2.3.1等比数列的概念- （人教版）高二《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

2.3.1等比数列的概念 一、知识梳理 (1)等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示． 符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． (3)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. (4)等比数列的主要性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． 1.若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. 2.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． 3.若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． 4.三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq，bq3. 二、题型精练 题型1 三数成等比 【典例1】：设为实数，若三个数成等比数列，则公比为（    ） A． B．2 C． D．4 【典例2】：若等比数列的前项依次是，则的值为（） . . . . 题型2 .已知通项求公比 【典例1】：已知等比数列的通项公式为，则（    ） A． B．2 C．3 D．6 【典例2】：已知数列是等比数列，其中，，则该数列的公比（    ） A． B．2 C．4 D．8 题型3 等比数列的通项公式1 【典例1】：若等比数列的首项，公比，则（） . . . . 【典例2】：等比数列中，，，求的值. 题型4 等比数列的通项公式（推广）2 【典例1】：在等比数列中，，，则（   ） A．16 B． C．32 D．64 【典例2】：在各项均为正数的等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 题型5 已知等比递推公式求通项 【典例1】：在数列中，且，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】：数列中，，． (1)求的值； (2)求的通项公式. 题型6 等比中项概念 【典例1】：与的等比中项是 （    ） A．或2 B．8 C．4 D． 题型7 等比中项1 【典例1】：在等比数列，，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】：在等比数列中,,且与的等差中项为,求,,. 题型8 等比数列下标和 【典例1】：在在等比数列中，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【典例2】：在等比数列中，，则（    ） A．25 B．10 C． D． 题型9等比数列的性质 【典例1】：已知等比数列满足，，求该数列的首项与公比. 【典例2】：设是各项为正数的等比数列，且，则___________． 题型10 等比数列下标和2 【典例1】：在正项等比数列中，，则________． 三、知识检测 1.已知成等比数列，则（    ） A． B． C．3 D．4 2．若2，，8，成等比数列，则实数的值为（   ） A． B．4 C．4或 D．5或 3.等比数列中，，，则公比的值为（） . . . . 4．等比数列中，已知：，，则公比（    ） A． B．2 C． D．3 5．在等比数列中，已知，，则公比（    ） A． B． C． D． 6．已知等比数列的首项，则公比（    ） A． B．2 C．3 D．4 7．在等比数列 中，若 ，，则 . 8．已知数列是等比数列，，，试求公比q和． 9．等比数列的首项是2，公比是3，那么该数列的第五项是（    ） A．162 B．486 C．729 D．2187 10．正项等比数列满足，，则其通项公式（    ） A． B． C． D． 11.已知等比数列，，，则（） . . . . 12．在等比数列中，，，则（    ） A．14 B．28 C．32 D．64 13．在等比数列中，，，则 （    ）． A． B．5 C． D．9 14.若数列满足，且，则 . 15.若数列满足，则该数列是（） .等差数列，公差为 .等比数列，公比为 .等差数列，公差为 .等比数列，公比为 16．已知数列满足，，，则__________. 17．已知是与的等差中项，是与的等比中项，则（      ） A．13 B． C．3或 D．或13 18．已知等比数列中，，则 . 19．在等比数列中，，，则________． 20．在等比数列中，若，则（    ）， A．6 B． C． D．9 21．已知等比数列，其中，，则（    ） A． B． C．3 D．5 22．已知在等比数列中，，求； 23．在等比数列中，已知 ，则 ． 24.等比数列中，若，，则（） . . . . 25．设等比数列中，，则 26.等比数列，，，则 . 27．在等比数列中，如果，，则（    ） A．40 B．36 C．54 D．81 28．等比数列中，若，则= ． 29．等比数列中，，公比，且，又的等比中项为2． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 30．在等差数列中，公差，Sn为数列的前n项和，满足成等比数列，则等于（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.1等比数列的概念 一、知识梳理 (1)等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示． 符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． (3)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. (4)等比数列的主要性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． 1.若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. 2.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． 3.若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． 4.三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq，bq3. 二、题型精练 题型1 三数成等比 【典例1】：设为实数，若三个数成等比数列，则公比为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据等比中项的性质及通项公式即可求解. 【详解】因为三个数成等比数列， 所以，故， 当时，公比， 当时，公比， 所以． 故选：A． 【典例2】：若等比数列的前项依次是，则的值为（） . . . . 【答案】 【分析】根据题意结合等比中项的性质即可得解. 【详解】等比数列的前项依次是， 则，解得， 故选：. 题型2 .已知通项求公比 【典例1】：已知等比数列的通项公式为，则（    ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】因为是等比数列，， 所以，则. 故选：C. 【典例2】：已知数列是等比数列，其中，，则该数列的公比（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据等比数列任意两项的关系计算即可. 【详解】因为，，所以，即，解得. 故选：B. 题型3 等比数列的通项公式1 【典例1】：若等比数列的首项，公比，则（） . . . . 【答案】 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式即可得解. 【详解】等比数列的首项，公比， 则， 故选：. 【典例2】：等比数列中，，，求的值. 【答案】. 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式即可得解. 【详解】等比数列中，，， 则，，， 所以. 题型4 等比数列的通项公式（推广）2 【典例1】：在等比数列中，，，则（   ） A．16 B． C．32 D．64 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】因为是等比数列，，， 所以， 故选：A. 【典例2】：在各项均为正数的等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件结合等比数列的通项公式求出即可求得该数列的通项公式. （2）由，得知数列是等差数列，利用等差数列的求和公式求出答案即可. 【详解】（1）由题意设等比数的公比为（）， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）可得，则， 所以，且， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以该数列的前n项和为． 题型5 已知等比递推公式求通项 【典例1】：在数列中，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，可知数列是等比数列，且其首项为1，公比为，利用等比数列的通项公式求得通项． 【详解】数列中，，所以， 又，则数列是首项为1，以为公比的等比数列， 则， 故选：A． 【典例2】：数列中，，． (1)求的值； (2)求的通项公式. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据数列的递推公式即可求解. （2）将变式为，即，则数列是以为首项，公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式求出，即可求得的通项公式. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）因为，  所以， 即，所以， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 则，所以. 题型6 等比中项概念 【典例1】：与的等比中项是 （    ） A．或2 B．8 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据等比中项的概念计算即可. 【详解】设是与的等比中项， 则， 所以，即与的等比中项是或2， 故选：A. 题型7 等比中项1 【典例1】：在等比数列，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比中项的性质列式计算即可求解. 【详解】因为数列是等比数列，且，， 所以，所以. 因为，所以. 故选：C. 【典例2】：在等比数列中,,且与的等差中项为,求,,. 【答案】,,. 【分析】由等比中项的应用及等差中项的公式即可得解. 【详解】由题意得. 解得. ∵与的等差中项为. . 解得. . 解得. 所以,,. 题型8 等比数列下标和 【典例1】：在在等比数列中，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】根据等比数列下标和性质求解即可； 【详解】因为在等比数列中，， 所以， 故选：C 【典例2】：在等比数列中，，则（    ） A．25 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质求解． 【详解】等比数列中，， 则， 故选：A． 题型9等比数列的性质 【典例1】：已知等比数列满足，，求该数列的首项与公比. 【答案】，. 【分析】根据题意结合等比数列的性质即可得解. 【详解】等比数列中， ，解得， 则，解得， 所以，. 【典例2】：设是各项为正数的等比数列，且，则___________． 【答案】1 【分析】根据等比数列的性质，结合对数运算法则即可求解. 【详解】因为是各项为正数的等比数列，且， 所以， ， 故答案为：1． 题型10 等比数列下标和2 【典例1】：在正项等比数列中，，则________． 【答案】 【分析】由等比数列的性质可得，将其代入，即可解答． 【详解】正项等比数列中，有， 则， 则， 故答案为：． 三、知识检测 1．已知成等比数列，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用等比中项公式即可得解. 【详解】因为成等比数列， 所以，则. 故选：D. 2．若2，，8，成等比数列，则实数的值为（   ） A． B．4 C．4或 D．5或 【答案】A 【分析】根据等比数列的定义即可求解． 【详解】若2，，8，成等比数列， 则，解得． 故选：A． 3.等比数列中，，，则公比的值为（） . . . . 【答案】 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式即可得解. 【详解】等比数列中，，， 则，解得， 故选：. 4．等比数列中，已知：，，则公比（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】由等比数列的通项公式求解基本量即可. 【详解】因为是等比数列，所以， 则，故， 故选：B 5．在等比数列中，已知，，则公比（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式及已知，联立方程即可求解. 【详解】因为数列为等比数列， 设公比为q， 所以. 因为，， 所以， 解得， 所以等比数列的公比为2. 故选：A. 6．已知等比数列的首项，则公比（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式即可得解. 【详解】等比数列的首项， 则，解得， 故选：. 7．在等比数列 中，若 ，，则 . 【答案】54 【分析】根据首项和公比求出等比数列的通项公式，再将代入求解即可. 【详解】因为等比数列 中，，， 所以， 当时，， 故答案为：. 8．已知数列是等比数列，，，试求公比q和． 【答案】， 【分析】根据等比数列的通项公式计算即可. 【详解】由题可知： ，因为， 所以，. 9．等比数列的首项是2，公比是3，那么该数列的第五项是（    ） A．162 B．486 C．729 D．2187 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式即可得解. 【详解】等比数列的首项是2，公比是3， 那么该数列的第五项是， 故选：. 10．正项等比数列满足，，则其通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为是正项等比数列，所以， 又因为，，所以，故， 所以其通项公式为. 故选：B． 11.已知等比数列，，，则（） . . . . 【答案】 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式求出即可得解. 【详解】等比数列，，， 则，解得， 则，解得， 故选：. 12．在等比数列中，，，则（    ） A．14 B．28 C．32 D．64 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设该数列的公比为，因为在等比数列中，，， 则，所以， 所以. 故选：C. 13．在等比数列中，，，则 （    ）． A． B．5 C． D．9 【答案】D 【分析】根据等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为在等比数列中，，， 设等比数列的公比为q，且， 则，解得， 所以. 故选：D. 14.若数列满足，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合等比数列的定义及通项公式即可得解. 【详解】数列满足，则， 所以该数列为等比数列，且公比为， 且，则， 故答案为：. 15.若数列满足，则该数列是（） .等差数列，公差为 .等比数列，公比为 .等差数列，公差为 .等比数列，公比为 【答案】 【分析】根据题意结合等比数列的定义即可得解. 【详解】数列满足，则， 所以该数列为等比数列，公比为， 故选：. 16．已知数列满足，，，则__________. 【答案】3 【分析】根据递推公式构造出等比数列并求出通项公式，代值求即可. 【详解】∵，∴，即， 且，故数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，若，则，解得. 故答案为：3. 17．已知是与的等差中项，是与的等比中项，则（      ） A．13 B． C．3或 D．或13 【答案】D 【分析】根据等差数列，等比数列的性质即可求解. 【详解】因为是4与6的等差中项，则. 因为b是与的等比中项，则. 所以或. 故选：D. 18．已知等比数列中，，则 . 【答案】 【分析】利用等比中项公式计算即可. 【详解】在等比数列中，，解得：. 故答案为：. 19．在等比数列中，，，则________． 【答案】 【分析】利用等比数列下标的性质可求解. 【详解】由等比数列下标和的性质可知 . 故答案为： 20．在等比数列中，若，则（    ）， A．6 B． C． D．9 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】因为是等比数列， 又，所以， 所以，经检验，均符合. 故选：C. 21．已知等比数列，其中，，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，结合等比数列的性质，即可求解. 【详解】因为等比数列中，，， 所以， 又， 所以. 故选：B. 22．已知在等比数列中，，求； 【答案】 【分析】根据等比数列的下标和性质求值即可. 【详解】已知为等比数列，所以， 又， 故. 23．在等比数列中，已知 ，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质即等比中项的概念即可求解. 【详解】由等比数列的性质知成等比数列， 可得＝， 故答案为：． 24.等比数列中，若，，则（） . . . . 【答案】 【分析】根据题意结合等比数列的性质即可得解. 【详解】等比数列中，若， 因为，所以，因为，所以， 故选：. 25．设等比数列中，，则 【答案】81 【分析】应用等比数列的性质即可求解. 【详解】因为为等比数列，，， 所以， 解得. 故答案为:81. 26.等比数列，，，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合等比数列的性质即可得解. 【详解】等比数列，， 因为，则，解得， 故答案为：. 27．在等比数列中，如果，，则（    ） A．40 B．36 C．54 D．81 【答案】B 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】由等比数列的性质可知，,,成等比数列, 其首项为16,公比为,所以. 故选: B 28．等比数列中，若，则= ． 【答案】4 【分析】由等比数列的性质结合对数的运算性质即可得解. 【详解】因为在等比数列中，， 所以， 则为. 故答案为：4. 29．等比数列中，，公比，且，又的等比中项为2． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比的性质得到，，且，求出，再利用等比数列的通项公式求出首项和公比，即可求解. （2）推导出，由此能求出数列的前n项和. 【详解】（1）因为数列为等比数列，又， 所以，即 又因为， 解得或，又，所以， 所以，则，解得， 所以数列的通项公式为． （2）因为， 所以，， 即数列为首项为4，公差为的等差数列， 所以其前n项和为． 30．在等差数列中，公差，Sn为数列的前n项和，满足成等比数列，则等于（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据等差数列的前项和和等比中项的性质进行计算. 【详解】由题意得，解得， ∵公差，∴， 则． 故选：C. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $