第11练 向量内积的坐标表示《数学》拓展模块一上册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》第11练聚焦向量内积的坐标表示，以“基础认知-综合应用-拓展深化”三阶分层设计，通过阶梯式题型构建从单一运算到综合应用的知识巩固路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|向量坐标运算、模的计算|单选题直接考查坐标内积、模的基本公式，填空题7-9强化单一知识点应用| |综合应用|垂直平行关系、夹角判断|多选题融合向量位置关系与数量关系，填空题8涉及夹角为锐角的参数范围分析| |拓展深化|公式迁移与综合计算|解答题分步训练内积、模、夹角的综合运算，填空题10引导公式结构化记忆|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第二章 平面向量 第 11 练 向量内积的坐标表示 一、单选题 1．正方形的边长为1，为的中点，则向量（    ） A． B． C．0 D．1 2．已知平面向量，若，则等于（   ） A． B． C．8 D． 3．已知向量，则（   ） A．25 B． C．5 D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知向量，则（   ） A． B． C． D． 6．已知向量，则（    ） A．若，则 B．若，则的值为 C．若，则 D．若，则与的夹角为 三、填空题 7．设向量，，则__________；__________. 8．已知，若与的夹角为锐角，则的取值范围为__________． 9．若，，则_____． 10．向量的夹角公式：设两非零向量，，与的夹角为，则________ 四、解答题 11．已知向量，.求： (1)； (2)； (3)； (4). 12．已知向量，，，求，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第二章 平面向量 第 11 练 向量内积的坐标表示 一、单选题 1．正方形的边长为1，为的中点，则向量（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】依题意建立直角坐标系，再利用向量的内积坐标表示即可得解. 【详解】以为原点、以边所在直线为轴、以边所在直线为轴建立直角坐标系，    则，，，， 因为为的中点，所以， 所以，， 所以. 故选：B. 2．已知平面向量，若，则等于（   ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据向量内积的坐标表示求出，再由向量的线性运算求出的坐标，最后由向量模的坐标表示求值即可. 【详解】已知平面向量， 则， 已知， 所以， 所以. 故选：D. 3．已知向量，则（   ） A．25 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】由向量模的坐标表示计算即可. 【详解】因为向量，所以． 故选：C. 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的模的坐标表示求出的模，和向量内积的坐标表示求出，再由求值即可. 【详解】已知， 所以， ， 所以， 因为，所以. 故选：C. 二、多选题 5．已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意根据向量内积的坐标表示，向量模的公式，向量平行及垂直的坐标表示判断. 【详解】因为向量，， 对于A，，则A正确； 对于B，，，则B错误； 对于C，因为，所以，则C错误； 对于D，因为，所以，则D正确. 故选：AD. 6．已知向量，则（    ） A．若，则 B．若，则的值为 C．若，则 D．若，则与的夹角为 【答案】AB 【分析】利用向量模、夹角的坐标表示求模长、夹角，应用向量平行、垂直的坐标表示求参数判断各项正误. 【详解】A：，则，故，正确； B：由题意，得，故，此时，正确； C：由题意，得，错误； D：由题设，则，显然夹角不为，错误. 故选：AB 三、填空题 7．设向量，，则__________；__________. 【答案】 【分析】由内积的定义即可求解. 【详解】因为两向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和； 所以; 故答案为：； 8．已知，若与的夹角为锐角，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据向量夹角的坐标公式即可解决. 【详解】因为与的夹角为锐角. 因此且,不共线. 因为. 所以且. 所以，且. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 9．若，，则_____． 【答案】 【分析】根据向量的数量积的坐标表示计算即可. 【详解】已知，， 则. 故答案为：. 10．向量的夹角公式：设两非零向量，，与的夹角为，则________ 【答案】 【分析】根据平面向量的夹角公式即可得解. 【详解】设两非零向量，，与的夹角为， 则， 故答案为：. 四、解答题 11．已知向量，.求： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示即可得解； （2）利用向量内积的坐标表示即可得解； （3）利用向量内积的运算法则，结合（2）的结论即可得解； （4）利用向量内积与模求向量夹角的方法即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）. （3）因为，所以， 又，所以. （4）因为，所以， 则. 12．已知向量，，，求，. 【答案】， 【分析】根据向量内积和数乘运算的坐标公式计算即可. 【详解】，∴. ，∴. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $