2.4数列的应用- （人教版）高二《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

2.4数列的应用 一、知识梳理 （一）等差数列 1.通项： 2.前项和： 3.性质：若，则 4.特征：均匀增减、等量增加 / 减少 （二）等比数列（） 1.通项： 2.前项和： ： ： 3.性质：若，则 4.特征：倍数增长、复利、增长率问题 二、题型精练 题型1 等差通项 【典例1】：一长跑运动员进行常规训练，他的计划是：第一天跑1000米，第二天跑1200米，以后每一天都比前一天多跑200米，则该运动员在第9天按计划要跑（      ） A．2000米 B．2400米 C．2600米 D．2800米 【答案】C 【分析】将题干转换成等差数列，即可求解. 【详解】将题干转换成首项，公差的等差数列， 所以， 则该运动员在第9天按计划要跑2600米， 故选：C 【典例2】：某地为了保护水土资源，实施山林绿化工程，如果2017年的绿化面积是8万公顷，以后每年的绿化面积都比上一年多1万公顷，那么2020年的绿化面积是（    ） A．9万公顷 B．10万公顷 C．11万公顷 D．12万公顷 【答案】C 【分析】根据题意，该地每年的绿化面积构成等差数列，利用等差数列的性质求解即可. 【详解】由题意可知，从2017年起，该地每年的绿化面积构成等差数列.设为. 则首项,公差. 求2020年的绿化面积，就是求等差数列的第4项. 因为. 所以该地2020年的绿化面积是11万公顷. 故选：C. 题型2 等差数列性质 【典例1】：在《九章算术》中有如下问题：“有甲、乙、丙、丁、戊五人分斤小米，其中甲、乙两人所分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数成等差数列，问每人各分多少斤.”那么，甲所分小米的斤数是（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质列式求解即可. 【详解】设该等差数列为，其公差为. 由已知得,即, 即. 解得. 所以甲所分小米的斤数是8. 故选：C. 【典例2】：已知数列为等差数列，且，则 ． 【答案】2 【分析】由题可知数列为等差数列，且，根据等差中项性质可知，即可得结果. 【详解】解：由题可知数列为等差数列， 且根据等差中项性质可知， 故有. 故答案为：. 题型3 等差数列前n项和 【典例1】：我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？“其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值．关于该问题，下列结论错误的是（   ） A． B．此人第三天行走了一百三十里 C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人前八天共行走了一千零八十里 【答案】B 【分析】每天走的路程构成首项，公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解． 【详解】每天走的路程构成首项，公差为的等差数列，其前项和记为， 由题意，解得，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：B. 【典例2】：为了参加国际马拉松比赛，某同学给自己制订了天的训练计划.第一天跑米，以后每天比前一天多跑米，这位同学第7天跑了多少米? 天共跑了多长的距离? 【答案】， 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式求值即可. 【详解】由题意可知，某同学每天的跑步距离构成一列等差数列， 其中首项，公差， 则这位同学第7天跑的距离为米， 则天共跑的距离为米. 题型4 等比通项 【典例1】：中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ） A．192 里 B．96 里 C．48 里 D．24 里 【答案】B 【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式求解. 【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得，解得， ∴此人第二天走里. 故选：B． 【典例2】：某种细菌在培养过程中，每30分钟分裂一次，即由1个分为2个，经过4小时，这种细菌由1个可以分裂为（    ） A．255个 B．256个 C．511个 D．512个 【答案】B 【分析】由题意可得，细菌分裂的个数构成首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式求解即可. 【详解】某种细菌在培养过程中，每30分钟分裂一次，即由1个分为2个， 可得细菌分裂的个数构成首项为，公比为的等比数列， 因为每30分钟分裂一次，所以经过4小时，即， 所以.即经过4小时，这种细菌由1个可以分裂为个. 故选：B. 【典例3】：某设备的出厂价为30万元，按每年5%的折旧率折旧，则5年后该设备的价值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干信息，结合等比数列的定义计算求解即可． 【详解】某设备的出厂价为30万元，按每年的折旧率折旧， 所以5年后该设备的价值为. 故选：D． 【典例4】：某工厂今年1月份产量为，若月平均增长率为，则今年12月份产值为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列通项公式即可求得. 【详解】由题意知，月份产量构成以为首项，为公比的等比数列， 则通项公式为，所以12月份产值为. 故选：C. 【典例5】：现存入银行10000元钱，年利率是，那么按照复利，第5年年末的本利和是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复利的概念及等比数列通项公式求解. 【详解】设第年年末的本利和为， 则是等比数列，首项，公比为， 所以第5年年末的本利和为， 故选：C. 题型5 等比数列性质 【典例1】：已知两数的等差中项与等比中项均为，则以这两数为两根的一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差中项和等比中项的性质可得结果. 【详解】解：由题知设此一元二次方程的两个根为，即有， 故知此一元二次方程为. 故选：D. 题型6 等比数列前n项和 【典例1】：我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有灯（    ） A．盏 B．盏 C．盏 D．盏 【答案】B 【分析】利用等比数列前项和公式可求. 【详解】由题可知此符合等比数列，设顶层为， 相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则， 一座层塔共挂了盏灯，则，， 则，，则， 则塔的顶层共有灯盏； 故选：B. 【典例2】：某装修公司拟在一高大建筑物的墙面上嵌入彩色瓷砖美化墙面，最上面一排嵌入2块，往下第二排嵌入4块，第三排嵌入8块，以此类推，，共放了8层，这墙面上嵌入的彩色瓷砖共有 块． 【答案】 【分析】根据等比数列前项和公式求值即可. 【详解】由最上面一排嵌入2块， 往下第二排嵌入4块， 第三排嵌入8块， 可得， 所以从上往下每层的瓷砖个数依次成等比数列，设公比为 其中， 则， 所以这墙面上嵌入的彩色瓷砖共有块. 故答案为：. 题型7 计数类数列 【典例1】：黑白两种颜色的正六边形地面砖块按如图所示的规律拼成若干个图案，则第5个图案中有白色地面砖（    ）    A．21块 B．22块 C．20块 D．23块 【答案】B 【分析】分析白色地面砖数是等差数列，根据首项和公差，即可得到第5个图案中有白色地面砖. 【详解】由题意可知，图案中的白色地面砖数构成等差数列， 其中，，则， 即第5个图案中有白色地面砖22块. 故选：B. 三、知识检测 1．为了提高跑步成绩参加校运会，小林计划第一天花半个小时跑步，以后每天比前一天多跑分钟，则第3天，小林跑步的时间是（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】B 【分析】根据等差数列的判定即可解得. 【详解】由题，该同学跑步时间构成了一个首项为，公差为的等差数列， 则第二天跑步时间为分钟，第三天跑步时间为分钟. 故选：B. 2.某工厂第一个月生产零件个，以后每个月都比前一个月多生产个零件，那么第个月生产的零件数是（） . . . . 【答案】 【分析】根据题意结合等差数列的通项公式即可得解. 【详解】某工厂第一个月生产零件个，以后每个月都比前一个月多生产个零件， 则每个月的生产的零件数成等差数列，首项为，公差为， 则第五个月生产的零件数是， 故选：. 3．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题．现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（    ） A．49 B．51 C．55 D．59 【答案】C 【分析】由题意得出数列的通项公式即可求解. 【详解】正整数中既能被3除余1又能被2除余1的数，即被6除余1， 所以数列的通项公式，， 所以． 故选：C 4．中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（    ） A．乙分到28文，丁分到24文 B．乙分到30文，丁分到26文 C．乙分到24文，丁分到28文 D．乙分到26文，丁分到30文 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质设定每人所分钱数，再分析计算. 【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为 ，，，a，，，， 则，解得， 所以乙分得（文），丁分得（文）. 故选：A. 5．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，同日增几何?”该问题中，善走男每天多走（    ）. A．10里 B．100里 C．140里 D．20里 【答案】A 【分析】先判断每天行走里数为等差数列，再利用等差数列的前项和公式求解. 【详解】由题意可知，善走男每天走的里数构成等差数列，其中，，， 所以，所以，即善走男每天多走10里. 故选：. 6.某运动员进行长跑训练，第一天跑了米，以后每一天都比前一天多跑米，那么前天一共跑了（） .米 .米 .米 .米 【答案】 【分析】根据等差数列的性质即可得解. 【详解】第一天跑了米，以后每一天都比前一天多跑米， 则每天跑的距离成等差数列，公差为，首项为， 则前天一共跑了， 故选：. 7．某中职校一个会议厅共有15排座位，第1排有20个座位，第2排起每排比前一排多2个座位，那么这个会议厅一共有座位（    ） A．480 B．490 C．500 D．510 【答案】D 【分析】根据题意知，此模型是等差数列模型，首项，公差，利用等差数列的前项和公式求出座位的总数即可. 【详解】由题意知，此模型是等差数列模型， 因为第1排有20个座位，第2排起每排比前一排多2个座位， 所以首项，公差， 所以. 故选：D. 8．某景区有一座观景塔，共有16层，景区管理部门为了增加景区的观赏性，在观景塔的每一层挂上彩色气球，最底层挂了20个彩色气球，若往上每一层都比下一层少1个气球，则观景塔上挂的气球总数是（   ） A．225 B．200 C．192 D．168 【答案】B 【分析】由等差数列通项公式及前n项和公式求解. 【详解】由题意知，每一层的气球数从上到下构成等差数列，且，公差， 由等差数列通项公式知，，则， 根据等差数列的前n项和公式，得， 即观景塔上挂的气球总数是200． 故选：B． 9.某地区的用电量，从年初开始，每月按等差数列增长，月用电量为万度，月用电量为万度，那么前个月的总用电量为（） .万度 .万度 .万度 .万度 【答案】 【分析】根据等差数列的性质即可得解. 【详解】从年初开始，每月用户量按等差数列增长，月用电量为万度，月用电量为万度， 则公差为，首项为， 那么前个月的总用电量为万度， 故选：. 10.小明每天背单词，第一天背个，以后每天比前一天多背个，那么第七天背的单词数是 . 【答案】 【分析】根据题意结合等差数列的性质即可得解. 【详解】第一天背个，以后每天比前一天多背个， 则每天背的单词数成等差数列，公差为，首项为， 则第七天背的单词数是， 故答案为：. 11．埃及一金字塔共有40级石阶，石阶高度从下往上成等差数列，最下面一级石阶高1m，第二级石阶高0.98m，则该金字塔石阶的总高度是________m. 【答案】24.4 【分析】分析石阶的高度构成等差数列，根据首项和第二项，得到公差，再利用求和公式求解. 【详解】由题意可知，石阶的高度构成等差数列，其中，，， 则， 故， 即该金字塔石阶的总高度是24.4m. 故答案为：24.4. 12．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加三颗，温：五人各得几何？”其大意是：现在有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问这5个人各分得多少个橘子？在这个问题中，得到橘子最多的人所分得橘子个数是多少？（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【分析】利用等差数列的概念求解即可. 【详解】由题意得，这是一个公差，项数，前项和的等差数列， 设第一个人分得的橘子数为， 则有， 解得， 根据通项公式得，第五个人（分得橘子最多的人）分得的橘子数为： ，即得到橘子最多的人所分得橘子个数是18. 故选：D. 13．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下类似问题：某人擅长走路，12天共走了384里，其中第2天、第5天所走的路程之和为40里．若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该人第7天走多少里． 【答案】34里 【分析】由题意可知某人12天内每天所走得路程数构成等差数列，利用等差数列前项和公式和通项公式即可求解. 【详解】因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，所以该人这12天中每天走的路程数构成等差数列. 设该数列为，第1天走的路程数为首项，公差为d， 则，． 因为，， 所以代入以上公式，即，， 解得，． 则． 所以该人第7天走34里． 14．《九章算术》有一道题：若齐国与长安相距里，良马从长安出发去齐国，驽马从齐国出发去长安.良马第一天行里，之后每天比前一天多行里；驽马第一天行里，之后每天比前一天少行2里.则驽马与良马第几日相遇？ 【答案】驽马与良马第日相遇. 【分析】由题意知良马、驽马每日路程数构成等差数列，设良马和驽马第n日相遇，则利用等差数列的前n项和公式解出n值即可. 【详解】由题意可得，良马、驽马每日路程数构成等差数列 设良马、驽马每日路程数构成的等差数列分别为， 由题意，良马：， 则n日走的路程和为； 驽马：， 则n日走的路程和为. 两匹马走的总路程为， 则， 即，解得（舍去）， 故驽马与良马第日相遇. 15.有一个蓄水池，第一天注入水立方米，以后每天注入的水量都比前一天多立方米，同时，每天都有立方米的水被使用.求第天结束时，蓄水池内的水量. 【答案】. 【分析】根据题意结合等差数列的性质即可得解. 【详解】第一天注入水立方米，以后每天注入的水量都比前一天多立方米， 则每天的注水量成等差数列，首项为，公差为， 所以第天结束注水量为，用水量为， 所以第天结束时，蓄水池内的水量为. 16.某工厂接到一批产品订单，为按时交付，制定了阶段性生产计划。第一周生产产品件，从第二周开始，每周生产产品的数量比前一周多件，生产过程中，每周会预留件进行质量抽检（抽检后不再进如交付流程），求第周结束后，工厂可累计交付的产品总数. 【答案】. 【分析】根据题意结合等差数列的求和公式即可得解. 【详解】第一周生产产品件，从第二周开始，每周生产产品的数量比前一周多件， 则每周的生产产品数成等差数列，公差为，首项为， 所以第周结束后，公厂生产的产品数为， 第周结束后，预留的产品数为， 则可交付的产品数为. 17．小李家计划买一辆家庭轿车.假设每年应付保险费、养路费及汽油费合计2万元，汽车的维修费第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，以后每年依次成等差数列逐年增加.如果汽车使用15年报废，则15年的总费用是多少？ 【答案】万元 【分析】先求出15年的保险费、养路费及汽油费，再利用等差数列前项和公式求出15年维修费，两者相加即可. 【详解】每年应付保险费、养路费及汽油费合计2万元， 则15年共花费万元； 维修费第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，以后每年的维修费依次成等差数列， 则首项，公差， 则15年的维修费共需元， 则15年的总费用是万元. 18．甲乙两人同时参加工作，实习期为一年．期间，甲月工资2000元，年终奖金1200元；乙第1个月工资1600元，以后每月工资增加100元．求： (1)乙第12个月工资为多少元？ (2)甲乙两人在实习期内的工资总额各为多少元？ 【答案】(1)2700元 (2)甲在实习期内的工资总额为元，乙在实习期内的工资总额为元 【分析】（1）根据题意，易得乙每个月的工资成等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解； （2）根据题意，结合等差数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】（1）由题意得，乙每个月的工资成等差数列，首项，公差， 所以. 即乙第12个月工资为2700元； （2）由题意，甲在实习期内的工资总额为元， 乙在实习期内的工资总额为元， 即甲在实习期内的工资总额为元，乙在实习期内的工资总额为元. 19．有一座七层塔，若每层所点灯的盏数都是上面一层的两倍，一共点381盏，则底层所点灯的盏数是_______. 【答案】192 【分析】每次灯的盏数是等比数列，根据等比数列的和以及公比，得到首项，即可求底层灯的盏数. 【详解】由题意可知，从上往下每层灯的盏数构成等比数列， 其中，，， 故，解得， 则. 故答案为：192. 20．某植物的快速生长期约有10天，在此期间该植物每天结束时的高度都为前一天结束时的高度的2倍.已知在快速生长期的第4天结束时，该植物的高度是20毫米，那么它在第7天结束时的高度为__________毫米. 【答案】 【分析】根据得出每天的高度为等比数列，根据等比数列的性质即可得解. 【详解】由题意可知，该植物在快速生长期每天结束时的高度构成一个公比为的等比数列， 设等比数列为，则， 所以毫米， 故答案为：. 21．一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则第年时这批设备的价值为 . 【答案】 【分析】利用等比数列在实际问题中的应用求解即可. 【详解】该批设备每年的价值构成以a为首项，为公比的等比数列， 则第n年时这批设备的价值为. 故答案为：. 22.某电脑价格每年下降，若今年价格为元，那么两年后价格约为（） .元 .元 .元 .元 【答案】 【分析】根据等比数列的性质即可得解. 【详解】某电脑价格每年下降，若今年价格为元， 那么两年后价格约为元， 故选：. 23.某公司第一年的利润是万元，以后每年的利润都比上一年增长，则第年的利润是（） .万元 . . . 【答案】 【分析】根据等比数列的性质即可得解. 【详解】某公司第一年的利润是万元，以后每年的利润都比上一年增长， 则第年的利润是, 故选：. 24.某城市人口，每年按的增长率增长，若现在人口为万元，则三年后人口为 万元（结果保留整数）. 【答案】 【分析】根据题意结合等比数列的性质即可得解. 【详解】每年按的增长率增长，若现在人口为万元， 则三年后人口为万元， 故答案为：. 25．某林场1999年造林200公顷，计划每年比上一年多造林，那么2010年应造林的公顷数为（    ）． A．239.02 B．243.80 C．248.67 D．253.65 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质，得到等比数列的通项公式，再求解. 【详解】设从1999年起，经过年，林场造林的面积为公顷. 令1999年造林数为，则 2000年造林数为，2001年造林数为，…，2010年造林数为. 由题意可知，，公比，. 故2010年应造林的公顷数为. 故选：C. 26.某学校为改善教学条件，计划每年投入的资金成等比数列，第一年投入万元，第二年投入万元，那么第四年投入的资金是（） .万元 .万元 .万元 .万元 【答案】 【分析】根据题意结合等比数列的性质即可得解. 【详解】每年投入的资金成等比数列，第一年投入万元，第二年投入万元， 则公比为，那么第四年投入的资金是万元， 故选：. 27．已知两数的等差中项与等比中项均为，则以这两数为两根的一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差中项和等比中项的性质可得结果. 【详解】解：由题知设此一元二次方程的两个根为，即有， 故知此一元二次方程为. 故选：D. 28．某企业2010年的年产值为万元，以后每年的年产值在前一年的基础上增加百分之二十五，则自2010年起连续5年的年产值之和是 ． 【答案】 【分析】根据等比数列得前n项和公式求解即可. 【详解】由题意可知，自2010年起连续5年的年产值构成等比数列， 其中， 故． 故答案为：. 29．某职业学校的王亮同学到一家商贸公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了交纳保险费的两种方案： ①一次性交纳50万元，可享受9折优惠； ②按照航行天数交纳：第一天交纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是前一天的2倍，共需交纳20天. 请通过计算，帮助王亮同学判断哪种方案交纳的保费较低. 【答案】方案①缴纳的保费较低 【分析】分别根据题意计算两个方案的续费价格进行比较即可. 【详解】若按方案①续费，需续费万元； 若按方案②续费，则每天的续费额组成等比数列， 其中，，， ∴共需缴费万元， ∴方案①缴纳的保费较低. 30．现有根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管数最少，那么剩余钢管的根数为 ________ ． 【答案】 【分析】分析得从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】由题意，从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个， 设该等差数列为，其前项和为， 则钢管总数， 当时，， 当时，， 所以当时，剩余钢管根数最少，为根． 故答案为： 31．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数，根据图形的构成，记此数列的第20项为，则 ． 【答案】252 【分析】观察梯形数的前几项，得到；再利用等差数列求和公式求出，进而求即可. 【详解】由已知可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为： ， ， ， ， 所以. 故答案为：252. 32．画一个边长为l的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，如图，这样一共画了10个正方形.    (1)依次写出前5个正方形的边长； (2)求这10个正方形的面积之和. 【答案】(1)1，，2，，4 (2)1023 【分析】（1）根据题意找到规律，利用勾股定理即可求解. （2）结合等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）第1个正方形的边长为1； 第2个正方形的边长为； 第3个正方形的边长为； 第4个正方形的边长为； 第5个正方形的边长为. 故前5个正方形的边长依次为1，，2，，4. （2）由（1）可知，正方形的面积构成等比数列.其中，，，所以，故这10个正方形的面积之和为. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4数列的应用 一、知识梳理 （一）等差数列 1.通项： 2.前项和： 3.性质：若，则 4.特征：均匀增减、等量增加 / 减少 （二）等比数列（） 1.通项： 2.前项和： ： ： 3.性质：若，则 4.特征：倍数增长、复利、增长率问题 二、题型精练 题型1 等差通项 【典例1】：一长跑运动员进行常规训练，他的计划是：第一天跑1000米，第二天跑1200米，以后每一天都比前一天多跑200米，则该运动员在第9天按计划要跑（      ） A．2000米 B．2400米 C．2600米 D．2800米 【典例2】：某地为了保护水土资源，实施山林绿化工程，如果2017年的绿化面积是8万公顷，以后每年的绿化面积都比上一年多1万公顷，那么2020年的绿化面积是（    ） A．9万公顷 B．10万公顷 C．11万公顷 D．12万公顷 题型2 等差数列性质 【典例1】：在《九章算术》中有如下问题：“有甲、乙、丙、丁、戊五人分斤小米，其中甲、乙两人所分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数成等差数列，问每人各分多少斤.”那么，甲所分小米的斤数是（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 【典例2】：已知数列为等差数列，且，则 ． 题型3 等差数列前n项和 【典例1】：我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？“其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值．关于该问题，下列结论错误的是（   ） A． B．此人第三天行走了一百三十里 C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人前八天共行走了一千零八十里 【典例2】：为了参加国际马拉松比赛，某同学给自己制订了天的训练计划.第一天跑米，以后每天比前一天多跑米，这位同学第7天跑了多少米? 天共跑了多长的距离? 题型4 等比通项 【典例1】：中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ） A．192 里 B．96 里 C．48 里 D．24 里 【典例2】：某种细菌在培养过程中，每30分钟分裂一次，即由1个分为2个，经过4小时，这种细菌由1个可以分裂为（    ） A．255个 B．256个 C．511个 D．512个 【典例3】：某设备的出厂价为30万元，按每年5%的折旧率折旧，则5年后该设备的价值为（   ） A． B． C． D． 【典例4】：某工厂今年1月份产量为，若月平均增长率为，则今年12月份产值为（    ） A．12 B． C． D． 【典例5】：现存入银行10000元钱，年利率是，那么按照复利，第5年年末的本利和是（   ） A． B． C． D． 题型5 等比数列性质 【典例1】：已知两数的等差中项与等比中项均为，则以这两数为两根的一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 题型6 等比数列前n项和 【典例1】：我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有灯（    ） A．盏 B．盏 C．盏 D．盏 【典例2】：某装修公司拟在一高大建筑物的墙面上嵌入彩色瓷砖美化墙面，最上面一排嵌入2块，往下第二排嵌入4块，第三排嵌入8块，以此类推，，共放了8层，这墙面上嵌入的彩色瓷砖共有 块． 题型7 计数类数列 【典例1】：黑白两种颜色的正六边形地面砖块按如图所示的规律拼成若干个图案，则第5个图案中有白色地面砖（    ）    A．21块 B．22块 C．20块 D．23块 三、知识检测 1．为了提高跑步成绩参加校运会，小林计划第一天花半个小时跑步，以后每天比前一天多跑分钟，则第3天，小林跑步的时间是（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 2.某工厂第一个月生产零件个，以后每个月都比前一个月多生产个零件，那么第个月生产的零件数是（） . . . . 3．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题．现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（    ） A．49 B．51 C．55 D．59 4．中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（    ） A．乙分到28文，丁分到24文 B．乙分到30文，丁分到26文 C．乙分到24文，丁分到28文 D．乙分到26文，丁分到30文 5．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，同日增几何?”该问题中，善走男每天多走（    ）. A．10里 B．100里 C．140里 D．20里 6.某运动员进行长跑训练，第一天跑了米，以后每一天都比前一天多跑米，那么前天一共跑了（） .米 .米 .米 .米 7．某中职校一个会议厅共有15排座位，第1排有20个座位，第2排起每排比前一排多2个座位，那么这个会议厅一共有座位（    ） A．480 B．490 C．500 D．510 8．某景区有一座观景塔，共有16层，景区管理部门为了增加景区的观赏性，在观景塔的每一层挂上彩色气球，最底层挂了20个彩色气球，若往上每一层都比下一层少1个气球，则观景塔上挂的气球总数是（   ） A．225 B．200 C．192 D．168 9.某地区的用电量，从年初开始，每月按等差数列增长，月用电量为万度，月用电量为万度，那么前个月的总用电量为（） .万度 .万度 .万度 .万度 10.小明每天背单词，第一天背个，以后每天比前一天多背个，那么第七天背的单词数是 . 11．埃及一金字塔共有40级石阶，石阶高度从下往上成等差数列，最下面一级石阶高1m，第二级石阶高0.98m，则该金字塔石阶的总高度是________m. 12．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加三颗，温：五人各得几何？”其大意是：现在有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问这5个人各分得多少个橘子？在这个问题中，得到橘子最多的人所分得橘子个数是多少？（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 13．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下类似问题：某人擅长走路，12天共走了384里，其中第2天、第5天所走的路程之和为40里．若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该人第7天走多少里． 14．《九章算术》有一道题：若齐国与长安相距里，良马从长安出发去齐国，驽马从齐国出发去长安.良马第一天行里，之后每天比前一天多行里；驽马第一天行里，之后每天比前一天少行2里.则驽马与良马第几日相遇？ 15.有一个蓄水池，第一天注入水立方米，以后每天注入的水量都比前一天多立方米，同时，每天都有立方米的水被使用.求第天结束时，蓄水池内的水量. 16.某工厂接到一批产品订单，为按时交付，制定了阶段性生产计划。第一周生产产品件，从第二周开始，每周生产产品的数量比前一周多件，生产过程中，每周会预留件进行质量抽检（抽检后不再进如交付流程），求第周结束后，工厂可累计交付的产品总数. 17．小李家计划买一辆家庭轿车.假设每年应付保险费、养路费及汽油费合计2万元，汽车的维修费第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，以后每年依次成等差数列逐年增加.如果汽车使用15年报废，则15年的总费用是多少？ 18．甲乙两人同时参加工作，实习期为一年．期间，甲月工资2000元，年终奖金1200元；乙第1个月工资1600元，以后每月工资增加100元．求： (1)乙第12个月工资为多少元？ (2)甲乙两人在实习期内的工资总额各为多少元？ 19．有一座七层塔，若每层所点灯的盏数都是上面一层的两倍，一共点381盏，则底层所点灯的盏数是_______. 20．某植物的快速生长期约有10天，在此期间该植物每天结束时的高度都为前一天结束时的高度的2倍.已知在快速生长期的第4天结束时，该植物的高度是20毫米，那么它在第7天结束时的高度为__________毫米. 21．一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则第年时这批设备的价值为 . 22.某电脑价格每年下降，若今年价格为元，那么两年后价格约为（） .元 .元 .元 .元 23.某公司第一年的利润是万元，以后每年的利润都比上一年增长，则第年的利润是（） .万元 . . . 24.某城市人口，每年按的增长率增长，若现在人口为万元，则三年后人口为 万元（结果保留整数）. 25．某林场1999年造林200公顷，计划每年比上一年多造林，那么2010年应造林的公顷数为（    ）． A．239.02 B．243.80 C．248.67 D．253.65 26.某学校为改善教学条件，计划每年投入的资金成等比数列，第一年投入万元，第二年投入万元，那么第四年投入的资金是（） .万元 .万元 .万元 .万元 27．已知两数的等差中项与等比中项均为，则以这两数为两根的一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 28．某企业2010年的年产值为万元，以后每年的年产值在前一年的基础上增加百分之二十五，则自2010年起连续5年的年产值之和是 ． 29．某职业学校的王亮同学到一家商贸公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了交纳保险费的两种方案： ①一次性交纳50万元，可享受9折优惠； ②按照航行天数交纳：第一天交纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是前一天的2倍，共需交纳20天. 请通过计算，帮助王亮同学判断哪种方案交纳的保费较低. 30．现有根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管数最少，那么剩余钢管的根数为 ________ ． 31．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数，根据图形的构成，记此数列的第20项为，则 ． 32．画一个边长为l的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，如图，这样一共画了10个正方形.    (1)依次写出前5个正方形的边长； (2)求这10个正方形的面积之和. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $