第17卷 幂函数-考点训练卷 2027年山西省（对口升学）《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 三阶递进式训练体系下的幂函数基础层微目标训练，以题载知，系统覆盖概念、性质及应用，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-3、填空12|判断幂函数定义、求定义域|从幂函数定义出发，构建概念认知基础| |性质应用|单选4-8、填空13-15|单调性、奇偶性判断及大小比较|由定义推导性质，形成“定义→性质→应用”逻辑链| |综合计算|解答19-24|解析式求解、参数范围及作图|整合概念与性质，提升运算能力与问题解决能力|

编写说明：2027年山西省（对口升学）《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年山西省（对口升学）《数学考纲百套卷》 第17卷 幂函数 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 4．设，，，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 5．下列函数在定义域内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数、反比例函数、对数函数和指数函数的单调性判断即可. 6．下列函数在上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 7．设，则（　　） A． B． C． D． 8．下列函数为奇函数且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 9．已知幂函数的图象经过点，则幂函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 10．下列四组函数，表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 11．若幂函数的图像过点，则______． 12．已知函数是幂函数，则的值为__________． 13．幂函数恒过点______ 14．用不等号连接：（1）若，则_______；（2）___ 15．利用单调性判断大小 ______；______；______ 16．已知幂函数的图象过点，则_____________. 17．已知幂函数的图像不经过原点，则实数的值为________． 18．_____是幂函数在上是增函数的充要条件. 三、解答题:本大题共6小题，19-23每题6分，24题8分，共38分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最大值为，求实数的值． 20．若幂函数在上单调递增，求函数且恒过哪个定点. 21．已知幂函数（）的图象关于y轴对称，且在上是减函数． (1)求m的值； (2)求满足不等式的实数a的取值范围． 22．若，求实数a的取值范围. 23．比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，； (3)，，． 24．幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布．三国时的刘徽为《九章算术•方田》作注：“田幂，凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘．”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”．幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即． （1）使用五点作图法，画出的图象，并注明定义域； （2）求函数的值域． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省（对口升学）《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年山西省（对口升学）《数学考纲百套卷》 第17卷 幂函数 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义即可求解. 【详解】幂函数的一般形式为，其中x是自变量，a是常数，且x前面的系数必须为1， 综上所述，只有A选项符合幂函数的定义， 故选：A 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用具体函数的定义域求法即可得解. 【详解】函数有意义，则： ，解得且， 所以函数的定义域为， 故选：D. 3．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0 ，列不等式求解即可. 【详解】已知函数， 要使函数有意义，必须有， 解得， 所以函数的定义域是， 故选：C. 4．设，，，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性，比较、、三个数与，的大小关系，从而得出、、的大小关系. 【详解】因为，，， 所以. 故选：A. 5．下列函数在定义域内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数、反比例函数、对数函数和指数函数的单调性判断即可. 【详解】函数，，所以函数在定义域内为减函数，故A错误； 函数，，所以函数在定义域内为减函数，故B错误； 函数在其定义域内不具有单调性，故C错误； 函数是幂函数，根据幂函数的性质可知，当指数为正数时，函数在其定义域内是增函数， 函数在上为增函数，故D正确. 故选：D. 6．下列函数在上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性依次判断各选项即可. 【详解】对于A，函数在区间上是增函数，故A不正确； 对于B，函数在区间上是减函数，故B正确； 对于C，函数在上是增函数，故C不正确； 对于D，函数在上是增函数，故D不正确. 故选：B． 7．设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】已知， 因为在上为增函数， 且，所以， 即， 故选：A. 8．下列函数为奇函数且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一次函数的单调性判断A，利用幂函数的奇偶性与单调性判断B，利用二次函数的对称性判断C，利用指数函数的性质判断D，从而得解. 【详解】对于A，当时，，显然在上为减函数，故A错误； 对于B，幂函数为奇函数且在上为增函数，故B正确； 对于C，二次函数关于轴对称，不是奇函数，故C错误； 对于D，指数函数是非奇非偶函数，故D错误； 故选：B. 9．已知幂函数的图象经过点，则幂函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数所过的点求解函数解析式即可. 【详解】设幂函数为（为常数）， 因为幂函数的图象经过点， 所以，即，解得， 所以该幂函数的解析式为. 故选：C. 10．下列四组函数，表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】将选项中的函数进行化简根据函数相等的概念判断即可. 【详解】选项A：，故A错误 选项B：定义域为，定义域为，两者定义域不同，故B错误 选项C：，故和定义域均为，对应法则相同，故C正确 选项D：定义域为，定义域为，故D错误. 故选：C 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 11．若幂函数的图像过点，则______． 【答案】4 【分析】根据幂函数定义求出，再代点求出即可求解. 【详解】易知幂函数中，，则， 且幂函数的图像过点，则有，即，解得， 故. 故答案为：. 12．已知函数是幂函数，则的值为__________． 【答案】或 【分析】根据幂函数的定义求出m的值即可. 【详解】由题意知，是幂函数， 则有，可得， 解得或. 故答案为：或. 13．幂函数恒过点______ 【答案】 【分析】由幂函数的性质即可得出结果. 【详解】∵幂函数的解析式为，则. ∴幂函数恒过点. 故答案为：. 14．用不等号连接：（1）若，则_______；（2）___ 【答案】 > < 【分析】根据指数函数以及幂函数的单调性求解即可. 【详解】因为在上单调递增，且，所以. 因为在上单调递增，且，所以. 故答案为：. 15．利用单调性判断大小 ______；______；______ 【答案】 < > < 【分析】根据指数函数和幂函数单调性即可解得 【详解】①，则在定义域R上单调递增， 故 ②，则在定义域R上单调递减， 故 ③，则在定义域R上单调递增， 故 故答案为： 16．已知幂函数的图象过点，则_____________. 【答案】/ 【分析】先求出函数的解析式，再计算的值. 【详解】∵是幂函数，∴设， ∵的图象过点， ∴，即，∴， 故函数的解析式为， ∴， 故答案为：. 17．已知幂函数的图像不经过原点，则实数的值为________． 【答案】3 【分析】根据幂函数的定义以及题意求解即可. 【详解】因为函数是幂函数，所以，解得或. 当时，经过原点，不符合题意. 当时，，不经过原点，符合题意. 故实数的值为3. 故答案为：3. 18．_____是幂函数在上是增函数的充要条件. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】若幂函数在上是增函数， 则，解得， 当时幂函数在上是增函数， 所以是幂函数在上是增函数的充要条件. 故答案为：. 三、解答题:本大题共6小题，19-23每题6分，24题8分，共38分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最大值为，求实数的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意，结合幂函数的概念，及函数的奇偶性，即可求解； （2）根据题意，先表示出函数的解析式，结合二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，即，所以， 解得或， 当时，，函数为偶函数，符合题意； 当时，，函数为奇函数，不符合题意； 故函数的解析式为. （2）由（1）得， 所以， 函数的对称轴为，图像开口向上， 又函数在区间上的最大值为， 所以函数在或处取得最大值， 又，， 所以，解得， 所以实数的值为2． 20．若幂函数在上单调递增，求函数且恒过哪个定点. 【答案】 【分析】先由幂函数的单调性求出，再由指数函数的性质即可得解. 【详解】解：因为是幂函数， 所以或， 又因为该幂函数在上单调递增， 所以，即， 因为，所以函数过定点. 21．已知幂函数（）的图象关于y轴对称，且在上是减函数． (1)求m的值； (2)求满足不等式的实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则必须满足为偶数且，据此易得m的值； （2）根据幂函数的单调性列出不等式即可求解. 【详解】（1）因为幂函数在上是减函数， 所以，所以. 因为，所以或. 又函数图象关y轴对称， 所以是偶数，所以. （2）由（1）知，则不等式为 因为函数在上是增函数， 所以，解得． 所以实数a的取值范围是. 22．若，求实数a的取值范围. 【答案】或 【分析】根据幂函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】已知， 因为分别在和上为单调递减， 所以或, 或，此时, 或或， 分别解得或或， 综上，或. 23．比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用幂函数的单调性进行比较大小. （2）利用幂函数的单调性、不等式的性质进行比较大小. （3）利用幂函数的单调性、分数指数幂的性质进行大小比较. 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减，且，所以． （2）因为幂函数在上为增函数，且，，所以，所以，所以． （3），，，因为幂函数在上单调递增，所以． 24．幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布．三国时的刘徽为《九章算术•方田》作注：“田幂，凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘．”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”．幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即． （1）使用五点作图法，画出的图象，并注明定义域； （2）求函数的值域． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）由题意利用幂函数的图象和性质，画出的图象，并注明定义域． （2）换元，利用二次函数的性质，求得函数的值域． 【详解】解：（1）的图象，如图：函数的定义域为． （2）设，则 ，当时取等号， 故值域为． 【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，二次函数的性质，属于基础题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $