【选择题专项】14 随机变量及其分布 2027年山东省（春季高考）《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦随机变量及其分布，以题型为纲构建“概念-性质-应用”递进逻辑，通过辨析、计算、实际问题培养数学思维与数据意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |离散型随机变量及其分布|16题（含2道真题）|概念辨析、分布列性质、期望方差计算|从随机变量定义到分布列性质，再到期望方差数字特征，形成完整概念应用链| |二项分布及其应用|14题|独立事件概率、二项分布公式及期望方差|以独立事件为基础，递进至二项分布概率计算与数字特征综合应用| |正态分布|5题|对称性应用、图像识别|围绕正态分布对称性核心，结合实际问题考查数据解释与预测能力|

2027年山东省春季高考 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （十四） 随机变量及其分布 题型1 离散型随机变量及其分布 1．给出下列四个命题： ①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量； ④抛一枚硬币三次，正面向上出现的次数是随机变量.其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用随机变量的定义直接判断即可. 【详解】如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这个变量叫随机变量。 显然，四个命题中的随机试验的结果都可以用一个变量来表示，即都是随机变量， 故四个命题都是真命题，即真命题的个数为. 故选：D. 2．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么表示的随机试验的结果是（   ） A．一颗是1点，一颗是4点 B．一颗是2点，一颗是3点 C．两颗都是5点 D．一颗是1点，一颗是4点或一颗是2点，一颗是3点 【答案】D 【分析】由随机变量的定义可知结果． 【详解】由随机变量的定义可知，表示所得点数之和为5， 试验的结果是：一颗是1点，一颗是4点或一颗是2点，一颗是3点． 故选：D． 3．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是（   ） A．小球滚出的最大距离 B．倒出小球所需的时间 C．倒出的三个小球的质量之和 D．倒出的三个小球的颜色的种数 【答案】D 【分析】根据离散型随机变量的概念判断即可. 【详解】A中，小球滚出的最大距离不是离散型随机变量，因为它可能是任意一个非负实数，不能一一列举； B中，倒出小球所需的时间不是离散型随机变量，因为所需时间可能是任意一个正实数，不能一一列举； C中，三个小球的质量之和是一个定值，不是随机变量，更不是离散型随机变量； D中，倒出的三个小球的颜色的种数可能为1种，2种，3种，可以一一列举，故倒出的三个小球的颜色的种数是离散型随机变量． 故选：D． 4．已知随机变量的概率分布列： 1 2 3 4 0.2 0.3 0.3 则实数的值是（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】根据离散随机变量的性质求解即可. 【详解】由分布列的性质知，解得. 故选：B. 5．某射手射击所得环数X的分布列如表所示： X 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知X的数学期望，则y的值是（   ） A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】C 【分析】由分布的概率性质和期望公式列方程组计算即可. 【详解】由题中分布列数据可得， 又期望，可得，即， 解得. 故选：C. 6．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示． X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其数学期望等于（   ） A．1 B．0.6 C． D．2.4 【答案】D 【分析】首先根据分布列的性质求出，再根据期望的公式求解即可. 【详解】因为，解得. 所以. 故选：D. 7．已知某射击运动员的命中环数的分布列为 4 5 6 7 8 9 10 0.01 0.04 0.06 0.08 0.28 0.31 0.22 则此运动员射击一次，命中环数大于8的概率为（    ） A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.53 【答案】D 【分析】根据分布列结合概率的加法公式即可得解. 【详解】根据表格可知环数大于8的概率为. 故选：. 8．已知离散型随机变量的分布列如表所示，其中，则实数（   ） 0 1 2 3 0.2 0.4 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质求解. 【详解】根据离散型随机变量分布列的性质，得， 因为，所以，即，则，. 故选：C. 9．已知离散型随机变量的分布列： 0 1 2 0.5 则实数的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用分布列的性质即可得解. 【详解】由分布列可知，， ，则或， 又因为且，解得， 所以， 故选：. 10．已知离散型随机变量X的分布列如下表： x 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则随机变量X的方差等于（   ） A．0 B．0.8 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据随机变量的期望与方差公式求解. 【详解】， . 故选：B. 11．现有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖（读“niè”）数据，通过计算可知样本均值，方差分别为，，则下列说法正确的是（   ）． A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 【答案】B 【分析】方差是衡量数据离散程度的统计量，方差越小，数据越集中、越整齐. 【详解】已知两种水稻的样本均值相等，即，说明它们的平均分蘖数相同. 而方差甲，乙，显然. 均值相同的情况下，方差越小样本数据越稳定，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐. 故选：B． 12．随机变量的分布列是 1 2 若，则（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据离散随机变量的期望以及方差求解即可. 【详解】根据分布列，所以且. 因为，解得，即，解得. 结合，解得. 则. 故选：B. 13．在一次测试中，甲、乙两名选手射击得分分别用变量，表示，经统计，变量，的分布列分别如下表所示： 1 2 3 1 2 3 P 0.1 0.6 0.3 P 0.4 0.2 0.4 依据表中数据，射击成绩较好的选手是（得分越大越好）（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙一样好 D．无法判断 【答案】A 【分析】分别计算变量，的期望，比较大小即可. 【详解】变量的期望， 变量的期望， 则，故选手甲的射击成绩较好. 故选：A. 14．已知随机变量的分布列如表所示，且，则（   ） 0 1 2 3 0.1 0.2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离散随机变量概率性质以及数学期望公式求解即可. 【详解】由表可得，即， 因为，所以， 所以，解得，， 则． 故选：D． 15．（2026年山东省春季高考数学真题）已知离散型随机变量X的分布列，则随机变量X的均值（   ） X 1 2 3 4 P 0.2 0.25 0.3 0.25 A．1.8 B．2.0 C．2.6 D．4.8 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的均值公式计算. 【详解】由题意，. 故选：C. 16．（2025年山东省春季高考数学真题）已知随机变量X的分布列 X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 a 0.25 则实数a的值是（    ） A．0.15 B．0.25 C．0.35 D．0.45 【答案】B 【分析】根据随机变量分布列的概率和为求解即可. 【详解】由概率性质可得：，解得. 故选：B. 题型2 二项分布及其应用 17．两个路口的红绿灯状态相对独立，且两个路口均为红灯的概率为0.2，第一个路口为红灯的概率为0.5，问两个路口均为绿灯的概率.（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 【答案】A 【分析】根据题意先求出第二个路口为红灯的概率，再根据对立事件及独立事件的概率公式求解. 【详解】设第二个路口为红灯的概率为， 由题意得，解得， 则第一个路口为绿灯的概率为，第二个路口为绿灯的概率为， 所以两个路口均为绿灯的概率为， 故选：. 18．若随机变量服从二项分布，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项分布计算公式计算出正确答案. 【详解】由已知得，即. 故选：B. 19．从A地到B地经过 3 个红绿灯，红灯的概率是，互相独立，A 地到 B 地遇到 2 个红灯的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的概率公式求值即可. 【详解】遇到 2 个红灯的概率 ， 故选：C. 20．已知随机变量服从二项分布，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的概率计算公式计算即可. 【详解】已知随机变量服从二项分布， 则． 故选：C． 21．已知甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和．若两人同时参加听力测试，则其中有且只有一人能通过的概率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据事件的独立性、互斥性，即可求解. 【详解】设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”， 根据题意，知事件A和B相互独立，且，， 记“有且只有一人通过听力测试”为事件C， 则，且和互斥， 所以， ， 所以有且只有一人能通过的概率是. 故选：C. 22．在一次篮球测试中，甲合格的概率为，乙合格的概率为，则甲、乙至少有一人合格的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出甲乙都不合格的概率，再利用对立事件的概率公式计算作答即可. 【详解】依题意，在篮球测试中，甲乙是否合格相互独立， 设甲乙两人都不合格为事件，其对立事件为甲、乙至少有一人合格， 则甲乙两人都不合格的概率为， 根据对立事件的概率公式可得： 甲、乙至少有一人合格的概率为. 故选：. 23．若随机变量 ，则 的值为（    ） A．6 B．7 C．13 D．14 【答案】B 【分析】根据二项分布的期望公式即可求解. 【详解】由题意得，，所以. 故选：B. 24．已知某射击运动员每次射击命中目标的概率是0.7，该运动员连续射击10次，则恰有6次命中目标的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用二项分布求出概率即可得解. 【详解】射击运动员每次射击命中目标的概率是0.7，没有命中的概率为， 该运动员连续射击10次，恰有6次命中目标的概率为， 故选：. 25．若随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项分布的期望与方差公式即可求解. 【详解】因为随机变量，则， 所以，则. 故选：B. 26．已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合期望公式即可得解. 【详解】，， 故选：. 27．已知随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正态分布结合二项分布的定义以及期望和方差公式即可求解. 【详解】因为，， 所以，， ，， 所以. 故选：D. 28．某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则）等于（   ） A．0.9163 B．0.0081 C．0.0756 D．0.9919 【答案】D 【分析】根据二项分布的概率公式，结合对立事件的性质，求值即可. 【详解】由题意得，，的取值为0，1，2，3，4， ， . 故选：D. 29．已知随机变量服从二项分布，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由随机变量服从二项分布，结合期望及方差的公式运算即可得解. 【详解】因为随机变量服从二项分布，，， 所以，解得. 故选：B. 30．甲、乙、丙三个小朋友玩卡片游戏，每人都有红、黄、蓝颜色的卡片各一张，游戏规则是：每人同时随机拿出一张卡片，若有且只有两人的卡片颜色相同，则第三人胜出．那么出卡一次，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率计算公式即可解得. 【详解】甲获胜则甲与乙、丙颜色不同，乙、丙颜色相同， 若乙、丙选红色，概率分别为， 则甲可能选择黄蓝，概率为， 同理乙、丙选黄色或蓝色，则甲获胜总概率为， 故选：D 题型3 正态分布 31．已知随机变量，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布曲线的对称性，通过已知概率推导所求概率. 【详解】由题意知随机变量， 所以正态分布曲线的对称轴为， 因为， 所以， 所以. 故选：D. 32．已知随机变量X服从正态分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布曲线对称的性质即可解答. 【详解】已知随机变量X服从正态分布， 已知正态分布曲线的对称轴为， 所以， 故选：A. 33．随着科学日新月异发展，AI芯片被定义为“第四次工业革命的大脑”．我国某科研公司自主研发AI芯片元件的质量指标服从正态分布，若，则（   ） A．0.32 B．0.42 C．0.82 D．0.18 【答案】A 【分析】根据题意结合正态分布的性质即可得解. 【详解】根据已知条件质量指标服从正态分布，可知正态分布曲线的对称轴为直线， 又因为与关于直线对称，， 所以， 结合正态分布曲线概率用面积来表示，可知. 故选：. 34．某中职学校高三年级1000名男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，且，学校篮球队选拔身高不低于的男生，则估计该校高三满足身高要求的男生人数为（   ）． A．200 B．300 C．400 D．500 【答案】A 【分析】根据题意结合正态分布的性质即可得解. 【详解】高三年级1000名男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布， 则，， 因为，根据对称性可知， 则， 所以高三满足身高不低于的男生人数为， 故选：. 35．正态分布的图像为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据正态分布的图像关于直线对称，即可解得. 【详解】正态分布的图像关于直线对称， 所以选项BCD错误，选项A图像关于直线对称，正确. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年山东省春季高考 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （十四） 随机变量及其分布 题型1 离散型随机变量及其分布 1．给出下列四个命题： ①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量； ④抛一枚硬币三次，正面向上出现的次数是随机变量.其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么表示的随机试验的结果是（   ） A．一颗是1点，一颗是4点 B．一颗是2点，一颗是3点 C．两颗都是5点 D．一颗是1点，一颗是4点或一颗是2点，一颗是3点 3．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是（   ） A．小球滚出的最大距离 B．倒出小球所需的时间 C．倒出的三个小球的质量之和 D．倒出的三个小球的颜色的种数 4．已知随机变量的概率分布列： 1 2 3 4 0.2 0.3 0.3 则实数的值是（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 5．某射手射击所得环数X的分布列如表所示： X 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知X的数学期望，则y的值是（   ） A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.3 6．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示． X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其数学期望等于（   ） A．1 B．0.6 C． D．2.4 7．已知某射击运动员的命中环数的分布列为 4 5 6 7 8 9 10 0.01 0.04 0.06 0.08 0.28 0.31 0.22 则此运动员射击一次，命中环数大于8的概率为（    ） A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.53 8．已知离散型随机变量的分布列如表所示，其中，则实数（   ） 0 1 2 3 0.2 0.4 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 9．已知离散型随机变量的分布列： 0 1 2 0.5 则实数的值为（    ）． A． B． C． D． 10．已知离散型随机变量X的分布列如下表： x 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则随机变量X的方差等于（   ） A．0 B．0.8 C．2 D．1 11．现有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖（读“niè”）数据，通过计算可知样本均值，方差分别为，，则下列说法正确的是（   ）． A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 12．随机变量的分布列是 1 2 若，则（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 13．在一次测试中，甲、乙两名选手射击得分分别用变量，表示，经统计，变量，的分布列分别如下表所示： 1 2 3 1 2 3 P 0.1 0.6 0.3 P 0.4 0.2 0.4 依据表中数据，射击成绩较好的选手是（得分越大越好）（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙一样好 D．无法判断 14．已知随机变量的分布列如表所示，且，则（   ） 0 1 2 3 0.1 0.2 A． B． C． D． 15．（2026年山东省春季高考数学真题）已知离散型随机变量X的分布列，则随机变量X的均值（   ） X 1 2 3 4 P 0.2 0.25 0.3 0.25 A．1.8 B．2.0 C．2.6 D．4.8 16．（2025年山东省春季高考数学真题）已知随机变量X的分布列 X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 a 0.25 则实数a的值是（    ） A．0.15 B．0.25 C．0.35 D．0.45 题型2 二项分布及其应用 17．两个路口的红绿灯状态相对独立，且两个路口均为红灯的概率为0.2，第一个路口为红灯的概率为0.5，问两个路口均为绿灯的概率.（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 18．若随机变量服从二项分布，则的概率为（    ） A． B． C． D． 19．从A地到B地经过 3 个红绿灯，红灯的概率是，互相独立，A 地到 B 地遇到 2 个红灯的概率是（    ） A． B． C． D． 20．已知随机变量服从二项分布，则（    ） A． B． C． D． 21．已知甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和．若两人同时参加听力测试，则其中有且只有一人能通过的概率是（   ） A． B． C． D．1 22．在一次篮球测试中，甲合格的概率为，乙合格的概率为，则甲、乙至少有一人合格的概率为（    ） A． B． C． D． 23．若随机变量 ，则 的值为（    ） A．6 B．7 C．13 D．14 24．已知某射击运动员每次射击命中目标的概率是0.7，该运动员连续射击10次，则恰有6次命中目标的概率为（   ） A． B． C． D． 25．若随机变量，则（    ） A． B． C． D． 26．已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 27．已知随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，，则（ ） A． B． C． D． 28．某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则）等于（   ） A．0.9163 B．0.0081 C．0.0756 D．0.9919 29．已知随机变量服从二项分布，若，，则（   ） A． B． C． D． 30．甲、乙、丙三个小朋友玩卡片游戏，每人都有红、黄、蓝颜色的卡片各一张，游戏规则是：每人同时随机拿出一张卡片，若有且只有两人的卡片颜色相同，则第三人胜出．那么出卡一次，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 题型3 正态分布 31．已知随机变量，若，则等于（   ） A． B． C． D． 32．已知随机变量X服从正态分布，若，则（   ） A． B． C． D． 33．随着科学日新月异发展，AI芯片被定义为“第四次工业革命的大脑”．我国某科研公司自主研发AI芯片元件的质量指标服从正态分布，若，则（   ） A．0.32 B．0.42 C．0.82 D．0.18 34．某中职学校高三年级1000名男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，且，学校篮球队选拔身高不低于的男生，则估计该校高三满足身高要求的男生人数为（   ）． A．200 B．300 C．400 D．500 35．正态分布的图像为（    ） A．   B．   C．   D．   试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $