3.1平面向量的概念- （人教版）高二《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

3.1平面向量的概念 一、知识梳理 向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0　. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行. (5) 单位向量：长度相等且方向相同的向量． 二、题型精练 题型1 判断是否向量 【典例1】：下列量中属于向量的是（    ） A．质量 B．长度 C．力 D．温度 【典例2】：下列所给的选项中，属于向量的是（    ） A．长度 B．时间 C．位移 D．质量 题型2 零向量与单位向量 【典例1】：下列说法错误的是（    ） A．零向量与任意一个向量都平行 B．零向量的方向是任意的 C．零向量没有方向 D．零向量的模为零 【典例2】：单位向量是指（    ） A．模为1的向量 B．方向水平向右的向量 C．长度为0的向量 D．与任意向量共线的向量 题型3 共线（平行）向量 【典例1】：“两个非零向量共线”是“这两个非零向量方向相同”的_______条件. 【典例2】：已知，是共线向量，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则的方向与相同 B．若，则的方向与相同 C．若，则的方向与相同 D．若，则的方向与相同 题型4 相等向量与相反向量 【典例1】：“”是“”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 题型5 向量的基本概念--综合 【典例1】：下列说法正确的是（   ） ①两个单位向量一定是相等向量     ②零向量与任一向量共线 ③若向量，，则     ④两个平行向量的模可以不同 A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 【典例2】：下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型6 向量判断四边形 【典例1】：若四边形中，，则一定是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【典例2】：在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD的形状是____. 题型7 向量及几何性质 【典例1】：在中，，D，E分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与相等 C．与相等 D．与共线 【典例2】：如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 题型8 有向线段表示向量 【典例1】：点为平行四边形对角线的交点．    (1)写出向量的平行向量； (2)写出向量相等的向量； (3)写出向量的相反向量． 【典例2】：如图所示，已知正六边形．    (1)写出的相等向量； (2)写出的相反向量（任写3个即可）； (3)写出的共线向量（任写3个即可）． 3、 知识检测 1．下列各物理量中，属于向量的是（ ） A．长度 B．温度 C．速度 D．面积 2．下列说法中，不正确的是（     ） A．零向量的方向是任意的 B．零向量的长度为0 C．零向量是没有方向的 D．零向量和任何向量平行 3．下列关于零向量的说法正确的是（   ） A．零向量没有大小 B．零向量没有方向 C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线 4．已知下列四个命题： ①零向量与任意向量都平行；②单位向量长度都相等；③平行于同一向量的两个向量是平行向量； ④是的必要条件． 其中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列命题正确的是（     ） A．零向量没有方向 B．两个单位向量相等 C．方向相反的两个向量互为相反向量 D．若//，则A，B，C三点共线 6．若是单位向量，则 7．已知是非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 8．已知不共线，向量，，且，则 ． 9．“两个向量相等”是“两个向量共线”的 条件. 10．已知平面向量的一组基底，实数x，y满足，求x，y的值. 11．若满足，则与互为 ． 12．下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 13．下列说法正确的是（    ） A．所有单位向量都是相等向量 B．零向量的模为0且没有方向 C．两个向量不能比较大小，但是它们的模可以比较大小 D．向量的模都是正实数 14．下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度、速度、位移、功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 15．下列说法中错误的是（    ） A．不同的有向线段可以表示相同的向量 B．任一非零向量都可以平行移动 C．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 16．下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 17．给出下列命题： ①； ②向量与向量的方向相同或相反，则； ③若都是单位向量，则； ④方向为南偏西的向量与方向为北偏东的向量是共线向量； 其中，正确的命题是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④ 18．下列说法不正确的是（   ） A．向量既有大小又有方向 B．零向量的方向是任意的 C．向量的模可以比较大小 D．两个向量的模相等就是两个向量相等 19．下列命题正确的是（    ） A．若都是单位向量，则 B．若，则四点构成平行四边形 C．若两向量相等，则它们是始点、终点都相同的向量 D．与是两平行向量 20．有下列说法： ①向量和的长度相等； ②； ③“”的充要条件是“”． 其中，正确的说法是______．（填序号） 21．下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是____（填序号）． 22．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③向量与相等.其中所有正确命题的序号是______. 23．下列说法中，正确的是（    ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线 A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 24．下列说法错误的是（   ） A．向量可用有向线段表示，有向线段长度表示向量大小，用箭头所指的方向表示向量的方向 B．长度相等的向量即为相等的向量 C．方向相反的向量也是共线向量 D．零向量与一切非零向量共线 25．下列说法正确的是（    ） ①有向线段的三要素是起点、方向、长度； ②向量的两要素是大小和方向； ③同向且等长的有向线段是相等向量； ④在平行四边形中，． A．① B．①⑤ C．①②③ D．①②③④ 26．已知四边形ABCD满足，且，则四边形ABCD是（    ） A．正方形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 27．如图所示，菱形中，下列各对向量是相等向量的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 28．如图，在平行四边形中，下列说法错误的是（    ）    A．与共线 B．与相等 C．与平行 D．与的模相等 29．如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A,B,C,D,O}，向量集合且M，N不重合，试求集合T中元素的个数． 30．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出： (1)与相等的向量； (2)与长度相等的向量； (3)与共线的向量. 31．如图，在方格纸中，取两个格子的格点（A，B，C，D，E，F）为起点和终点作向量，写出满足下列条件的向量： （1）与相等的向量； （2）与的相反向量； （3）与的模相等的向量． 32．如果向量表示向东走10，那么表示______________________. 33．已知表示“向东走2米”，则表示“ ”． 34．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 35．在平面下列各种情况中，各向量的终点的集合分别构成什么图形？ （1）把所有单位向量的起点都移到同一个点A； （2）把平行于直线l的所有单位向量的起点平移到直线l上的点B； （3）把平行于直线l的所有向量的起点平移到直线l上的点C． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1平面向量的概念 一、知识梳理 向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0　. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行. (5) 单位向量：长度相等且方向相同的向量． 二、题型精练 题型1 判断是否向量 【典例1】：下列量中属于向量的是（    ） A．质量 B．长度 C．力 D．温度 【答案】C 【分析】根据向量的概念判断. 【详解】质量、长度、温度只有大小没有方向，不是向量； 力既有大小又有方向，是向量，C项正确． 故选：C 【典例2】：下列所给的选项中，属于向量的是（    ） A．长度 B．时间 C．位移 D．质量 【答案】C 【分析】根据向量的定义来判断. 【详解】向量是既有大小又有方向的量. 选项 A，长度：只有大小，没有方向，不是向量，故A错误； 选项 B，时间：只有大小，没有方向，不是向量，故B错误； 选项 C，位移：既有大小（距离），又有方向（从初位置指向末位置 ），故C正确； 选项 D，，质量：只有大小，没有方向，故D错误. 故选：C 题型2 零向量与单位向量 【典例1】：下列说法错误的是（    ） A．零向量与任意一个向量都平行 B．零向量的方向是任意的 C．零向量没有方向 D．零向量的模为零 【答案】C 【分析】根据零向量的定义逐项判断即可得解. 【详解】选项，零向量与任意一个向量都平行，正确； 选项，零向量的方向是任意的，正确； 选项，零向量的方向不确定，不是没有方向，故错误； 选项，零向量的模为零，正确. 故选：. 【典例2】：单位向量是指（    ） A．模为1的向量 B．方向水平向右的向量 C．长度为0的向量 D．与任意向量共线的向量 【答案】A 【分析】根据单位向量的定义，对每个选项进行逐一分析判断. 【详解】选项A：根据单位向量的定义，模为1的向量叫做单位向量，所以选项A正确； 选项B：方向水平向右的向量，其模不一定为1，不一定是单位向量，该选项错误； 选项C：长度为0的向量是零向量，零向量的模为0，不是单位向量，该选项错误； 选项D：与任意向量共线的向量是零向量，零向量的模为0，不是单位向量，该选项错误， 故选：A. 题型3 共线（平行）向量 【典例1】：“两个非零向量共线”是“这两个非零向量方向相同”的_______条件. 【答案】必要不充分 【分析】根据共线向量的概念求解即可. 【详解】若两个非零向量共线，则有可能方向相同， 也有可能方向相反，无法推出这两个非零向量方向相同. 若两个非零向量方向相同，则这两个非零向量共线. 因此“两个非零向量共线”是“这两个非零向量方向相同”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 【典例2】：已知，是共线向量，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则的方向与相同 B．若，则的方向与相同 C．若，则的方向与相同 D．若，则的方向与相同 【答案】D 【分析】利用共线向量的定义逐项判断，即可求出. 【详解】对于A，已知，是共线向量，当与方向相同时，的方向与和相同； 当与方向相反时，设且，因为，即， 得，即，所以，向量的方向不变， 所以的方向与方向相同，故A正确； 对于B，已知，是共线向量，当与方向相同时，设且， 因为，即，得，即， 所以，向量的方向不变，所以的方向与相同； 当与方向相反时，设且， 所以，向量的方向不变， 所以的方向与相同，与方向相反，故B正确； 对于C，已知，是共线向量，当与方向相同时，所以的方向与和相同； 当与方向相反时，设且，因为，得，即， 所以，向量的方向不变， 所以的方向与方向相同，故C正确； 对于D，已知，是共线向量，当与方向相同时，设且， 因为，得，即，，向量的方向相反， 所以的方向与相反； 当与方向相反时，设且，因为，得，即， 所以，向量的方向不变， 所以的方向与方向相同，故D错误. 故选：D. 题型4 相等向量与相反向量 【典例1】：“”是“”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【分析】根据相等向量和充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】解：“”表示向量与向量是相等向量， “”表示向量与向量的模相等． 模相等且方向相同的两个向量称为相等向量， ∴，， ∴“”是“”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要. 题型5 向量的基本概念--综合 【典例1】：下列说法正确的是（   ） ①两个单位向量一定是相等向量     ②零向量与任一向量共线 ③若向量，，则     ④两个平行向量的模可以不同 A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据单位向量的概念，向量模的定义，以及向量共线的性质，即可求解. 【详解】①错误：单位向量模长均为 1，但方向可不同，而相等向量需方向相同且模长相等，故两个单位向量不一定是相等向量， ②正确：零向量与任一向量共线， ③错误：若为零向量，与可以是任意不共线的向量，此时且，但与不一定共线， ④正确：平行向量只要求方向相同或相反，与模长无关，因此模长可以不同， 故正确的说法为②④. 故选：B. 【典例2】：下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的概念、零向量的概念、相等向量的概念和共线向量的概念即可求解. 【详解】对于A，时，与不一定相等，因为它们的方向不一定相同，故A错误；   对于B，向量、既有方向，又有大小，∴与不能比较大小，故B错误； 对于C，当时，有，反过来，若，则与不一定相等， 因为它们的方向不一定相同，故C错误； 对于D，时，则 ，反过来，若，则， 因为零向量的模长等于，故D正确. 故选：D. 题型6 向量判断四边形 【典例1】：若四边形中，，则一定是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【分析】根据向量相等的定义求解即可. 【详解】因为，所以AB和DC长度相等、方向相同，即， 所以四边形是平行四边形. 根据题目条件无法推出邻边相等、内角为直角，因此不能确定是菱形、矩形或正方形. 故选：A. 【典例2】：在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD的形状是____. 【答案】梯形 【分析】根据平行向量的定义及向量的模的概念即可求解. 【详解】在四边形ABCD中，因为，所以， 又，即，所以四边形ABCD的形状是梯形. 故答案为：梯形 题型7 向量及几何性质 【典例1】：在中，，D，E分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与相等 C．与相等 D．与共线 【答案】D 【分析】利用共线向量相等向量的定义可判断. 【详解】对于A，因为，则与不共线，故A错误； 对于B，与方向相反，则与不相等，故B错误； 对于C，与有公共交点，方向不相同，与不相等，故C错误； 对于D，D，E分别是、的中点，则为的中位线，则，则与共线，故D正确. 故选：D. 【典例2】：如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的方向、大小以及正六边形的性质求解即可. 【详解】设正六边形的边长为，依次分析各选项： 对于A，由正六边形的性质可得与平行且相等，则有，故A正确； 对于B，由正六边形的性质可得与平行，即，故B正确； 对于C，在正六边形中，与均过中心，则有，即有，故C正确； 对于D，在正六边形中，，则，故D错误． 故选：D. 题型8 有向线段表示向量 【典例1】：点为平行四边形对角线的交点．    (1)写出向量的平行向量； (2)写出向量相等的向量； (3)写出向量的相反向量． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】（1）根据向量平行的概念可得结果； （2）根据向量相等的概念可得结果； （3）根据相反向量的概念可得结果； 【详解】（1）根据向量平行的概念可知， 与向量的平行向量有：，，； （2）根据向量相等的概念可得， 与向量相等的向量有：； （3）根据相反向量的概念可得， 与向量的相反向量有：，. 【典例2】：如图所示，已知正六边形．    (1)写出的相等向量； (2)写出的相反向量（任写3个即可）； (3)写出的共线向量（任写3个即可）． 【答案】(1)、、 (2)、、、 (3)、、、、、、、、 【分析】（1）根据相等向量的概念求解即可. （2）根据相反向量的概念求解即可. （3）根据共线向量的概念求解即可. 【详解】（1）如图所示，的相等向量有、、. （2）如图所示，的相反向量右、、、. （3）如图所示，的共线向量有、、、、、、、、. 3、 知识检测 1．下列各物理量中，属于向量的是（ ） A．长度 B．温度 C．速度 D．面积 【答案】C 【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可. 【详解】长度、温度、面积，它们只有大小，不是向量，而速度既有大小又有方向，所以速度是向量. 故选：C. 2．下列说法中，不正确的是（     ） A．零向量的方向是任意的 B．零向量的长度为0 C．零向量是没有方向的 D．零向量和任何向量平行 【答案】C 【分析】根据零向量的性质即可选出答案. 【详解】因为零向量的方向是任意的，所以选项A说法正确，选项C说法错误； 零向量的长度为0，所以选项B说法正确； 零向量和任何向量平行，所以选项D说法正确. 故选：C. 3．下列关于零向量的说法正确的是（   ） A．零向量没有大小 B．零向量没有方向 C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线 【答案】D 【分析】根据零向量的概念与性质逐项分析即可. 【详解】零向量的长度为0，故A错误， 零向量的方向是任意的，故B错误， 两个反方向向量之和不一定为零向量， 只有相反向量之和才是零向量，故C错误， 零向量与任何向量都共线，故D正确， 故选：D. 4．已知下列四个命题： ①零向量与任意向量都平行；②单位向量长度都相等；③平行于同一向量的两个向量是平行向量； ④是的必要条件． 其中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量的概念逐项判断即可. 【详解】①零向量与任意向量都平行，正确； ②单位向量长度都是，都相等，正确； ③平行向量中若，，则与不一定平行，错误； ④，是的充分条件，错误． 正确的个数为个. 故选：B. 5．下列命题正确的是（     ） A．零向量没有方向 B．两个单位向量相等 C．方向相反的两个向量互为相反向量 D．若//，则A，B，C三点共线 【答案】D 【分析】根据零向量、单位向量、相反向量、共线向量的概念可知A、B、C错误，D正确. 【详解】零向量的方向是任意的，故A错误； 单位向量的模相等，它们是否相等与方向有关，故B错误； 方向相反且模相等的两个向量互为相反向量，故C错误； 若//，且A点公共，则A，B，C三点共线.故D正确. 故选：D 6．若是单位向量，则 【答案】 【分析】根据单位向量的概念，即可求出. 【详解】是单位向量， . 故答案为：. 7．已知是非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分条件和必要条件的定义，结合向量共线的性质得到答案. 【详解】若，并且都是非零向量，可得两向量共线，但不能推出两向量相等， 则不能推出， 若，则，可得共线， 则能推出， 因此“”是“”的必要不充分条件， 8．已知不共线，向量，，且，则 ． 【答案】 【分析】已知两向量平行，则对应分解向量的系数成比例，列出式子得到答案. 【详解】已知两向量平行，则对应分解向量的系数成比例，可得 ，解得. 故答案为：. 9．“两个向量相等”是“两个向量共线”的 条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据共线向量和相等向量的定义及充要条件的概念可判断. 【详解】若两个向量相等，则两个向量共线，即两个向量相等两个向量共线； 若两个向量共线，则两个向量不一定相等，例如：两个向量共线且模不相等，则两个向量不相等，即两个向量共线两个向量相等. 所以“两个向量相等”是“两个向量共线”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 10．已知平面向量的一组基底，实数x，y满足，求x，y的值. 【答案】 【分析】根据对应系数相等列出等式即可解得. 【详解】因为，且，不共线， 所以，解得， ∴． 11．若满足，则与互为 ． 【答案】相反向量 【分析】利用相反向量的定义即可得解. 【详解】因为，所以与互为相反向量. 故答案为：相反向量. 12．下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 【答案】C 【分析】根据题意，结合单位向量、相等向量、零向量、共线向量、相反向量的概念，即可判断求解. 【详解】因为单位向量的长度都为1，但是方向可能不同，故不一定相等，故选项A错误； 因为任一非零向量与它的相反向量长度相等、方向相反，故不相等， 但零向量的相反向量仍是零向量，故零向量与它的相反向量相等，故选项B错误； 因为模为零的向量是零向量，零向量与任一向量平行，故选项C正确； 因为模相等的两个共线向量的方向可能相同或相反，故不一定是相同的向量，故选项D错误； 故选：C. 13．下列说法正确的是（    ） A．所有单位向量都是相等向量 B．零向量的模为0且没有方向 C．两个向量不能比较大小，但是它们的模可以比较大小 D．向量的模都是正实数 【答案】C 【分析】根据向量基本概念分析每个选项. 【详解】选项A：单位向量是模等于1的向量；相等向量不仅模相等，方向也必须相同， 所以单位向量不一定是相等向量，该选项错误； 选项B：零向量的模为0，方向是任意的，并非没有方向，该选项错误； 选项C：向量既有大小又有方向，所以向量不能直接比较大小； 而向量的模是一个实数，所以两个向量的模可以比较大小，该选项正确； 选项D：零向量的模为0，0不是正实数，所以并不是所有向量的模都是正实数，该选项错误， 故选：C. 14．下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度、速度、位移、功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量的概念即可求解. 【详解】因为温度和功没有方向，所以不是向量，故（1）错误. 零向量方向是任意的，故（2）错误. 因为零向量的模为0，所以向量的模不一定为正数，故（3）错误. 因为直角坐标平面上的x轴、y轴只有方向，没有长度，所以它们不是向量，故（4）错误. 即真命题个数是0个. 故选：A. 15．下列说法中错误的是（    ） A．不同的有向线段可以表示相同的向量 B．任一非零向量都可以平行移动 C．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 【答案】C 【分析】根据向量的定义、零向量、共线向量以及相等向量概念分析判断. 【详解】选项A中，向量与大小和方向相关，不关心起点和终点的具体位置，只要两个有向线段的大小相等且方向相同，它们就可以表示相同的向量，故正确. 选项B中，向量的定义是具有大小和方向的量，与起点和终点的具体位置无关，因此，任一非零向量都可以平行移动而不改变其大小和方向，故正确. 选项C中，根据向量的共线性定义，只要两个向量的方向相同或相反（不考虑大小），它们就是共线的，故错误. 选项D中，两个向量相等意味着它们的大小相等且方向相同，如果它们还有共同的起点，那么它们的终点也必然相同，故正确. 故选：C. 16．下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 【答案】C 【分析】根据题意，结合单位向量、相等向量、零向量、共线向量、相反向量的概念，即可判断求解. 【详解】因为单位向量的长度都为1，但是方向可能不同，故不一定相等，故选项A错误； 因为任一非零向量与它的相反向量长度相等、方向相反，故不相等， 但零向量的相反向量仍是零向量，故零向量与它的相反向量相等，故选项B错误； 因为模为零的向量是零向量，零向量与任一向量平行，故选项C正确； 因为模相等的两个共线向量的方向可能相同或相反，故不一定是相同的向量，故选项D错误； 故选：C. 17．给出下列命题： ①； ②向量与向量的方向相同或相反，则； ③若都是单位向量，则； ④方向为南偏西的向量与方向为北偏东的向量是共线向量； 其中，正确的命题是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由向量的概念分析即可. 【详解】和是相反向量，模相等，方向相反，因此①正确， 平行向量是指方向相同或相反的向量，因此②正确， 单位向量是指模等于1的向量，因此，但方向不一定相同，因此③错误， 方向为南偏西的向量与方向为北偏东的向量是相反向量，是共线向量，因此④正确. 故选:C. 18．下列说法不正确的是（   ） A．向量既有大小又有方向 B．零向量的方向是任意的 C．向量的模可以比较大小 D．两个向量的模相等就是两个向量相等 【答案】D 【分析】根据向量、零向量、向量的模和相等向量的概念即可求解. 【详解】对A，向量是既有大小又有方向的量，故A正确； 对B，零向量的方向是任意的，故B正确； 对C，向量的模长是非负实数，所以可以比较大小，故C正确； 对D，两个向量相等当且仅当它们的模长相等，方向相同，故D错误. 故选：D. 19．下列命题正确的是（    ） A．若都是单位向量，则 B．若，则四点构成平行四边形 C．若两向量相等，则它们是始点、终点都相同的向量 D．与是两平行向量 【答案】D 【分析】根据单位向量，相等向量，平行向量的定义逐项判断即可. 【详解】单位向量是模长为的向量，若都是单位向量，则模长相等，但是方向不一定相同，不一定是相等向量，故A错误； 若，且四点共线时，则不能构成平行四边形，故B错误； 若两向量相等，则大小相等，方向相同，不需要始点、终点都相同，故C错误； 与方向相反，是两相反向量，也是两平行向量，故D正确. 故选：D. 20．有下列说法： ①向量和的长度相等； ②； ③“”的充要条件是“”． 其中，正确的说法是______．（填序号） 【答案】① 【分析】根据相等向量，零向量和相反向量的概念结合充要条件的判别方法逐个分析即可. 【详解】已知向量和为相反向量，所以和长度相等方向相反，故①正确， 是向量，0是标量，所以，故②错误， 若，则有，即能推出， 若，则与不一定相等，方向有可能不同，即不能推出， 所以”是“的充分不必要条件.故③错误. 所以正确的只有①. 故答案为：①. 21．下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是____（填序号）． 【答案】②③④ 【分析】由零向量的定义、向量相等的条件、向量共线的条件、向量模的定义，判断各说法是否正确. 【详解】由零向量的定义可知，①正确； 时，不知道两个向量的方向，不能得到或，②错误； 两个向量共线，与模是否相等无关，③错误； 当时，满足，，但不能得到，④错误. 故答案为：②③④ 22．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③向量与相等.其中所有正确命题的序号是______. 【答案】① 【分析】根据零向量、单位向量及相等向量的定义判断即可. 【详解】对于①：零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确； 对于②：模为的向量为单位向量，若，都是单位向量，则， 但是与的方向不确定，故无法判断与是否相等，故②错误； 对于③：向量与互为相反向量，故③错误； 故答案为：① 23．下列说法中，正确的是（    ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线 A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据零向量与单位向量的定义与性质即可解决. 【详解】①长度为0的向量为零向量，正确； ②零向量的方向不确定，错误； ③单位向量长度为1个单位，起点相同的单位向量，终点圈成一个单位圆，错误； ④任意向量与零向量共线．正确. 故选：D. 24．下列说法错误的是（   ） A．向量可用有向线段表示，有向线段长度表示向量大小，用箭头所指的方向表示向量的方向 B．长度相等的向量即为相等的向量 C．方向相反的向量也是共线向量 D．零向量与一切非零向量共线 【答案】B 【分析】根据向量的定义和性质即可选出正确答案. 【详解】根据向量的性质，向量可用有向线段表示，有向线段长度表示向量大小，用箭头所指的方向表示向量的方向，故A正确； 长度相等且方向相同的两个向量叫做相等的向量，故B选项不正确； 方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，同时规定零向量和任何向量平行，故C、D正确. 故选：B 25．下列说法正确的是（    ） ①有向线段的三要素是起点、方向、长度； ②向量的两要素是大小和方向； ③同向且等长的有向线段是相等向量； ④在平行四边形中，． A．① B．①⑤ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据有向线段、向量、相等向量的定义可以判断. 【详解】由有向线段、向量、相等向量的定义可以直接判断①②③正确； 由平行四边形的性质可知，与方向相同，④正确． 故选：D 26．已知四边形ABCD满足，且，则四边形ABCD是（    ） A．正方形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】C 【分析】由相等向量、向量的模判断四边形ABCD即可. 【详解】， ，， 四边形ABCD为平行四边形 为菱形． 故选：C. 27．如图所示，菱形中，下列各对向量是相等向量的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由相等向量的定义即可得解. 【详解】在菱形中. 选项，与的大小相同，方向不同，故错误. 选项，与的大小相同，方向不同，故错误. 选项，与的大小相同，方向不同，故错误. 选项，与的大小相同，方向相同，，故正确. 故选：. 28．如图，在平行四边形中，下列说法错误的是（    ）    A．与共线 B．与相等 C．与平行 D．与的模相等 【答案】B 【分析】根据向量的概念结合平行四边形的性质求解即可. 【详解】A选项，与共线，故A选项正确； B选项，与相等，故B选项错误； C选项，与平行，故C选项正确； D选项，与的模相等，故D选项正确. 故选：B. 29．如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A,B,C,D,O}，向量集合且M，N不重合，试求集合T中元素的个数． 【答案】12 【分析】集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，数出有向线段的条数减去相等向量的个数即为答案. 【详解】由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个， 即，，，；，，，； ，，，；，，，； ，，，. 由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝. 又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个． 30．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出： (1)与相等的向量； (2)与长度相等的向量； (3)与共线的向量. 【答案】(1) (2)，，，，，， (3)，， 【分析】（1）根据向量相等的定义即可求解. （2）根据正方形的性质即可求解. （3）根据向量共线的性质即可求解. 【详解】（1）画出图形，如图所示． 易知，，所以与相等的向量为. （2）由O是正方形ABCD对角线的交点，可知， 所以与长度相等的向量为，，，，，，. （3）由图可知，，所以与共线的向量为，，. 31．如图，在方格纸中，取两个格子的格点（A，B，C，D，E，F）为起点和终点作向量，写出满足下列条件的向量： （1）与相等的向量； （2）与的相反向量； （3）与的模相等的向量． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）方向相同且模长相等的向量为相等向量；（2）方向相反且模长相等的向量为相反向量；（3）利用矩形对角线相等，求解与的模相等的向量. 【详解】（1）方向相同且模长相等的向量为相等向量，故与相等的向量为； （2）方向相反且模长相等的向量为相反向量，故与的相反向量为； （3）与的模相等的向量为. 32．如果向量表示向东走10，那么表示______________________. 【答案】向西走10 【分析】根据相反向量的定义求解. 【详解】已知向量表示向东走10， 根据相反向量的定义，与大小相等，方向相反， 所以表示向西走10. 故答案为：向西走10. 33．已知表示“向东走2米”，则表示“ ”． 【答案】向西走3米 【分析】与方向相反，长度为长度的倍． 【详解】表示“向东走2米”，则表示“向西走3米”． 故答案为：向西走3米 34．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 【答案】（1）见解析；（2）米 【分析】（1）利用方位根据向量的定义作出向量. （2）根据（1）作出的平面图形，利用平面几何知识求解. 【详解】（1）作出向量，，；如图所示： （2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米， 所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米， 所以AD＝＝(米)， 所以|米. 【点睛】本题主要考查平面向量的画法和向量模的求法，还考查了方位问题和平面几何知识，属于基础题. 35．在平面下列各种情况中，各向量的终点的集合分别构成什么图形？ （1）把所有单位向量的起点都移到同一个点A； （2）把平行于直线l的所有单位向量的起点平移到直线l上的点B； （3）把平行于直线l的所有向量的起点平移到直线l上的点C． 【答案】（1）以点A为圆心，1为半径的圆；（2）直线上距点B距离为1的两个点；（3）直线l. 【分析】作出每一问的图示，结合图示分析向量终点的集合构成的图形是什么. 【详解】（1）如下图： 当把所有的向量的起点都移到点，终点的集合构成以为圆心，半径为的圆； （2）如下图： 平行于直线的单位向量有两个，将单位向量的起点移到，终点的集合为直线上距点的距离为的两个点； （3）如下图： 平行于直线的所有向量的起点移到点，终点的集合为直线. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $