第9卷：解三角形（教师讲解卷） 江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足江西三校生考纲，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，系统整合解三角形核心公式、适用场景及易错点，通过真题与模拟题培养运算能力与推理意识，实现方法迁移与能力提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|2类前提+3类公式|核心公式适用场景与易错提醒（如余弦定理负号、正弦定理多解判断）|从边角对应关系、内角和等基础前提，推导正弦定理、余弦定理及面积公式，构建“前提-公式-应用”概念链| |真题精讲|3道近三年真题|真题解题步骤拆解（如已知两边夹角用余弦定理求边、面积公式应用）|聚焦高频考点，示范定理在不同条件下的规范应用，强化数学思维| |举一反三|3道（真题+模拟）|变式题型方法迁移（如结合图形的边长计算、角度求解）|通过同类题型变式，巩固公式灵活应用能力，培养推理意识| |拓展提升|22题（选择/填空/解答）|综合应用能力训练（含实际应用题）|从基础计算到综合问题，覆盖选择、填空、解答全题型，提升知识系统性与应试能力|

编写说明：2027版江西省三校生对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足江西省三校生对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版江西省三校生对口升学《数学真题同源卷》 第9卷：解三角形 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、基础前提（必记） 核心前提 具体内容 边角对应关系 在△ABC中，内角A、B、C对应三边a、b、c（A对a，B对b，C对c） 隐含角度关系 A + B + C = 180°（π弧度），常用变形：C = 180° - (A + B)（用于角度换算） 二、核心公式（重中之重） 公式类型 具体公式（含变形） 适用场景 易错提醒 正弦定理 核心公式： a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R （R为外接圆半径，中职不考R计算） 已知两角和一边；已知两边和其中一边的对角； 判断三角形形状 已知“两边及一边对角”可能有两解、一解、无解，仅需掌握简单判断（如a > b，则A > B，仅一解） 余弦定理 1. 求边公式： a² = b² + c² - 2bc·cosA； b² = a² + c² - 2ac·cosB； c² = a² + b² - 2ab·cosC 2. 求角变形： cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)； cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)； cosC=(a²+b²-c²)/(2ab) 已知三边求三角； 已知两边及夹角求第三边及剩余两角； 已知一边两角 切勿忘记公式中“-2bc·cosA”的负号，避免计算错误 三角形面积公式 1. 基础公式：S = 1/2 × 底 × 高 2. 高频公式：S = 1/2 ab·sinC = 1/2 bc·sinA = 1/2 ac·sinB 3. 拓展公式：S = (abc)/(4R)（偶尔考，简单了解） 1. 基础公式：已知底和对应高； 2. 高频公式：已知两边及夹角（直接套用） 高频公式需用“两边及夹角”的正弦值，不可用任意两边和任意角 【真题精讲】 1.（2026·江西·真题26）已知在 的三边分别为，且， （1）求 ； （2）若，求的面积. 2．（2025·江西·真题T23）在△中，，且，则 . 3．（2024·江西·真题T25）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=2，C=60°. （1）求； （2）求AB边上的高. 【举一反三】 4.（2022·江西·真题T26）在中，角所对的边分别为，若. （1）求的大小；（2）若，，求的面积. 5．（25-26高三·江西·模拟预测）如图，在中，是边上一点，.    (1)求的大小； (2)求的长. 6．（25-26高三·江西·模拟预测）如图，在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，，.    (1)求角C； (2)求边c. 【拓展提升】 一、单选题 7．在中，，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，内角的对边分别为.若，则的面积是（    ） A． B．6 C． D．3 9．已知的内角A，B，C所对边为a，b，c，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三·江西·模拟预测）在中，已知，则三角形的周长是（ ） A．2 B．6 C．8 D．10 11．已知的内角，，的对边分别是，，，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 12．在中，已知，求的值为______. 13．在中，已知，则_______． 14．在中，已知，则__________． 三、解答题 15．（25-26高三·江西·模拟预测）在中，已知，，． (1)求角A； (2)求的面积． 16．（25-26高三·江西·模拟预测）在中，内角对应的边分别为，已知． (1)求； (2)若，，求的值． 17．在中，角所对应的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积和周长. 18．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，. (1)求的值； (2)设是边上的点，且，求的长. 19．（25-26高三·江西·模拟预测）在中，角的对边分别是，且． (1)若，试判断△ABC的形状； (2)若，求的面积. 20．在中，角的对边分别为，已知． (1)求角C的大小； (2)求的值． 21．中国高铁某隧道工程队要在如图所示的和两地之间修建一条笔直的隧道，现在从地和地测量得到：，，．    (1)求隧道的长度； (2)求以确定隧道的方向． 附：，，，． 22．（25-26高三下·江西·二模）在中，角，，所对边分别为，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版江西省三校生对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足江西省三校生对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版江西省三校生对口升学《数学真题同源卷》 第9卷：解三角形 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、基础前提（必记） 核心前提 具体内容 边角对应关系 在△ABC中，内角A、B、C对应三边a、b、c（A对a，B对b，C对c） 隐含角度关系 A + B + C = 180°（π弧度），常用变形：C = 180° - (A + B)（用于角度换算） 二、核心公式（重中之重） 公式类型 具体公式（含变形） 适用场景 易错提醒 正弦定理 核心公式： a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R （R为外接圆半径，中职不考R计算） 已知两角和一边；已知两边和其中一边的对角； 判断三角形形状 已知“两边及一边对角”可能有两解、一解、无解，仅需掌握简单判断（如a > b，则A > B，仅一解） 余弦定理 1. 求边公式： a² = b² + c² - 2bc·cosA； b² = a² + c² - 2ac·cosB； c² = a² + b² - 2ab·cosC 2. 求角变形： cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)； cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)； cosC=(a²+b²-c²)/(2ab) 已知三边求三角； 已知两边及夹角求第三边及剩余两角； 已知一边两角 切勿忘记公式中“-2bc·cosA”的负号，避免计算错误 三角形面积公式 1. 基础公式：S = 1/2 × 底 × 高 2. 高频公式：S = 1/2 ab·sinC = 1/2 bc·sinA = 1/2 ac·sinB 3. 拓展公式：S = (abc)/(4R)（偶尔考，简单了解） 1. 基础公式：已知底和对应高； 2. 高频公式：已知两边及夹角（直接套用） 高频公式需用“两边及夹角”的正弦值，不可用任意两边和任意角 【真题精讲】 1.（2026·江西·真题26）已知在 的三边分别为，且， （1）求 ； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及同角三角函数的关系求解即可. （2）根据余弦定理以及三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理及已知得， 即得，即，因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得，即得， 即为，解得 ，所以， 因此. 2．（2025·江西·真题T23）在△中，，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合正弦定理易得，即可判断三角形是直角三角形，根据勾股定理即可求得b的值，结合三角形面积公式，继而求解. 【详解】因为在△中， ， 由正弦定理得， 所以△是直角三角形， 又，， 所以， 所以. 故答案为：. 3．（2024·江西·真题T25）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=2，C=60°. （1）求； （2）求AB边上的高. 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)； (2)由余弦定理有：c2=a2+b2-2abcosC=32+22-2×3×2×=7，所以c=， 设AB边上的高为h，所以，故AB边上的高h=. 【举一反三】 4.（2022·江西·真题T26）在中，角所对的边分别为，若. （1）求的大小；（2）若，，求的面积. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】（1）在△ABC中，因为 = =2b，所以sinB=，因为0<B<π，所以B=或； （2）因为a=2，b=1，所以A>B，所以B=， 因为 = = =2b，即 =2，所以sinA=1， 因为0<A<π，所以A=，C=， 所以S△ABC=absinC=×2×1×=. 5．（25-26高三·江西·模拟预测）如图，在中，是边上一点，.    (1)求的大小； (2)求的长. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）根据余弦定理计算易得答案； （2）根据正弦定理计算易得答案. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理可得：， . （2）， 在中，由正弦定理，得， 即，解得. 6．（25-26高三·江西·模拟预测）如图，在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，，.    (1)求角C； (2)求边c. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理求解； （2）根据正弦定理求解． 【详解】（1）在中，因为，， 所以. （2）在中，因为，，， 所以由正弦定理有，即，解得． 【拓展提升】 一、单选题 7．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理可求解. 【详解】在中，由余弦定理可得： ，解得. 故选：A 8．在中，内角的对边分别为.若，则的面积是（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】D 【分析】根据三角形面积公式求值即可. 【详解】已知， 则三角形面积为， 故选：D. 9．已知的内角A，B，C所对边为a，b，c，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】已知中， 由余弦定理， 且三角形中， 所以. 故选：B. 10．（25-26高三·江西·模拟预测）在中，已知，则三角形的周长是（ ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据题意，结合余弦定理,即可求解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 因为，所以，又， 所以三角形的周长. 故选：D. 11．已知的内角，，的对边分别是，，，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理将边化为角，再通过两角和的正弦公式求解. 【详解】已知，根据正弦定理可得：， 整理可得：，即， 又，所以， 因为是三角形内角，则，所以，即， 又因为，所以. 故选：C. 二、填空题 12．在中，已知，求的值为______. 【答案】 【分析】根据正弦定理得出的比值即可确定答案. 【详解】已知， 设， 则， 所以， 即 由正弦定理得，， 设， 则， 故答案为：. 13．在中，已知，则_______． 【答案】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 14．在中，已知，则__________． 【答案】1 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得， ， 故答案为：1. 三、解答题 15．（25-26高三·江西·模拟预测）在中，已知，，． (1)求角A； (2)求的面积． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据正弦定理求出角，再根据三角形内角和求出角， （2）根据三角形面积公式求出的面积. 【详解】（1）由得：， 因为为三角形内角，则， 又因为，所以，从而， 所以或，而， 当时，， 当时，， 所以或． （2）当时，， 当时，， 所以的面积为或． 16．（25-26高三·江西·模拟预测）在中，内角对应的边分别为，已知． (1)求； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理以及角的范围进行求解即可. （2）根据（1）问的结果以及余弦定理求解即可. 【详解】（1）在中，设三角形外接圆的半径为，由正弦定理得， 因为，代入化简得. 因为，所以，所以. 又因为，所以. （2）在中，由余弦定理得， 代入数据解得. 17．在中，角所对应的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积和周长. 【答案】(1) (2)面积为，周长为 【分析】（1）根据正弦定理边化角，以及正弦的二倍角公式求解即可； （2）根据余弦定理可求解b与c的值，再根据三角形面积公式以及周长公式求解即可. 【详解】（1）根据正弦定理，代入得： ，，，约去得. 由二倍角公式，得. ，，，约去得， 因此，. （2）由余弦定理，代入，得： ，结合即，代入得： ，整理得， 解得（舍去负根），因此. 面积； 周长. 18．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，. (1)求的值； (2)设是边上的点，且，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理解三角形即可. （2）根据余弦定理解三角形即可. 【详解】（1）已知在中，，，， 由正弦定理得，即， 则，解得. （2）设是边上的点， 则中，，，， 所以 ， 因为，所以.    19．（25-26高三·江西·模拟预测）在中，角的对边分别是，且． (1)若，试判断△ABC的形状； (2)若，求的面积. 【答案】(1)直角三角形 (2) 【分析】（1）根据正弦定理即可求解. （2）根据余弦定理结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，则，又因为， 所以，解得. 因为，所以，故 为直角三角形. （2）因为，，则 . 解得，所以的面积 20．在中，角的对边分别为，已知． (1)求角C的大小； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理计算即可. （2）利用正弦定理结合（1）的结论求出即可. 【详解】（1）， ， 又，所以. （2）由（1）可知，，且， ， ， ， . 21．中国高铁某隧道工程队要在如图所示的和两地之间修建一条笔直的隧道，现在从地和地测量得到：，，．    (1)求隧道的长度； (2)求以确定隧道的方向． 附：，，，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先在中求出的长，再在中求出的长，最后在中利用余弦定理求解； （2）在中利用正弦定理求出的值，结合参考数据即可得出结果. 【详解】（1）在中，因为，， 所以 因为，所以 在中，， ， 所以， 在中，由余弦定理得：， 所以，即隧道的长度为. （2）在中，由正弦定理得，即， 所以 因为，且为锐角， 所以 22．（25-26高三下·江西·二模）在中，角，，所对边分别为，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（）解法一：利用同角三角函数基本关系式求出，应用正弦定理求出值，代入余弦定理求出值，结合三角形的性质即可得解. 解法二：利用同角三角函数基本关系式求出，应用诱导公式求出，代入正弦定理即可得解. （）解法一：根据诱导公式及两角和的余弦公式即可得解. 解法二：利用同角三角函数基本关系式求出，根据余弦函数及三角形的性质得到即可得解. 【详解】（1）解法一：在中，角，，所对边分别为，，， . 由正弦定理得，即，解得. 根据余弦定理知， 即，整理得. 解得或，由于，所以，即， 表明，是的最大边，因此. 解法二：在中，角，，所对边分别为，，， . 则， 由正弦定理得，则. （2）解法一： . 解法二： ， 由于，所以，即， 表明，因此. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $