点的集合是( ) A．空集 B．两条平行直线 C．一条直线 D．一个平面 选B，解：与平行的在两侧的两条平行直线,且与这两条平行直线共面于一个与平行的平面. 4．四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于（ ） A． B． C． D． 选B，解：由题意可知四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的直径，且四棱锥的高半径，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为 ，于是,，进而球的体积. 故选. 5．(2020烟台一模)《九章算术》中记载,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,如图,在堑堵中,,,当阳马体积的最大值为时,堑堵的外接球的体积为( ) A． B． C． D． 选B，解：由题意易得平面,所以 ,当且仅当时等号成立,又阳马体积的最 大值为,所以,所以堑堵的外接球的半径 ,所以外接球的体积. 6．已知是空间向量的一组基底,,, 是空间向量的另一组基底,若向量在基底下的坐标为,则向量在基底,, 下的坐标为( ) A． B． C． D． 选C，解：设向量在基底,{,, }下的坐标为, 则, 整理得, ∴,解得, ∴向量在基底{,, }下的坐标是.故选C. 7．已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的表面积为( ) A． B． C． D． 选C，解：如图所示，∵，∴为直角，即过的小圆面的圆心为的中点，和所在的平面互相垂直，则圆心在过的圆面上，即的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径，球的表面积为，故选． 8．如图,棱长为的正方体中,为线段上的动点,则下列结论正确的是( ) A． B．平面平面 C．的最大值为 D．的最小值为 选B，解：当点在点时,与显然不垂直,A错误.∵平面,∴.又在正方形中,,∴平面.又平面,∴平面平面,B正确.∵正方体的棱长为1,∴,令,则, ∴, ∴,显然,当或时,;当时,;当时,,∴的最大值大于,且当时,此时,显然,C,D均错误,故选B. 二、多选题 9．（多选题）如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图,为的中点,且轴,轴,那么在原平面图形中( ) A．与相等 B．的长度大于的长度 C．的长度大于的长度 D．的长度大于的长度 选AC，解：根据斜二测画法的直观图,还原几何图形,首先建立平面直角坐标系,轴,并且,点是的中点,并且作轴,即,且,连结,所以是等腰三角形,,的长度大于的长度,由图可知,,由图观察,,所以,即. 故选AC. 10．正三棱柱的所有定点均在表面积为的球的球面上,,则下列说法正确的是( ) A．到平面的距离为 B．到平面的距离为 C．球的半径 D．侧棱长. 选BCD，解：设等边三角形的外接圆半径为,由正弦定理得. 由于球的表面积为,故半径,所以侧棱长.在三角形中,,而,所以三角形的面积为. 设到平面的距离为,由得,解得. 故选BCD. 11．在正四面体中,,,分别是,,的中点,下面结论中正确的是( ) A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 选ABD，解：由可得平面,故A正确;若平面,垂足为,则在上,则,又,故平面,故B正确;由平面,平面,可得平面平面,故D正确,平面不过,故C不正确. 愿选ABD. 三、填空题 12．圆锥底面半径为,高为,点是底面圆周上一点,则一动点从点出发,绕圆锥侧面一圈之后回到点,则绕行的最短距离是__________. 填，解：把圆锥侧面展开成一个扇形,则对应的弧长是底面的周长,对应的弦是最短距离,即的长是蚂蚁爬行的最短路程,过作于, 弧的长是,则侧面展开图的圆心角是,∴, ∵,∴,所以.即蚂蚁爬行的最短路程是. 13．一边长为的正三角形的两个顶点在平面上，另一个顶点在平面上的射影为，则当三棱锥的体积最大值时，二面角的大小为__________. 填，解：设,所以，，底面的高是，所以三棱锥的体积 ，故体积的最大值是，当且仅当时，等号成立.设二面角的平面角的大小为，则，所以. 14．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，,.若，分别是棱，上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 填，解：以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ∵在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，，， 分别是棱上的点，且，， ∴，，，， ，， 设异面直线与所成角所成角为，则． ∴异面直线与所成角的余弦值为. 四、解答题 15．如图,在三棱锥中,平面,. (1)求证:平面; (2)试在上找一点,使得平面平面,并证明你的结论. 解：(1)证明:平面,平面,∴ 又∵,平面,平面,,∴平面. (2)过作,交于,点即为所求, ∵平面,平面,∴, 又,,∴平面, 又平面,由两个平面垂直的判定定理知:平面平面. 16．（2017浙江卷）如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 解：（1）取中点，连接，， 由，分别为，的中点， ∴，∴平面①， 由且，∴且， ∴是平行四边形，∴，∴平面②， 由①②得平面平面，∴平面， （2）连接、，由，∴， 又是等腰三角形，∴，∴平面， 又，∴平面，∴， 设，， ∴，，，，， ， ∴，∴， ∴，即到平面的距离为， ∴到平面的距离为，∴到平面的距离为， 在中，，，∴， 设直线与平面所成角为，则． 17．如图，在三棱锥中，⊥底面，.点分别为棱的中点，是线段的中点，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长. 解：如图：以为坐标原点，分别以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，依题意可得： ，，，，，，， （1）证明：，.设为平面的法向量， 则，即.不妨设，可得.又，可得. 平面平面； （2）易知为平面的一个法向量，设为平面的法向量，则：， 不妨设， 可得：有： ，于是： 二面角的正弦值为. （3）依题意，设，则，得： ，由已知得： ，整理得： ，解得：或，所以线段的长为或. 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $