综合测试卷（四）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列命题正确的是（ ） A．模相等的两个共线向量是相等向量 B．若，，则 C．零向量没有方向 D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意结合平面向量的相关概念逐项判断即可得解. 【详解】对于A，模相等且方向相同的向量才是相等向量，模相等的共线向量方向可能相反，故A错误， 对于B，若，则和可以是任意向量，不一定平行，故B错误， 对于C，零向量的方向是任意的，但不是没有方向，故C错误； 对于D，若，由向量相等的定义知一定共线，所以D正确. 故选：D. 2．已知复数的模等于2，则实数m的值为（    ） A．1或3 B．1 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据复数的模长公式求解即可. 【详解】因为复数的模等于2， 所以，即， 则有，解得或. 故选：A. 3．如图所示，正六边形ABCDEF的边长为1，则（   ）    A．3 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据向量加法的几何运算求解即可. 【详解】根据图知，，所以.    因为正六边形ABCDEF的边长为1，所以， 进而. 故选：D. 4．若向量，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用平面向量线性运算的坐标表示及平面向量平行的性质即可得解. 【详解】向量， ， 因为，则，解得， 故选：. 5．直线与抛物线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线的方程，利用判别式求解. 【详解】将代入，得，即. 判别式，方程有两个相等的实数解， 说明直线与抛物线相切，直线与抛物线的交点个数为1个， 故选：B. 6．设是两个平面，是两条不同的直线，下列3个命题中，正确的个数是（ ） ①若，，则； ②若，，，则； ③若，，，则. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据空间中线面平行、面面平行的判定定理和性质定理即可求解. 【详解】命题①：，，则，故①错误； 命题②：，，，则和可能平行、可能异面，也可能相交，故②错误； 命题③：，，，则与可能平行也可能相交，故③错误. 综上所述：正确的个数是0. 故选：A. 7．“直线与圆相切”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由直线与圆的位置关系确定的值，再由充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】因为圆， 所以该圆的圆心为，半径． 当“直线与圆相切”时， 根据得到，解得或， 所以充分性不成立， 反之，若“”可得直线为， 则圆心到直线的距离， 故该圆与直线相切， 所以必要性成立， 因此“直线与圆相切”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 8．双曲线，直线与该双曲线有两个交点，则的取值可能是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据题意联立方程组即可得解. 【详解】双曲线，直线与该双曲线相交， 联立方程组， 则，解得且， 所以正确；错误， 故选：. 9．如图所示，在长方体中，已知，，，求体对角线与平面所成角的大小（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面角定义找到所求线面角，再根据直角三角形边的关系求解即可. 【详解】连接，    因为长方体中，平面， 所以即体对角线与平面所成角， 因为，所以， 且长方体中，， 则中，，故为等腰直角三角形， 所以. 故选：B. 10．已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行直线系，联立直线与椭圆方程，利用判别式可求解相切时的直线，即可根据平行线间距离公式求解，或者利用三角换元，结合辅助角公式以及三角函数的性质求解. 解法一：设与直线平行的直线为， 联立整理得， 令，解得或，所以与距离， 当时，最小，即点到直线的最小距离是. 解法二：设椭圆上点，则点到直线距离 ， 其中，当 时，， 故选:C. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．在平面直角坐标系中，点在第一象限的充要条件是__________.（用区间表示） 【答案】 【分析】根据题意列不等式组，即可解得. 【详解】依题意，点在第一象限， 可列不等式组得：，解得， 用区间表示：. 故答案为：. 12．平面向量，，且，则实数________ 【答案】2 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】平面向量，，且， 则，解得， 故答案为：. 13．若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是 _________. 【答案】 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程，即可列式求解. 【详解】由题意，若方程表示椭圆，需满足， 解得，且， 所以实数k的取值范围是. 故答案为：. 14．已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据两向量夹角为钝角则两向量数量积小于零且两向量不共线列式求解即可. 【详解】因为向量，，又知与的夹角为钝角， 所以，且与不共线；所以，解得且. 故答案为： 15．直线与抛物线相切，则的值及该抛物线的焦点坐标分别是__________. 【答案】， 【分析】先联立直线与抛物线方程，根据相切的性质得到关于的方程，求解的值，再根据抛物线的标准方程求出焦点坐标. 【详解】将直线代入抛物线， 可得，即， 因为直线与抛物线相切， 所以判别式，即，解得， 在抛物线中，，则，所以焦点坐标为， 故答案为：，. 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．（本小题10分）设复数，当为何值时： (1)是实数？ (2)是纯虚数？ 【答案】(1)或． (2) 【分析】（1）由对数的性质及复数的分类，列式求解即可； （2）由纯虚数的概念列式求解即可. （1）要使复数为实数， 需满足， 解得或． 即当或时，是实数． （2）要使复数为纯虚数， 需满足， 即 解得， 即当时，是纯虚数． 17．（本小题10分）已知p：实数x满足，其中，q：实数x满足，其中. (1)若，求； (2)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将的值代入到集合中，根据集合并集的运算即可解得. （2）根据充分不必要条件的定义列出不等式即可解得. 【详解】（1）当，集合，. 则； （2）若p是q的充分不必要条件，则满足A是B的真子集， 即满足，解得a的取值范围. 18．（本小题12分）已知椭圆的长轴顶点在轴上，且长轴顶点坐标为，焦点坐标为.求： (1)该椭圆的标准方程； (2)该椭圆的离心率. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意结合椭圆的性质求出的值即可得解. （）利用离心率公式即可得解. 【详解】（1）椭圆的长轴顶点在轴上，且长轴顶点坐标为，焦点坐标为， 则，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（）可知，， 则离心率为. 19．（本小题10分）已知向量， (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，及向量的模的坐标表示，即可求解； （2）根据题意，结合向量夹角的坐标表示，即可求解. 【详解】（1）因为向量， 所以， 所以； （2）因为向量，所以， 所以， 所以. 20．（本小题12分）在长方体中，，求： (1)直线与直线所成的角； (2)直线与直线所成的角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线面垂直推出线线垂直即可解得. （2）将两直线所成角平移转化为同一面中的角，再计算正切值即可. 【详解】（1）    在长方体中，，且是面对角线. 长方体中平面，平面， . 直线与所成的角为. （2）在长方体中，， 直线与所成的角等于直线与所成的角. 又，即 所以. 故直线与所成角的正切值为. 21．（本小题12分）已知是方程为实数的一个根. (1)求的值； (2)试判断是不是方程的根. 【答案】(1) (2)是 【分析】（1）根据题意，将代入方程，结合复数的运算，即可求解； （2）根据题意，把的值代入方程，继而将代入方程中检验是否成立，即可判断求解. 【详解】（1）因为是方程为实数的一个根， 所以，化简整理得， 所以，解得； （2）由（1）知，所以方程为， 所以， 故是方程的根. 22．（本小题12分）如图，在菱形中，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算可求的表示形式，从而可求的值； （2）根据数量积的运算律可求的值． 【详解】（1）， 因不共线，故，故. （2）， 故 . 23．（本小题12分）已知抛物线与双曲线有相同的焦点. (1)求抛物线C的标准方程； (2)过F点的直线与抛物线C交于不同的两点，求与的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据双曲线的方程求出焦点坐标，结合题意求出抛物线的值即可得解. （）当直线斜率存在时，写出直线的点斜式方程，联立方程组，结合韦达定理求出，再代入抛物线方程中求出；当直线斜率不存在时，将代入抛物线方程中即可求出的值. 【详解】（1）双曲线，则， 所以，即， 所以双曲线焦点坐标为， 因为抛物线，焦点在轴正半轴上， 所以抛物线的焦点坐标为，则，解得， 则抛物线的方程为. （2）因为， 当直线斜率存在时，直线方程为， 联立方程组， 由韦达定理可知，， 因为，则， 解得； 当直线斜率不存在时，此时直线方程为， 将代入抛物线方程中得，解得， 则， 满足， 综上所述，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列命题正确的是（ ） A．模相等的两个共线向量是相等向量 B．若，，则 C．零向量没有方向 D．若，则 2．已知复数的模等于2，则实数m的值为（    ） A．1或3 B．1 C．3 D．2 3．如图所示，正六边形ABCDEF的边长为1，则（   ）    A．3 B． C． D．2 4．若向量，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．直线与抛物线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 6．设是两个平面，是两条不同的直线，下列3个命题中，正确的个数是（ ） ①若，，则； ②若，，，则； ③若，，，则. A．0 B．1 C．2 D．3 7．“直线与圆相切”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．双曲线，直线与该双曲线有两个交点，则的取值可能是（    ） A． B． C．2 D．3 9．如图所示，在长方体中，已知，，，求体对角线与平面所成角的大小（    ）    A． B． C． D． 10．已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．在平面直角坐标系中，点在第一象限的充要条件是__________.（用区间表示） 12．平面向量，，且，则实数________ 13．若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是 _________. 14．已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________. 15．直线与抛物线相切，则的值及该抛物线的焦点坐标分别是__________. 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．（本小题10分）设复数，当为何值时： (1)是实数？ (2)是纯虚数？ 17．（本小题10分）已知p：实数x满足，其中，q：实数x满足，其中. (1)若，求； (2)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围. 18．（本小题12分）已知椭圆的长轴顶点在轴上，且长轴顶点坐标为，焦点坐标为.求： (1)该椭圆的标准方程； (2)该椭圆的离心率. 19．（本小题10分）已知向量， (1)求的值； (2)求的值. 20．（本小题12分）在长方体中，，求： (1)直线与直线所成的角； (2)直线与直线所成的角的正切值. 21．（本小题12分）已知是方程为实数的一个根. (1)求的值； (2)试判断是不是方程的根. 22．（本小题12分）如图，在菱形中，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 23．（本小题12分）已知抛物线与双曲线有相同的焦点. (1)求抛物线C的标准方程； (2)过F点的直线与抛物线C交于不同的两点，求与的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $