综合测试卷（二）-《数学 基础模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材核心考点，通过AB卷分层巩固与综合测试卷实战模拟，系统整合集合、函数、三角函数等知识，强化知识网络构建与解题能力提升，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与方程|6题（选择1-2、填空11-12、解答16/19）|侧重基础概念辨析与运算|从集合定义到方程求解，构建“概念-运算-应用”逻辑链| |函数与应用|6题（选择3-4、填空13/15、解答18/22）|结合实际情境（利润、成本）|以函数单调性为核心，关联不等式与最值问题，体现数学思维应用| |三角函数|10题（选择5-10、填空14、解答17/20/21/23）|注重定义、象限判断与性质|从终边定义到函数图像与性质，形成“定义-性质-综合应用”脉络|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．若一元二次方程的两根为，3；如果，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 3．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（单位：件）与售价P（单位：元/件）之间的关系为，日销售量x与成本C（单位：元）之间的关系为，要使日利润不少于1300元，则x满足（    ） A． B． C． D． 4．函数在上为增函数，且，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知角的终边与单位圆的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则角终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．若分别为函数的最大值和最小值，则（    ） A． B． C． D． 8．若，则角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 9．函数的单调递增区间是 （    ） A． B． C． D． 10．函数的图像与直线的交点个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．已知集合中有且只有一个元素，则实数a的取值为________． 12．已知全集，则_____. 13．若不等式的解集为，则b的取值范围是________． 14．化简：_______. 15．已知m，n均为实数，若时，函数的最大值为1，的最小值为4，则______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．（本小题10分）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 17.（本小题10分）已知角的终边经过点，求实数m的值. 18.（本小题10分）已知函数 ，求函数的值域. 19．（本小题10分）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 20．（本小题10分）已知角的终边经过单位圆上的点. (1)求的值； (2)求的值. 21．（本小题15分）如图，在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． (1)若点B的横坐标为，求的值； (2)若为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合； (3)若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式． 22．（本小题10分）某文具店计划购进一批笔记本和钢笔.已知每个笔记本进价为3元，每支钢笔进价为8元.该店准备用不超过130元的资金购进这两种商品共30件（笔记本和钢笔均需购进）. (1)设购进钢笔支，请写出满足题意的不等式； (2)若钢笔售价为12元/支，笔记本售价为5元/本，全部售完后利润不低于50元，求钢笔至少需购进多少支. 23．（本小题15分）已知角的终边经过第二象限的点，且． (1)求的值； (2)求函数的周期、最大值及取最大值时对应的取值集合； (3)求函数的值域． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系，验证各选项可得答案. 【详解】对于A，，A错误； 对于BC，，B，C错误； 对于D，，且，D正确. 故选：D. 2．若一元二次方程的两根为，3；如果，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由韦达定理求出，再由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】一元二次方程的两根为，3， 由韦达定理可知，可得， 由，则可转化为， 即，化为，解得， 故的解集为. 故选：A. 3．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（单位：件）与售价P（单位：元/件）之间的关系为，日销售量x与成本C（单位：元）之间的关系为，要使日利润不少于1300元，则x满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，列出利润关于日销售量的关系式，令其大于等于1300，解不等式即可 由题意得，化简得，解得， 故选：A. 4．函数在上为增函数，且，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数单调性求解不等式. 【详解】已知函数在上为增函数，且， 所以，解得， 则实数m的取值范围为， 故选：C. 5．已知角的终边与单位圆的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的三角函数的定义结合题意直接求解即可 【详解】因为角的终边与单位圆的交点为， 所以， 故选：B. 6．已知，，则角终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据三角函数值在各象限的符号求解. 【详解】当时，角的终边在第一象限或第四象限，或终边在轴的正半轴上， 当时，角的终边在第二象限或第四象限， ∴当且时，角的终边在第四象限， 故选：D． 7．若分别为函数的最大值和最小值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数值域推导出所求函数值域即可解得. 【详解】由题意可知，函数， 其中，则， ， 故. 故选：D 8．若，则角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义求出角终边与单位圆交点的横、纵坐标. 【详解】设角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点坐标为， 根据三角函数的定义可知，，， 所以交点坐标为. 故选：B. 9．函数的单调递增区间是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦函数的图像和性质即可得解. 【详解】因为的单调性与 相同，与 相反. 因为 在 和 上递增，在 上递减， 因此 函数在 上递增，在 和 上递减. 故选：C. 10．函数的图像与直线的交点个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据正弦函数在不同区间的符号去掉绝对值，联立函数与直线方程，统计定义域内解的总数即可. 【详解】当时，，则， 函数化简为， 令，得， 由于，在内有两个解：或， 即此区间有2个交点； 当时，，则， 函数化简为， 令，得， 在内的解为，即此区间有1个交点； 综上，总交点个数为个， 故选：C. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．已知集合中有且只有一个元素，则实数a的取值为________． 【答案】或0 【分析】根据集合中元素的个数与方程根的关系，利用判别式求解. 【详解】已知集合中有且只有一个元素， 所以关于的方程有两个相等的实数根， 则，即，解得或， 故答案为：或0. 12．已知全集，则_____. 【答案】 【分析】利用补集、并集的定义直接求解. 【详解】全集，则， 所以. 故答案为：. 13．若不等式的解集为，则b的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题的解法求解. 【详解】因为不等式的解集为， 即对于任意实数，不等式恒成立， 所以，即，解得， 则b的取值范围是. 故答案为：. 14．化简：_______. 【答案】 【分析】根据诱导公式化简求解即可. 【详解】. 故答案为：. 15．已知m，n均为实数，若时，函数的最大值为1，的最小值为4，则______． 【答案】3 【分析】根据正弦函数和余弦函数在给定区间的值域求解和的值. 【详解】已知，可知的值域为， 对于函数，所以当时，可得：， 又已知函数的最大值为， 则，即，解得， 因为，可知的值域为， 对于函数，所以当时，， 又已知函数的最小值为， 则，解得， 可得：. 故答案为：. 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．（本小题10分）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，结合元素的特征，即可求解； （2）根据真子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，此时， 不满足集合元素的互异性，故不合题意； 当时，解得或，其中不合题意， 当时，，符合题意； 综上，. （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 17．（本小题10分）已知角的终边经过点，求实数m的值. 【答案】4 【分析】根据终边上点的坐标求出到原点的距离结合正弦函数的定义求出参数即可解得. 【详解】点到原点距离为：， 由，得，即， 解得或（舍去）， 所以. 18．（本小题10分）已知函数 ，求函数的值域. 【答案】 【分析】先确定函数的对称轴，再根据函数单调性求出函数在给定区间上的最值，进而得到值域. 【详解】函数的对称轴为，图象开口向下， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为， 因为，， 而，所以的最小值为， 因为函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以函数的值域为. 19．（本小题10分）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1)且 (2)或 【分析】（1）根据题意，结合一元二次方程根的情况，利用判别式，即可求解； （2）根据题意，结合一元二次方程根的情况，分别讨论和两种情况，利用根的判别式，即可求解； 【详解】（1）因为集合中有两个元素， 所以关于的方程有两个不等的实数根， 所以，且，解得，且， 所以实数的取值范围是且. （2）因为集合中至多有一个元素， 所以关于的方程至多有一个解， 当时，方程为，，集合，符合题意； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 此时，解得； 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 此时，解得； 综上所述，实数的取值范围是或. 20．（本小题10分）已知角的终边经过单位圆上的点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据正弦函数的定义即可得解. （）将所求式子用诱导公式及同角函数基本关系式进行化简即可得解. 【详解】（1）因为角的终边经过单位圆上的点， 所以由正弦函数的定义得. （2） ， 角的终边经过单位圆上的点， 由余弦函数的定义得， 故 . 21．（本小题15分）如图，在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． (1)若点B的横坐标为，求的值； (2)若为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合； (3)若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角函数的定义得到，即可求解； （2）由为等边三角形得到，结合终边相同角的表示，即可求解； （3）根据扇形的面积公式和三角形的面积公式，求得扇形和三角形的面积，进而求得弓形的面积. 【详解】（1）设点，由单位圆的性质可得， 则， 所以，根据三角函数的定义得. （2）若为等边三角形，则， 故与角终边相同的角β的集合为. （3）若，则扇形的面积为， 由， 所以弓形的面积为. 22．（本小题10分）某文具店计划购进一批笔记本和钢笔.已知每个笔记本进价为3元，每支钢笔进价为8元.该店准备用不超过130元的资金购进这两种商品共30件（笔记本和钢笔均需购进）. (1)设购进钢笔支，请写出满足题意的不等式； (2)若钢笔售价为12元/支，笔记本售价为5元/本，全部售完后利润不低于50元，求钢笔至少需购进多少支. 【答案】(1) (2)钢笔至少需购进1支. 【分析】（1）根据题意求出购进笔记本的数量，再根据题意求解即可. （2）列出利润函数，根据利润不低于50元求出范围，再结合（1）问的结果取交集即可. 【详解】（1）设购进钢笔支，则购进笔记本本， 因为每个笔记本进价为3元，每支钢笔进价为8元，且资金不能不超过130元， 所以. （2）利润为， 由，解得，此条件自然满足. 结合(1)中不等式⇒⇒， 又因为笔记本和钢笔均需购进，故， 综合得的取值范围是且为整数. 因此，钢笔至少需购进1支. 23．（本小题15分）已知角的终边经过第二象限的点，且． (1)求的值； (2)求函数的周期、最大值及取最大值时对应的取值集合； (3)求函数的值域． 【答案】(1) (2)最大值为7， (3) 【分析】（1）结合任意角三角函数的定义及诱导公式求解. （2）根据三角函数的周期、值域化简求解. （3）结合同角三角函数关系及值域求解. 【详解】（1） 所以，则，即 因为在第二象限，所以. （2）因为， 所以， ， 即，则 当时，，此时. （3） 令， 函数图像开口向下，且在上单调递增， 且， 故， . 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $