第10卷：等差数列与等比数列的概念及性质（教师讲解卷） 江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以“概念对比-真题精讲-迁移提升”为逻辑链，系统构建等差数列与等比数列的概念体系与解题方法，助力三校生对口升学精准突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|1对比表格|定义-公式-性质系统对比|从定义出发，通过通项、中项、前n项和等构建完整概念链| |真题精讲|4道近3年真题|考点应用示范|结合真题强化下标性质、片段和等核心考点的应用| |举一反三|4道题|方法迁移训练|通过变式题巩固定义辨析、前n项和公式应用等技巧| |拓展提升|22道题|综合技巧深化|覆盖选择/填空/判断，融入数学文化情境，提升推理与运算能力|

编写说明：2027版江西省三校生对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足江西省三校生对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版江西省三校生对口升学《数学真题同源卷》 第10卷：等差数列与等比数列的概念及性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 对比项目 等差数列 等比数列 定义 从第2项起，每一项与前一项的差为常数 d aₙ₊₁ - aₙ = d 从第2项起，每一项与前一项的比为常数 q(q≠0) aₙ₊₁ / aₙ = q 通项公式 aₙ = a₁ + (n-1)d aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ 通项推广 aₙ = aₘ + (n-m)d aₙ = aₘ·qⁿ⁻ᵐ 中项 a,A,b 成等差 ⇔ 2A = a+b a,G,b 成等比 ⇔ G² = ab 下标性质 若 m+n=p+q，则 aₘ + aₙ = aₚ + a_q 若 m+n=p+q，则 aₘ·aₙ = aₚ·a_q 前n项和 Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2 q=1：Sₙ = na₁ q≠1：Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q) 片段和性质 Sₖ, S₂ₖ-Sₖ, S₃ₖ-S₂ₖ,… 成等差 Sₖ≠0 时， Sₖ, S₂ₖ-Sₖ, S₃ₖ-S₂ₖ,… 成等比 函数特征 aₙ 是关于 n 的一次函数 Sₙ 是关于 n 的二次函数 aₙ 是指数型函数 【真题精讲】 1.（2026·江西·真题T13）在等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 2.（2025·江西·真题T18）第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案是由一串直角三角形演化而成的（如图），其中，它可以形成近似的等角螺线，记的长度所组成的数列为，则（　　）    A． B． C． D．8 3．（2024·江西·真题T12）等差数列{an}的前n项和为Sn，若S1=2，S3=15，则S5=（ ）. A．30 B．28 C．40 D．42 4.（2023·江西·真题T14）在等比数列{an}中，若a1=-1，a4=-8，则前10项的和是（ ） A.-1023 B. 1024 C. 1023 D.-1024 【举一反三】 5.（2022·江西·真题T06）数列3,6,12,24,…是等比数列 …………………（A B） 6.（2022·江西·真题T14）已知等差数列{an}的前n项和Sn=-2n2+n，则公差d=（ ） A．-4 B．4 C．-2 D．2 7．（25-26高三·江西·模拟预测）已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A．24 B．36 C．48 D．72 8．已知等比数列中，与是方程的两个实数根，则_________． 【拓展提升】 1、 是非选择题 9．（25-26高三下·江西·模拟预测）若数列的前项和为，且，则…………………（A B） 10．（25-26高三·江西·模拟预测）已知数列为等差数列，若，则的值为10…………………（A B） 11．（25-26高三·江西·模拟预测）等差数列的首项，公差，的前项和为，则…………………（A B） 12．（25-26高三·江西·模拟预测）已知数列满足，且，为其前n项的和，则…………………（A B） 13．（25-26高三下·江西·模拟预测）等比数列中，若，，则……（A B） 二、单选题 14．（25-26高二下·江西·期中）下列数列不是等差数列的是（    ）. A．2，2，2，2， B．1，3，5，7， C．，2，3，7， D．，，1，4， 15．（25-26高三·江西·模拟预测）若数列满足，，则＝（ ） A． B． C． D． 16．（25-26高三·江西·模拟预测）设是等比数列的前n项和，，，则首项（ ） A． B．12 C．1或 D．3或12 17．（25-26高二下·江西·期中）在等差数列中，前15项的和，则的值为（    ）. A．15 B．10 C．12 D．6 18．（25-26高二下·江西·期中）在等比数列中，，，则（    ）. A． B． C． D． 19．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）等差数列中，，则（    ） A． B． C． D．1 20．（25-26高三上·江西赣州·期末）是等差数列的前项和，，则的值是（   ） A． B． C． D． 21．数列前项和，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（25-26高三·江西·模拟预测）在《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧.如图，正方形的边长为4，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点作第3个正方形，依此方法一直继续下去，记第1个正方形的面积为，第2个正方形的面积为，…，第个正方形的面积为，则前5个正方形的面积之和为（    ）    A．30 B． C． D． 三、填空题 23．（25-26高二下·江西·期中）已知数列中，，，则__________. 24．（25-26高二下·江西·期中）已知数列的前项和为，则__________. 25．（25-26高三·江西·模拟预测）在等比数列中，是数列的前n项和．若，则__________. 26．设为等差数列的前n项和，若，，则________． 27．设等比数列{an}中， ，则 ____ 28．（25-26高三下·江西·二模）在等比数列中，已知，则__________. 29．已知数列的前n项和为，，则________ 30．已知等差数列满足，则公差______． 31．已知双曲线的左、右焦点分别为，，虚轴长为4，离心率为，若过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且是与的等差中项，则________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版江西省三校生对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足江西省三校生对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版江西省三校生对口升学《数学真题同源卷》 第10卷：等差数列与等比数列的概念及性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 对比项目 等差数列 等比数列 定义 从第2项起，每一项与前一项的差为常数 d aₙ₊₁ - aₙ = d 从第2项起，每一项与前一项的比为常数 q(q≠0) aₙ₊₁ / aₙ = q 通项公式 aₙ = a₁ + (n-1)d aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ 通项推广 aₙ = aₘ + (n-m)d aₙ = aₘ·qⁿ⁻ᵐ 中项 a,A,b 成等差 ⇔ 2A = a+b a,G,b 成等比 ⇔ G² = ab 下标性质 若 m+n=p+q，则 aₘ + aₙ = aₚ + a_q 若 m+n=p+q，则 aₘ·aₙ = aₚ·a_q 前n项和 Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2 q=1：Sₙ = na₁ q≠1：Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q) 片段和性质 Sₖ, S₂ₖ-Sₖ, S₃ₖ-S₂ₖ,… 成等差 Sₖ≠0 时， Sₖ, S₂ₖ-Sₖ, S₃ₖ-S₂ₖ,… 成等比 函数特征 aₙ 是关于 n 的一次函数 Sₙ 是关于 n 的二次函数 aₙ 是指数型函数 【真题精讲】 1.（2026·江西·真题T13）在等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式列方程求解即可. 【详解】设等差数列中，公差为 ， 由得， 解得， 所以， 故选：C. 2.（2025·江西·真题T18）第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案是由一串直角三角形演化而成的（如图），其中，它可以形成近似的等角螺线，记的长度所组成的数列为，则（　　）    A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】根据规律可求解出数列的通项公式，由此可求解. 【详解】∵， ∴， 由此可得，，， 记的长度所组成的数列为， 则（且）， ∴. 故选：B. 3．（2024·江西·真题T12）等差数列{an}的前n项和为Sn，若S1=2，S3=15，则S5=（ ）. A．30 B．28 C．40 D．42 【答案】C 【解析】a1=2，3a1+3d=15，所以d=3，S5=5a1+10d=40.故选C. 4.（2023·江西·真题T14）在等比数列{an}中，若a1=-1，a4=-8，则前10项的和是（ ） A.-1023 B. 1024 C. 1023 D.-1024 【答案】A 【解析】因为，所以q=2，故=-1203.故选A. 【举一反三】 5.（2022·江西·真题T06）数列3,6,12,24,…是等比数列 …………………（A B） 【答案】A 【解析】数列3,6,12,24,…满足后一项比前一项都等于同一个常数2，所以是等比数列.故选A. 6.（2022·江西·真题T14）已知等差数列{an}的前n项和Sn=-2n2+n，则公差d=（ ） A．-4 B．4 C．-2 D．2 【答案】A 【解析】因为等差数列{an}的前n项和Sn=-2n2+n，所以a1=S1=-1，a2=S2-S1=-6-(-1)=-5， 所以公差d=a2-a1=-5-(-1)=-4.故选A. 7．（25-26高三·江西·模拟预测）已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和公式和等差数列的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 则. 故选：B. 8．已知等比数列中，与是方程的两个实数根，则_________． 【答案】 【分析】利用韦达定理求出的值，再结合等比数列的性质得到的值. 【详解】因为与是方程的两个实数根，所以， 在等比数列中，， 故答案为：15. 【拓展提升】 1、 是非选择题 9．（25-26高三下·江西·模拟预测）若数列的前项和为，且，则…………………（A B） 【答案】A 【分析】由数列的前n项和公式与数列的项的关系即可得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：A. 10．（25-26高三·江西·模拟预测）已知数列为等差数列，若，则的值为10…………………（A B） 【答案】A 【分析】根据等差数列的额性质即可得解. 【详解】由题意得：，所以， 故， 故答案为：A 11．（25-26高三·江西·模拟预测）等差数列的首项，公差，的前项和为，则…………………（A B） 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和公式易得答案. 【详解】因为等差数列的首项，公差， 所以， 则. 故答案为：B. 12．（25-26高三·江西·模拟预测）已知数列满足，且，为其前n项的和，则…………………（A B） 【答案】B 【分析】根据题意，结合等比数列的概念和前n项和公式，即可判断求解. 【详解】因为数列满足，且， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 所以. 故答案为：B. 13．（25-26高三下·江西·模拟预测）等比数列中，若，，则……（A B） 【答案】A 【分析】先求解等比数列的首项，再根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】∵等比数列中，，， ∴， ∴． 故答案为：A. 二、单选题 14．（25-26高二下·江西·期中）下列数列不是等差数列的是（    ）. A．2，2，2，2， B．1，3，5，7， C．，2，3，7， D．，，1，4， 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义，验证后一项与前一项的差是否是同一个常数即可. 【详解】A选项，2，2，2，2，，后一项与前一项的差为0，是等差数列； B选项，1，3，5，7，，后一项与前一项的差为2，是等差数列； C选项，，2，3，7，，后一项与前一项的差不是同一个常数，不是等差数列； D选项，，，1，4，，后一项与前一项的差为3，是等差数列. 故选：C. 15．（25-26高三·江西·模拟预测）若数列满足，，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的关系可得答案. 【详解】因为，， 当时，，即. 故选：A. 16．（25-26高三·江西·模拟预测）设是等比数列的前n项和，，，则首项（ ） A． B．12 C．1或 D．3或12 【答案】D 【分析】根据等比数列前n项和公式结合已知条件即可求解. 【详解】因为在等比数列中，，， 当公比时，，此时，满足题意， 当公比时，由，解得， 所以数列的首项或. 故选：D. 17．（25-26高二下·江西·期中）在等差数列中，前15项的和，则的值为（    ）. A．15 B．10 C．12 D．6 【答案】B 【分析】根据等差数列的前n项和公式以及等差数列的性质求解即可. 【详解】在等差数列中，前15项的和， ∴， 解得. 故选：B. 18．（25-26高二下·江西·期中）在等比数列中，，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等比数列通项公式求出公比，再求出的值. 【详解】设等比数列的公比为， 已知，， 由可得：，解得， 所以， 故选：A. 19．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）等差数列中，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为，即， 所以，解得：， 所以， 故选：A. 20．（25-26高三上·江西赣州·期末）是等差数列的前项和，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式求值即可. 【详解】已知是等差数列的前项和， 设公差为，由， 得，解得， 则，解得， 所以， 故选：C. 21．数列前项和，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用数列与的关系可求. 【详解】数列前项和， 所以，， 即， 故选：B. 22．（25-26高三·江西·模拟预测）在《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧.如图，正方形的边长为4，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点作第3个正方形，依此方法一直继续下去，记第1个正方形的面积为，第2个正方形的面积为，…，第个正方形的面积为，则前5个正方形的面积之和为（    ）    A．30 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合等比数列的定义及求和公式即可得解. 【详解】设第个正方形的边长为，由题意可知：， 则，， 所以， 正方形面积的规律是首项16，公比为的等比数列， 前5个正方形的面积之和为. 故选：B. 三、填空题 23．（25-26高二下·江西·期中）已知数列中，，，则__________. 【答案】9 【分析】根据数列的递推公式求解即可. 【详解】在数列中，，， ∴， ∴. 故答案为：9. 24．（25-26高二下·江西·期中）已知数列的前项和为，则__________. 【答案】10 【分析】根据求解即可. 【详解】∵数列的前项和为， ∴，， ∴. 故答案为：10. 25．（25-26高三·江西·模拟预测）在等比数列中，是数列的前n项和．若，则__________. 【答案】6 【分析】由等比数列，设公比为q，结合已知条件求、，即可写出关于m的表达式，进而求参数m. 【详解】设的公比为q，则，得， ∴，即. 故答案为：6. 26．设为等差数列的前n项和，若，，则________． 【答案】15 【分析】求解出等差数列的首项与公差，再由等差数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，， 可得，得， 所以． 故答案为：15． 27．设等比数列{an}中， ，则 ____ 【答案】9 【分析】根据等比数列的性质求值即可. 【详解】已知等比数列中 则， 故答案为：9. 28．（25-26高三下·江西·二模）在等比数列中，已知，则__________. 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式列方程求值即可. 【详解】在等比数列中，设公比为， 已知，则， 所以，解得， 则 ， 故答案为：. 29．已知数列的前n项和为，，则________ 【答案】3 【分析】根据题意，结合数列的递推公式，求得数列的前8项的值，继而推出数列的周期性，即可求解. 【详解】因为数列中，， 又，所以，， ，，， ， 所以数列是周期为6的周期数列，且， 所以. 故答案为：3. 30．已知等差数列满足，则公差______． 【答案】 【分析】设等差数列的通项公式，并表示出，比较系数可得结果. 【详解】因为是等差数列，且公差为，则， 由可得： ， 比较系数可得， ，解得，. 故答案为： 31．已知双曲线的左、右焦点分别为，，虚轴长为4，离心率为，若过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且是与的等差中项，则________． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义结合等差数列的性质列式即可求解. 【详解】因为是与的等差中项，所以， 由双曲线定义，， 相加得，所以， 因为虚轴长为4，则解得， 又，，解得， 所以． 故答案为：.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $