1.3集合的运算 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合的基本运算，涵盖并集、交集、补集的概念、符号与图形表示及性质，还包括德摩根律和容斥原理。通过联系集合基本关系（如子集）导入，搭建从概念到运算的学习支架，梳理前后知识脉络。 资料以文字、符号、图形语言结合归纳知识点，典型例题与变式题衔接，练习涵盖选择、填空、解答及实际应用（如电影观看人数问题）。有助于学生直观理解抽象概念，培养几何直观的数学眼光、逻辑推理的数学思维和符号表达的数学语言，提升学习效率。

1.3 集合的基本运算 【知识点归纳】 一、并集的概念与运算 1、文字语言：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集， 记作A∪B，读作“A并B” 2、符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 3、图形语言：阴影部分为A∪B 4、性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B. 二、交集的概念与运算 1、文字语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 2、符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 3、图形语言：阴影部分为A∩B 4、性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，如果A⊆B，则A∩B＝A 三、全集与补集的概念与运算 1、全集 （1）文字语言：一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U. （2）符号语言：若，则为全集. （3）图形语言： 2、补集 （1）文字语言：若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 （2）符号语言： （3）图形语言： （4）性质：A∪∁UA＝U；A∩∁UA＝∅；∁U(∁UA)＝A. 四、德摩根律与容斥原理 1、 德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有 （1） （2） 2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 【典型例题】 例1.（单选题）设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－2≤x≤4}，则(A∪B)∩C＝(　　) A．{2} B．{1,2,4} C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－2≤x≤4} 【答案】B 【解析】由题意 选B 【变式1】（单选题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解出集合后，利用交集定义即可得. 【解析】由题设，， 所以．故选：B 例2．（单选题）若集合，，则中的元素个数为（ ） A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【解析】，，共有8个元素.故选D 【变式2】（单选题）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以 故选C 例3．（单选题）已知集合，，且，则m等于（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．或0 【答案】C 【分析】依题意可得，求解即可. 【解析】因为集合，，且， 所以，解得. 故选：C. 【变式3】（单选题）设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是(　　) A．－1<a≤2 B．a>2 C．a≥－1 D．a>－1 【答案】D 【解析】因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a>－1.故选：D 例4．（填空题）定义集合运算：.若集合，，则_____. 【答案】 【分析】由集合新定义结合交集的运算可得. 【解析】由题设可得，， 因为，，，， 故. 故答案为：. 【练 习】（1-7单选题） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合的交集运算即可求解. 【解析】由题意得：. 故选：C. 2．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的定义求解. 【解析】， .故选：C. 3．已知全集，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C  【解析】，，. 故选C 4．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】  B 【解析】由题设，， 所以，则，故选D 5．已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， 所以阴影部分所表示的集合为故选：A. 6.设集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，，可得到，进行计算即可. 【解析】由题意可知，，所以，对于任意的，有，故需要满足， 若，则存在但，不符合条件， 综上，实数a的取值范围是. 故选：D. 7．《功夫女足》､《八仙！》､《蜘蛛侠:崭新之日》位列2026年我国暑期档票房前三名.高一（3）班共有28名同学，有15人观看了《功夫女足》，有8人观看了《八仙！》，有14人观看了《蜘蛛侠:崭新之日》，有3人同时观看了《功夫女足》和《八仙！》，有3人同时观看了《功夫女足》和《蜘蛛侠:崭新之日》，没有人同时观看三部电影.只观看了《蜘蛛侠:崭新之日》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【解析】不妨将观看了《功夫女足》、《八仙！》、《蜘蛛侠:崭新之日》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《八仙！》和《蜘蛛侠:崭新之日》有人，    在相应的位置填上数字，则，解得， 所以只观看了《蜘蛛侠:崭新之日》的人数为人. 故选：C 8．(多选题)满足{1}∪B＝{1,2}的集合B可能等于(　　) A．{2} B．{1} C．{1,2} D．{1,2,3} 【答案】AC 【解析】∵{1}∪B＝{1,2}，故B中至少含有元素2，且B⊆{1,2}． ∴B＝{2}，或B＝{1,2}．故选AC. 9.（多选题）已知集合，且，则的值可以为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意，讨论参数列方程求参数值，即可得. 【解析】因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，，令，得，令，得， 故的值可以为. 故选：ABD 10.（填空题）集合A={x|x≤-1或x>6},B={x|-2≤x≤a},若A∪B=R,则实数a的取值范围为_________.  【答案】{a|a≥6} 【解析】由图示可知a≥6. 所以a的取值范围为{a|a≥6} 11.（填空题）设集合，或，若，则实数的取值范围为_________.  【答案】 【分析】根据给定条件按集合A是否为空集两类列式计算得解. 【解析】因集合， 若，有，解得，此时，于是得， 若，因或，则由得：，解得：， 综上得：， 所以实数的取值范围为. 12．（解答题）设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1),; (2). 【分析】（1）根据并集与交集，补集的概念直接计算. （2）根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可. 【解析】（1）因为，所以. 因为，所以. 因为，所以或，所以. （2）因为. ①当时，满足，此时，解得； ②当时，要满足，则解得. 综上所述，实数的取值范围是. 13．（解答题）已知集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据并集和补集的概念计算； （2）根据，可以知道两个集合数轴上表示，要有公共部分，比较端点即可. 【解析】（1）因为 所以，所以或 （2）因为，且，即集合数轴表示要有公共部分， 所以，即的取值范围是. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 集合的基本运算 【知识点归纳】 一、并集的概念与运算 1、文字语言：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集， 记作A∪B，读作“A并B” 2、符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 3、图形语言：阴影部分为A∪B 4、性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B. 二、交集的概念与运算 1、文字语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 2、符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 3、图形语言：阴影部分为A∩B 4、性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，如果A⊆B，则A∩B＝A 三、全集与补集的概念与运算 1、全集 （1）文字语言：一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U. （2）符号语言：若，则为全集. （3）图形语言： 2、补集 （1）文字语言：若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 （2）符号语言： （3）图形语言： （4）性质：A∪∁UA＝U；A∩∁UA＝∅；∁U(∁UA)＝A. 四、德摩根律与容斥原理 1、 德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有 （1） （2） 2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 【典型例题】 例1.（单选题）设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－2≤x≤4}，则(A∪B)∩C＝(　　) A．{2} B．{1,2,4} C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－2≤x≤4} 【变式1】（单选题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例2（单选题）．若集合，，则中的元素个数为（ ） A．2 B．4 C．7 D．8 【变式2】（单选题）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 例3．（单选题）已知集合，，且，则m等于（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．或0 【变式3】（单选题）设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是(　　) A．－1<a≤2 B．a>2 C．a≥－1 D．a>－1 例4．（填空题）定义集合运算：.若集合，，则_____. 【练 习】（1-7单选题） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则（     ） A． B． C． D． 3．已知全集，，则（       ） A． B． C． D． 4．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 5．已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 6.设集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．《功夫女足》､《八仙！》､《蜘蛛侠:崭新之日》位列2026年我国暑期档票房前三名.高一（3）班共有28名同学，有15人观看了《功夫女足》，有8人观看了《八仙！》，有14人观看了《蜘蛛侠:崭新之日》，有3人同时观看了《功夫女足》和《八仙！》，有3人同时观看了《功夫女足》和《蜘蛛侠:崭新之日》，每人至少看一部电影,没有人同时观看三部电影.只观看了《蜘蛛侠:崭新之日》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 8．(多选题)满足{1}∪B＝{1,2}的集合B可能等于(　　) A．{2} B．{1} C．{1,2} D．{1,2,3} 9.（多选题）已知集合，且，则的值可以为（　　） A．0 B．1 C． D． 10.（填空题）集合A={x|x≤-1或x>6},B={x|-2≤x≤a},若A∪B=R,则实数a的取值范围为_________.  11.（填空题）设集合，或，若，则实数的取值范围为_________.  12．（解答题）设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 13．（解答题）已知集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $