综合测试卷（二）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本专项以教材章节为基准，通过AB卷分层训练（A卷基础巩固、B卷能力提升）与综合测试卷实战模拟，系统构建知识网络，提升数学抽象、推理及模型应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固（A卷）|侧重基础考点|选择填空为主，考查概念辨析（如充分必要条件）、基本运算（向量坐标运算）|从概念生成到简单应用，夯实知识要点| |能力提升（B卷）|知识整合检测|综合解答题，涉及立体几何证明（线面平行）、圆锥曲线性质（离心率、焦点距离）|原理推导与跨章节联系（向量与立体几何、圆锥曲线综合）| |综合测试卷|4份模拟卷|涵盖选择、填空、解答全题型，聚焦解题能力突破（如双曲线标准方程求解、椭圆面积计算）|构建知识网络，强化知识应用与应试能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，结合充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】由题意，若，则一定成立，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分且不必要条件. 故选：A. 2．若，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共轭复数的定义和复数的运算、复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解. 因为，所以，则， 所以，解得，故. 3．若平面，直线，点，则在β内过点B的所有直线中（    ） A．只有一条直线与m平行的直线 B．只有两条直线与平行的直线 C．存在无数条直线与m平行的直线 D．有且只有一条直线与平行的直线 【答案】A 【分析】根据面面平行的性质分析即可. 【详解】已知平面，直线， 根据两个平面平行， 其中一个平面内的直线与另一个平面平行，可得， 又因为点，且点不在直线上，且， 过与可确定唯一平面，该平面与的交线唯一， 即平面内过点有且只有一条直线与平行， 故选：A. 4．如图，在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，将用与表示即可. 【详解】在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点， 所以. 故选：C. 5．已知非零向量满足，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】将等式两边平方，利用平面向量的运算法则即可得解. 【详解】非零向量满足， 则， 则，所以， 故选：. 6．已知向量，，且满足，则（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量模的性质和向量的坐标运算求解即可. 【详解】由两边平方得：， 展开：， 化简得：，由，， 得：，解得：. 故选：A. 7．“”是“方程表示椭圆”的    （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程，及充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】若方程表示椭圆，需满足，解得且，故必要性成立； 当时，方程为，表示圆，不是椭圆，故充分性不成立； 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 8．正四棱锥的所有棱长相等，均为1，E为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出图像，利用正四棱锥的性质找到异面直线所成角，结合等边三角形的性质即可得解. 【详解】    如图所示，作出图像， 正四棱锥的所有棱长相等，均为1， 则，所以异面直线与所成角即为与所成角， 因为为等边三角形，E为的中点，所以， 则异面直线与所成角的余弦值为， 故选：. 9．双曲线的焦点到渐近线的距离与该双曲线的离心率之和为（    ） A．5 B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】根据双曲线方程求出焦点坐标及渐近线方程，利用点到直线的距离公式求出焦点到渐近线的距离，再求出离心率即可得解. 【详解】双曲线，则，， ，即， 且双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为，即， 所以焦点坐标为， 则焦点到渐近线的距离为， 离心率， 所以焦点到渐近线的距离与该双曲线的离心率之和为， 故选：. 10．已知椭圆（）的离心率为，且直线与该椭圆交于A、B两点，则下列说法正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】B 【分析】先根据椭圆的离心率求出m，再联立直线方程，结合韦达定理和弦长公式，即可求解. 【详解】因为，所以椭圆焦点在轴上， ， 离心率 ， 平方得 ，解得 ； 椭圆方程为：， 联立直线， 将代入椭圆方程 ， 代入整理得 ， 设， 则， 根据弦长公式得：， 故选：B 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．“等式成立”是“等式成立”的________条件. 【答案】充分不必要 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当等式成立时，则且， 所以等式成立，故充分性成立； 当等式成立时则或， 所以等式不一定成立，故必要性不成立， 综上：“等式成立”是“等式成立”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要. 12．已知向量且，则_______ 【答案】4 【分析】根据向量内积的运算律求值即可. 【详解】已知向量， ， 所以， 故答案为：. 13．已知两向量，不共线，若向量与向量共线，则实数的值为________． 【答案】 【分析】利用平面向量共线定理列方程即可得. 【详解】因为向量与向量共线， 所以存在实数使得， 即，解得. 故答案为：. 14．若向量，满足，，，则________． 【答案】 【分析】根据题意利用平面向量的运算法则即可得解. 【详解】因为，， ， 所以， 故答案为：. 15．若直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是_______. 【答案】或 【分析】联立方程组令即可得解. 【详解】直线与双曲线没有公共点， 联立方程组， 则， 解得或， 所以的取值范围是或， 故答案为：或. 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．（本小题10分）已知和，且是的必要条件但不是充分条件，求实数的值. 【答案】 【分析】先求出一元二次方程的根，把集合具体化，再利用集合间的关系求出参数即可解得. 【详解】由，得或，故； 由，得：，故； “是的必要条件但不是充分条件”等价于 且 ， 或 ，解得：或. 故答案为： 17．（本小题10分）已知复数，． (1)若复数在复平面上对应的点在第三象限，求实数的取值范围． (2)若，求的共轭复数及的模． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题意求出，结合复数的几何意义和各象限的点的坐标特征即可． （2）利用复数的除法运算法则求出z，进而求出z的共轭复数和模． （1）因为，， 所以． 因为复数在复平面上对应的点在第三象限，所以 解得，即实数的取值范围为． （2）因为， 所以． ． 18．（本小题10分）已知双曲线在平面上有两个焦点，其坐标分别为，，且双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值等于6，求： (1)该双曲线的标准方程； (2)若点P到它的右焦点的距离是，求点到左焦点的距离． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用双曲线定义求解标准方程； （2）利用双曲线上任一点到两焦点距离之差的绝对值为求解. 【详解】（1）由题意得，即，， ，焦点在轴上， 故双曲线的标准方程为. （2）由双曲线定义， 已知，则或， 所以或. 19．（本小题10分）如图，四边形ABCD是一个梯形，且，M，N分别是DC，AB的中点，已知，，试用表示下列向量． (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算几何表示求解. （2）利用向量的线性运算几何表示转化求解. 【详解】（1）梯形ABCD中，且，即有， 所以. （2）M，N分别是DC，AB的中点， 所以. 20．（本小题12分）已知向量. (1)求； (2)当时，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意利用平面向量线性运算的坐标表示及模长公式即可得解. （）根据平面向量平行的性质列出方程即可得解. 【详解】（1）向量， 则， 所以. （2）向量， 则，， 因为， 所以，解得. 21．（本小题12分）如图所示，在正方体中，为中点． (1)求证：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）根据直线与平面的关系，再结合正方体的性质以及三角形的相关知识求解. （2）结合正方体的性质及三棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）连接交于O，连接，则正方形中，为中点， 因为分别为中点， 所以是的中位线，所以． 又面，面， 所以平面． （2）正方体中，平面， 所以. 22．（本小题12分）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过抛物线的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且； (2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点到焦点的距离是6． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据抛物线上点到焦点距离等于到准线距离的性质求解即可. （2）设抛物线焦点，根据两点间距离公式列方程求解即可. 【详解】（1）设抛物线的准线为l，交x轴于K点，因为抛物线为， 所以l的方程为， 如图，作于，于，    则，同理， 又，则，， 故所求抛物线方程为． （2）因为抛物线对称轴是x轴，所以设焦点， 则，即，解得或． 当焦点为时，，抛物线开口方向向左，其方程为； 当焦点为时，，抛物线开口方向向左，其方程为． 故所求抛物线方程为或． 23．（本小题14分）已知椭圆 和直线，直线与椭圆C交于两点. (1)求椭圆C的离心率； (2)求（O为坐标原点）的面积S 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆方程和离心率公式确定离心率即可. （2）联立直线方程和椭圆方程，并由韦达定理结合弦长公式求出，再由点到直线的距离公式求出三角形的高，最后由三角形面积公式求值即可. 【详解】（1）由椭圆 ， 可得， 所以，离心率为. （2）联立得方程组，化简得， 则， 即，则， 解得， 设， 则，， 弦长 ， 又原点O到直线的距离， 即 .    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件 2．若，且，则（ ） A． B． C． D． 3．若平面，直线，点，则在β内过点B的所有直线中（    ） A．只有一条直线与m平行的直线 B．只有两条直线与平行的直线 C．存在无数条直线与m平行的直线 D．有且只有一条直线与平行的直线 4．如图，在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，则（     ）    A． B． C． D． 5．已知非零向量满足，则（    ） A．0 B． C． D． 6．已知向量，，且满足，则（　　） A．2 B．1 C． D． 7．“”是“方程表示椭圆”的    （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．正四棱锥的所有棱长相等，均为1，E为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 9．双曲线的焦点到渐近线的距离与该双曲线的离心率之和为（    ） A．5 B．6 C． D．8 10．已知椭圆（）的离心率为，且直线与该椭圆交于A、B两点，则下列说法正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．“等式成立”是“等式成立”的________条件. 12．已知向量且，则_______ 13．已知两向量，不共线，若向量与向量共线，则实数的值为________． 14．若向量，满足，，，则________． 15．若直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是_______. 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．（本小题10分）已知和，且是的必要条件但不是充分条件，求实数的值. 17．（本小题10分）已知复数，． (1)若复数在复平面上对应的点在第三象限，求实数的取值范围． (2)若，求的共轭复数及的模． 18．（本小题10分）已知双曲线在平面上有两个焦点，其坐标分别为，，且双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值等于6，求： (1)该双曲线的标准方程； (2)若点P到它的右焦点的距离是，求点到左焦点的距离． 19．（本小题10分）如图，四边形ABCD是一个梯形，且，M，N分别是DC，AB的中点，已知，，试用表示下列向量． (1)； (2). 20．（本小题12分）已知向量. (1)求； (2)当时，求的值. 21．（本小题12分）如图所示，在正方体中，为中点． (1)求证：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 22．（本小题12分）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过抛物线的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且； (2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点到焦点的距离是6． 23．（本小题14分）已知椭圆 和直线，直线与椭圆C交于两点. (1)求椭圆C的离心率； (2)求（O为坐标原点）的面积S 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $