第7练 向量的数乘运算《数学》拓展模块一上册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学《一课一练》向量的数乘运算同步练，以三阶支架设计实现从概念理解到综合应用的递进，通过基础巩固与适度提升培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|向量数乘的方向、共线判定等单一知识点|单选题1直接考查方向判断，填空题10概念填空强化数学语言表达| |提升层|共线向量条件、几何图形中向量关系等综合概念|多选题5结合图形辨析向量关系，填空题7通过参数计算培养推理意识| |综合层|坐标系与几何图形中的向量运算应用|解答题12在等腰梯形中用已知向量表示未知向量，体现几何直观与数学思维|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第二章 平面向量 第 7 练 向量的数乘运算 一、单选题 1．若为非零向量，则与的方向（   ） A．相同 B．相反 C．相同或相反 D．不确定 2．已知，则与共线的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，下面式子正确的是（   ） A．与同向 B． C． D．若，则 二、多选题 5．如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（    ）    A． B． C． D． 6．若，是任意两个向量，，给出下列四个结论正确的是（    ） A．若，共线，则存在非零实数，使得； B．若，则，共线； C．若，则，共线； D．当时，，共线等价于存在唯一的实数使得. 三、填空题 7．已知与是两个不共线向量，且向量与共线，则______． 8．已知，若，则__________． 9．已知，则与方向__________． 10．数乘向量 定义 实数与向量的积是一个_________ 记法 长度 方向 的方向与的方向_________ 的方向与的方向_________ 几何意义 中的实数是向量的系数 可以看作是把向量沿着的方向扩大_________倍得到 可以看作是把向量沿着的反方向缩小倍得到 四、解答题 11．已知向量、分别为轴、轴上的单位向量，，，求，与． 12．如图所示，已知等腰梯形ABCD中，，若，用与表示．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第二章 平面向量 第 7 练 向量的数乘运算 一、单选题 1．若为非零向量，则与的方向（   ） A．相同 B．相反 C．相同或相反 D．不确定 【答案】B 【分析】根据数乘向量的定义判断即可. 【详解】为非零向量， ，∴与的方向相反． 故选：B. 2．已知，则与共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量共线定理判断即可得出结论. 【详解】解：因为， 所以与共线. 故选：C. 3．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的线性运算结合几何图形求解即可. 【详解】为平行四边形，E是BC的中点，若， 则，， 所以. 故选：D. 4．已知，下面式子正确的是（   ） A．与同向 B． C． D．若，则 【答案】C 【分析】根据向量的数乘运算律逐项分析即可. 【详解】当时，与反向，故A不对， ，故B不对， 正确，故C正确， 若，则，故D不对. 故选：C. 二、多选题 5．如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用向量相等的定义即可求解，两个向量相等必须是大小相等且方向相同. 【详解】由题知，点是线段的三等分点， 所以，，， 对于A：且方向相同，所以，A选项正确； 对于B：，所以，B选项错误； 对于C：，所以，C选项错误； 对于D：且方向相同，所以，D选项正确； 故选：AD. 6．若，是任意两个向量，，给出下列四个结论正确的是（    ） A．若，共线，则存在非零实数，使得； B．若，则，共线； C．若，则，共线； D．当时，，共线等价于存在唯一的实数使得. 【答案】BCD 【分析】根据向量的共线定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，共线，当，且时，则不存在非零实数，使得成立， 所以A不正确； 对于B中，若，根据共线向量定理，可得，共线，所以B正确； 对于C中，若，根据共线向量定理，可得，共线，所以C正确； 对于D中，根据向量的共线定理，当时，向量与共线等价于存在唯一的实数使得，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题 7．已知与是两个不共线向量，且向量与共线，则______． 【答案】 【分析】根据向量共线定理列式求解即可； 【详解】因为向量与共线， 所以存在，使得， 可化为, 即，解得． 故答案为： 8．已知，若，则__________． 【答案】/1,5 【分析】根据相反向量和向量的数乘运算即可求解. 【详解】解：由得， ∴． 故答案为：. 9．已知，则与方向__________． 【答案】相反 【分析】根据向量的数乘运算，判断两向量的关系. 【详解】∵， ∴与方向相反． 故答案为：相反. 10．数乘向量 定义 实数与向量的积是一个_________ 记法 长度 方向 的方向与的方向_________ 的方向与的方向_________ 几何意义 中的实数是向量的系数 可以看作是把向量沿着的方向扩大_________倍得到 可以看作是把向量沿着的反方向缩小倍得到 【答案】 向量 相同 相反 【分析】根据数乘向量的定义及几何意义解答即可. 【详解】数乘向量 定义 实数与向量的积是一个向量 记法 长度 方向 的方向与的方向相同 的方向与的方向相反 几何意义 中的实数是向量的系数 可以看作是把向量沿着的方向扩大倍得到 可以看作是把向量沿着的反方向缩小倍得到 故答案为：向量，相同，相反，. 四、解答题 11．已知向量、分别为轴、轴上的单位向量，，，求，与． 【答案】，，． 【分析】根据向量的运算法则计算. 【详解】∵， ∴． ． ． 12．如图所示，已知等腰梯形ABCD中，，若，用与表示．    【答案】 【分析】根据向量的加法法则和向量数乘定义求解. 【详解】∵ ，故根据梯形的性质，得到. 而，得到. 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $