3.2.1向量的加法- （人教版）高二《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

3.2.1向量的加法 一、知识梳理 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 （口诀：首尾相连，首指向尾） 平行四边形 法则 （口诀：同起点，指对角） (1)交换律： a＋b＝ b＋a　； (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)　 减法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 （口诀：同起点，连终点，减指向被减） a－b＝a＋(－b) 数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ是实数． (1) λ(μa)　＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa　 (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb　. 2.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　. 二、题型精练 题型1 向量的加法--作图 【典例1】：（1）如图甲所示，求作向量和； （2）如图乙所示，求作向量和． 题型2 向量的加法--运算 【典例1】：（    ） A． B． C． D．0 【典例2】：向量化简后等于（    ） A． B． C． D． 题型3 向量的加法--图形运算 【典例1】：2．在三角形ABC中，三边长为3，4，5，则（    ） A．12 B．2 C． D．0 【典例2】：如图所示，已知平行四边形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型4 向量的加法--倍数 【典例1】：在中，已知D为BC边上的中点，则等于（    ） A． B． C． D．0 题型5 向量的加法 【典例1】：在平行四边形中，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【典例2】：已知点M是的边上的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 题型6 向量的加法--模 【典例1】：如图所示，在正六边形中，若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D． 【典例2】：在矩形ABCD中，，则向量的长度等于______． 题型7 向量的加法--方向 【典例1】：设表示向北走4千米，表示向东走4千米，则表示的意义是 . 【典例2】：河水从西往东流，流速为，一艘船以的速度垂直水流方向向北横渡，求船实际航行的方向和航速． 题型8 向量的三角不等式性质 【典例1】：，则的最大值为_____. 3、 知识检测 1．等于（    ）． A． B． C．0 D． 2． . 3．等于（    ）． A． B． C． D． 4．（   ） A．0 B． C． D． 5．化简：________. 6． ． 7．设是平面内任意三点，计算： ． 8．化简：++=（    ） A． B． C． D． 9．化简 ． 10．化简下列各式 (1)． (2)． (3)． (4)． 11．计算：（    ） A． B． C． D． 12．化简：＝（   ） A． B． C． D． 13．（    ） A． B． C． D． 14．=______． 15．向量化简后等于（    ） A． B． C． D． 16．化简：__________. 17．中，下列向量运算正确的是（    ） A． B． C． D． 18．在平行四边形中，（   ） A． B． C． D． 19．如图，在平行四边形ABCD中，（   ）    A． B． C． D． 20．已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 21．如图所示，在矩形中，为与的交点，则等于（    ）    A． B． C． D． 22．在正六边形中，（ ） A． B． C． D． 23．如图，已知在中，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作：    (1)； (2). 24．如图所示，在中，是边的中点．求： (1)； (2)； (3)． 25．如图所示，已知平行四边形中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 26．在平行四边形中，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 27．如图所示，求： (1)； (2)； (3)； (4). 28．在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的形状是（    ） A．长方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 29．在边长为的正三角形中，的值为（    ） A． B． C． D． 30．若在矩形中，，则________________. 31．是边长为1的正方形，则（    ） A． B． C． D．0 32．在正六边形中，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 33．已知平行四边形，设，且是一非零向量，给出下列结论：①；②；③；④．其中错误的是 ． 34．若向量表示“向东航行”，表示“向北航行”，则向量表示（   ） A．向东北方向航行 B．向北偏东方向航行 C．向北偏东方向航行 D．向东北方向航行 35．已知向量，且，则向量的方向（   ） A．与向量方向相同 B．与向量方向相反 C．与向量方向相同 D．与向量方向相反 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1向量的加法 一、知识梳理 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 （口诀：首尾相连，首指向尾） 平行四边形 法则 （口诀：同起点，指对角） (1)交换律： a＋b＝ b＋a　； (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)　 减法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 （口诀：同起点，连终点，减指向被减） a－b＝a＋(－b) 数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ是实数． (1) λ(μa)　＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa　 (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb　. 2.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　. 二、题型精练 题型1 向量的加法--作图 【典例1】：（1）如图甲所示，求作向量和； （2）如图乙所示，求作向量和． 【答案】答案见解析 【分析】（1）根据向量加法的三角形法则求解即可. （2）根据向量加法的三角形法则求解即可. 【详解】（1）首先作向量，然后作向量，则向量．如图所示． （2）如图所示，首先在平面内任取一点，作向量，再作向量， 则得向量，然后作向量，则向量即为所求． 题型2 向量的加法--运算 【典例1】：（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】利用向量的加法法则即可得解. 【详解】. 故选：B. 【典例2】：向量化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意得， . 故选：C. 题型3 向量的加法--图形运算 【典例1】：2．在三角形ABC中，三边长为3，4，5，则（    ） A．12 B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】由向量的加法运算性质求解即可. 【详解】在三角形ABC中，. 故选：C. 【典例2】：如图所示，已知平行四边形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的概念与加法运算可求. 【详解】由题可知，，故A错误； 向量，方向不同，则，故B错误； 因为向量，方向不相反，则，故C错误； ，故D正确； 故选：D. 题型4 向量的加法--倍数 【典例1】：在中，已知D为BC边上的中点，则等于（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】由向量加法的运算法则计算即可. 【详解】． 故选:C. 题型5 向量的加法 【典例1】：在平行四边形中，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的平行四边形法则即可得解. 【详解】 根据平行四边形法则可得， 故选：. 【典例2】：已知点M是的边上的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法的平行四边形法则即可解答. 【详解】已知点M是的边上的中点， 如图，以为邻边构建平行四边形， 则， 故选：A. 题型6 向量的加法--模 【典例1】：如图所示，在正六边形中，若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】利用相等向量、向量的加法法则与向量的模即可得解. 【详解】由题，可知， 所以 故选：B. 【典例2】：在矩形ABCD中，，则向量的长度等于______． 【答案】6 【分析】根据向量线性运算及向量的模的概念，即可求解. 【详解】因为, 所以 又 , 所以向量 ， 故答案为：6. 题型7 向量的加法--方向 【典例1】：设表示向北走4千米，表示向东走4千米，则表示的意义是 . 【答案】向东北方向走千米 【分析】利用向量的平行四边形法则求出合向量后结合实际意义即可求解. 【详解】因为表示向北走4千米，表示向东走4千米， 所以表示既向向北走4千米，又向东走4千米， 即向东北方向走千米. 故答案为：向东北方向走千米. 【典例2】：河水从西往东流，流速为，一艘船以的速度垂直水流方向向北横渡，求船实际航行的方向和航速． 【答案】东北方向； 【分析】根据向量的加法及向量模的概念即可求解. 【详解】设河水流速为，船速为，， 由题意，船的实际速度， 由结合向量加法的平行四边形法则可得船实际的航行方向为东北方向， 且， 所以航速的大小为． 题型8 向量的三角不等式性质 【典例1】：，则的最大值为_____. 【答案】5 【分析】根据向量的三角不等式性质即可得解. 【详解】因为， 所以，当且仅当同向时取等号. 故答案为：5. 3、 知识检测 1．等于（    ）． A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据向量的加法计算即可. 【详解】由题可知：. 故选：D 2． . 【答案】 【分析】根据向量的加法法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 3．等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的加法法则即可得解. 【详解】， 故选：. 4．（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法法则即可解答. 【详解】， 故选：C. 5．化简：________. 【答案】 【分析】根据向量的加法法则计算即可. 【详解】. 故答案为：. 6． ． 【答案】 【分析】根据向量运算的加法法则即可求解. 【详解】. 故答案为： 7．设是平面内任意三点，计算： ． 【答案】 【分析】根据向量加法三角形法则进行计算即可求解. 【详解】. 故答案为：. 8．化简：++=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法运算求解即可. 【详解】+=，+=，所以++=. 故选：A. 9．化简 ． 【答案】 【分析】根据向量加法的法则计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 10．化简下列各式 (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 11．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量运算法则化简求解. 【详解】根据向量加法法则： ，， 因此原式. 故选：B. 12．化简：＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加法运算可求. 【详解】； 故选：A. 13．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量加法的运算法则计算即可. 【详解】． 故选:C. 14．=______． 【答案】 【分析】根据向量的加法法则求值即可. 【详解】 . 故答案为： 15．向量化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意得， . 故选：C. 16．化简：__________. 【答案】 【分析】根据向量的加法法则即可得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 17．中，下列向量运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的三角形法则和平行四边形法则可判断结果. 【详解】    如图，以，为邻边构造平行四边形，则，且，，，故A、B、D错误； 根据向量加法的三角形法则，，故C正确. 故选：C 18．在平行四边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面向量加法的运算法则结合相等向量的定义，即可求解. 【详解】因为，在平行四边形中有， 所以. 故选：C. 19．如图，在平行四边形ABCD中，（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量加法的平行四边形法则即可得解. 【详解】由向量加法的平行四边形法则可知，. 故选：B. 20．已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的运算法则即可得解. 【详解】由题意可知，，故正确； ，故正确； ，故正确 ，故错误， 故选：D. 21．如图所示，在矩形中，为与的交点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量的加法法则结合题中的矩形即可求解. 【详解】在矩形中，为与的交点， 则． 故选：B. 22．在正六边形中，（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加法法则化简为，再结合图形观察是否有相等向量即可求解. 【详解】如图， 因为，故D正确. 由图可知，显然，，，故A、B、C均错误. 故选：D 23．如图，已知在中，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作：    (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用向量的加法法则作图即可； （2）利用向量的加法法则作图即可. 【详解】（1）延长，在延长线上截取，则向量即为所求.    （2）在上取点，使，则向量即为所求. 24．如图所示，在中，是边的中点．求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据向量加法的三角形法则求值即可. 【详解】（1）由图可知，. （2）由图可知，. （3）由图可知，. 25．如图所示，已知平行四边形中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法的运算规则和几何意义，即可求解. 【详解】因为平行四边形中，是的中点， 所以， 故， 故选：A. 26．在平行四边形中，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的平行四边形法则即可得解. 【详解】 根据平行四边形法则可得， 故选：. 27．如图所示，求： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）按照向量加法法则直接计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） 28．在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的形状是（    ） A．长方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 【答案】D 【分析】根据向量的加法得出四边形上下两底平行但不相等，即可判断四边形为梯形. 【详解】， 四边形ABCD为梯形． 故选：D 29．在边长为的正三角形中，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加法法则结合菱形的结构特征即可求解. 【详解】以为邻边作菱形，则.    由图形可知，的长度等于等边的边上的高的倍. 即，因此，. 故选：D. 30．若在矩形中，，则________________. 【答案】5 【分析】根据题意，结合向量的模，及向量的加法，即可求解. 【详解】    因为矩形中，， 所以. 故答案为：5. 31．是边长为1的正方形，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】利用向量的加法运算及模的运算可求. 【详解】，； 故选：D. 32．在正六边形中，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量的加法法则，和相等向量的概念求值即可. 【详解】如图为正六边形， 则，， . 故选：B. 33．已知平行四边形，设，且是一非零向量，给出下列结论：①；②；③；④．其中错误的是 ． 【答案】②④ 【分析】根据题意，结合向量的线性运算、零向量的定义和性质，及向量的模，即可判断求解. 【详解】因为在平行四边形中，，所以， 因为零向量和任意向量都平行，故①正确； 因为零向量和任意向量的和等于这个向量本身，,所以②错误，③正确； 所以，故，故④错误； 故符合题意的有②④. 故答案为：②④. 34．若向量表示“向东航行”，表示“向北航行”，则向量表示（   ） A．向东北方向航行 B．向北偏东方向航行 C．向北偏东方向航行 D．向东北方向航行 【答案】B 【分析】由题意画出示意图，根据向量加法的几何意义即可求解. 【详解】如图，作，， 则，所以，且，所以， 因此表示向北偏东方向航行. 故选：B. 35．已知向量，且，则向量的方向（   ） A．与向量方向相同 B．与向量方向相反 C．与向量方向相同 D．与向量方向相反 【答案】A 【分析】分为、同向与、反向两种情况讨论，结合向量加法运算的概念求解判断. 【详解】∵，且， ∴当、同向时，的方向与相同； 当、反向时，∵，∴的方向仍与相同． 故选：A. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $