【选择题专项】17 圆的方程 2027年山东省（春季高考）《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦圆的方程核心模块，以题型分层构建从概念到应用的完整训练体系，融合真题强化应试迁移能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆的方程|11题（含3道真题）|考查方程形式转化、圆心半径求解及方程确定|从圆的标准方程到一般方程，构建方程形式与几何要素的对应关系| |点与圆的位置关系|6题|围绕点与圆位置判断及切线方程求解|通过距离公式建立点与圆位置的量化判定逻辑| |直线与圆的位置关系|19题（含1道真题）|涵盖位置判断、切线弦长计算及参数范围问题|以圆心到直线距离为核心，串联相切相交相离的判定与应用| |直线与圆的应用|4题|结合实际情境（如拱桥、监测范围）考查模型构建|将几何关系转化为数学模型，体现数学语言表达现实世界的应用意识|

2027年山东省春季高考 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （十七） 圆的方程 题型1 圆的方程 1．圆的圆心和半径长分别为（   ） A．，25 B．，5 C．，5 D．，20 2．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．方程表示一个圆，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若点在圆上，则圆的半径（   ） A．13 B． C．5 D． 5．过，，三点圆的标准方程为（    ）． A． B． C． D． 6．直线与轴交于点，则以点为圆心、半径为3的圆的方程为（   ）. A． B． C． D． 7．已知点，，则以为直径的圆方程为（   ） A． B． C． D． 8．圆的圆心为，则圆的半径为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2025年山东省春季高考数学真题）已知圆，半径为2，则（   ） A． B．8 C． D．6 10．（2024年山东省春季高考数学真题）圆的圆心坐标是（     ） A． B． C． D． 11．（2022年山东省春季高考数学真题）圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 题型2 点与圆的位置关系 12．点与圆的位置关系是（    ） A．点P在该圆外 B．点P在该圆上 C．点P在该圆内 D．无法确定 13．过点且与圆相切的直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 14．已知圆的圆心坐标为，则点与该圆的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不能判断 15．若直线与圆有两个交点，则点（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．与圆的位置关系不确定 16．已知，则点与圆的位置关系是（   ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与的值有关 17．点在下列哪个圆内（    ） A． B． C． D． 题型3 直线与圆的位置关系 18．直线与圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交但直线过圆心 C．相离 D．相交但直线不过圆心 19．“直线与圆相切”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．自点作圆的切线，则切线长为（    ） A． B． C． D． 21．直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．已知圆与直线相切，则（ ） A．2 B． C． D． 23．若直线过圆的圆心，则的值是（    ） A． B． C． D． 24．设平面直线与的两个交点为A与B，则线段的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 25．圆上的点到直线的距离的最小值（    ） A．6 B．4 C．5 D． 26．已知点为圆上任意一点，若点到直线的距离的最小值为，则的值是（   ） A． B． C．8 D．2 27．过点与圆相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 28．过圆外一点向圆引切线，则点P与切点的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 29．过点作圆的切线，则该切线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 30．过原点的直线与圆相切，且切点在第二象限，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 31．过x轴正半轴上一点M，作圆的切线，切点分别是A，B，若，则点M的横坐标是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．已知过点的直线与圆相切于点，则（    ） A．16 B．4 C．21 D． 33．直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 34．若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 35．已知点和圆，则过点P且被圆所截得的弦最短的直线方程为（   ） A． B． C． D． 36．（2026年山东省春季高考数学真题）已知圆的圆心到直线的距离为d，则结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型4直线与圆的应用 37．如图，为测量金属材料的硬度，用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面，在材料表面留下一个凹坑，现测得凹坑直径AB为10mm，若所用钢珠的直径CD为26mm，则凹坑深度为（ ） A．6mm B．3mm C．2mm D．1mm 38．如图，圆弧形拱桥的跨度米，拱高米，则拱桥的直径为（   ） A．米 B．米 C．9米 D．米 39．某工厂要在圆形花坛周围安装护栏，已知圆的方程为，直线与圆相切，则的值为（    ）． A． B． C． D． 40．已知一艘海监船的监测范围是半径为25km的圆形区域.一艘货运轮船从位于海监船正东方向40km的处出发，径直驶向位于海监船正北方向30km的处岛屿.若以静止在海面上（不考虑其他因素）的海监船所在位置为坐标原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系，则、所在点构成的直线方程为.在海监船设备运行正常的情况下，下列关于货运轮船是否能被海监船监测的说法正确的是（   ） A．不能被监测 B．可能被监测，可能不会被监测 C．能在某个时刻被监测1次 D．能在某个时间段内一直被监测 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年山东省春季高考 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （十七） 圆的方程 题型1 圆的方程 1．圆的圆心和半径长分别为（   ） A．，25 B．，5 C．，5 D．，20 【答案】C 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可求解. 【详解】因为，即， 所以圆心为，半径长为. 故选：C. 2．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆与轴相切得到半径，结合圆心坐标得到圆的标准方程即可. 【详解】因为圆与轴相切，且圆心到轴的距离为， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为：. 故选：A. 3．方程表示一个圆，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的一般方程写成标准方程，再根据等号右边的式子大于0求解. 【详解】由方程化为， 因为方程表示一个圆，所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 4．若点在圆上，则圆的半径（   ） A．13 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】将点代入圆的方程中即可得解. 【详解】将点代入圆中得： ，解得或（舍）， 所以圆的半径， 故选：. 5．过，，三点圆的标准方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆的方程为，将三点代入计算即可. 【详解】设所求圆的方程为， 因为，，三点在圆上， 可得，由得，解得， 将代入可得，解得， 故所求标准方程为. 故选：D. 6．直线与轴交于点，则以点为圆心、半径为3的圆的方程为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出的值，即可得点的坐标，再结合圆的标准方程，求解即可. 【详解】当时，，解得：， 即直线与轴的交点为， 又因为圆的半径，所以， 所以圆的方程为：. 故选：D. 7．已知点，，则以为直径的圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出圆心，再求出圆的半径，进而求解圆的标准方程. 【详解】因为点，， 所以以为直径的圆的圆心为的中点. 则半径为. 所以圆的方程为. 故选：D. 8．圆的圆心为，则圆的半径为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由圆的一般方程求圆心与半径的公式即可求解. 【详解】由圆心可得，， 则. 又由圆可知， 所以. 故选：B 9．（2025年山东省春季高考数学真题）已知圆，半径为2，则（   ） A． B．8 C． D．6 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程得到半径，进而解方程求解即可. 【详解】因为圆的方程为：， 所以圆的半径， 又因为半径为2，所以， 整理得：，解得：， 故选：D. 10．（2024年山东省春季高考数学真题）圆的圆心坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程易得答案. 【详解】因为， 故圆心坐标是. 故选：C. 11．（2022年山东省春季高考数学真题）圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可求解. 【详解】解：将圆的一般方程化为标准方程. 故圆心坐标为，半径. 故选：B. 题型2 点与圆的位置关系 12．点与圆的位置关系是（    ） A．点P在该圆外 B．点P在该圆上 C．点P在该圆内 D．无法确定 【答案】A 【分析】将点代入圆的方程中即可判断点与圆的位置关系. 【详解】已知点，圆的方程为， 将点代入圆的方程中， 可得， 所以点P在该圆外. 故选：A. 13．过点且与圆相切的直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，可判断点在圆上，根据圆心与的连线与切线垂直，可得切线的斜率，由点斜式方程可求解. 【详解】由点代入圆的方程，可得， 所以在圆上，即为切点. 又因为圆心与连线的斜率， 所以切线的斜率为：. 所以切线方程为， 即. 故选：D 14．已知圆的圆心坐标为，则点与该圆的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不能判断 【答案】C 【分析】将圆的一般式化为标准式，根据圆心坐标得到参数，即可得到圆的半径，再计算圆心到点的距离，比较其与半径的大小，即可求解. 【详解】圆化为标准式为， 又圆心坐标为，得到， 圆的方程化为，圆心的坐标为，半径为， 又，所以， 故点在圆外． 故选：C． 15．若直线与圆有两个交点，则点（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．与圆的位置关系不确定 【答案】C 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标及半径，根据直线与圆相交结合点到直线的距离公式得出，即可得解. 【详解】圆，圆心坐标为，半径为， 直线与圆有两个交点， 则， 所以点在圆外， 故选：. 16．已知，则点与圆的位置关系是（   ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与的值有关 【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系求解即可. 【详解】圆化为标准式为， 进而圆心坐标为，半径为， ∴点到圆心的距离， ∴点在圆外． 故选：A. 17．点在下列哪个圆内（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到圆心的距离小于半径分别判断点是否在圆内. 【详解】A、的圆心为，半径为，点到圆心的距离 ，故点在圆外，不符合题意； B、的圆心为，半径为，点到圆心的距离 ，故点在圆外，不符合题意； C、的圆心为，半径为，点到圆心的距离 ，故点在圆内，符合题意； D、的圆心为，半径为，点到圆心的距离 ，故点在圆外，不符合题意； 故选：C. 题型3 直线与圆的位置关系 18．直线与圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交但直线过圆心 C．相离 D．相交但直线不过圆心 【答案】D 【分析】根据圆心到直线的距离和圆的半径比较易得答案. 【详解】因为圆， 所以圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以， 所以相交但直线不过圆心. 故选：D. 19．“直线与圆相切”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由直线与圆的位置关系确定的值，再由充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】因为圆， 所以该圆的圆心为，半径． 当“直线与圆相切”时， 根据得到，解得或， 所以充分性不成立， 反之，若“”可得直线为， 则圆心到直线的距离， 故该圆与直线相切， 所以必要性成立， 因此“直线与圆相切”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 20．自点作圆的切线，则切线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两点间距离公式及圆的切线长公式即可得解. 【详解】因为点，设切点为点，圆心为. 由圆得圆心，半径为. 因为点为切点，所以. 因为. 在直角中，. 所以切线长为. 故选：. 21．直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交，所以，即，解得：， 所以的取值范围是. 故选：C. 22．已知圆与直线相切，则（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆相切，半径等于圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆与直线相切， 所以. 故选：D 23．若直线过圆的圆心，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的方程求出圆心坐标，再将圆心坐标代入直线即可得解. 【详解】圆，则圆心为. 将代入直线方程，可得． 故选：. 24．设平面直线与的两个交点为A与B，则线段的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，联立方程，消元，由韦达定理可得的值，中点的横坐标可由求得，代入直线方程可得中点的纵坐标. 【详解】由与联立， 即，消元得 ， 设，中点坐标为， 由根与系数的关系得：， ，， 故线段的中点坐标是. 故选：B. 25．圆上的点到直线的距离的最小值（    ） A．6 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】首先由圆的方程确定圆心，半径，再求出圆心到直线的距离，最后计算的值即可. 【详解】由圆可知圆心坐标，半径， 且直线， 则圆心到直线的距离， 由可知直线与圆相离， 所以圆上的点到直线的距离的最小值为. 故选：B. 26．已知点为圆上任意一点，若点到直线的距离的最小值为，则的值是（   ） A． B． C．8 D．2 【答案】A 【分析】先求出圆心坐标和半径，再求出圆心到直线的距离，最后结合点到直线距离的最小值与圆心到直线距离和半径的关系来求解的值. 【详解】已知圆的方程为，即， 由此可知圆心坐标为，半径. 圆心到直线的距离， 因为点到直线的距离的最小值为，可知直线与圆相离， 而点到直线距离的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，即， 则，即，解得， 故选：A. 27．过点与圆相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与圆相切，则圆心与切点所在直线的斜率和切线斜率乘积为，结合斜率公式，圆的标准方程求圆心即可求解. 【详解】因为，所以点在圆上，则点为切点. 由圆可得，圆心，则， 所以切线所在直线斜率为，则切线方程为， 即. 故选：C. 28．过圆外一点向圆引切线，则点P与切点的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据图像找到切点坐标，再根据两点的坐标求距离. 【详解】已知圆心，半径， 如图所示 ∵圆心在轴上，半径为， 过圆心做轴且与圆交于点, ∴ 又∵点横坐标为， ∴轴，即轴， ∴ 故为圆的切线，切点为， ∵点横坐标为3，代入圆的标准方程可得的坐标为 又∵ 故，又因为两条切线相等， 故选:C. 29．过点作圆的切线，则该切线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先将点代入圆的方程，判断点与圆的位置关系，过圆外一点做圆的切线一定存在两条，设切线方程为，根据，求出，另一条切线方程的斜率不存在. 【详解】将点代入圆的方程可知，点在圆外． 过圆外一点做圆的切线一定存在两条， 设过点的圆的切线方程为， 根据，列方程为，解得， 另一条切线是过点斜率不存在的直线为． 故选：C. 30．过原点的直线与圆相切，且切点在第二象限，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求解斜率，再由切点在第二象限确定斜率为负，进而得到答案. 【详解】由题意，直线的斜率存在，设直线方程为， 因为圆可表示为， 所以圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离，解得， 因为切点在第二象限，所以直线斜率为负，所以， 所以直线方程为：. 故选：D. 31．过x轴正半轴上一点M，作圆的切线，切点分别是A，B，若，则点M的横坐标是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设点M为，作出图像根据圆的切线性质可知三角形与三角形全等，则，即可求得点M的横坐标. 【详解】设点M为，圆的切线，切点分别是A，B，如图： 由圆可知圆心为，半径为， 因为直线为圆的切线，所以， 又，则， 又，所以三角形与三角形全等， 则， 又，所以， 则，解得或（舍去）， 所以点M的横坐标为1. 故选：A. 32．已知过点的直线与圆相切于点，则（    ） A．16 B．4 C．21 D． 【答案】B 【分析】将圆化为标准式，求得圆心，半径，再根据可求解. 【详解】将圆化为，可知： 圆心坐标为，半径， 又，所以， 所以. 故选：B 33．直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式及弦长公式即可得解. 【详解】圆. 所以圆心为，半径为. 圆心到直线的距离. 所以弦长为. 故选：. 34．若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据直线被圆所截得的弦长公式，代数求解即可. 【详解】由圆可知：圆心，半径； 圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为， 整理得：，解得：， 故选：C. 35．已知点和圆，则过点P且被圆所截得的弦最短的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合直线与圆的位置关系，先求出圆心与点P连线的斜率，继而求出直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】设圆的圆心为O，则， 所以， 由题意，当直线过点P且垂直于直线时，直线被圆截得的弦长最短， 所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即. 故选：C. 36．（2026年山东省春季高考数学真题）已知圆的圆心到直线的距离为d，则结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标，再点到直线的距离公式求解即可. 【详解】圆可化为，因此圆心为. 圆心到直线的距离. 因为，所以，进而. 故选：C. 题型4直线与圆的应用 37．如图，为测量金属材料的硬度，用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面，在材料表面留下一个凹坑，现测得凹坑直径AB为10mm，若所用钢珠的直径CD为26mm，则凹坑深度为（ ） A．6mm B．3mm C．2mm D．1mm 【答案】D 【分析】连接，利用求出的值，即可得出凹坑深度的值. 【详解】连接，如图所示： 在中，. 所以. 所以.即凹坑深度为. 故选：D. 38．如图，圆弧形拱桥的跨度米，拱高米，则拱桥的直径为（   ） A．米 B．米 C．9米 D．米 【答案】B 【分析】设圆心为O，半径为r，由勾股定理列方程求值即可. 【详解】设圆心为O，半径为r， 由勾股定理得，， 因为，， 则，， 即，解得，所以拱桥的直径为. 故选：B. 39．某工厂要在圆形花坛周围安装护栏，已知圆的方程为，直线与圆相切，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与圆相切的条件列方程求解即可. 【详解】圆的圆心为 ，半径． 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得． 故选：C. 40．已知一艘海监船的监测范围是半径为25km的圆形区域.一艘货运轮船从位于海监船正东方向40km的处出发，径直驶向位于海监船正北方向30km的处岛屿.若以静止在海面上（不考虑其他因素）的海监船所在位置为坐标原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系，则、所在点构成的直线方程为.在海监船设备运行正常的情况下，下列关于货运轮船是否能被海监船监测的说法正确的是（   ） A．不能被监测 B．可能被监测，可能不会被监测 C．能在某个时刻被监测1次 D．能在某个时间段内一直被监测 【答案】D 【分析】首先求出圆心到直线的距离，再根据直线与圆的位置关系进行判断. 【详解】根据题意，圆心的坐标为，A，. 则圆心到直线的距离为. 且，所以货运轮船能在某个时间段内一直被监测. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $