第二章 平面向量（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣中职数学拓展模块一平面向量单元，设AB卷与综合测试卷，A卷巩固基础、B卷整合提升，适配单元复习，通过正八边形窗花、折扇等文化情境题，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|15/45|向量概念、共线垂直、坐标运算|第9题结合正八边形窗花考查数量积，体现文化传承| |填空|6/24|相等向量、四点共线、平移|第21题以折扇为背景，强化数学与生活联系| |解答|4/31|向量运算、几何应用|25题综合夹角与垂直关系，培养逻辑推理与数学表达能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （B卷·能力提升） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．关于向量，下列说法正确的有（   ） A．温度、海拔、角度都是向量 B．零向量没有方向 C．若是等边三角形，则与的夹角为 D．若向量与共线，且，则 2．下列命题正确的是（ ） A．模相等的两个共线向量是相等向量 B．若，，则 C．零向量没有方向 D．若，则 3．++=（   ） A． B． C． D． 4．已知、是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A．9 B．6 C． D． 5．（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，是任意四边形的一条对角线，则下面结论成立的是（   ）.    A． B． C． D． 7．如图所示，在平行四边形中，设向量，则向量（   ）    A． B． C． D． 8．在中，若 ，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 9．窗花是中国古老的传统民间艺术之一，如图1是一个正八边形窗花，正八边形边长为2，图2是该窗花的几何示意图形，则（ ） A． B． C． D． 10．若，向量夹角，则的值是（ ） A．2 B． C．8 D．6 11．已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 12．已知向量，且，则（   ） A．5 B． C．10 D． 13．平移坐标轴，把坐标原点平移至，则的新坐标为（    ） A． B． C． D． 14．已知，，，若，则（    ） A． B． C． D． 15．“”是“向量与垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分). 16．“”是“四点共线”的______________条件. 17．给出下列命题： ①若 ，则； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是___________． 18．如图，在正六边形ABCDEF中，______． 19．已知，若，则点坐标为_________． 20．设x为实数，若三点共线，则实数x的值为_________. 21．折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则_________.    三、解答题（本大题共4小题，第22、23小题6分，第24小题9分，第25小题10分，共31分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．已知向量. (1)求； (2)当时，求的值. 23．已知中，，，M为的中点，N为上靠近B的三等分点． (1)，表示向量，； (2)说明与的关系． 24．已知向量，计算： (1)； (2)； (3). 25．已知，，，. (1)若，求的值； (2)若与的夹角为，求实数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 平面向量 （B卷·能力提升） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．关于向量，下列说法正确的有（   ） A．温度、海拔、角度都是向量 B．零向量没有方向 C．若是等边三角形，则与的夹角为 D．若向量与共线，且，则 【答案】C 【分析】根据题意，结合向量的概念，零向量的定义，以及向量的夹角，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，温度、海拔、角度只有大小没有方向，不是向量，故A错误， 对于B，零向量的方向是任意的，故B错误， 对于C，等边的角均为，则与的夹角为，故C正确， 对于D，向量是既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小，所以D错误. 故选：C. 2．下列命题正确的是（ ） A．模相等的两个共线向量是相等向量 B．若，，则 C．零向量没有方向 D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意结合平面向量的相关概念逐项判断即可得解. 【详解】对于A，模相等且方向相同的向量才是相等向量，模相等的共线向量方向可能相反，故A错误， 对于B，若，则和可以是任意向量，不一定平行，故B错误， 对于C，零向量的方向是任意的，但不是没有方向，故C错误； 对于D，若，由向量相等的定义知一定共线，所以D正确. 故选：D. 3．++=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的运算求解即可. 【详解】++ =+++ =. 故选：B. 4．已知、是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A．9 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据共线向量的定义，代入公式计算即可. 【详解】若向量与共线， 则存在实数使得，即， 又、是两个不共线的向量，所以，解得. 故选：D. 5．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量线性运算的法则进行化简运算. 【详解】 ， 故选：D. 6．如图所示，是任意四边形的一条对角线，则下面结论成立的是（   ）.    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的运算法则逐项判断即可得解. 【详解】由题意可知，，故正确； ，故错误； ，故错误； 当四边形是平行四边形时，， 四边形是任意四边形，所以不一定成立，则不一定成立，故错误， 故选：. 7．如图所示，在平行四边形中，设向量，则向量（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】在平行四边形中，向量， 所以，解得． 故选：C. 8．在中，若 ，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据向量的内积公式可知向量的内积大于0，则可得其夹角的余弦值为正，进而可知三角形的形状； 【详解】因为在中， ， 所以，则，即角B为钝角， 所以是钝角三角形. 故选：B. 9．窗花是中国古老的传统民间艺术之一，如图1是一个正八边形窗花，正八边形边长为2，图2是该窗花的几何示意图形，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意利用平面向量内积的定义即可得解. 【详解】∵任意凸多边形的外角和都等于， ∴， ∵， ∴． 故选：C. 10．若，向量夹角，则的值是（ ） A．2 B． C．8 D．6 【答案】B 【分析】利用向量内积的定义与运算律进行计算即可得解. 【详解】因为，， 所以， 则. 故选：B 11．已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标为，求出，再根据向量相等的坐标表示列出方程，即可求解. 【详解】设点的坐标为， 因为，. 因为是平行四边形，所以， 即，解得，所以点的坐标为. 故选：A 12．已知向量，且，则（   ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】根据题意利用模长公式求出，代入内积公式即可得解. 【详解】，则， ∴， 故选：. 13．平移坐标轴，把坐标原点平移至，则的新坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由题意可知，移动坐标原点相当于把坐标系平移，其他点位置不变.通过原有A点，求出现有新坐标. 【详解】由题意得,原坐标图为: 移动后: 隐藏现有坐标，改为新坐标后: 故新坐标为:, 答案选：B. 14．已知，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量平行的坐标表示及向量内积的坐标表示求解。 【详解】由，，， 可得，解得，则， 又，故. 故选：C. 15．“”是“向量与垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示，由“向量与垂直”求出，再根据充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】若向量与垂直，解得， “”是“向量与垂直”的充分必要条件. 故选：C. 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分). 16．“”是“四点共线”的______________条件. 【答案】必要不充分 【分析】根据向量平行的定义结合充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】当时，直线AB与CD的位置关系有可能是平行或共线. 当二者平行时四个点分别位于两条平行线上而不是四点共线，则“”无法推出“四点共线”； 当四点共线时，直线AB与CD的位置关系为重合，此时，， 则“四点共线”可以推出“”， 因此“”是“四点共线”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 17．给出下列命题： ①若 ，则； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是___________． 【答案】③ 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量的概念判断即可. 【详解】若，则①不成立，故①错误； 起点相同的单位向量，终点未必相同，故②错误； 对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的， 故只要方向相同且模相等向量是相等向量，故③正确； 共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可， 并不要求两个向量与必须在同一直线上，故④错误； 故正确命题的序号是③. 故答案为：③. 18．如图，在正六边形ABCDEF中，______． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质与平面向量运算即可得答案. 由题意，根据正六边形的性质 . 故答案为： 19．已知，若，则点坐标为_________． 【答案】 【分析】设出点的坐标代入计算即可. 【详解】因为， 设点坐标为，由， 则， 则，即，从而点坐标为. 故答案为：. 20．设x为实数，若三点共线，则实数x的值为_________. 【答案】4 【分析】将三点共线转化为两向量共线，利用坐标求解即可. 【详解】由三点共线， 得和共线， 即得，解得. 故答案为：4 21．折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则_________.    【答案】 【分析】根据向量的内积以及向量的模求解即可. 【详解】因为， 所以有. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，第22、23小题6分，第24小题9分，第25小题10分，共31分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．已知向量. (1)求； (2)当时，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意利用平面向量线性运算的坐标表示及模长公式即可得解. （）根据平面向量平行的性质列出方程即可得解. 【详解】（1）向量， 则， 所以. （2）向量， 则，， 因为， 所以，解得. 23．已知中，，，M为的中点，N为上靠近B的三等分点． (1)，表示向量，； (2)说明与的关系． 【答案】(1)， (2)向量与向量方向相同，且的长度为长度的 【分析】（1）根据向量的线性运算，即可求解， （2）根据，即可根据数乘运算的性质求解. （1）∵四边形是平行四边形， ． 为的中点，， ． 为上靠近B的三等分点，， ． （2）由（1）知， 向量与向量方向相同，且的长度为长度的． 24．已知向量，计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据题意，结合向量内积的坐标表示，即可求解； （2）根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，及向量内积的坐标表示，即可求解； （3）根据题意，结合向量模的坐标表示，即可求解. 【详解】（1）因为向量， 所以； （2）因为向量， 所以， 所以； （3）由（2）知， 所以， 所以. 25．已知，，，. (1)若，求的值； (2)若与的夹角为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量坐标运算即可求解. （2）由数量积的坐标运算以及定义，列方程即可化简求解. 【详解】（1）若，则，，所以， 所以． （2）知，，且与的夹角为， ，即， 平方得：， ∴或，由于，所以不符合要求，故舍去， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $