综合测试卷（一）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列命题改写成 “如果 p，那么 q” 的形式后，条件 p 和结论 q 对应正确的是（   ） 原命题：“菱形的对角线互相垂直平分” A．p：菱形，q：对角线互相垂直平分 B．p：一个四边形是菱形，q：它的对角线互相垂直平分 C．p：对角线互相垂直平分，q：一个四边形是菱形 D．p：一个四边形的对角线互相垂直平分，q：它是菱形 2．已知向量与不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 3．已知向量与的夹角为，，则（    ） A． B． C． D．7 4．已知三点共线，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．过正方形的顶点作平面，且，则平面与平面所成的二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 6．是（    ） A． B． C． D． 7．设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上与长轴两个顶点不重合的点，则 的最大面积为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 8．已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，若，则椭圆的长轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．若直线与椭圆相交于两点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 10．已知直线与抛物线交于，两点，，点在直线上，且，则抛物线的标准方程是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．已知.若是的充分条件，则实数的取值范围是________. 12．已知单位向量的夹角为，且向量，若，则____________. 13．设x为实数，若三点共线，则实数x的值为_________. 14．若都是单位向量，，则向量与的夹角大小为__________. 15．已知正方形的边长为2，且为边中点，则 ________. 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．（本小题10分）已知命题，命题，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17．（本小题10分）已知向量，且与为平行向量，求的值，并判断此时与是同向还是反向. 18．（本小题10分）已知平行四边形的三个顶点坐标分别为，求顶点D的坐标. 19．（本小题12分）已知某抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点. (1)求此抛物线的标准方程； (2)若此抛物线上一点A到焦点的距离为，求点A的坐标. 20．（本小题12分）分别求满足下列条件的实数的值. (1)； (2) 21．（本小题12分）已知双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点 .求： (1)该双曲线的标准方程； (2)该双曲线的焦点坐标. 22．（本小题12分）已知正方形的边长为1，分别取的中点E，F，连结，以为折痕折叠，使点重合于点P，求：   (1)二面角的平面角的正弦值； (2)三棱锥的体积． 23．（本小题12分）已知向量，满足，，，，的夹角为. (1)求； (2)若，求实数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列命题改写成 “如果 p，那么 q” 的形式后，条件 p 和结论 q 对应正确的是（   ） 原命题：“菱形的对角线互相垂直平分” A．p：菱形，q：对角线互相垂直平分 B．p：一个四边形是菱形，q：它的对角线互相垂直平分 C．p：对角线互相垂直平分，q：一个四边形是菱形 D．p：一个四边形的对角线互相垂直平分，q：它是菱形 【答案】B 【分析】根据题意，结合命题的条件和结论，即可求解. 【详解】原命题的本质是“所有菱形都具有对角线互相垂直平分的性质”， 改写为“如果p，那么q”时，条件p需明确“主体 + 属性”（一个四边形是菱形）， 结论q需对应“主体的性质”（它的对角线互相垂直平分）. A 选项中p仅为“菱形”，未明确“一个四边形”，表述不完整； B选项条件和结论表述完整； 选项颠倒了条件和结论，描述的是“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，与原命题逻辑关系相反. 故选：B. 2．已知向量与不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量定理逐项判断即可得解. 【详解】对于A，因为，所以不存在常数， 使得，即三点不共线，故A错误； 对于B，因为， 所以， 又，所以，且点为公共点， 故三点共线，故B正确； 对于C，因为， 所以， 又，所以不存在常数，使得， 即三点不共线，故C错误； 对于D，因为，所以不存在常数， 使得，即三点不共线，故D错误. 故选：B. 3．已知向量与的夹角为，，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】根据题意，结合向量内积的定义，及向量的模的计算，即可求解. 【详解】因为向量与的夹角为，， 所以. 故选：C. 4．已知三点共线，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据平面向量共线原理列式求解即可； 【详解】因为 因为三点共线， 所以与共线， 所以，解得. 故选：D 5．过正方形的顶点作平面，且，则平面与平面所成的二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意构造正方体，找到二面角的平面角，结合正方体的性质即可得解. 【详解】    如图所示，过正方形的顶点作平面，，还原成正方体， 所以平面与平面所成的二面角即为平面与平面所成的二面角， 平面平面， 在正方体中，，，所以为二面角的平面角， ， 所以平面与平面所成的二面角的大小为， 故选：. 6．是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据特殊角三角函数值与复数的运算化简即可； 【详解】， 故选：A 7．设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上与长轴两个顶点不重合的点，则 的最大面积为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】椭圆中焦距固定，高就是点P纵坐标的绝对值，据此即可求解. 【详解】椭圆中， ， 椭圆中焦距固定，高就是点P纵坐标的绝对值， 当点P与短轴的顶点重合时，三角形面积最大， 此时，的最大面积为：， 故选：A 8．已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，若，则椭圆的长轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题意利用椭圆的性质及通径公式即可得解. 【详解】    设椭圆的标准方程为， 离心率为，则，， 过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，且， 由通径公式可知，，解得， 所以长轴长为， 故选：. 9．若直线与椭圆相交于两点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先联立直线与椭圆方程，求出交点坐标的关系，再利用弦长公式计算弦长. 【详解】联立直线与椭圆的方程，消去得， 解得，，从而，， 不妨取，， 则弦长 ， 故选：A. 10．已知直线与抛物线交于，两点，，点在直线上，且，则抛物线的标准方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求出直线的方程，再与抛物线方程联立，进而结合韦达定理求解. 【详解】点，，则直线的斜率， ， 又因为直线过点，代入点斜式方程， 得直线的方程为， 设， 联立直线方程和抛物线方程，得， 则， 由韦达定理得：， 因为， 又因为， 所以 ， 则抛物线的标准方程是， 故选：D. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．已知.若是的充分条件，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】由 是的充分条件可列出相关不等式组，即可求解. 【详解】若是的充分条件，则， 解得，即的取值范围是. 故答案为：. 12．已知单位向量的夹角为，且向量，若，则____________. 【答案】/ 【分析】根据向量垂直的条件，列方程求解即可. 【详解】单位向量，则， 且，由得， ， 即， 得， 所以，解得， 故答案为：. 13．设x为实数，若三点共线，则实数x的值为_________. 【答案】4 【分析】将三点共线转化为两向量共线，利用坐标求解即可. 【详解】由三点共线， 得和共线， 即得，解得. 故答案为：4 14．若都是单位向量，，则向量与的夹角大小为__________. 【答案】 【分析】根据题意利用平面向量的运算法则及夹角公式即可得解. 【详解】都是单位向量，故，且， 设夹角为，， ， ， ，又， 故，即向量与的夹角为. 故答案为：. 15．已知正方形的边长为2，且为边中点，则 ________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系利用平面向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 则，， 所以， 故答案为：. 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．（本小题10分）已知命题，命题，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】设，，根据题意是的真子集，可得关于的不等式即可求解. 【详解】因为命题，设， 由命题，设， 因为是成立的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，解得：， 所以实数的取值范围是. 17．（本小题10分）已知向量，且与为平行向量，求的值，并判断此时与是同向还是反向. 【答案】，，与同向；，与反向 【分析】根据向量坐标平行的条件求解的值，再结合与的关系判断同向还是反向即可. 【详解】因为向量，若与为平行向量， 得，即，解得或. 当时，，此时，故与同向； 当时，，此时，故与反向. 18．（本小题10分）已知平行四边形的三个顶点坐标分别为，求顶点D的坐标. 【答案】 【分析】根据相等向量的概念列方程求解即可. 【详解】在平行四边形中，， 向量， 设，则向量， 由得，且，解得， 所以. 19．（本小题12分）已知某抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点. (1)求此抛物线的标准方程； (2)若此抛物线上一点A到焦点的距离为，求点A的坐标. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）设抛物线的标准方程为，再将点代入方程求解即可. （2）根据抛物线的定义确定点A的纵坐标，再将其代入抛物线方程求解即可. 【详解】（1）设抛物线的标准方程为， 将点代入得，， 解得，则抛物线的标准方程为. （2）由此抛物线上一点A到焦点的距离为， 可得， 因为抛物线开口向下，所以， 代入，得 解得， 故点A的坐标为. 20．（本小题12分）分别求满足下列条件的实数的值. (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合复数相等，即可列出关于的二元一次方程组，解之即可求解； （2）根据题意，结合复数相等，分式方程和一元二次方程的解法，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，即，解得； （2）因为， 所以，即， 所以，解得. 21．（本小题12分）已知双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点 .求： (1)该双曲线的标准方程； (2)该双曲线的焦点坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据渐近线方程设出双曲线方程，将点代入即可得解. （）根据双曲线方程求出焦点坐标即可得解. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，且过点， 设双曲线方程为， 将点代入得，解得， 所以双曲线方程为，即. （2）因为双曲线方程为，焦点在轴上， 且，，解得， 所以焦点坐标为. 22．（本小题12分）已知正方形的边长为1，分别取的中点E，F，连结，以为折痕折叠，使点重合于点P，求：   (1)二面角的平面角的正弦值； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意利用折叠的性质找到二面角的平面角，得到平面，利用线面垂直的性质求出所需线段的长度即可得解. （）根据棱锥的体积公式即可得解. 【详解】（1）如图，取中点O，连接，   由图（1），在正方形中，， E，F分别是的中点，即， ， ， 在图（1）中，，即在图（2）中， ∴， ∴就是二面角的平面角，点重合于点P， 由图（1）知，平面，且， ∴平面，平面，则， ∴，∵， ∴， ∴， 即二面角的平面角的正弦值为． （2） ． 23．（本小题12分）已知向量，满足，，，，的夹角为. (1)求； (2)若，求实数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知的模长和夹角求出，再根据向量模长的平方等于向量自身的平方求解； （2）根据向量垂直的性质，建立关于的方程，求解即可. 【详解】（1）， 又 ，， ， . （2），， ， 又∵， ，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $