【选择题专项】13 古典概型与排列组合 2027年山东省（春季高考）《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦古典概型与排列组合，以9大题型系统覆盖核心考点，融合5年真题，构建"原理-应用-概率"递进训练体系，强化数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |加法原理与乘法原理|5题（含2022真题）|实际情境计数|从基础原理到分步分类思想| |元素限制排列|6题（含2023/2025真题）|位置/元素特殊要求|限制条件下的优先法应用| |相邻问题排列|8题|捆绑法典型应用|整体与局部排列关系| |不相邻问题排列|9题（含2026真题）|插空法场景|间隔排列的逻辑构建| |其他排列|5题|综合应用|排列问题变式拓展| |组合数计算|5题|公式应用|组合数性质与方程求解| |组合应用|13题（含2024真题）|实际问题建模|组合与排列的综合辨析| |分组分配|7题|均匀/非均匀分组|分步计数原理深化| |古典概型|14题（含2022-2026年5道真题）|等可能事件概率|排列组合在概率中的应用|

2027年山东省春季高考 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （十三） 古典概型与排列组合 题型1 加法原理与乘法原理 1．设学校图书馆一楼到二楼有4个楼梯可走，从二楼以上都有三个楼梯可走，则从一楼到五楼的不同的走法有几种？（    ） A．4 B．13 C．108 D．24 2．某校从六位同学中选出4名同学参加座谈会，若两名同学中至多有一个人参加，则不同的选法有（   ）种． A．15 B．14 C．12 D．9 3．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（    ） A．243 B．252 C．261 D．279 4．某外事部门有4个人只会讲英语，有3个人只会讲日语，有2个人既会讲英语又会讲日语，现需要从这9人中选出说英语的1个人和说日语的1个人，从事接待工作，不同选法的种数是（    ） A．28 B．32 C．46 D．52 5.（2022年山东省春季高考数学真题）有三张卡片，第一张卡片的正反两面分别写有数字1，3，第二张卡片的正反两面分别写有数字2，4，第三张卡片的正反两面分别写有数字5，7，现从这三张卡片中任取两张并排放在桌面上，两张卡片朝上一面的数字组合成一个两位数，则所有不同两位数的个数是（    ） A．8 B．12 C．18 D．24 题型2 元素（位置）有限制的排列问题 6．某中学环保社团计划利用社团前空地栽种五棵高度不一样的树木，其中最高和最矮的两棵树木种在两头的方法种数有（   ）. A．6 B．12 C．24 D．48 7．甲、乙等5个同学站一排，主持联欢晚会，则甲不站在两端的排法有（   ）种. A．120 B．72 C．70 D．60 8．用0，1，2，3，4，5，6，7八个数字组成无重复数字的整数，其中四位奇数是多少个（    ） A．36 B．720 C．490 D．840 9．小明新买的储蓄罐有5位密码，他决定在“斐波那契数列”的前6项中随机抽取5个数字设置为储蓄罐的密码，且密码的第3位是偶数，已知“斐波那契数列”的前6项依次为“1、1、2、3、5、8”，则可以设置的不同密码个数为（ ） A．144 B．120 C．84 D．116 10．（2025年山东省春季高考数学真题）某职业高中的六个社团排练“风采展演”节目．安排出场顺序时，要求朗诵社团的节目排第一位，武术社团的节目不排第二位，剪纸社团的节目不排最后一位．则所有不同的排法种数是（   ） A．72 B．78 C．84 D．108 11．（2023年山东省春季高考数学真题）某职业学校在“职教宣传周”期间，把2件教师作品和编号为1~5的5件学生作品摆成一排进行展览，若将教师作品摆放在两端，1号学生作品摆放在正中间，则所有不同摆放方法的种数是（    ）． A．24 B．48 C．72 D．96 题型3 相邻问题的排列问题 12．有8人站成一排，现要求其中甲、乙、丙、丁四人必须相邻，其余4人任意排列，问有多少种不同的排法？（  ） A．1680种 B．256种 C．630种​ D．2880种 13．5名同学站成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻的不同站法有（    ）种． A．24 B．48 C．56 D．120 14．某市技能大赛4位获奖学生和2位指导教师要求站成一排拍照留念，其中2位教师必须站在中间的种数为（    ） A． B． C． D． 15．记者要为5名志愿者和他们帮助的2名老人拍照，要求排成一排，2名老人相邻但不排在两端，则所有不同排法的种数是（     ） A．1440 B．960 C．720 D．420 16．现有3位教师和4位学生站成一排照相，任选一位教师站在正中位置，3位教师中最多允许2位可以相邻，那么所有不同排法的种数是（    ） A．864 B．1296 C．1728 D．2040 17．某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有（ ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 18．某校文艺汇演上有一个合唱节目，4名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（   ） A．1440 B．2880 C．480 D．960 19．某学校安排甲、乙等6名同学到三个社区开展服务活动，每个社区均安排2名同学，其中甲乙二人必须安排在同一社区，则不同的安排的方法的个数为（     ） A．6 B．18 C．36 D．90 题型4 不相邻问题的排列问题 20．一排9个座位有6个人坐，若每个空位两边都坐有人，不同的坐法共有（    ） A．7200种 B．3600种 C．2400种 D．1200种 21．有5名学生排成一排．其中甲、乙两人不相邻的排法有（     ） A．72种 B．60种 C．36种 D．12种 22．某班组织文艺晚会，从等6个节目中任选3个排序演出，若节目至少有一个入选，且当同时入选时，不能相邻演出，则所有不同演出顺序的种数是（   ） A．84 B．80 C．76 D．72 23．高一某班一天上午有节课，下午有节课，现要安排该班一天中语文､数学､英语､物理､化学､生物､地理节课的课程表，要求生物课排在上午第四节，化学课排在下午，数学与物理不相邻，则不同的排法种数共有（ ）种 A． B． C． D． 24．只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（ ） A．30个 B．36个 C．42个 D．48个 25．已知A、B、C、D四个同学站成一排，要求和不相邻，不站两端，则不同排法的种数是（ ） A．8 B．10 C．12 D．16 26．现有2名教师和3名学生站成一排，若教师都不能站在两端，且2名教师之间恰有1名学生，则所有不同的站法种数是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 27．将3种植物种植在4块试验田内（3种植物都要种），如表所示： 第1试验田 第2试验田 第3试验田 第4试验田 若每块试验田种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，则不同的种植方法是：（    ） A． B． C． D． 28．（2026年山东省春季高考数学真题）如图所示，现有两排四列8个座位，从中选取2个座位安排甲乙入座，要求在同一排时不相邻，不在同一排时不同列，则甲乙所有不同坐法的种数是（   ）    A．18 B．24 C．32 D．36 题型5 其它排列问题 29．甲乙丙丁四个人，抽取两人参加象棋、钢琴两个社团活动，每个社团恰有1人参加的活动方法共有（    ） A．18 B．10 C．12 D．8 30．甲、乙两人计划周末各自从5个备选景点中选择2个进行游览，则他们选的景点至少有1个相同的选法有（ ） A．60种 B．70种 C．80种 D．100种 31．某高三毕业班有50人，若同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言（ ） A．2450条 B．1875条 C．1225条 D．675条 32．甲、乙、丙三位同学从 7 处不同的景点中各自选 2 处旅游，则三人恰好选择一个相同的景点，且他们各自选择的另一个景点互不相同的选法共有（ ） A．840 种 B．420 种 C．210 种 D．140 种 33．将4个相同的商品放在，，，4个空货架上，则有且仅有2个货架上有商品的放法有（ ） A．18种 B．20种 C．24种 D．120种 34．把五位老师均随机安排到三个学校任数，若每位老师安排到一个学校，每个学校至少安排一位老师，则所有不同安排方法的种数是（   ）． A．25 B．50 C．150 D．300 题型6 组合数的计算 35．（ ） A． B． C． D． 36．若，则（ ） A． B． C． D． 37．若，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 38．若，则（    ） A． B． C．或 D．或 39．已知，则（ ） A． B．或 C． D．或 题型7 组合应用题 40．从数字，，，中任意取出3个数字（允许重复）组成三位数，且各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（    ） A． B． C． D． 41．用数字排一个无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（   ） A．52 B．48 C．76 D．63 42．计算机用0和1构成二进制代码，如“”就是一个五位的二进制代码.则由三个1和五个0可组成不同的八位二进制代码（首位可以为0）的个数为（   ） A．56 B．50 C．65 D．26 43．由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（    ） A．24 B．12 C．10 D．6 44．从中任取两个奇数和两个偶数，排成没有重复数字的四位数，这样的四位数的个数是（    ） A．720 B．2880 C．1440 D．以上都不对 45．将个和个随机排成一行，则个不相邻的情况有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 46．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗队小组，则不同的选法共有（    ） A．60种 B．70种 C．75种 D．150种 47．学校要邀请甲、乙等9位学生家长中的6人参加一个座谈会，其中甲、乙两位家长不能同时参加，则不同的邀请方法种数是（   ）. A．140 B．98 C．84 D．49 48．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有（   ） A．144种 B．84种 C．70种 D．35种 49．某班周一有6节不同的课程，分别是语文、数学、英语、德育、体育、美术，上午要排4节，下午排2节，要求体育课不得排在第一节，数学课不得排在下午，则不同的排法有（    ） A．408种 B．120种 C．288种 D．720种 50．某班级有20位男生，15位女生，现要选3人去参加市级数学素养比赛，班长甲（女生）作为数学成绩第一名必须参加，则不同的选法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 51．甲、乙两班各人参加数学竞赛，人分两排合影留念，若从甲班的人和乙班的人中各选人站在前排，后排的人要求甲班的人必须相邻，同时乙班的人也必须相邻，则不同的站法有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 52．5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 53．有12位同学在毕业前夕要留影，每位同学的身高均不同，要求排成前5位、后7位的两排，且组长站在前排正中间，两位女生甲、乙站前排，则所有的排法有（ ）种． A． B． C． D． 54．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（ ） A．560 B．2735 C．1136 D．480 55．全组有个男同学，个女同学，现选出个代表，最多有个女同学当选的选法种数是（ ） A． B． C． D． 56．（2024年山东省春季高考数学真题）某学校安排甲、乙等6名同学到三个社区开展服务活动，每个社区均安排2名同学，其中甲乙二人必须安排在同一社区，则不同的安排的方法的个数为（ ） A．6 B．18 C．36 D．90 题型8 分组分配问题 57．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 58．把4本不同的书分给两个人，每人2本，不同的分法有（    ）种． A．6 B．12 C．24 D．10 59．现有5本科技书分别分给2个同学，一个同学分2本，另一个同学分3本，则不同的分法共有（     ） A．10种 B．20种 C．30种 D．40种 60．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加实践活动，每个小组由1 名教师和2名学生组成，则不同的安排方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 61．某职业学校开展“蓝天白云”宣讲活动，现将4名志愿者分别安排到A，B，C三个社区进行宣讲，若每个人都要参加，且每个社区至少要安排1名志愿者，则所有不同的安排方法种数是（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 62．现有6本不同的书，随机分为三堆，每堆2本，则不同分法的种数是（    ） A．15 B．30 C．45 D．90 63．现有4本不同的书，送给3个人，每人至少1本，则不同的送法有（    ）. A．72种 B．36种 C．12种 D．100种 题型9 古典概型 64．古代“五行”学说认为：“物质分为金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”.从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为  （    ） A． B． C． D． 65．袋中有6个小球，5个白球，1个红球，从中任取一个，取到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 66．某停车场共有6个车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同的停车位上，则至少有两辆汽车停放在相邻车位上的概率是（     ） A． B． C． D． 67．已知5件产品中有且只有2件是次品，现从这5件产品中任取2件，则恰有1件次品的概率为（     ）． A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 68．从五棱锥的6个顶点中随机选取4个，则这4个顶点能组成一个四面体的概率是（   ） A． B． C． D． 69．三个不同颜色的乒乓球随机投入两个盒子，则三个乒乓球不在同一个盒子中的概率是（   ） A． B． C． D． 70．现有甲、乙、丙3名志愿者被随机分到，两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙不在同一个岗位服务的概率为（    ） A． B． C． D． 71．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数之和是3的倍数的概率是（    ） A． B． C． D． 72．清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中职高一年级2人，职高二年级3人，职高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在职高二年级3人相邻的前提下，职高一年级2人不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 73．甲、乙两人各有2张卡片，每张卡片上只有一个数字，甲的卡片上分别是2，4，乙的卡片上分别是2，5.若甲、乙两人从各自的卡片中随机拿出一张比较数字的大小，则甲的数字不大于乙的数字的概率是（    ） A． B． C． D． 74．用红、黄、蓝三种不同颜色涂料给三个矩形随机涂色，每个矩形只能涂一种颜色，则三个矩形颜色都不相同的概率是（    ） A． B． C． D． 75．现有6个空座位排成一排，3名同学随机坐在不同座位，则没有任何两名同学相邻的概率是（   ） A． B． C． D． 76．从甲、乙、丙、丁、戊5名青年志愿者中随机选出3名安排到三个社区参加义务服务活动，则甲、乙两人均被选中的概率为（   ） A． B． C． D． 77．把“温、良、恭、俭、让”五个字排成一排，则恭、俭必须相邻的概率（    ） A． B． C． D． 78．甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片只标有一个数字，甲的卡片上分别是2、4、6、乙的卡片上分别是2、3、5、若甲、乙两人从各自的卡片中随机拿出一张比较数字大小，则甲的数字不小于乙数字概率（        ） A． B． C． D． 79．（2026年山东省春季高考数学真题）现将甲乙丙三人随机分到AB两个车间进行技能训练，每个人只能去一个车间，且每个车间至少要分一个人，则甲被分到A车间的概率是（   ） A． B． C． D． 80．（2025年山东省春季高考数学真题）甲乙各有三张只写一个数字的卡片，甲的卡片是2，4，6，乙的卡片是2，3，5，两人随机拿出一张比较大小，甲不小于乙的概率是（   ） A． B． C． D． 81．（2024年山东省春季高考数学真题）某学校甲、乙两名教师和3名学生站在一排照相，如果教师甲位于教师乙的左边（可相邻，可不相邻），则至少有2名学生相邻的概率是（     ） A． B． C． D． 82．（2022年山东省春季高考数学真题）某职业学校计划举行合唱、舞蹈、书画三项活动，若甲、乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，则恰好都选择舞蹈的概率是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年山东省春季高考 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （十三） 古典概型与排列组合 题型1 加法原理与乘法原理 1．设学校图书馆一楼到二楼有4个楼梯可走，从二楼以上都有三个楼梯可走，则从一楼到五楼的不同的走法有几种？（    ） A．4 B．13 C．108 D．24 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】因为一楼到二楼有4个楼梯可走，从二楼以上都有三个楼梯可走， 所以从二楼到三楼有3个楼梯可走，从三楼到四楼有3个楼梯可走，从四楼到五楼有3个楼梯可走， 进而从一楼到五楼的不同的走法有种. 故选：C. 2．某校从六位同学中选出4名同学参加座谈会，若两名同学中至多有一个人参加，则不同的选法有（   ）种． A．15 B．14 C．12 D．9 【答案】D 【分析】根据分类计数原理结合组合问题即可求解. 【详解】由题意得，第一类：两人都不参加，有种选法， 第二类：两人只有人参加，有种选法， 所以不同的选法有种选法. 故选：D. 3．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（    ） A．243 B．252 C．261 D．279 【答案】B 【分析】由分步乘法计数原理，先求组成三位数的个数，再求组成没有重复数字的三位数的个数，利用剔除法可求解. 【详解】由分步乘法计数原理知， 用0，1，…，9十个数字组成三位数的个数为：， 组成没有重复数字的三位数的个数为：， 所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：. 故选：B 4．某外事部门有4个人只会讲英语，有3个人只会讲日语，有2个人既会讲英语又会讲日语，现需要从这9人中选出说英语的1个人和说日语的1个人，从事接待工作，不同选法的种数是（    ） A．28 B．32 C．46 D．52 【答案】A 【分析】根据题意，结合组合数的应用，按选出的接待人员中是否包含既会讲英语又会讲日语的人，分两种情况进行计算，即可求解. 【详解】由题意，可分两种情况： 第一种，若选出的人中不包含既会讲英语又会讲日语的人，即从只会讲英语的选出一人， 从只会讲日语的选出一人，共有种； 第二种，若选出的人中包含既会讲英语又会讲日语的人，则从既会讲英语又会讲日语的人中选1人， 从其他8人中再选1人，共有种； 故不同选法的种数是种. 故选：A. 5．（2022年山东省春季高考数学真题）有三张卡片，第一张卡片的正反两面分别写有数字1，3，第二张卡片的正反两面分别写有数字2，4，第三张卡片的正反两面分别写有数字5，7，现从这三张卡片中任取两张并排放在桌面上，两张卡片朝上一面的数字组合成一个两位数，则所有不同两位数的个数是（    ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】由排列数公式和分步计数原理计算即可. 【详解】从三张卡片中任取两张按顺序并排放在桌面上有种不同的放法， 排放在十位数上的卡片又有种不同的数字， 排放在个位数上的卡片也有种不同的数字， 由分步计数原理得所有不同两位数的个数为. 故选:D. 题型2 元素（位置）有限制的排列问题 6．某中学环保社团计划利用社团前空地栽种五棵高度不一样的树木，其中最高和最矮的两棵树木种在两头的方法种数有（   ）. A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】B 【分析】先排最高和最矮的两棵树木，再将剩余的全排列即可得解. 【详解】先将最高和最矮的两棵树木种在两头，有种方法， 再将其余的树种在中间的位置有种方法， 所以共有种方法， 故选：. 7．甲、乙等5个同学站一排，主持联欢晚会，则甲不站在两端的排法有（   ）种. A．120 B．72 C．70 D．60 【答案】B 【分析】先确定甲的位置，再对其余同学进行全排列. 【详解】因为甲不站在两端，那么甲只能站在中间的个位置，所以甲的排法有种， 甲排好后，其余个同学可以在剩下的个位置进行全排列，排法有种， 所以甲不站在两端的排法共有种， 故选：B. 8．用0，1，2，3，4，5，6，7八个数字组成无重复数字的整数，其中四位奇数是多少个（    ） A．36 B．720 C．490 D．840 【答案】B 【分析】先确定个位数和千位数，最后确定百位数和十位数，根据分步计数原理即可求解. 【详解】第一步确定个位数字，因为组成的数为奇数， 所以个位数为奇数，则从中选一个，有4种选法， 第二步确定千位数字，千位数字不能为0， 则千位数字从除0和已选个位数之外的6个数字中选取一个，有6种选法， 第三步确定百位和十位，从剩余6个数字中选2个数字排列，共有种， 根据分步计数原理可得四位奇数有个. 故选：B. 9．小明新买的储蓄罐有5位密码，他决定在“斐波那契数列”的前6项中随机抽取5个数字设置为储蓄罐的密码，且密码的第3位是偶数，已知“斐波那契数列”的前6项依次为“1、1、2、3、5、8”，则可以设置的不同密码个数为（ ） A．144 B．120 C．84 D．116 【答案】B 【分析】分选取的数字只有一个1和有两个1两种情况讨论，即可得解. 若选的数字只有一个1，此时有两个偶数，则不同的排列方法有种； 若选的数字有两个1，则不同的排列方法有种. 故共有种不同的设置方法. 故选：B. 10．（2025年山东省春季高考数学真题）某职业高中的六个社团排练“风采展演”节目．安排出场顺序时，要求朗诵社团的节目排第一位，武术社团的节目不排第二位，剪纸社团的节目不排最后一位．则所有不同的排法种数是（   ） A．72 B．78 C．84 D．108 【答案】B 【分析】先计算朗诵社团固定在第一位，剩余5个社团的排列总数，然后去除不符合条件的情形，即可得解． 【详解】朗诵社团固定在第一位，剩余5个社团的排列总数为种． 其中，武术社团在第二位的情况有种； 剪纸社团在最后一位的情况有种； 同时满足武术社团在第二位且剪纸社团在最后一位的情况有种． 所以不符合条件的总数为种，     因此符合条件的排列数为种． 故选：B． 11．（2023年山东省春季高考数学真题）某职业学校在“职教宣传周”期间，把2件教师作品和编号为1~5的5件学生作品摆成一排进行展览，若将教师作品摆放在两端，1号学生作品摆放在正中间，则所有不同摆放方法的种数是（    ）． A．24 B．48 C．72 D．96 【答案】B 【分析】根据分步计数原理即可求解. 【详解】1号学生作品摆放在正中间，有1种摆法， 2件教师作品摆放在两端有种摆法， 剩下4件学生作品有种摆法， 由分步计数原理可知，共有种摆法. 故选：B. 题型3 相邻问题的排列问题 12．有8人站成一排，现要求其中甲、乙、丙、丁四人必须相邻，其余4人任意排列，问有多少种不同的排法？（  ） A．1680种 B．256种 C．630种​ D．2880种 【答案】D 【分析】根据题意，结合排列数的应用，利用捆绑法，即可求解. 【详解】将甲、乙、丙、丁四人捆绑成一个整体，内部排列有 种； 将这个整体与其余4人共5个元素全排列，有 种； 根据分步乘法计数原理，总排法为种. 故选：D. 13．5名同学站成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻的不同站法有（    ）种． A．24 B．48 C．56 D．120 【答案】B 【分析】由排列的相邻问题，计算排列数即可. 【详解】将甲乙两人捆绑在一起有2种排法， 将甲乙视为一个整体，与其余3名同学共4个元素进行全排列，有种排法， 所以甲、乙两人必须相邻的不同站法有种. 故选：B. 14．某市技能大赛4位获奖学生和2位指导教师要求站成一排拍照留念，其中2位教师必须站在中间的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用分步乘法计数原理，先计算2位教师在中间位置的排列数，再计算4位学生在剩余位置的排列数，二者相乘得到总排列种数即可. 【详解】安排2位教师站中间的2个位置， 排列数为， 安排4位学生站剩余的4个位置， 排列数为， 所以2位教师必须站在中间的种数为， 故选：A. 15．记者要为5名志愿者和他们帮助的2名老人拍照，要求排成一排，2名老人相邻但不排在两端，则所有不同排法的种数是（     ） A．1440 B．960 C．720 D．420 【答案】B 【分析】根据排列数以及捆绑法，插空法求解即可. 【详解】5名志愿者和他们帮助的2名老人，共7人， 2名老人相邻但不排在两端， 将2名老人看作一个整体，方法数为， 先将5名志愿者进行全排列，方法数为， 5名志愿者除去首尾两个空位，中间共4个空位， 将2名老人“整体”看作1个人，插入到4个空位中，方法数为， 则所有不同排法的种数是. 故选：B. 16．现有3位教师和4位学生站成一排照相，任选一位教师站在正中位置，3位教师中最多允许2位可以相邻，那么所有不同排法的种数是（    ） A．864 B．1296 C．1728 D．2040 【答案】C 【分析】根据组合、排列数的计算分析求解即可. 【详解】3位教师和4位学生站成一排照相，任选一位教师站在正中位置， 不同的排法共有种； 任选一位教师站在正中位置且3位教师都相邻的排法共有 种； 所以任选一位教师站在正中位置，3位教师中最多允许2位可以相邻 的排法共有种. 故选：C. 17．某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有（ ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】A 【分析】利用捆绑法即可求解. 利用捆绑法排3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目有种. 故选：A. 18．某校文艺汇演上有一个合唱节目，4名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（   ） A．1440 B．2880 C．480 D．960 【答案】B 【分析】根据题意，结合排列数的应用，利用捆绑法，将男生甲与女生乙看成一个整体，男生丙与女生丁看成一个整体，与其他4名同学全排列，两名相邻同学之间再全排列，即可求解. 【详解】由题意，不同的排法总数为种. 故选：B. 19．某学校安排甲、乙等6名同学到三个社区开展服务活动，每个社区均安排2名同学，其中甲乙二人必须安排在同一社区，则不同的安排的方法的个数为（     ） A．6 B．18 C．36 D．90 【答案】B 【分析】根据组合的优先考虑法和捆绑法易得答案. 【详解】先排甲乙二人，所以有种情况， 所以不同的安排的方法的个数为种. 故选：B. 题型4 不相邻问题的排列问题 20．一排9个座位有6个人坐，若每个空位两边都坐有人，不同的坐法共有（    ） A．7200种 B．3600种 C．2400种 D．1200种 【答案】A 【分析】根据排列组合中的“插空法”与“不相邻问题”即可得解. 【详解】根据条件“每个空位两边都坐有人”，可知空位不能出现在两端，且空位之间不能相邻， 总共有9个座位，6个人坐，即3个空位， 先将6个人全排列，有 种坐法， 6个人产生5个内部间隙，从中选择3个间隙各放入一个空位，有种方式， 因此总坐法数为种， 故选：A. 21．有5名学生排成一排．其中甲、乙两人不相邻的排法有（     ） A．72种 B．60种 C．36种 D．12种 【答案】A 【分析】根据排列数的计算即可求解. 【详解】五名同学任意排则有种，甲乙同学相邻则有种， 所以甲乙不相邻的排法有种. 故选：A. 22．某班组织文艺晚会，从等6个节目中任选3个排序演出，若节目至少有一个入选，且当同时入选时，不能相邻演出，则所有不同演出顺序的种数是（   ） A．84 B．80 C．76 D．72 【答案】B 【分析】分析题意可知，需分两类进行求解，第一类，只有一个入选，第二类：同时入选，再利用分类加法原理进行计算即可求解. 【详解】根据题意，可以分两类：第一类，从中选一个节目有种选法， 则从剩余4个节目中选择2个节目有种， 再将这3个节目全排列，所以不同演出顺序有种； 第二类：同时入选，则从剩余4个节目中选择一个节目有种， 因为当同时入选时，不能相邻演出，所以3个节目中不相邻的排法有2种， 则不同演出顺序有种， 所以所有不同演出顺序的种数是（种）. 故选：B. 23．高一某班一天上午有节课，下午有节课，现要安排该班一天中语文､数学､英语､物理､化学､生物､地理节课的课程表，要求生物课排在上午第四节，化学课排在下午，数学与物理不相邻，则不同的排法种数共有（ ）种 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据要求，生物固定在上午第四节，化学固定在下午，数学和物理不相邻，则可分成数学和物理都排在上午或下午、数学和物理一个在上午一个在下午，四种情况，结合排列和组合分类求解即可. 若数学和物理都排在上午，则有种； 若数学和物理都排在下午，则有种； 若数学排在上午，物理排在下午，则有种； 若数学排在下午，物理排在上午，则有种. 综上，不同的排法共有种. 故选：C 24．只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（ ） A．30个 B．36个 C．42个 D．48个 【答案】C 【分析】分同一个数字出现3次和两个数字出现两次，第三个数字出现1次两种情况，求出各个情况数，相加得到答案. 同一个数字出现3次时，其他两个数字进行插空， 故有种情况， 有两个数字出现两次，第三个数字出现1次时，此时有种情况， 以两个1，两个2，一个3为例， 若两个1出现在万位和百位，此时2可以在千位和十位或千位和个位，有2种情况， 若两个1出现在万位和十位，此时2可以在千位和个位或百位和个位，有2种情况， 若两个1出现在万位和个位，此时2只能在千位和十位，有1种情况， 若两个1出现在千位和十位，此时2可以在万位和百位或万位和个位或百位和个位，有3种情况， 若两个1出现在千位和个位，此时2可以在万位和百位或万位和十位，有2种情况， 若两个1出现在百位和个位，此时2可以在万位和十位或千位和十位，有2种情况， 故有种情况， 所以，共有种情况， 综上，这样的五位数共有种. 故选：C 25．已知A、B、C、D四个同学站成一排，要求和不相邻，不站两端，则不同排法的种数是（ ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】A 【分析】由分类加法、分步乘法原理计算即可求解. （i）若排在从左到右的第二个位置， 则不能排在从左到右的第一个位置，否则只能相邻，但这与题意矛盾， 若不能排在从左到右的第三或第四个位置， 则此时有种不同的排法； （ii）若排在从左到右的第三个位置，根据对称性可知，此时有种不同的排法； 由加法原理可知，所求为. 故选：A. 26．现有2名教师和3名学生站成一排，若教师都不能站在两端，且2名教师之间恰有1名学生，则所有不同的站法种数是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】C 【分析】根据排列与组合的定义结合捆绑法与插空法的应用即可得解. 【详解】选名学生站老师中间有种站法， 让剩下的两名学生全排列，老师不能站两端， 将两名老师和中间的学生看成一个整体进行插空，有种站法， 所以共有种站法， 故选：. 27．将3种植物种植在4块试验田内（3种植物都要种），如表所示： 第1试验田 第2试验田 第3试验田 第4试验田 若每块试验田种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，则不同的种植方法是：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先在种植物中选出种，安排在块不相邻的两块试验田，剩下的种植物安排在剩下的块试验田，再由分步计数原理计算即可. 【详解】首先在种植物中选出种，安排在块不相邻的两块试验田中，共有种情况， 剩下的块试验田安排在剩下的块试验田中，有种情况， 则有种不同的种植方法. 故选：C. 28．（2026年山东省春季高考数学真题）如图所示，现有两排四列8个座位，从中选取2个座位安排甲乙入座，要求在同一排时不相邻，不在同一排时不同列，则甲乙所有不同坐法的种数是（   ）    A．18 B．24 C．32 D．36 【答案】D 【分析】用分类加法计数原理计算，分甲乙同排和甲乙不同排两类计算. 【详解】甲乙在同一排，要求不相邻：每排共4个座位，4个座位中相邻的座位共3组， 总选法种，相邻的排列种，所以一排满足条件的排列为种. 两排共种坐法. 甲乙不在同一排，要求不同列： 甲任选一排的一个座位，共种选法； 乙在另一排，不能和甲同列，因此有种选法. 总共有种坐法. 因此种. 故选：D. 题型5 其它排列问题 29．甲乙丙丁四个人，抽取两人参加象棋、钢琴两个社团活动，每个社团恰有1人参加的活动方法共有（    ） A．18 B．10 C．12 D．8 【答案】C 【分析】根据题意，结合排列数的应用，即可求解. 【详解】由题意，每个社团恰有1人参加的活动方法共有种. 故选：C. 30．甲、乙两人计划周末各自从5个备选景点中选择2个进行游览，则他们选的景点至少有1个相同的选法有（ ） A．60种 B．70种 C．80种 D．100种 【答案】B 【详解】根据题意，他们选的景点完全相同的选法有种， 恰有1个景点相同的选法有种， 故总的选法有种. 31．某高三毕业班有50人，若同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言（ ） A．2450条 B．1875条 C．1225条 D．675条 【答案】A 【分析】利用排列数公式直接求解即可. 全班共写了条毕业留言. 故选：A. 32．甲、乙、丙三位同学从 7 处不同的景点中各自选 2 处旅游，则三人恰好选择一个相同的景点，且他们各自选择的另一个景点互不相同的选法共有（ ） A．840 种 B．420 种 C．210 种 D．140 种 【答案】A 【分析】根据分步乘法计数原理和排列组合公式列式计算即得. 先从7处不同景点中选出1处作为三人共同选择的景点，再从剩下的6个景点中选出3个不同的景点， 并将其分配给甲、乙、丙三人作为各自的另一个景点，则满足题意的选法种数为 . 故选： A. 33．将4个相同的商品放在，，，4个空货架上，则有且仅有2个货架上有商品的放法有（ ） A．18种 B．20种 C．24种 D．120种 【答案】A 【分析】先将4个相同的商品分成两个组，再从4个货架上选两个放入这两组商品，利用分步计数原理求解即可. 将4个相同的商品分成两个组有两种不同的分法，即1，3分组或2，2分组， 当1，3分组时，因为4个商品相同，只有一种分法，再从4个货架上选两个放入这两组商品有， 当2，2分组时，因为4个商品相同，只有一种分法，再从4个货架上选两个放入这两组商品有， 故有且仅有2个货架上有商品的放法有. 故选：A. 34．把五位老师均随机安排到三个学校任数，若每位老师安排到一个学校，每个学校至少安排一位老师，则所有不同安排方法的种数是（   ）． A．25 B．50 C．150 D．300 【答案】C 【分析】先对五位老师进行分组，再分配到每个学校，由排列数与组合数的计算求解即可. 【详解】若每位老师安排到一个学校，每个学校至少安排一位老师， ①三个学校安排的教师人数为2，2，1时，则有， ②三个学校安排的教师人数为3，1，1时，则有， 所以所有不同安排方法的种数是. 故选：C． 题型6 组合数的计算 35．（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据组合数性质，从而可解． 【详解】根据组合数性质，可得， 故选：B． 36．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据组合数的运算公式，结合二项式系数和公式进行求解即可. ，或舍去， 因此. 故选：C 37．若，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用组合数的性质建立方程，求解参数即可. 因为，所以或， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， 综上，得到，故B正确. 故选：B 38．若，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用组合数的性质列方程即可求解. 【详解】由组合数的性质可得， 又，所以； 再由可得，所以或. 故选：D. 39．已知，则（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据组合数的性质及组合数公式求解即可. 【详解】由题意，即， 所以，即， 解得或（舍）， 故选：C. 题型7 组合应用题 40．从数字，，，中任意取出3个数字（允许重复）组成三位数，且各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按组成三位数的三个数字的重复情况分类，分别计算每类对应的三位数个数后求和. 【详解】由题意，各位数字取自，且三个数字之和为6，分三类讨论： ① 三个数字完全相同：仅满足条件，可组成1个三位数222； ② 两个数字相同、一个数字不同：设相同数字为，不同数字为，则，其中且， 解得，即组合为，从3个数位中选1个放置4，剩余位置放置1，共个三位数； ③ 三个数字均不同：三个不同的正整数和为6，仅满足条件，三个不同数字的全排列为个， 对应6个不同的三位数。 综上，符合条件的三位数总个数为. 故选：A. 41．用数字排一个无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（   ） A．52 B．48 C．76 D．63 【答案】A 【分析】根据题意，结合排列数与组合数的应用，可分个为是否为0两种情况，根据分类加法计数法即可求解. 【详解】由题意，可分两种情况： 第一种，若个位数字是0，则十位和百位从剩余的5个数字中任选2个全排列， 共有种； 第二种，若个位数字不是0，则从里选一个，再从剩余的4个数字（除去0）中选一个放到百位上， 再从剩余的4个（加上0）数字中选一个放到十位上，故共有种； 所以偶数的个数为个. 故选：A. 42．计算机用0和1构成二进制代码，如“”就是一个五位的二进制代码.则由三个1和五个0可组成不同的八位二进制代码（首位可以为0）的个数为（   ） A．56 B．50 C．65 D．26 【答案】A 【分析】根据题意利用组合数的应用即可求解. 【详解】因为二进制代码有八位， 所以8个位置选3个放1，其余均为0， 所以可组成不同的八位二进制代码的个数为. 故选：A. 43．由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（    ） A．24 B．12 C．10 D．6 【答案】C 【分析】利用分类计数原理，分别讨论个位数是0和个位数是5两种情况，结合排列组合的意义与计算即可得解. 【详解】依题意，当个位数是0时，这样的四位数有个， 当个位数是5时，这样的四位数有个， 则所求为. 故选：C 44．从中任取两个奇数和两个偶数，排成没有重复数字的四位数，这样的四位数的个数是（    ） A．720 B．2880 C．1440 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据组合和排列的概念以及分步乘法计数原理，即可求解. 【详解】中有5个奇数，4个偶数， 所以任取两个奇数和两个偶数的方案有， 排成没有重复数字的四位数有种， 所以根据分步乘法计数原理，总的方案有， 故选：C. 45．将个和个随机排成一行，则个不相邻的情况有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】将2个8插空放入不相邻的5个空位，即可得解. 【详解】将个插空放入不相邻的个空位个产生个空位中有 种方法， 故个不相邻的情况有 种，故D正确. 故选：D. 46．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗队小组，则不同的选法共有（    ） A．60种 B．70种 C．75种 D．150种 【答案】C 【分析】分别求出选出2名男医生、1名女医生的选法，再根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】从6名男医生中选出2名男医生有种选法， 从5名女医生中选出1名女医生有种选法， 所以从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗队小组，则不同的选法共有种选法. 故选：C. 47．学校要邀请甲、乙等9位学生家长中的6人参加一个座谈会，其中甲、乙两位家长不能同时参加，则不同的邀请方法种数是（   ）. A．140 B．98 C．84 D．49 【答案】D 【分析】使用间接法，用所有选法数减去甲、乙同时参加的选法数即可. 【详解】从位家长中任选人的所有选法有种，其中甲、乙两位家长同时参加的选法有种， 所以甲、乙两位家长不能同时参加的邀请方法种数为：（种） 故选：D. 48．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有（   ） A．144种 B．84种 C．70种 D．35种 【答案】C 【分析】用排除法，用总的取法减去不含有甲型电视机和不含有乙型电视机的种数即可求解. 【详解】从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任取3台，有种， 选取的机型不含有甲型电视机有种， 选取的机型不含有乙型电视机有种， 所以至少要有甲型和乙型电视机各1台，有. 故选：C. 49．某班周一有6节不同的课程，分别是语文、数学、英语、德育、体育、美术，上午要排4节，下午排2节，要求体育课不得排在第一节，数学课不得排在下午，则不同的排法有（    ） A．408种 B．120种 C．288种 D．720种 【答案】A 【分析】优先安排受限制的元素，结合组合数与排列数公式求解. 【详解】当体育课排在上午且不在第一节时， 体育课有种排法；数学课有种排法；剩下4节课全排列，排法数为种， 则不同的排法有种， 当体育课排在下午时， 体育课有种排法；数学课有种排法；剩下4节课全排列，排法数为种， 则不同的排法有种， 综上，满足条件的排法数为种. 故选：A. 50．某班级有20位男生，15位女生，现要选3人去参加市级数学素养比赛，班长甲（女生）作为数学成绩第一名必须参加，则不同的选法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】班长甲必须参加，那么只需从剩下的学生中再选人，利用组合数公式求解即可． 【详解】已知班级有位男生和位女生，班长甲是女生， 则除班长甲外的学生总数为人， 由题意，从这人中选人即可，则不同的选法有种． 故选：B． 51．甲、乙两班各人参加数学竞赛，人分两排合影留念，若从甲班的人和乙班的人中各选人站在前排，后排的人要求甲班的人必须相邻，同时乙班的人也必须相邻，则不同的站法有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 因为第一排的站法有种，第二排的站法有种， 所以不同的站法有种. 故选：B. 52．5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】根据组合数定义作答即可 由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有种． 故选：D. 53．有12位同学在毕业前夕要留影，每位同学的身高均不同，要求排成前5位、后7位的两排，且组长站在前排正中间，两位女生甲、乙站前排，则所有的排法有（ ）种． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式即得. 第一步，从除组长、甲、乙外的9人中选出2人，有种； 第二步，甲、乙和选出的2人排在前排，共种； 第三步，后排7人全排列，有种， 由分步乘法计数原理可得共有种. 故选：D 54．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（ ） A．560 B．2735 C．1136 D．480 【答案】C 【分析】方法一：运用分类加法计数原理，结合组合的定义进行求解即可. 方法二：运用间接法，结合组合的定义进行求解即可. 方法一： 将“至少有1个一等品”的不同取法分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”． 由分类加法计数原理，得不同取法有（种）． 方法二：考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有（种）， 故选：C 55．全组有个男同学，个女同学，现选出个代表，最多有个女同学当选的选法种数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若个代表中没有女同学当选，有种选法， 若个代表中有个女同学当选，有种选法， 所以选出个代表，最多有个女同学当选的选法种数是. 56．（2024年山东省春季高考数学真题）某学校安排甲、乙等6名同学到三个社区开展服务活动，每个社区均安排2名同学，其中甲乙二人必须安排在同一社区，则不同的安排的方法的个数为（ ） A．6 B．18 C．36 D．90 【答案】B 【分析】根据组合的优先考虑法和捆绑法易得答案. 【详解】先排甲乙二人，所以有种情况， 所以不同的安排的方法的个数为种. 故选：B. 题型8 分组分配问题 57．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】根据分组分配问题即可得解. 【详解】将12名不同学生分配到三个不同路口，每个路口4人， 先从12人中选4人去第一个路口，再从剩下8人中选4人去第二个路口，最后4人去第三个路口， 分配方案共有：种， 故选：A. 58．把4本不同的书分给两个人，每人2本，不同的分法有（    ）种． A．6 B．12 C．24 D．10 【答案】A 【分析】根据分步计数原理结合组合数的计算即可求解. 【详解】从4本不同的书中选出2本给第一个人，有种， 剩下2本自动分给第二个人，只有1种分法， 所以不同的分法有种. 故选：A. 59．现有5本科技书分别分给2个同学，一个同学分2本，另一个同学分3本，则不同的分法共有（     ） A．10种 B．20种 C．30种 D．40种 【答案】B 【分析】利用组合数公式及分步乘法计数原理求解. 【详解】先从5本科技书中选2本，有种选法， 将选好的2本分给2个同学中的任意1人，剩余3本分给另一人，共2种分配方式， 因此不同分法共有种. 故选：B. 60．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加实践活动，每个小组由1 名教师和2名学生组成，则不同的安排方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】利用分步乘法计数原理，依次确定甲地的教师、学生人选，剩余人员直接分配到乙地，即可计算总方案数. 【详解】甲地选派1名教师，从2名教师中任选1名，选法种数为； 甲地选派2名学生，从4名学生中任选2名，选法种数为； 剩余的1名教师与2名学生直接安排到乙地，仅1种安排方式. 根据分步乘法计数原理，不同的安排方案共有种. 故选：A. 61．某职业学校开展“蓝天白云”宣讲活动，现将4名志愿者分别安排到A，B，C三个社区进行宣讲，若每个人都要参加，且每个社区至少要安排1名志愿者，则所有不同的安排方法种数是（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】B 【分析】根据题意先分组再分配即可得解. 【详解】将4名志愿者分成组，因每个社区至少人，故只能分为人，人，人，分组方法有种可能， 再向三个社区分配，有种可能， 则共种安排方法， 故选：. 62．现有6本不同的书，随机分为三堆，每堆2本，则不同分法的种数是（    ） A．15 B．30 C．45 D．90 【答案】A 【分析】根据题意结合均匀分堆的原则即可得解. 【详解】6本不同的书，随机分为三堆，每堆2本，分法的种数是， 故选：. 63．现有4本不同的书，送给3个人，每人至少1本，则不同的送法有（    ）. A．72种 B．36种 C．12种 D．100种 【答案】B 【分析】按照题目中的分配方案，必然是1人拿2本，另外2人各拿1本，结合分步计数原理，进而求解. 【详解】先从4本书中选2本捆绑成1组：， 把这3组分给3个人：， 根据分步计数原理，总方法数为两步相乘：， 故选：B 题型9 古典概型 64．古代“五行”学说认为：“物质分为金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”.从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为  （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出满足题目的条件，再根据古典概率公式求解即可. 【详解】从金、木、水、火、土5种不同属性的物质中随机抽2种，总抽取情况数为. 根据相克关系共5种：金克木、木克土、土克水、水克火、火克金， 则不相克的组合数 = 总组合数-相克组合数= 则抽取两种物质不相克的概率为. 故选：C. 65．袋中有6个小球，5个白球，1个红球，从中任取一个，取到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概率公式求解即可. 【详解】袋中共 6 个球，其中红球 1 个，从中任取一个，取到红球的概率为. 故选：A. 66．某停车场共有6个车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同的停车位上，则至少有两辆汽车停放在相邻车位上的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概率以及对立事件求解即可. 【详解】从个车位选个停放，总共有种不同选位方法. 三车全部不相邻的共有种不同选位方法. 因此三车全部不相邻的概率为，因此至少两辆相邻的概率为. 故选：D. 67．已知5件产品中有且只有2件是次品，现从这5件产品中任取2件，则恰有1件次品的概率为（     ）． A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式，分别计算总基本事件数与恰有1件次品包含的基本事件数，代入公式求解即可. 【详解】由题意可知，5件产品中有2件次品，3件正品. 从5件产品中任取2件，总的基本事件数为：， 恰有1件次品的事件，即从2件次品中取1件、从3件正品中取1件， 对应的基本事件数为：， 所以恰有1件次品的概率为：. 故选：. 68．从五棱锥的6个顶点中随机选取4个，则这4个顶点能组成一个四面体的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先分析求出所有的情况数，再利用对立事件分析满足题意的情况数，根据古典概率公式求解即可. 【详解】从6个顶点中选4个，共种. 不能构成四面体的情况是4个点共面，即底面5个点中的任意4个共面，共种， 故能构成四面体的情况为，概率为. 故选：C. 69．三个不同颜色的乒乓球随机投入两个盒子，则三个乒乓球不在同一个盒子中的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三个不同颜色的乒乓球随机投入两个盒子，基本事件的总数有8种，而都在同一个盒子包含2个基本事件， 根据古典概型及性质可求解. 【详解】设“三个乒乓球不在同一个盒子中”为事件A，由题可知， 三个不同颜色的乒乓球随机投入两个盒子，基本事件的总数有：（种）， 三个不同颜色的乒乓球都在同一个盒子中包含2个基本事件， 所以. 故选：C 70．现有甲、乙、丙3名志愿者被随机分到，两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙不在同一个岗位服务的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用列举法得到所有基本事件，再根据古典概型计算公式可求解. 【详解】由题可知，甲、乙、丙3名志愿者被随机分到A，B两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.基本事件可能为： （甲乙，丙），（甲丙，乙），（丙乙，甲），（丙，甲乙），（乙，甲丙），（甲，丙乙），共有6个，而甲、乙两 人不在同一岗位有（甲丙，乙），（丙乙，甲），（乙，甲丙），（甲，丙乙）共4个基本事件， 故甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率为. 故选：A 71．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数之和是3的倍数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出基本事件总数，求出符合题意事件数，代入古典概型公式即可得解. 【详解】总事件数为，两枚骰子点数和是的倍数的有， 则符合题意的组合有，共种， 所以概率为， 故选：. 72．清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中职高一年级2人，职高二年级3人，职高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在职高二年级3人相邻的前提下，职高一年级2人不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用捆绑法、插空法，结合古典概型的概率公式求解. 【详解】职高二年级3人相邻，基本事件总数， 在职高二年级3人相邻的前提下，职高一年级2人不相邻包含的基本事件个数， 所以在职高二年级3人相邻的前提下，职高一年级2人不相邻的概率为：. 故选：D. 73．甲、乙两人各有2张卡片，每张卡片上只有一个数字，甲的卡片上分别是2，4，乙的卡片上分别是2，5.若甲、乙两人从各自的卡片中随机拿出一张比较数字的大小，则甲的数字不大于乙的数字的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列出试验所有基本事件，再利用古典概型的概率公式，求解即可. 【详解】甲、乙各拿出一张的可能是，，，， 其中甲的数字不大于乙的数字有，，， 所以甲的数字不大于乙的数字的概率为. 故选：C. 74．用红、黄、蓝三种不同颜色涂料给三个矩形随机涂色，每个矩形只能涂一种颜色，则三个矩形颜色都不相同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】红、黄、蓝三种不同颜色涂料给三个矩形随机涂色共有种涂法， 若三个矩形颜色都不相同有种涂法， 所以三个矩形颜色都不相同的概率为. 故选：C. 75．现有6个空座位排成一排，3名同学随机坐在不同座位，则没有任何两名同学相邻的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合排列数的计算得出基本事件总数，利用插空法得出没有任何两名同学相邻的坐法数，代入古典概型公式即可得解. 【详解】6个空座位中选个座位让3名同学就座，坐法数为， 没有任何两名同学相邻，则先排个空位，形成个空隙，进行插空，则坐法数为， 所以概率为. 故选：. 76．从甲、乙、丙、丁、戊5名青年志愿者中随机选出3名安排到三个社区参加义务服务活动，则甲、乙两人均被选中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先算出基本事件总数，再算出甲、乙均被选中包含的基本事件的个数即可求解. 【详解】从甲、乙、丙、丁、戊5名青年志愿者中随机选出3名安排到三个社区, 基本事件总数， 甲、乙均被选中的事件数， 因此甲、乙两人均被选中的概率. 故选：D. 77．把“温、良、恭、俭、让”五个字排成一排，则恭、俭必须相邻的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据捆绑法求解即可. 【详解】要求恭、俭相邻，把恭、俭看作1个整体，此时共4个元素全排列， 同时恭、俭内部可以交换顺序，因此符合条件的排列数为. 则. 故选：D. 78．甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片只标有一个数字，甲的卡片上分别是2、4、6、乙的卡片上分别是2、3、5、若甲、乙两人从各自的卡片中随机拿出一张比较数字大小，则甲的数字不小于乙数字概率（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出试验所有基本事件，再利用古典概型的概率公式，代数求解即可. 【详解】甲乙两人从各自的卡片中随机拿出一张比较数字大小共有： 种可能结果； 其中满足甲的数字不小于乙数字的有： 种可能结果； 所以甲的数字不小于乙数字概率， 故选：C. 79．（2026年山东省春季高考数学真题）现将甲乙丙三人随机分到AB两个车间进行技能训练，每个人只能去一个车间，且每个车间至少要分一个人，则甲被分到A车间的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率公式计算． 【详解】所有可能的分配方式共有6种情形，如下表： A车间 甲乙 甲丙 乙丙 甲 乙 丙 B车间 丙 乙 甲 乙丙 甲丙 甲乙 其中，甲被分到A车间的情形有3种，如下表： A车间 甲乙 甲丙 甲 B车间 丙 乙 乙丙 所以甲被分到A车间的概率是， 故选：C． 80．（2025年山东省春季高考数学真题）甲乙各有三张只写一个数字的卡片，甲的卡片是2，4，6，乙的卡片是2，3，5，两人随机拿出一张比较大小，甲不小于乙的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出基本事件，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】甲乙两人随机拿出一张比较大小共有 种可能结果； 满足甲不小于乙的有种可能结果， 所以甲不小于乙的概率是. 故选：C. 81．（2024年山东省春季高考数学真题）某学校甲、乙两名教师和3名学生站在一排照相，如果教师甲位于教师乙的左边（可相邻，可不相邻），则至少有2名学生相邻的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列的间接法和插空法易得答案. 【详解】教师甲位于教师乙的左边（可相邻，可不相邻）站在一排照相共有种， 教师甲位于教师乙的左边（可相邻，可不相邻）至少有2名学生相邻 站在一排照相共有种， 所以至少有2名学生相邻的概率. 故选：D. 82．（2022年山东省春季高考数学真题）某职业学校计划举行合唱、舞蹈、书画三项活动，若甲、乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，则恰好都选择舞蹈的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用古典概型的概率计算公式直接计算即可. 【详解】乙两名同学从这三项活动中任选一项,一共有种选法, 其中恰好都选择舞蹈的选法有1种,所以恰好都选择舞蹈的概率是. 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $