专题10 实数指数幂及幂函数（讲义）-2027年吉林省（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年吉林省（高职分类考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年吉林省高职分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 实数指数幂及幂函数 【复习目标】 1.了解有理数指数幂的概念； 2.掌握实数指数幂及其运算法则； 3.了解几种常见幂函数的图象和性质. 【考点1 n次方根】 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是 ，负数的n次方根是 零的n次方根是 当n为偶数时，正数的n次方根有 ，且互为 ± 没有偶次方根 叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数． 提示：0的n(n∈N*)次方根是0，记作＝0. 常用结论：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|. 【即时训练】 1．下列描述正确的是（    ） A． B．16的四次方根是 C． D． 2．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 3．（    ）． A． B．4 C． D． 4．的值是（    ） A．10 B． C． D．100 5．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．若，，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 7．有下列四个式子： ① ；        ② ； ③ ；    ④ 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【考点2 指数幂的概念及运算法则】 （一）指数幂的概念 1．若ab＝N，N叫a的b次幂，其中a叫底数，b叫指数． 2．0指数次幂：a0＝1(a≠0) 3．负指数次幂：a－n＝(a≠0) 4．分数指数幂：a＝ 　 　 分数指数幂与根式的关系： ①a＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1) ②a＝＝ (a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)． 提示：特别的是a－1＝，a＝. 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． （二）正指数幂的运算法则 ①am·an＝am＋n； ②＝am－n； ③(am)n＝amn＝(an)m； ④()m＝； ⑤(ab)n＝an·bn，(其中，a>0，b>0) 【即时训练】 8．的运算结果为（    ） A． B． C． D． 9．的计算结果为（    ） A． B．9 C．1 D． 10．若，，则等于（   ） A．12 B．7 C．48 D．36 11．下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 12．下列运算结果中正确的为（   ） A． B． C． D． 13．下列各式成立的是（ ） A． B． C． D． 14．化简 的结果是（   ） A． B． C． D． 15．若实数，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 16．下列关系式不正确的是（    ） A． B． C． D． 17．下列各式用分数指数幂表示错误的是（   ） A． B． C． D． 18．把根式化成分数指数幂是（    ） A． B． C． D． 19．下列各式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 20．将根式 写成分数指数幂的形式是（    ） A． B． C． D． 21．下列等式（其中）一定成立的是（   ） A． B． C． D． 22．下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 23．已知，，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 24．设，则（    ） A． B． C． D． 25．已知，则 （    ） A．2 B． C．1 D． 26．化简：（    ） A． B． C． D． 27．化简可得（    ） A．1 B．a C． D． 28．计算； (1)； (2)； 29． 解方程：． 30．已知，求： (1)； (2)的值. 【考点3 幂函数】 （一）幂函数的定义 一般地，函数 叫做幂函数，其中是自变量，是常数. （二）幂函数的特征 ①的系数为 ；②的底数是自变量；③的指数为 .同时满足以上三个条件才是幂函数. （三）常见的幂函数图像及性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上 单调递增 在上 单调递减， 在上 单调递增 在上 单调递增 在上 单调递增 在和上 单调递减 （四）特定幂函数的性质 ①函数，，，和的图像都通过点 ； ②函数，，是奇函数，函数是偶函数； ③在区间（，）上，函数，，，单调递增，函数是单调递减. ④在第一象限内，函数的图像向上与轴无限接近，向右与轴无限接近. ⑤在（，）上，幂函数中越大，函数图像越靠近轴；在（，）上幂函数中越大，函数图像越远离轴. 【即时训练】 31．下列所给出的函数中，是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 32．下列函数中不是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 33．已知幂函数的图象过点，则其解析式为（        ） A． B． C． D． 34．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 35．函数过点：（    ） A． B． C． D． 1.（2023·吉林·真题T08）若，，则（ ） A. B. 10 C. 9 D. 2.（2022·吉林·真题T04）设，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年吉林省（高职分类考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升.针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分. 2027年吉林省高职分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 实数指数幂及幂函数 【复习目标】 1.了解有理数指数幂的概念； 2.掌握实数指数幂及其运算法则； 3.了解几种常见幂函数的图象和性质. 【考点1 n次方根】 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，且互为相反数 ± 负数没有偶次方根 叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数． 提示：0的n(n∈N*)次方根是0，记作＝0. 常用结论：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|. 【即时训练】 1．下列描述正确的是（    ） A． B．16的四次方根是 C． D． 【答案】B 【分析】根据n次方根的性质即可求解. 【详解】根据n次方根的性质，当n为奇数时，正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数，0的n次方根是0；当n是偶数时，正数有两个n次方根，它们互为相反数，负数没有偶次方根. 故选项A，，错误； 选项B，16的四次方根是，正确； 选项C，，错误； 选项D，,错误. 故选：B. 2．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合最简二次根式需满足的条件，即可判断求解. 【详解】因为，被开方数为小数，不符合最简二次根式的条件，故选项A不符合题意； 因为，被开方数含有能开得尽方的因数，不符合最简二次根式的条件，故选项B不符合题意； 因为中，被开方数3是整数，且不含有能开得尽方的因数，故是最简二次根式，故选项C符合题意； 因为，被开方数含有分母，不符合最简二次根式的条件，故选项D不符合题意， 故选：C. 3．（    ）． A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】由根式的计算直接求解即可. 【详解】. 故选：B. 4．的值是（    ） A．10 B． C． D．100 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算求解即可. 【详解】. 故选：D. 5．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据指数方程的解法及根式的运算求出和的值，再代入进行计算. 【详解】已知，所以，可得， 所以，解得， 已知，且，可得， 所以. 故选：D. 6．若，，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据根式的运算结果计算即可. 【详解】依题意，， ， 则，所以的值为1. 故选：A. 7．有下列四个式子： ① ；        ② ； ③ ；    ④ 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂的运算性质进行计算. 【详解】，① 正确； ，② 错误； ，③ 错误； ， 若，则， 若，则，故④ 错误． 故选：A. 【考点2 指数幂的概念及运算法则】 （一）指数幂的概念 1．若ab＝N，N叫a的b次幂，其中a叫底数，b叫指数． 2．0指数次幂：a0＝1(a≠0) 3．负指数次幂：a－n＝(a≠0) 4．分数指数幂：a＝　　 分数指数幂与根式的关系： ①a＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1) ②a＝＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)． 提示：特别的是a－1＝，a＝. 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． （二）正指数幂的运算法则 ①am·an＝am＋n； ②＝am－n； ③(am)n＝amn＝(an)m； ④()m＝； ⑤(ab)n＝an·bn，(其中，a>0，b>0) 【即时训练】 8．的运算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】. 故选：D. 9．的计算结果为（    ） A． B．9 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算可求解. 【详解】因为. 故选：B 10．若，，则等于（   ） A．12 B．7 C．48 D．36 【答案】A 【分析】根据指数的运算法则易得答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 11．下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则计算，判断即可． 【详解】A、，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，故本选项计算错误，不符合题意； D、，本选项计算正确，符合题意. 故选：D． 12．下列运算结果中正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数幂的运算法则即可求解. 【详解】对A，，故A选项错误； 对B，，而， 在时；故B选项错误，D选项正确； 对C，若，则无意义，故C选项错误. 故选：D. 13．下列各式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂计算易得答案. 【详解】对于A：被开方数不能为负数，故错误， 对于B：，故正确， 对于C：，故错误， 对于D：，故错误. 故选：B. 14．化简 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数运算法则，同底数幂相乘除，底数不变，指数相加减，来对式子进行化简. 【详解】根据指数运算法则可得 ， 故选：C. 15．若实数，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可. 【详解】A：，故A错误； B：实数，，故B错误； C：实数，，故C错误； D：实数，，故D正确. 故选：D. 16．下列关系式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算法则逐个判断即可. 【详解】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即，故A选项正确. 同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故B选项正确. 幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故C正确，D错误. 故选：D. 17．下列各式用分数指数幂表示错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式与分数指数幂的互化可判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误； 故选：D. 18．把根式化成分数指数幂是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公式将原式转化为,再根据指数幂的运算法则化简,即可得到结果. 【详解】由题意可知， 所以. 故选：D. 19．下列各式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算，可知A错误，B、D正确，根据分数指数幂与根式的互化，可知C正确. 【详解】对A选项，，故错误； 根据指数幂的运算，可知B、D正确；根据分数指数幂与根式的互化，可知C正确. 故选：A 20．将根式 写成分数指数幂的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合分数指数幂与根式的转化，即可求解. 【详解】将根式 写成分数指数幂的形式是. 故选：A. 21．下列等式（其中）一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算性质计算并判断. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误. 故选：A. 22．下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数指数幂的运算法则进行判断. 【详解】，A选项错误；，B选项错误； ，C选项错误；，D选项正确. 故选：D. 23．已知，，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数的运算法则求值即可. 【详解】已知，， 则 ， 故选：B. 24．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】解：由得，由得， 所以. 故选：B. 25．已知，则 （    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算法则即可求解. 【详解】因为，即， 所以， 所以. 故选：D, 26．化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数的运算即可求解. 【详解】， 故选：C 27．化简可得（    ） A．1 B．a C． D． 【答案】C 【分析】根据指数的运算定律求解. 【详解】 故选:C. 28．计算； (1)； (2)； 【答案】(1)10 (2) 【分析】根据根式与有理指数幂的运算法则计算即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 29．解方程：． 【答案】， 【分析】根据实数指数幂的运算法则解指数幂方程. 【详解】由原方程得， ∴， ∴， 即， ∴，． 30．已知，求： (1)； (2)的值. 【答案】(1)7； (2) 【分析】（1）利用完全平方公式以及指数幂公式，求解即可. （2）利用完全平方公式以及指数幂公式，求解即可. 【详解】（1）； （2）令，则，所以，即. 【考点3 幂函数】 （一）幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. （二）幂函数的特征 ①的系数为；②的底数是自变量；③的指数为常数.同时满足以上三个条件才是幂函数. （三）常见的幂函数图像及性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上 单调递增 在上 单调递减， 在上 单调递增 在上 单调递增 在上 单调递增 在和上 单调递减 （四）特定幂函数的性质 ①函数，，，和的图像都通过点（，）； ②函数，，是奇函数，函数是偶函数； ③在区间（，）上，函数，，，单调递增，函数是单调递减. ④在第一象限内，函数的图像向上与轴无限接近，向右与轴无限接近. ⑤在（，）上，幂函数中越大，函数图像越靠近轴；在（，）上幂函数中越大，函数图像越远离轴. 【即时训练】 31．下列所给出的函数中，是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义即可得解. 【详解】因为形如（为常数）的函数为幂函数， 所以为幂函数. 故选：B. 32．下列函数中不是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义，即可判断求解. 【详解】形如的函数叫幂函数， 函数符合幂函数的定义，是幂函数； 函数符合幂函数的定义，是幂函数； 函数是指数函数，不是幂函数； 函数符合幂函数的定义，是幂函数； 故选：C. 33．已知幂函数的图象过点，则其解析式为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出幂函数解析式，将点代入即可得解. 【详解】设幂函数的解析式为， 将点代入得，解得， 所以幂函数为， 故选：. 34．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0 ，列不等式求解即可. 【详解】已知函数， 要使函数有意义，必须有， 解得， 所以函数的定义域是， 故选：C. 35．函数过点：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点代入函数中，若等式成立则函数过该点验证即可. 【详解】对A：当时，，所以函数过点，故A项错误； 对B、C：当时，，所以函数过点，故B项错误，C项正确； 对D：当时，，所以函数过点，故D项错误. 故选：C. 1.（2023·吉林·真题T08）若，，则（ ） A. B. 10 C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同底指数幂运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选:B. 2.（2022·吉林·真题T04）设，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数幂的运算性质分析即可. 【详解】A：，，故A正确， B：，，故B错误， C：，，故C错误， D：，，故D错误. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $