专题10 函数的奇偶性（讲义）-2027年广西（对口考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广西壮族自治区对口考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广西壮族自治区对口考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 函数的奇偶性 【复习目标】 1. 函数的奇偶性 （1）理解奇函数、偶函数的定义，了解函数奇偶性的几何特征（图像关于原点或y轴对称）。 （2）能根据定义判断或证明函数的奇偶性，掌握常见函数的奇偶性结论。 （3）能利用奇偶性求函数值或函数解析式（已知奇偶性求参数或未知区间的表达式）。 【考点1】 函数的奇偶性 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫 ． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做 ． 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为 ． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为 -． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3. 函数的图象与性质 （1）奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相同”、“相反”)． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是 ，两个奇函数的积函数是 ． ②两个偶函数的和函数、积函数是 ． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是 ． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则 . 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与k(k≠0)有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性． 【即时训练】 1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ）. A． B． C． D． 2．点关于原点对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．设为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．15 B． C．3 D． 4．下列函数图像是关于轴对称的是（   ）. A． B． C． D． 5．已知是定义在上的奇函数，并且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 6．函数为奇函数，若，则（    ） A．0 B．4 C． D．8 7．若偶函数在上单调递减，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 8．下列函数中，在其定义域内为奇函数的是（     ） A． B． C． D． 9．下列函数中，属于偶函数的是（    ） A． B． C． D． 10．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 11．设为奇函数，且当时，．求（   ） A． B． C． D． 12．已知是定义在上的奇函数，且对任意的都有，当时，，则等于（     ） A． B． C． D． 13．点关于原点对称的点的坐标_________ 14．设函数，若为奇函数，则等于______． 15．函数为____________函数（填“奇/偶”）； 16．点关于轴的对称点坐标为________. 17．已知为奇函数，为偶函数，，则________． 18．已知是奇函数，则实数的值为______. 19．已知是定义在上的奇函数，满足，，则________. 20．已知是定义在上的偶函数，那么______，______． 21．已知函数是定义在上的奇函数，且满足． (1)求的解析式； (2)证明：在上是增函数； (3)解关于的不等式． 22．已知函数是定义在上的偶函数，当时，． (1)求当时，的解析式； (2)写出函数的单调区间（直接写结论）； (3)若，求实数的值． 23．已知二次函数． (1)若是定义在上的偶函数，求实数，的值； (2)若，且不论取何值，不等式恒成立，求实数的取值范围． 24．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)当时，若，求的取值范围． 1. （2023年广西中职对口本科升学考试4题） 下列函数中，偶函数的是（ ） A. B. C. D. 2.（2024年广西中职对口本科升学考试3题） 函数的定义域为（ ） A. 且 B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广西壮族自治区对口考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广西壮族自治区对口考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 函数的奇偶性 【复习目标】 1. 函数的奇偶性 （1）理解奇函数、偶函数的定义，了解函数奇偶性的几何特征（图像关于原点或y轴对称）。 （2）能根据定义判断或证明函数的奇偶性，掌握常见函数的奇偶性结论。 （3）能利用奇偶性求函数值或函数解析式（已知奇偶性求参数或未知区间的表达式）。 【考点1】 函数的奇偶性 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3. 函数的图象与性质 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与k(k≠0)有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性． 【即时训练】 1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义，结合正比例函数、二次函数、幂函数、反比例函数的图像和性质，即可求解. 【详解】A选项：对于函数，其定义域为，关于原点对称， 因为，所以函数是奇函数， 因为是正比例函数，且，所以在R上是增函数，故A正确； B选项：对于函数，其定义域为，关于原点对称， 因为，所以函数不是奇函数，故B错误； C选项：因为在上是增函数，所以函数在上是减函数，故C错误； D选项：对于函数，其定义域为，     是反比例函数，在和上分别是减函数， 可知在定义域上不是增函数，故D错误； 故选：A. 2．点关于原点对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称点的特征即可求解. 【详解】点关于原点对称的点的坐标为. 故选：A. 3．设为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．15 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质即可得解. 【详解】∵为奇函数，当时，， ∴， 故选：. 4．下列函数图像是关于轴对称的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意利用偶函数的定义逐项判断即可得解. 【详解】，定义域为，定义域不关于原点对称，不符合偶函数的定义，图像不关于轴对称，故错误； ，定义域为，定义域不关于原点对称，不符合偶函数的定义，图像不关于轴对称，故错误； ，则，解得， 所以定义域为，， 符合偶函数的定义，则图像关于轴对称，故正确； ，则，解得， 所以定义域为，定义域不关于原点对称， 不符合偶函数的定义，图像不关于轴对称，故错误； 故选：. 5．已知是定义在上的奇函数，并且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合奇函数的定义可得该函数是周期为4的周期函数，根据周期函数及奇函数的性质即可求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，则， 又，则， 把换成，则， 所以该函数是周期为4的周期函数， 又因为，所以， 当时，，所以， 所以. 故选：B. 6．函数为奇函数，若，则（    ） A．0 B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质即可得解. 【详解】奇函数性质，，则， 故选：. 7．若偶函数在上单调递减，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的性质将自变量转化到同一单调区间，再根据单调性比较函数值的大小. 【详解】已知是偶函数，则，可得，， 因为在上单调递减，且， 所以，即. 故选：D. 8．下列函数中，在其定义域内为奇函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数、二次函数、指数函数、反比例函数的图像和性质可判断结果. 【详解】对A选项，由一次函数的图像和性质可知：为非奇非偶函数，故错误； 对B选项，由二次函数图像和性质可知：关于轴对称，是偶函数，故错误； 对C选项，由指数函数的图像和性质可知：为非奇非偶函数，故错误； 对D选项，由反比例函数图像和性质可知：关于原点对称，是奇函数，故正确. 故选：D 9．下列函数中，属于偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义即可得解. 【详解】，定义域为，，不符合偶函数的定义，故错误； ，定义域为，，符合偶函数的定义，故正确； ，定义域为，，不符合偶函数的定义，故错误； ，定义域为，，不符合偶函数的定义，故错误； 故选：. 10．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义即可得解. 【详解】，定义域为，关于原点对称， 因为，所以不是奇函数，故错误； ，定义域为，关于原点对称， 因为，所以是奇函数，故正确； ，定义域为，关于原点对称， 因为，所以不是奇函数，故错误； ，定义域为，关于原点对称， 因为，所以不是奇函数，故错误； 故选：. 11．设为奇函数，且当时，．求（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意利用奇函数的性质即可得解. 【详解】为奇函数，且当时，， ，则 ， 故选：. 12．已知是定义在上的奇函数，且对任意的都有，当时，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性以及代入求解即可, 【详解】因为是定义在上的奇函数，则，解得. 因为，令，则，即，解得. 因此. 故选：C. 13．点关于原点对称的点的坐标_________ 【答案】 【分析】关于原点对称的点的坐标，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【详解】因为关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 所以点关于原点对称的点的坐标为. 故答案为：. 14．设函数，若为奇函数，则等于______． 【答案】1 【分析】根据奇函数的性质即可得解. 【详解】函数，定义域为，， 若为奇函数，则， 即， 所以，解得， 故答案为：. 15．函数为____________函数（填“奇/偶”）； 【答案】偶 【分析】根据函数奇偶性的定义判断. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 则，， 所以函数为偶函数，不是奇函数. 故答案为：偶. 16．点关于轴的对称点坐标为________. 【答案】 【分析】根据题意，结合点的对称性，即可求解. 【详解】点关于轴的对称点坐标为. 故答案为：. 17．已知为奇函数，为偶函数，，则________． 【答案】 【分析】利用奇函数、偶函数的性质推导的表达式，结合平方差公式和零指数幂的运算计算目标式的值. 【详解】因为，所以， 又因为为奇函数，为偶函数， 所以，即 ， 因为， 所以. 故答案为：. 18．已知是奇函数，则实数的值为______. 【答案】1 【分析】根据奇函数的定义结合对数的运算法则即可求解. 【详解】因为函数是奇函数， 所以， 即， 则，所以， 即，可化为， 整理得， 则， 所以，解得， 将代入原函数，则， 定义域为或，关于原点对称，且，函数是奇函数，满足题意. 故答案为：1. 19．已知是定义在上的奇函数，满足，，则________. 【答案】 【分析】根据奇函数的性质确定该函数的周期，再由周期函数的性质求值即可. 【详解】已知是定义在上的奇函数， 则，， 又，即， 则，得， 所以， 即，得是周期为4的函数， 且，，，， 所以， 所以， 故答案为：. 20．已知是定义在上的偶函数，那么______，______． 【答案】 / 0 【分析】根据题意，结合二次函数的奇偶性，及偶函数的对称性，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，解得. 故答案为：. 21．已知函数是定义在上的奇函数，且满足． (1)求的解析式； (2)证明：在上是增函数； (3)解关于的不等式． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据定义定义在上的奇函数有，将其代入解析式中求出的值，再将代入解析式中求解即可. （2）根据函数的单调性的定义证明即可. （3）根据奇函数的性质和单调性比较大小即可. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数， 得，即，解之得， 因为，所以，解之得， 所以，. （2）令，，且， ， 因为，，且，所以，， 又因为，，所以，即， 故在上是增函数. （3）由得，， 函数是定义在上的奇函数， 所以，即， 又因为函数在上是增函数， 所以，解之得，所以， 所以不等式的解集为 22．已知函数是定义在上的偶函数，当时，． (1)求当时，的解析式； (2)写出函数的单调区间（直接写结论）； (3)若，求实数的值． 【答案】(1) (2)单调减区间有，，单调增区间有， (3)或3 【分析】（1）令，则，进而得的表达式，再根据偶函数的性质可得结果； （2）根据二次函数的图像和性质可得结果； （3）分，两种情况，列方程可求解. 【详解】（1）令，则，因为当时，， 所以， 又因为是定义在上的偶函数，所以， 即当时，； （2）函数的单调减区间有，，单调增区间有，； （3）①当时，，即，解得或（舍）， ②当时，，即，解得或（舍）， 综上所述，实数的值为或3． 23．已知二次函数． (1)若是定义在上的偶函数，求实数，的值； (2)若，且不论取何值，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇偶性的定义以及性质求解即可. （2）根据二次函数判别式以及性质解得参数范围即可. 【详解】（1）由题意得，，解得，． （2）因为，所以．因为恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 因为是二次函数，所以，所以 解得：．所以的取值范围是． 24．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)当时，若，求的取值范围． 【答案】(1) 奇函数，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解. （2）由得，根据分式不等式的解法即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为，是关于原点对称的区间， 又， 所以函数是奇函数. （2）若，即，因为， 则，即，解得， 所以的取值范围为. 1. （2023年广西中职对口本科升学考试4题） 下列函数中，偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶性的定义判断具体函数的奇偶性即可. 【详解】A选项，定义域为，关于原点对称， ，不是偶函数， B选项，定义域为，关于原点对称， ，所以是偶函数， C选项，定义域为，关于原点对称， ，所以不是偶函数， D选项，定义域为，关于原点对称， ，所以不是偶函数. 故选：B. 2.（2024年广西中职对口本科升学考试3题） 函数的定义域为（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的真数大于0以及分母不为0求解即可. 【详解】因为函数为， 所以可得，， 即且且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $