专题11 常见函数的性质及应用（讲义）-2027年广西（对口考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广西壮族自治区对口考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广西壮族自治区对口考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题11 常见函数的性质及应用 【复习目标】 （1） 理解函数的概念，会求简单函数的定义域与值域，能用解析法、列表法、图象法表示函数。 （2） 理解函数的单调性与最大（小）值，掌握判断函数单调性的方法（定义法或图象法）。 （3）理解函数的奇偶性，会用定义判断函数是奇函数还是偶函数。 （4）掌握一次函数、二次函数的概念、图象与基本性质，能利用图象分析函数的性质。 （5）理解函数与方程的关系，会用函数的观点解决简单的实际问题。 考点1 一次函数及反比例函数 1、 一次函数： (1) 定义：一般地，形如的函数称为一次函数。 (2) 图像及性质： 图像 单调性 在上单调递增 在上单调递减 奇偶性 当时为奇函数图像关于原点对称；当时为非奇非偶函数 定义域及值域 2、 反比例函数： (1) 定义：一般地，形如的函数称为反比例函数。 (2) 图像及性质： 图像 单调性 在和上是增函数 在和上是减函数 奇偶性 奇函数，图像关于原点对称 定义域及值域 【即时训练】 1．p：函数是上的增函数，q：，则p是q的什么条件（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质及充分条件、必要条件的定义求解即可. 【详解】若是上的增函数， 则，解得：，即充分性成立； 若，则， 所以是上的增函数，即必要性成立， 所以是的充要条件. 故选：C. 2．在平面直角坐标系中，若直线同时经过一、三、四象限，则角是（     ）． A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】首先由直线所过象限确定的符号，再由三角函数在各个象限的符号即可解答. 【详解】已知直线同时经过一、三、四象限， 则， 所以， 当时，角为第三，四象限角或终边在轴负半轴， 当时角为第二，四象限角， 所以角是第四象限角， 故选：D. 3．在同一个直角坐标系中，函数和的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据二次函数与一次函数的图像判断即可. 【详解】当时，，即函数过定点，故排除BC； 当时，，即函数过定点，故排除D； 时，二次函数的图像开口向上，同时一次函数单调递增，A选项符合题意. 故选：A. 4．下列函数中，在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合一次函数、反比例函数、二次函数、对数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为函数，斜率，故函数在实数集R上是单调减函数， 故选项A不符合题意； 因为函数是反比例函数，且，故函数在区间上是减函数， 故选项B不符合题意； 因为函数是二次函数，图像开口向上，对称轴为y轴， 故函数在区间上是增函数，故选项C符合题意； 因为函数是对数函数，底数是，， 故函数在定义域上是减函数，故选项D不符合题意； 故选：C. 5．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合型对数函数、反比例函数、二次函数及指数函数的单调性即可得解. 【详解】对于A，函数，底数，则在定义域内单调递增，函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上为减函数，A选项错误； 对于B，由反比例函数的性质可知，在区间上为增函数，B选项正确； 对于C，由二次函数性质可知，，图像为开口向上的抛物线，对称轴为， 则在上单调递减，在上单调递增，C选项错误； 对于D，由指数函数性质可知，，底数，则在区间上为减函数，D选项错误. 故选：B. 6．如图所示，该图象对应的函数解析式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象判断函数的性质，再结合幂函数的性质判断即可. 【详解】由函数图象可知，该函数的定义域为， 函数图象关于原点对称，故为奇函数， 且函数在，上单调递减，故符合题意的只有A. 函数、在定义域上单调递增，不符合题意， 函数为偶函数，不符合题意， 故选：A. 二、填空题 7．已知一次函数是增函数，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】利用一次函数的单调性即可得解. 【详解】因为一次函数是增函数， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 8．一次函数的图象与y轴的交点坐标是________. 【答案】 【分析】y轴上所有的点横坐标为0，据此即可求解. 【详解】y轴上所有的点横坐标为0， 令，得， 故一次函数的图象与y轴的交点坐标是：， 故答案为： 9．填空题（填“增”或“减”） （1）函数在上是___________函数． （2）函数在上是___________函数． 【答案】 减 增 【分析】由基本初等函数的单调性即可得解. 【详解】函数是一次函数，，故其在上是减函数； 函数是反比例函数，，故其在上是增函数. 故答案为：减；增. 10．函数的单调减区间为__________ 【答案】和 【分析】根据反比例函数的单调性求解. 【详解】为反比例函数，其单调减区间为和. 故答案为：和. 三、解答题 11．求一次函数，当、时的函数值. 【答案】1，7 【分析】直接将x值代入即可求出函数值. 【详解】当时， ； 当时， . 故当、时的函数值分别为：1，7 12．（1）求函数的单调递减区间； （2）求函数的单调减区间； （3）已知函数，求单调递增区间； （4）求函数的单调递增区间； 【答案】（1） （2）和 （3）和. （4） 【分析】（1）根据函数定义域和单调性，分析求解即可； （2）根据函数定义域和单调性，分析求解即可； （3）根据函数定义域和单调性，分析求解即可； （4）根据函数定义域和单调性，分析求解即可. 【详解】（1）因为函数的二次项的系数大于零， 所以抛物线的开口向上， 又因二次函数的对称轴是， 所以函数的单调递减区间是. （2）要使有意义，则， 即的定义域为， 作出的图象如图所示：    由图可知：的单调递减区间为和. （3）函数的定义域为R， 因为， 所以函数是奇函数； 又， 当时，，图象开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，图象开口向下，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 又函数连续，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和. （4）要使函数有意义， 则，解得：或， 即函数的定义域为. 令函数，其图象开口向上，对称轴为， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又因为为增函数， 因此，函数的单调递增区间为. 考点2 建立函数模型解应用题的步骤 （1） 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2） 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3） 求解：求解数学模型，得出数学结论； （4） 还原：用数学方法将得到的结论还原到实际问题中.用图形表示如下： 【即时训练】 13．已知函数的定义域是，那么的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抽象函数的定义，根据条件得到，解得，即可求解. 函数的定义域是，所以函数中，应有，解得， 所以的定义域为， 故选：C. 14．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数的值域是. 故选：C 15．函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的被开方数为非负，即可解得. 【详解】有意义，则， 所以函数的定义域是. 故选：B 16．函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的分母不为零且二次根式的被开方数大于等于零求解即可. 【详解】∵函数为， ∴，解得且， ∴函数的定义域为. 故选：A. 17．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式求解即可. 【详解】已知函数， 要使该函数有意义，必须有，解得且， 所以该函数的定义域为， 故选：C. 18．若函数的图像经过点，则函数的图像必定经过点（ 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图像平移的规律求解. 【详解】函数的图像由函数的图像沿轴向下平移1个单位得到， 由函数的图像经过点可知，函数的图像必定经过点. 故选：C. 二、填空题 19．函数的定义域是 __________.（用区间表示） 【答案】. 【分析】由偶次根式被开方数大于等于0列不等式，可求函数的定义域. 【详解】要使函数有意义， 必须有 ，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 20．已知函数，且，则___________. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求函数值即可. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以函数为奇函数， 所以. 故答案为：. 21．若函数在R上为增函数，且，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据函数的单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数是R上的增函数，且， 所以，解得， 所以x的取值范围为： ， 故答案为： ． 22．已知函数，则___________. 【答案】9 【分析】将代入解析式求值即可. 【详解】已知函数，则， 故答案为：9. 三、解答题 23．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求函数在上，使得的所有的取值. 【答案】(1)偶函数；理由见解析 (2)或，其中且. 【分析】（1）根据奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （2）方程转化为，即可求解. 【详解】（1）偶函数，定义域为关于原点对称， 且， 即，所以是偶函数. （2）因为当时，由， 可得， 所以或，其中且. 24．已知函数. (1)求； (2)当时，求的值域. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）直接将代入函数解析式求值即可. （2）先求出的取值范围，再结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为， 所以 （2）由，可得， 当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以，当时，有最大值1， 当时，有最小值， 从而， 所以， 所以的值域为. 1. （2021年广西高职高专对口升学考试数学2题）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合对数真数大于零，分母不为零，二次根式被开方数大于等于零列式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则必须有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 2. （2021年广西高职高专对口升学考试数学3题）下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为为增函数，所以， 故A错误，B正确. 因为为增函数，所以，， 故错误. 故选：B. 3.（2023年广西高职高专对口升学考试数学3题） 函数定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 即函数的定义域为. 故选：B. 4.（2023年广西高职高专对口升学考试数学4题） 函数的定义域为（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的真数大于0以及分母不为0求解即可. 【详解】因为函数为， 所以可得，， 即且且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 5. （2025年广西高职高专对口升学考试数学3题）已知指数函数，若，则的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入解析式中求出的值即可. 详解】已知指数函数， 由，得， 因为，所以， 则的表达式是， 故选：A. 6. （2025年广西高职高专对口升学考试数学9题）下列函数图像过点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】对A，，故A错误. 对B，，故B错误. 对C，，故C正确. 对D，，故D错误. 故选：C. 7. （2026年广西高职高专对口升学考试数学4题）函数 在 上是 ______ 函数（填“增”或“减”）. 【答案】增 【解析】 【分析】根据函数的单调性的定义即可求解. 【详解】对于函数，令， 则，即， 所以函数函数 在 上是增函数. 故答案为：增. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广西壮族自治区对口考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广西壮族自治区对口考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题11 常见函数的性质及应用 【复习目标】 （1） 理解函数的概念，会求简单函数的定义域与值域，能用解析法、列表法、图象法表示函数。 （2） 理解函数的单调性与最大（小）值，掌握判断函数单调性的方法（定义法或图象法）。 （3）理解函数的奇偶性，会用定义判断函数是奇函数还是偶函数。 （4）掌握一次函数、二次函数的概念、图象与基本性质，能利用图象分析函数的性质。 （5）理解函数与方程的关系，会用函数的观点解决简单的实际问题。 考点1 一次函数及反比例函数 1、 一次函数： (1) 定义：一般地，形如的函数称为一次函数。 (2) 图像及性质： 图像 单调性 在上单调递--- 在上单调递--- 奇偶性 当时为奇函数图像关于---对称；当时为非奇非偶函数 定义域及值域 2、 反比例函数： (1) 定义：一般地，形如的函数称为反比例函数。 (2) 图像及性质： 图像 单调性 在和上是---函数 在和上是---函数 奇偶性 奇函数，图像关---对称 定义域及值域 【即时训练】 1．p：函数是上的增函数，q：，则p是q的什么条件（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在平面直角坐标系中，若直线同时经过一、三、四象限，则角是（     ）． A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．在同一个直角坐标系中，函数和的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   4．下列函数中，在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 5．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 6．如图所示，该图象对应的函数解析式是（    ）    A． B． C． D． 7．已知一次函数是增函数，则的取值范围是___________. 8．一次函数的图象与y轴的交点坐标是________. 9．填空题（填“增”或“减”） （1）函数在上是___________函数． （2）函数在上是___________函数． 10．函数的单调减区间为__________ 11．求一次函数，当、时的函数值. 12．（1）求函数的单调递减区间； （2）求函数的单调减区间； （3）已知函数，求单调递增区间； （4）求函数的单调递增区间； 考点2 建立函数模型解应用题的步骤 （1） 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2） 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3） 求解：求解数学模型，得出数学结论； （4） 还原：用数学方法将得到的结论还原到实际问题中.用图形表示如下： 【即时训练】 13．已知函数的定义域是，那么的定义域是（ ） A． B． C． D． 14．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 15．函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 16．函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 17．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 18．若函数的图像经过点，则函数的图像必定经过点（ 　） A． B． C． D． 19．函数的定义域是 __________.（用区间表示） 20．已知函数，且，则___________. 21．若函数在R上为增函数，且，则x的取值范围是_________． 22．已知函数，则___________. 23．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求函数在上，使得的所有的取值. 24．已知函数. (1)求； (2)当时，求的值域. 1. （2021年广西高职高专对口升学考试数学2题）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 2. （2021年广西高职高专对口升学考试数学3题）下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 3.（2023年广西高职高专对口升学考试数学3题） 函数定义域是（ ） A. B. C. D. 4.（2023年广西高职高专对口升学考试数学4题） 函数的定义域为（ ） A. 且 B. C. D. 5. （2025年广西高职高专对口升学考试数学3题）已知指数函数，若，则的表达式是（ ） A. B. C. D. 6. （2025年广西高职高专对口升学考试数学9题）下列函数图像过点的是（ ） A. B. C. D. 7. （2026年广西高职高专对口升学考试数学4题）函数 在 上是 ______ 函数（填“增”或“减”）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $