综合测试卷（三）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材章节，AB卷分层巩固与提升，综合测试卷聚焦知识网络构建与解题能力突破，体现数学思维的推理与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |逻辑与集合|选择1、解答17-18|条件判断、集合关系|概念（充分必要条件）→应用（集合运算、命题关系）| |向量|选择3-5、填空11-13、解答16-21|共线、数量积、模长计算|概念（向量定义）→运算（数量积、模）→应用（夹角、共线条件）| |解析几何|选择6-8、15、解答19-22-23|轨迹方程、离心率、渐近线|定义（椭圆/双曲线/抛物线）→方程→性质（焦点、离心率）→应用（距离问题）| |立体几何|选择9-10、填空14、解答20|线面关系、二面角|空间概念（线面平行）→度量（距离、二面角）→应用（正方体、三棱锥）|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．复数 的共轭复数 （    ） A． B． C． D． 3．已知、是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A．9 B．6 C． D． 4．已知向量，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．抛物线的顶点到直线的距离与该抛物线的离心率之积为（    ） A． B． C． D． 7．已知x轴上两点，，则平面内到这两点距离之和为8的动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 8．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则正实数m为（    ） A． B． C． D．1 9．以下三个说法：①直线和平面相交，则平面内不存在与平行的直线；②若，，则直线与平面不可能平行；③平行于同一个平面的两条直线平行.其中错误的命题是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 10．已知在二面角的面上的点 P 到面的距离为 3，到棱 l 的距离为 6，则二面角的大小是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．平面向量，，则_________ 12．已知，，则的取值范围是___________（用区间表示），当取得最大值时，向量与的方向___________.（填“相同”或“相反”） 13．已知向量，为单位向量，且，若，则________． 14．已知在正方体中，过的平面，分别与，交于M、N两点，则四边形的形状为________ 15．已知双曲线的渐近线与圆相切，且双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合，则双曲线C的标准方程为______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．（本小题12分）已知向量满足.求： (1)的值； (2)向量与的夹角（）. 17．（本小题12分）已知集合． (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 18．（本小题8分）下列各题中，p分别是q的什么条件？ (1)，； (2)，； (3)p：两个三角形的对应边相等，q：两个三角形的对应角相等； (4)p：点在第二象限，. 19．（本小题12分）已知双曲线的焦点在x轴上，实半轴的长为，且经过点，求： (1)适合条件的双曲线的标准方程； (2)双曲线的顶点坐标，渐近线方程，离心率. 20．（本小题10分）如图所示，三棱锥中，底面是正三角形，底面，且，，求二面角的大小. 21．（本小题12分）已知向量，. (1)求； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值. 22．（本小题10分）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为．一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为，求椭圆和双曲线的方程． 23．（本小题14分）动点与定点的距离等于P到直线的距离，动点P的轨迹曲线为C． (1)求曲线C的方程； (2)经过定点的直线l与曲线C交于A、B两点，且点M是线段的中点，求直线l的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，结合充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】由题意，若，则一定成立，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．复数 的共轭复数 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用复数的乘法法则计算，再根据共轭复数的定义可得结果. 【详解】因为 ， 所以. 故选：B 3．已知、是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A．9 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据共线向量的定义，代入公式计算即可. 【详解】若向量与共线， 则存在实数使得 ，即， 又、是两个不共线的向量，所以，解得. 故选：D. 4．已知向量，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求出，再由向量模的坐标表示求值即可. 【详解】已知向量， ， 所以， 故选：A. 5．已知，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量平行的坐标表示及向量内积的坐标表示求解。 【详解】由，，， 可得，解得，则， 又，故. 故选：C. 6．抛物线的顶点到直线的距离与该抛物线的离心率之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离公式及抛物线的离心率即可得解. 【详解】抛物线的顶点为原点，到直线的距离为 ， 抛物线离心率恒为，故积为， 故选： A. 7．已知x轴上两点，，则平面内到这两点距离之和为8的动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义判断出动点的轨迹形状，再结合条件即可求出椭圆的标准方程. 【详解】已知，，则， 又因为动点到两点距离之和为，且， 所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆. 因为焦点在轴上，设椭圆的标准方程为（）， 则，解得，椭圆的半焦距， 可得， 所以动点的轨迹方程为. 故选：D. 8．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则正实数m为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据椭圆方程确定焦点，再由双曲线的焦点列方程求解即可. 【详解】已知椭圆， 则，其焦点为， 所以双曲线的焦点为， 则，则，解得， 因为为正实数，所以， 故选：D. 9．以下三个说法：①直线和平面相交，则平面内不存在与平行的直线；②若，，则直线与平面不可能平行；③平行于同一个平面的两条直线平行.其中错误的命题是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 【答案】C 【分析】根据直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系判断命题即可. 【详解】①直线和平面相交，则平面内存在与异面或相交的直线，即不存在与平行的直线，故①正确； ②若，，则直线与平面可能平行，也可能相交，故②错误； ③平行于同一个平面的两条直线可能平行，相交或异面，故③错误. 则错误的命题是②③. 故选：C. 10．已知在二面角的面上的点 P 到面的距离为 3，到棱 l 的距离为 6，则二面角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于，过作于，连接，再由二面角的定义得出是二面角的平面角，最后由三角函数值求角即可. 【详解】过点作于， 因为点到面的距离为，所以， 过作于，连接， 点到棱的距离为6，所以， 因为，， 所以，，且， 所以平面，平面，故， 是二面角的平面角（或其补角）. 在中，， 因为，所以， 故选：A. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．平面向量，，则_________ 【答案】 【分析】根据题意利用平面向量线性运算的坐标表示及模长公式即可得解. 【详解】平面向量，， 则，所以， 故答案为：. 12．已知，，则的取值范围是___________（用区间表示），当取得最大值时，向量与的方向___________.（填“相同”或“相反”） 【答案】 相同 【分析】根据向量模的性质来求解的取值范围，再根据取值范围分析取得最大值时与的方向关系. 【详解】根据向量的模的三角不等式得到 ， 又，，所以， 即的取值范围是， 当取最大值12时，即， 根据向量模的性质，当且仅当向量与的方向相同时，成立， 故当取得最大值时，向量与的方向相同. 故答案为： ；相同. 13．已知向量，为单位向量，且，若，则________． 【答案】 【分析】根据题意利用平面向量垂直的性质，运算法则及夹角公式即可得解. 【详解】向量，为单位向量，且，， 则， 且， 故. 故答案为：. 14．已知在正方体中，过的平面，分别与，交于M、N两点，则四边形的形状为________ 【答案】平行四边形 【分析】根据面面平行的性质定理得到线线平行，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，由此求解即可. 【详解】正方体如图所示：    平面平面 ， 平面平面，平面平面， ； 同理； 四边形为平行四边形. 故答案为：平行四边形. 15．已知双曲线的渐近线与圆相切，且双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合，则双曲线C的标准方程为______． 【答案】 【分析】首先求出圆的圆心以及半径，再求出双曲线的渐近线，再根据相切求出，最后得到双曲线方程. 【详解】圆的圆心，半径. 则双曲线的一个焦点为，则， 渐近线的方程为，即， 圆心到渐近线的距离为， 因为渐近线与圆相切，所以，即，解得， 则， 所以双曲线的标准方程为． 故答案为：. 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．（本小题12分）已知向量满足.求： (1)的值； (2)向量与的夹角（）. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据平面向量的运算法则将等号两边平方即可得解. （）根据平面向量内积的定义即可得解. 【详解】（1）向量满足， 则，解得. （2）因为， 则，解得， 因为， 所以. 17．（本小题12分）已知集合． (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集运算结合一元二次不等式求解即可解得. （2）把必要不充分条件转化为真子集关系，利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论列出不等式求解即可. 【详解】（1）当时，， ， 则. （2）由是的必要不充分条件，得⫋， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，故实数的取值范围为. 18．（本小题8分）下列各题中，p分别是q的什么条件？ (1)，； (2)，； (3)p：两个三角形的对应边相等，q：两个三角形的对应角相等； (4)p：点在第二象限，. 【答案】(1)充分不必要条件 (2)充要条件 (3)充分不必要条件 (4)既不充分也不必要条件 【分析】（1）求解出，再结合充分性与必要性的定义求解即可； （2）根据集合的交集的定义以及两个集合的包含关系求解即可； （3）根据三角形中边与角的关系求解即可. （4）根据第二象限满足，，这一条件，举例求解即可. 【详解】（1）成立的前提是， 将方程两边同时平方有，化简可得或， 由可得成立，故充分性成立； 由不一定得到，故必要性不成立； 因此p是q的充分不必要条件； （2）， 因此p是q的充要条件； （3）两个三角形的对应边相等，可得两个三角形的对应角相等，故充分性成立； 两个三角形的对应角相等，仅能推出两个三角形相似，无法得到对应边相等，故必要性不成立； 因此p是q的充分不必要条件； （4）第二象限的点满足，，但不一定成立，例如点，故充分性不成立； 同理可得不一定满足，，例如点，故必要性不成立. 因此p是q的既不充分也不必要条件. 19．（本小题12分）已知双曲线的焦点在x轴上，实半轴的长为，且经过点，求： (1)适合条件的双曲线的标准方程； (2)双曲线的顶点坐标，渐近线方程，离心率. 【答案】(1) (2)顶点坐标为；渐近线方程为；离心率 【分析】（1）根据题意，可设出双曲线的标准方程，将已知点代入求得的值，继而求得双曲线的标准方程； （2）根据题意，可求出的值，继而求得双曲线的顶点坐标、渐近线方程及离心率. 【详解】（1）由题意，知，所以， 又双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线方程为， 将点代入得，解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）因为，且双曲线的焦点在x轴上， 所以顶点坐标为； 由（1）知，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即； 所以， 所以离心率. 20．（本小题10分）如图所示，三棱锥中，底面是正三角形，底面，且，，求二面角的大小. 【答案】 【分析】先根据线面垂直的判定与性质找出二面角的平面角，再通过解三角形求出该平面角的大小. 【详解】取的中点，连接，． 因为底面是正三角形，所以． 因为底面，底面，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以． 那么是二面角的平面角． 在正中，，为中点， 所以． 在中，，，则． 因为，所以， 即二面角的大小为. 21．（本小题12分）已知向量，. (1)求； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值. 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）先表示出的坐标，再由模长公式求解即可； （2）先表示出与的坐标，再由向量平行的坐标表示求解即可； （3）先表示出的坐标，再由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】（1）因为向量，， 所以， 所以； （2）因为向量，， 所以，， 因为， 所以，解得； （3）因为向量，， 所以， 因为，即， 所以，解得. 22．（本小题10分）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为．一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为，求椭圆和双曲线的方程． 【答案】椭圆方程为，双曲线方程为；椭圆方程为，双曲线方程为． 【分析】根据题意结合椭圆及双曲线的性质及离心率公式即可得解. 【详解】①焦点在x轴上，设椭圆方程为，且． 设双曲线为，则， 因为，所以，解得，则， 因为椭圆和双曲线的半焦距为， 所以，， 所以椭圆方程为，双曲线方程为． ②焦点在轴上，椭圆方程为，双曲线方程为． 23．（本小题14分）动点与定点的距离等于P到直线的距离，动点P的轨迹曲线为C． (1)求曲线C的方程； (2)经过定点的直线l与曲线C交于A、B两点，且点M是线段的中点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线定义求出曲线方程， （2）通过点差法求出直线的斜率，进而可得直线的方程. 【详解】（1）动点与定点的距离等于到直线的距离，且直线不经过点， 所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 设抛物线的方程为，其焦点坐标为， 由焦点可得，解得， 所以曲线的方程为. （2）若直线垂直于轴，则直线的方程为， 此时线段的中点纵坐标为0，与是线段的中点的条件矛盾，故直线斜率存在. 设，，且， 因为、在曲线上，所以， 两式相减得：，即， 因为点是线段的中点，可得，即， 则直线的斜率， 又直线过点， 则直线的方程为，即. 联立，消去整理得， 则，符合题意， 综上，直线的方程为.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $