周周练6 章末检测——一元二次函数、方程和不等式-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 聚焦一元二次函数、方程和不等式的综合应用，通过分层题型强化数学思维中的推理能力与运算能力，知识逻辑从概念到应用层层递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次不等式解法|第1、4、8题|含参数不等式求解、解集判断|从二次函数图像到不等式解集，体现数形结合思想| |不等式性质应用|第2、3、9题|比较大小、范围确定|基于不等式基本性质，强化逻辑推理| |基本不等式求最值|第7、12、14、17题|条件最值、应用场景|结合“一正二定三相等”原则，培养模型意识| |二次函数与不等式综合|第6、10、13、16、19题|含参二次不等式、恒成立问题|从函数解析式到不等式转化，体现数学语言精确表达| |实际应用|第5、18题|经济利润、方案优化|将实际问题抽象为数学模型，发展应用意识|

周周练6　章末检测——一元二次函数、方程和不等式 (满分：150分　时间：120分钟) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．不等式(x－3)(5－x)<0的解集为(　　) A．{x|3<x<5} B．{x|x<3或x>5} C．{x|－5<x<－3} D．{x|x<－5或x>－3} 解析：选B.由(x－3)(5－x)<0，得(x－3)(x－5)>0，解得x<3或x>5，则不等式(x－3)(5－x)<0的解集为{x|x<3或x>5}． 2．若a，b∈R，且a>|b|，则(　　) A．a<－b　　　　　　 B．a>b C．a2<b2 D．> 解析：选B.由a>|b|，知当b>0时，a>b>0，此时<，a2>b2，故C，D错误；当b<0时，a>－b>b，此时A错误，故选B. 3．(2026·南昌期末)已知4<a<9，－2<b<－1，则y＝2＋b的取值范围是(　　) A．{y|2<y<5} B．{y|6<y<17} C．{y|1<y<3} D．{y|－3<y<－1} 解析：选A.因为4<a<9，－2<b<－1，所以2<<3，所以4<2<6，由不等式的性质可得2<2＋b<5. 4．已知关于x的不等式4x2＋ax＋1<0的解集为空集，则a的取值范围是(　　) A．{a|－4≤a≤4} B．{a|－4<a<4} C．{a|a≤－4，或a≥4} D．{a|a<－4，或a>4} 解析：选A.由题意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4. 5．我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为(　　) A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱 解析：选C.依题意可设买大竹子x根，每根单价为m钱，则买小竹子(78－x)根，每根单价为(m－1)钱，所以576＝mx＋(78－x)(m－1)，即78m＋x＝654，即x＝6(109－13m)，因为0≤x≤78，所以即所以≤m≤，根据选项知m＝8，x＝30，所以买大竹子30根，每根8钱． 6．(2026·聊城月考)已知关于x的不等式－x2＋4ax－3a2≥0(a>0)的解集为{x|x1≤x≤x2}，则x1＋x2＋的最小值是(　　) A．4 B．2 C．2 D． 解析：选A.由－x2＋4ax－3a2≥0，得x2－4ax＋3a2≤0，即(x－a)(x－3a)≤0(a>0)，所以不等式的解集为{x|a≤x≤3a}，所以x1＝a，x2＝3a，所以x1＋x2＋＝4a＋＝4a＋≥2＝4，当且仅当a＝时，等号成立． 7．已知x，y是正数，且x＋y＝1，则＋的最小值为(　　) A． B． C．2 D．3 解析：选B.由x＋y＝1得(x＋2)＋(y＋1)＝4，即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1，所以＋＝·[(x＋2)＋(y＋1)]＝[4＋1＋＋]≥(5＋4)＝，当且仅当x＝，y＝时等号成立． 8．关于x的不等式x[x－(a＋1)]<0的解集是{x|－1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|0≤a≤2} B．{a|－2≤a<－1或－1<a≤0} C．{a|0≤a<1或1<a≤2} D．{a|－2≤a≤0} 解析：选D.当a＋1＝0，即a＝－1时，x2<0的解集为∅，∅⊆{x|－1≤x≤1}，符合题意． 当a＋1>0，即a>－1时，不等式x[x－(a＋1)]<0的解集为{x|0<x<a＋1}，所以{x|0<x<a＋1}⊆{x|－1≤x≤1}，所以解得－1<a≤0. 当a＋1<0，即a<－1时，不等式x[x－(a＋1)]<0的解集为{x|a＋1<x<0}， 所以{x|a＋1<x<0}⊆{x|－1≤x≤1}，所以解得－2≤a<－1. 综上，－2≤a≤0. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．设a，b，c∈R且a>b，则下列不等式成立的是(　　) A．c－a<c－b B．ac2≥bc2 C．< D．<1 解析：选AB.由a>b，得－a<－b，那么c－a<c－b，所以A正确；由a>b，且c2≥0，所以ac2≥bc2，所以B正确；取a＝1，b＝－2，可知＝1>＝－，此时不等式<不成立，所以C错误；取a＝－1，b＝－2，此时＝2>1，即不等式<1不成立，所以D错误． 10．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，则下列说法正确的是(　　) A．a>0 B．a＋b＋c<0 C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为{x|x<－或x>－} D．的最小值为6 解析：选BCD.因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，所以a<0，故A错误；方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为2，3，故2＋3＝－，2×3＝，即b＝－5a，c＝6a，且a<0，所以a＋b＋c＝a－5a＋6a＝2a<0，故B正确；cx2－bx＋a<0可化为6ax2＋5ax＋a<0，即6x2＋5x＋1>0，故不等式cx2－bx＋a<0的解集为{x|x<－或x>－}，故C正确；＝＝(－9a)＋(－)≥6，当且仅当a＝－时，等号成立，故D正确． 11．已知正数a，b满足(a－1)(b－1)＝1，则下列选项正确的是(　　) A．＋＝1 B．＋2b≥5 C．a＋b≥4 D．a2＋b2≥8 解析：选ACD.对于A，由题可得ab＝a＋b，即＋＝1，故A正确； 对于B，由题意及A知a>1，b>1，＋2b＝＋2(b－1)＋2≥2＋2，当且仅当时，等号成立，故B不正确； 对于C，a＋b＝(a＋b)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，故C正确； 对于D，a2＋b2≥≥＝8，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 12．已知－1<x<1，则1－x2的最大值为________． 解析：因为－1<x<1，所以1－x>0，1＋x>0，由基本不等式可得(1－x)(1＋x)≤()2＝1，当且仅当1－x＝1＋x，即x＝0时，等号成立，所以1－x2的最大值为1. 答案：1 13．若关于x的不等式ax＋b<0的解集为{x|x>－2}，则关于x的不等式ax2－bx>0的解集为________． 解析：因为不等式ax＋b<0的解集为{x|x>－2}， 所以a<0，－＝－2，即b＝2a， 所以ax2－bx>0，即ax2－2ax>0，化简得x2－2x<0，即x(x－2)<0， 解得0<x<2， 即不等式ax2－bx>0的解集为{x|0<x<2}． 答案：{x|0<x<2} 14．(2026·湖州联考)已知正实数x，y满足3x＋y＝1，若不等式＋≤m有解，则实数m的取值范围是________． 解析：因为正实数x，y满足3x＋y＝1，所以＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，所以＋的最小值为2＋1.因为不等式＋≤m有解， 所以m≥2＋1，即实数m的取值范围为{m|m≥2＋1}． 答案：{m|m≥2＋1} 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分13分)(1)已知a>b>0，d<c<0，求证：<.(6分) (2)已知x>0，y>0，x＋y＝2xy，求证：xy≥1.(7分) 证明：(1)因为d<c<0，所以－d>－c>0，dc>0，因为a>b>0，所以－ad>－bc>0，所以bc－ad>0，所以－＝>0，所以<. (2)因为x>0，y>0，所以x＋y≥2，当且仅当x＝y时，等号成立．由x＋y＝2xy，得2xy≥2，故≥1，所以xy≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立． 16．(本小题满分15分)已知二次函数y1＝3x2＋(4－m)x－6m，y2＝2x2－x－m. (1)若m＝1，求不等式y1>0的解集；(7分) (2)若m>0，求关于x的不等式y1≤y2的解集．(8分) 解：(1)当m＝1时，y1＝3x2＋3x－6. y1>0，即3x2＋3x－6>0， 所以x2＋x－2>0， 解得x>1或x<－2. 所以y1>0的解集为{x|x<－2或x>1}． (2)y1≤y2， 即3x2＋(4－m)x－6m≤2x2－x－m， 所以x2＋(5－m)x－5m≤0， 所以(x＋5)(x－m)≤0. 因为m>0，所以－5≤x≤m， 所以不等式y1≤y2的解集为{x|－5≤x≤m}． 17．(本小题满分15分)(1)求函数y＝－x(0<x<4)的最小值；(5分) (2)已知a>0，b>0，2a＋b＝2，求＋的最小值．(10分) 解：(1)因为0<x<4，所以4－x>0，则y＝－x＝＋4－x－4≥2－4＝－2，当且仅当＝4－x，即x＝3时等号成立，所以函数y＝－x(0<x<4)的最小值为－2. (2)方法一：　＋＝＋＝＋＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，所以＋的最小值为. 方法二：　＋＝＋＝＋－2＝(＋)(2a＋b)－2＝(5＋＋)－2≥，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，所以＋的最小值为. 18．(本小题满分17分)某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知x年内付出的各种维护费用之和y(单位：万元)满足二次函数y＝ax2＋c，且第1年付出的各种维护费用为3万元，第2年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元． (1)扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润；(7分) (2)若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案： ①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地；②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地．问该水产养殖户会选择哪种方案？(10分) 解：(1)由已知得，当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝9＋3＝12，即解得所以y＝3x2. 又投资费用为243万元，x年共收入90x万元，设x年共获得的纯利润为P万元，则P＝90x－3x2－243(x∈N*). 令P>0，即90x－3x2－243>0，即x2－30x＋81<0，解得3<x<27(x∈N*)， 所以从第4年开始获得纯利润． (2)方案①： 年平均利润t＝＝90－3(＋x)≤90－3×2＝36万元，当且仅当x＝9时，等号成立， 所以当x＝9时，t取最大值36，此时以138万元出售该龙虾养殖基地共获得利润36×9＋138＝462万元． 方案②： 由(1)知P＝90x－3x2－243＝－3(x－15)2＋432(x∈N*)，当x＝15时，纯利润总和最大，为432万元，此时以30万元出售该龙虾养殖基地共获得利润432＋30＝462万元． 两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以水产养殖户会选择方案①. 19．(本小题满分17分)已知函数y＝ax2－(a＋2)x＋2，a∈R. (1)若y<3－2x恒成立，求实数a的取值范围；(7分) (2)当a>0时，求不等式y≥0的解集．(10分) 解：(1)因为函数y＝ax2－(a＋2)x＋2，所以y<3－2x恒成立等价于ax2－(a＋2)x＋2<3－2x恒成立，即ax2－ax－1<0恒成立． 当a＝0时，－1<0恒成立，满足题意；当a≠0时，要使ax2－ax－1<0恒成立， 则即 解得－4<a<0. 综上，实数a的取值范围是{a|－4<a≤0}． (2)由y≥0得，ax2－(a＋2)x＋2≥0，即(ax－2)·(x－1)≥0，又因为a>0，所以当>1，即0<a<2时，不等式的解集为{x|x≤1或x≥}；当＝1，即a＝2时，可化为(x－1)2≥0，不等式的解集为R；当<1，即a>2时，不等式的解集为{x|x≤或x≥1}． 综上，当0<a<2时，不等式的解集为{x|x≤1或x≥}； 当a＝2时，不等式的解集为R；当a>2时，不等式的解集为{x|x≤或x≥1}． 学科网（北京）股份有限公司 $