2.3.2等比数列的前n项和- （人教版）高二《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

2.3.2等比数列的前n项和 一、知识梳理 一、基本公式 设等比数列首项，公比，前项和 1. 2.（常数列）： 3.含末项推导式： 二、重要性质 1.分段和性质 仍成等比数列，公比；注意：且为偶数时不成立。 2.奇偶项和 · 项数为偶数： · 项数为奇数： 3.下标和公式： 三、函数特征（判断等比数列） 时，变形： 形式：（常数） 若前项和满足，只有才是等比数列。 二、题型精练 题型1 前n项和公式1 【典例1】：等比数列前四项和为（    ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】由等比数列中的项求得首项和公比，再代前项和公式求解即可. 【详解】等比数列中，首项，公比， 则前四项和为：. 故选：A. 【典例2】：在等比数列中，，公比，则数列前5项和（    ） A．10 B．30 C．32 D．62 【答案】D 【分析】根据等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】在等比数列中，，公比， 则. 故选：D. 题型2 前n项和公式2 【典例1】：在等比数列中，若，，则（   ） A． B． C．11 D．16 【答案】B 【分析】由等比数列的前项和的公式即可求解. 【详解】，，则， 所以. 故选：B. 【典例2】：在等比数列中，，则的前6项和为（    ） A． B．11 C．31 D．63 【答案】A 【分析】先由求出等比数列的公比，再由等比数列求和公式求解即可. 【详解】在等比数列中，设公比为，又， 所以，即， 则的前6项和为. 故选：A. 【典例3】：已知数列中，，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的定义及求和公式可求解. 【详解】因为， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以. 故答案为： 题型3 已知Sn求其他 【典例1】：在等比数列中，，，则公比q为（    ） A．2 B．或2 C． D．1或 【答案】D 【分析】根据等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】解：当时，成立，即符合题意. 当时，， 即，解得或（舍去）. 综上，公比为1或. 故选：D. 【典例2】：在等比数列中，是其前n项和，已知公比，，则（    ）． A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】因为是等比数列，且公比，所以， 解得. 故选：D. 【典例3】：在等比数列中，，，是数列的前项和.若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比，再由前项和公式列方程求解即可. 【详解】因为，设的公比为，， 则，解得， 即，得， 所以，解得. 故选：B. 题型4 前n项和性质 【典例1】：已知等比数列 的公比为 2，且 ，则 （   ） A．3 B．9 C．10 D．17 【答案】D 【分析】根据等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】因为等比数列的公比为，且， 所以 故选：D. 题型5 等差混等比 【典例1】：已知等比数列的公比，且，，48成等差数列，则的前8项和为（   ） A．127 B．255 C．511 D．1023 【答案】B 【分析】先由等差中项的性质结合等比数列的通项公式求解的值，再由等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】因为成等差数列，所以， 即，又因为， 所以，解得， 所以． 故选：B. 【典例2】：已知为等差数列，且． (1)求的通项公式； (2)若等比数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过两项关系求出公差和首项，再代入等差数列通项公式即可. （2）由的通项公式求出前三项即可得到的值，由的关系得到公比的值，代入前项和公式即可求解. 【详解】（1）设等差数列公差为， 则，解得， 由可得：， 则. 的通项公式为：. （2）由（1）可得： ，，， 则， 设等比数列公比为， 则由， 数列的前项和为. 题型6 累加法 【典例1】：14．已知，则n的值为_________. 【答案】8 【分析】通过观察可得出数列为等比数列，再根据等比数列的前n项和公式即可解得结果. 【详解】解：观察各数字，可得数列1，2，4，8，…，， 是首项为1，公比为2的等比数列， 所以由等比数列的前n项和公式可得 ， 解得. 故答案为：8 三、知识检测 1.等比数列中，，，则（） . . . . 【答案】 【分析】根据前项和的定义即可得解. 【详解】等比数列中，，， 则， 故选：. 2.等比数列中，，公比，则前项和（） . . . . 【答案】 【分析】根据题意结合等比数列的前项和公式即可得解. 【详解】等比数列中，，公比， 则， 故选：. 3．已知为等比数列，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列求和公式即可求解. 【详解】因为为等比数列，且，， 所以. 故选：A. 4．已知等比数列的首项为，公比为，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等比数列求和公式即可求解. 【详解】因为等比数列的首项为，公比为， 所以数列的前项和. 故选：C. 5．在等比数列中，，求该数列前5项的和 ． 【答案】242 【分析】根据等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】由等比数列的前项和公式得． 所以该数列前5项的和为242． 故答案为：242. 6．在等比数列中，，求该数列前项的和. 【答案】242. 【分析】根据题意代入等比数列的求和公式即可得解. 【详解】等比数列中，， 则， 所以该数列前项的和为242. 7.等比数列中，，，则（） . . . . 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比，结合等比数列的前项和公式即可得解. 【详解】等比数列中，，， 则，解得， 则， 故选：. 8．若数列满足，且，则数列的前4项和为（   ） A．15 B．14 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的前n项和公式计算即可求解. 【详解】数列满足，则数列为的等比数列， ，则，解得， 则数列的前4项和为. 故选：C. 9．已知数列是等比数列,, 则数列前4项的和 . 【答案】15 【分析】利用等比数列的通项公式，求出和,再用等比数列求和公式求出. 【详解】设数列的首项为，公比为,因为,，所以解得, 所以数列的前项和. 故答案为：. 10．若数列满足，且，则数列的前4项和为（   ） A．15 B．14 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的前n项和公式计算即可求解. 【详解】数列满足，则数列为的等比数列， ，则，解得， 则数列的前4项和为. 故选：C. 11．已知数列是等比数列， ，则数列的前4项和为___________． 【答案】40 【分析】根据等比数列的前n项和求解即可. 【详解】因为数列是等比数列， ，所以公比，首项为. 则数列的前4项和为. 故答案为：40. 12.等比数列中，，，求前项和. 【答案】. 【分析】根据等比数列的性质求出公比及首项，代入求和公式即可得解. 【详解】等比数列中，，， 则，解得， 则，解得， 则. 13．在各项均为正数的等比数列中，， 则此数列的前4项和 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比，代入等比数列的求和公式即可得解. 【详解】为各项均为正数的等比数列，所以公比， 因为，则， 又，所以，则， 故答案为：. 14．在等比数列中，已知，则该数列前10项和等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出公比以及首项，再根据等比数列的前n项和求解即可. 【详解】设公比为. 因为，所以. 因为，所以. 所以该数列前10项和 故选：A. 15．已知数列中，，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的定义及求和公式可求解. 【详解】因为， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以. 故答案为： 16.等比数列的通项公式，则（） . . . . 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式求出首项和公比，代入等比数列的前项和公式即可得解. 【详解】等比数列的通项公式, ，所以公比， ， 则， 故选：. 17．在等比数列中，公比， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求出，即可求出； （2）先由求出数列的通项公式，再由通项公式判断数列为等比数列，带入前n项和公式即可求解. 【详解】（1）因为为等比数列，， 所以，可得， 解得或（舍） ， 所以. （2）因为， ，， 所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列. 又因为， 所以. 18．在等比数列中，已知 ，，则第5项至第10项的和为（    ）． A．63 B．992 C．1023 D．1008 【答案】D 【分析】利用第5项至第10项的和为可求. 【详解】已知等比数列中，已知 ，， 由等比数列前n项和公式知，，； 第5项至第10项的和； 故选：D． 19.等比数列中，，，则（） . . .或 .或 【答案】 【分析】根据等比数列的定义设出公比，结合前项和的定义即可得解. 【详解】等比数列中，， 设等比数列的公比为，则，， 所以， 解得或， 故选：. 20．设为等比数列的前项和，，则的值为（    ） A． B．9 C． D．5 【答案】B 【分析】利用求出公比；再利用等比数列的前n项和公式表示，将公比的值代入其中求出值． 【详解】因为在等比数列中，， 所以， 所以. 故选：B. 21．在等比数列中，，，则 . 【答案】1 【分析】根据等比数列的前项和即可求解. 【详解】.解得. 故答案为：1. 22.等比数列的公比，且，则（） . . . . 【答案】 【分析】根据题意结合等比数列的前项和公式即可得解. 【详解】等比数列的公比，且， 则，解得， 故选：. 23.已知等比数列的前项和，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合前项和的定义即可得解. 【详解】等比数列的前项和， 则， 故答案为：. 24.若等比数列的前项和，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合即可得解. 【详解】等比数列的前项和， ， 故答案为：. 25．若在等比数列中，，则该数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的前项和公式列方程求解即可. 【详解】已知为等比数列， 且 由，得， 解得，所以， 故选：A. 26．已知等比数列的公比为2，且，则前项和（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列的通项公式列方程求出的值，再由等比数列的前项和公式求值. 【详解】已知等比数列的公比为2， 由， 得，即 解得， 所以. 故选：D. 27．设等比数列的前项和为，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的前项和的性质，可得答案. 【详解】因为数列为等比数列，且等比数列的前项和为， 所以成等比数列， 则，因为，， 所以，即，解得. 故答案为：． 28．已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质和前项和公式即可解得. 【详解】设这个等比数列共有项，公比为，则奇数项之和为， 偶数项之和为， ，等比数列的所有项之和为， 则，解得，因此，这个等比数列的项数为. 故选：C 29．已知等差数列满足，且． (1)求等差数列的通项公式； (2)若等比数列满足，且，求等比数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列给定的项求解首项与公差，进而得到通项公式即可； （2）利用条件求得等比数列的公比，进而由等比数列的前n项和公式求解即可； 【详解】（1）设等差数列的公差为d， ，， 则，解得， ∴， ∴． （2）设等比数列的公比为， ， ， ∴，解得， ∴ 30．已知等差数列，，. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求值即可. （2）首先根据等比数列的定义证明数列为等比数列，再由等比数列的前项和公式求值即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由，得，方程组， 解得，， 数列的通项公式. （2）由，得， 则，且， 是首项为，公比为的等比数列， 于是得数列的前项和. 31．已知数列，，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据前项和公式判断数列为等比数列，求和，再代入求. 【详解】由题意可知，是以，公比的等比数列， 所以. 故选：A. 32．数列的第项值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的前n项和求解即可. 【详解】由题意可知， 故选：C. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.2等比数列的前n项和 一、知识梳理 一、基本公式 设等比数列首项，公比，前项和 1. 2.（常数列）： 3.含末项推导式： 二、重要性质 1.分段和性质 仍成等比数列，公比；注意：且为偶数时不成立。 2.奇偶项和 · 项数为偶数： · 项数为奇数： 3.下标和公式： 三、函数特征（判断等比数列） 时，变形： 形式：（常数） 若前项和满足，只有才是等比数列。 二、题型精练 题型1 前n项和公式1 【典例1】：等比数列前四项和为（    ） A． B． C． D．10 【典例2】：在等比数列中，，公比，则数列前5项和（    ） A．10 B．30 C．32 D．62 题型2 前n项和公式2 【典例1】：在等比数列中，若，，则（   ） A． B． C．11 D．16 【典例2】：在等比数列中，，则的前6项和为（    ） A． B．11 C．31 D．63 【典例3】：已知数列中，，则 ． 题型3 已知Sn求其他 【典例1】：在等比数列中，，，则公比q为（    ） A．2 B．或2 C． D．1或 【典例2】：在等比数列中，是其前n项和，已知公比，，则（    ）． A． B． C．4 D．2 【典例3】：在等比数列中，，，是数列的前项和.若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型4 前n项和性质 【典例1】：已知等比数列 的公比为 2，且 ，则 （   ） A．3 B．9 C．10 D．17 题型5 等差混等比 【典例1】：已知等比数列的公比，且，，48成等差数列，则的前8项和为（   ） A．127 B．255 C．511 D．1023 【典例2】：已知为等差数列，且． (1)求的通项公式； (2)若等比数列满足，求数列的前项和． 题型6 累加法 【典例1】：14．已知，则n的值为_________. 三、知识检测 1.等比数列中，，，则（） . . . . 2.等比数列中，，公比，则前项和（） . . . . 3．已知为等比数列，且，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知等比数列的首项为，公比为，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 5．在等比数列中，，求该数列前5项的和 ． 6．在等比数列中，，求该数列前项的和. 7.等比数列中，，，则（） . . . . 8．若数列满足，且，则数列的前4项和为（   ） A．15 B．14 C． D． 9．已知数列是等比数列,, 则数列前4项的和 . 10．若数列满足，且，则数列的前4项和为（   ） A．15 B．14 C． D． 11．已知数列是等比数列， ，则数列的前4项和为___________． 12.等比数列中，，，求前项和. 13．在各项均为正数的等比数列中，， 则此数列的前4项和 14．在等比数列中，已知，则该数列前10项和等于（   ） A． B． C． D． 15．已知数列中，，则 ． 16.等比数列的通项公式，则（） . . . . 17．在等比数列中，公比， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18．在等比数列中，已知 ，，则第5项至第10项的和为（    ）． A．63 B．992 C．1023 D．1008 19.等比数列中，，，则（） . . .或 .或 20．设为等比数列的前项和，，则的值为（    ） A． B．9 C． D．5 21．在等比数列中，，，则 . 22.等比数列的公比，且，则（） . . . . 23.已知等比数列的前项和，则 . 24.若等比数列的前项和，则 . 25．若在等比数列中，，则该数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 26．已知等比数列的公比为2，且，则前项和（   ） A． B． C． D． 27．设等比数列的前项和为，若，，则 ． 28．已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ） A． B． C． D． 29．已知等差数列满足，且． (1)求等差数列的通项公式； (2)若等比数列满足，且，求等比数列的前n项和． 30．已知等差数列，，. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 31．已知数列，，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 32．数列的第项值等于（   ） A． B． C． D． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $