专题03二次函数的应用精讲学案 (核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦二次函数的应用，从几何、销售、抛物线轨迹等实际情境出发，通过建模五步法构建函数模型，结合区间最值判定方法，系统解决面积、利润、抛物轨迹三类典型问题，提供题型分类与解题思路作为学习支架。 资料以标准化建模流程和区间最值判定口诀为核心亮点，通过矩形围栏面积、销售利润计算等实例，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理运算的能力，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，强化模型应用意识。

专题03二次函数的应用精讲学案 核心立意 能从几何、销售、抛物线轨迹等实际情境构建二次函数模型；熟练掌握二次函数应用题标准化建模流程；核心掌握有限自变量区间内求解最值的方法，能解决面积、利润、抛物轨迹三类典型实际问题，渗透数学建模核心思想。 二次函数应用题｜建模五步法（标准答题模板） 第1步【定变量】：区分自变量、因变量，合理设未知数x、y； 第2步【找等量】：依托几何关系或利润数量关系列出等式； 第3步【列解析式】：整理得到二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)； 第4步【定范围】：结合实际背景，确定自变量x的取值范围； 第5步【求解作答】：结合抛物线开口方向、对称轴与自变量区间求最值或函数值，检验结果并规范书写答句。 课内三大必考模型 模型1｜几何面积最值： 以矩形围栏（含一边靠墙、多隔断结构）为典型，给定固定总长，建立面积关于边长的二次函数；结合墙长限制、边长为正的要求确定自变量范围，再求解面积最值。 模型2｜销售利润最值： 涨价、降价调价类问题，单价变化引起销售量反向变化；依据关系式总利润=单件利润×销售量列式，结合单件利润、销售量非负的要求划定自变量区间，求解最大利润。 模型3｜抛物线轨迹应用： 拱桥、喷水、投篮、抛小球类问题，物体运动或拱形轮廓为抛物线；合理建立平面直角坐标系，优先选用顶点式求函数解析式，再通过代值、解方程求解高度、水平距离等未知量。 区间最值判定（本节核心难点） 口诀：对称轴在区间内，顶点取最值；对称轴在区间外，端点取最值 1. 自变量无限制（全体实数范围）：最值在顶点处；a>0有最小值，a<0有最大值； 2. 实际应用问题（自变量存在取值区间）：先判断对称轴是否落在自变量取值区间内； ✔对称轴在区间内 → 顶点处取得最值 ✔对称轴在区间外 → 在区间端点处取得最值 轨迹类建系技巧 建立坐标系时，优先将原点设在抛物线顶点或抛物线与水平面的交点，简化解析式运算。 ① 高频失分点：忽略自变量的实际取值范围，直接套用顶点公式计算最值； ② 长度、销量、单价等实际意义量，自变量取值必须大于0，负根要舍去； ③ 应用题缺少文字答句、漏写单位，造成步骤扣分； ④ 自建坐标系时坐标标注出错，代入点坐标计算失误； ⑤ 求出最值后不验证结果是否符合实际情景。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★★ 题型二 销售问题 ★★★ 题型三 图形运动问题 ★★★ 题型四 拱桥问题 ★★ 题型五 投球问题 ★★ 题型六 喷水问题 ★★ 题型七 增长率问题 ★★ 题型八 其他问题 ★★ 题型九 线段周长问题 ★★★★ 题型十 面积问题 ★★★★ 题型十一 角度问题 ★★★★ 题型十二 特殊三角形问题 ★★★★ 题型十三 特殊四边形 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：图形问题 解题思路：①设其中一条边长为自变量x；②利用总长等量关系，用含x代数式表示另一条边长；③根据面积公式列出二次函数；④结合边长大于0、墙长限制确定自变量取值范围；⑤结合对称轴与自变量区间求最值；⑥检验结果，规范作答。 1．如图，一根铝合金型材长为，用它制作一个“日”字型窗户的框架，如果恰好用完整条铝合金型材，则窗户的最大面积是_______． 2．如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．已知矩形的宽为x米，当矩形面积S最大时，则矩形的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边长为米，面积为平方米． (1)写出与的函数关系式__________，并写出的取值范围__________； (2)如果要围成面积为的花圃，求的长度． 4．如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 题型二：销售问题 解题思路：①设涨价或降价x元；②用含x式子表示新单件利润、变化后的销售量；③代入总利润=单件利润销售量列出二次函数；④根据单件利润≥0、销售量≥0确定自变量范围；⑤在区间内求利润最值；⑥按要求求出对应定价并作答。 5．某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为____元． 6．某商店购进某种商品的价格是2.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件时，获利润w元，则w与x的函数关系为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 7．某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售100件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少5件． (1)当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售量为________件；当每件的销售价为元时，该纪念品每天的销售量为_________件． (2)当每件的销售价为多少时，销售该纪念品每天获得的利润最大？并求出最大利润． 8．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 题型三：图形运动问题 解题思路：①设运动时间t为自变量；②用含t式子表示动点对应的线段长；③分情况讨论图形形状，列出对应面积或周长函数；④标注每一段t的取值范围；⑤在对应区间分析函数、求解目标量。 9．如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________时，四边形，的面积最小，其最小值是________． 10．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿折线运动，最终回到点A，设点P的运动时间为，线段的长度为，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 11．如图所示，在中，，，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动，若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，求的最大面积． (1)当，同时出发后经过时，_____cm，_____cm． (2)在运动过程中，求的最大面积． 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴正半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B的坐标为．点D在边上，且．点M在线段上（不与点A，O重合），将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，． (1)求点N的纵坐标； (2)求四边形面积的最大值． 题型四：拱桥问题 解题思路：①建立平面直角坐标系；②提取图中关键点坐标；③优先选用顶点式求抛物线解析式；④代入已知数值，求解对应高度或水平宽度；⑤结合实际情况取舍结果。 13．如图是一座截面为抛物线形的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面宽度为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度为________米． 14．赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 15．如图是一个矿洞的横截面示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线和下方的矩形组成，矩形的边，，是抛物线的顶点，且点到边的距离为，以矩形的顶点为原点，边所在的直线为轴，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了使矿洞更牢固，工程队想要在矿洞正中间搭建一个正方形支撑架．正方形的边，，为支撑架的架骨，点，在边上，点，在抛物线上，求的长． 16．地平线下的村院——地坑院，人们常这样描述它：“见树不见村，进村不见房，入户不见门，闻声不见人．”体现了古人“天地相融，方圆共存，天人合一”的哲学理念．如图①为一个地坑院，如图②是其中窑洞的纵截面示意图，底部为矩形，顶部为抛物线形拱．以窑洞矩形底边（在地面上）所在直线为x轴，底边中点为原点建立平面直角坐标系，已知矩形部分高，宽，抛物线形拱的最高点距地面． (1)求抛物线的函数表达式； (2)现计划在窑洞顶部均匀地悬挂5个灯笼（即5个悬挂点水平等距分布），要求5个灯笼在抛物线形拱上呈轴对称分布，且每个灯笼的悬挂点离地面不低于，求相邻两个灯笼悬挂点的最大水平距离，以及此时最外侧灯笼悬挂点的横坐标． 题型五：投球问题 解题思路：①建立平面直角坐标系；②标出起点、最高点、落地点等关键点坐标；③求出抛物线解析式；④代入水平距离求高度，或给定高度求解水平距离；⑤舍去超出实际范围的解。 17．如图①是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，A是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，B是羽毛球落地点．．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为 ，羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度__________． 18．如图，在体育测试中，小亮同学掷实心球时，实心球沿抛物线运行，其中是实心球离初始位置的水平距离，是实心球离地面的高度．若实心球抛出时离地面的高度为，则实心球掷出的水平距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 19．掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 20．体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离与竖直高度的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如下图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 2 (1)在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是 m，实心球在空中的最大高度是 m； (2)求图中抛物线的解析式； (3)根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； (4)已知图中抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则的值为_______． 题型六：喷水问题 解题思路：①以喷水口为参考建立坐标系；②标出喷水口、最高点、落水点坐标；③求解抛物线解析式；④代入计算最大高度、喷射距离；⑤舍去不符合实际的解。 21．如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 22．如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示），假山轮廓所在的抛物线的解析式为，其中垂直于水平地面，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线，落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（   ） A．假山上的点B到水平地面的距离为 B．水平方向上的长度为 C． D．抛物线与的对称轴相同 23．政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 24．某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 题型七：增长率问题 解题思路：①设增长率为x，记初始量为a；②代入模型y=a(1+x)2（下降用a(1-x)2；③结合题意列函数或方程；④求解，舍去不合实际的负增长率。 25．某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是____． 26．为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（   ） A． B． C． D． 27．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 28．向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 题型八：其他问题 解题思路：①区分变量与常量；②寻找等量关系建立二次函数；③写出自变量实际取值范围；④结合开口方向、对称轴求值或求最值；⑤规范作答。 29．在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值． 30．某经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度与时间满足二次函数，其图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（     ） A．该图象的对称轴是直线 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为 C．当时，该无人机飞行的高度为 D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 31．在美丽的大自然里，有很多数学的奥妙，如图1是一株破土而出的幼苗．它的叶片上方轮廓和下方轮廓分别可以看作是抛物线的一部分．如图2，以地面为轴，以枝干所在直线为轴建立平面直角坐标系，两个叶片下方的轮廓可以看作抛物线的一部分．已知该轮廓的最低点的坐标为．右侧叶尖距离地面，与枝干的水平距离为． (1)求这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式； (2)若右侧叶片上方轮廓所在抛物线的函数表达式为，现在需要在右侧上方的轮廓上任意取一点，过点作轴的垂线交下方轮廓于点，求的最大值． 32．无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面0.1千米，保持高度不变，以20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离2千米处出现一障碍物高度为0.275千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为． (1)点的坐标为_________，点的坐标为_________； (2)求抛物线的表达式； (3)如图，若无人机在点发现障碍物后，可沿原水平方向继续飞行千米后再开启紧急避障模式，开启后飞行轨迹的形状不变，且飞行轨迹最高点的高度不变．为确保无人机飞行高度不低于障碍物高度，求的最大值． 题型九：线段周长问题 解题思路：①求出抛物线解析式与定点坐标；②设出动点坐标；③水平、铅垂线段直接坐标相减，斜线段用两点间距离公式；④周长最小类问题作对称点，化折线段为直线段；⑤列出函数求最值，检验动点范围。 33．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线与轴交于点，若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，则的最小值为___________． 34．如图，在四边形中，．若过点且与边分别相交于点，设，则关于的函数图象大“致为（   ） A． B． C． D． 35．如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小．请求出点的坐标． 题型十：面积问题 解题思路：①求出抛物线与坐标轴交点、定点坐标；②设抛物线上动点坐标；③用铅垂高法或割补法表示面积，列出面积关于横坐标的二次函数；④结合动点范围确定自变量区间，求面积最值；⑤回代求出动点坐标。 36．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 37．如图1，在菱形中，，点P从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点C，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点D．在此过程中的面积y与运动时间t的函数图象如图2，则图象中最低点的坐标是（    ） A． B． C． D． 38．如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 题型十一：角度问题 解题思路：①求出解析式与定点坐标，设出动点；②将等角、特殊角条件转化为相似、三角函数关系；③把角度条件转化为边长比例等式；④列方程求解动点坐标；⑤结合图形位置检验，舍去增根。 39．已知：如图，抛物线内的的三个顶点都在抛物线上：其中点为抛物线的顶点，点的坐标为，点的坐标为． （1）___________． （2）在轴上有一点，则点的坐标为___________． 40．如图，抛物线，顶点为，该抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)证明为直角三角形； (3)求与的差． 41．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． (1)点B的坐标为________，点D的坐标为________；（用含有m的代数式表示） (2)连接CD、BC． ①若CB平分，求二次函数的表达式； ②当时，若为该二次函数图象上不同两点，且，求证：． 题型十二：特殊三角形问题 解题思路：①求出抛物线解析式与定点，设动点坐标；②等腰三角形用“两圆一线”分类，利用距离公式按三边两两相等列式；③直角三角形用“两线一圆”分类，按直角顶点分三类，借助勾股定理列式；④解方程；⑤剔除三点共线、超出范围的增根，汇总符合条件的点。 42．如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标； (3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标． 43．如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 44．如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十三：特殊四边形 解题思路：①求出抛物线解析式与定点，设动点坐标；②平行四边形优先用中点坐标公式，按对角线分类讨论；③矩形增加邻边垂直条件，菱形增加邻边相等条件，正方形同时满足垂直、等长；④列方程组求解坐标；⑤检验四点不共线，舍去无效解。 45．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，四边形为正方形，当抛物线的顶点在边上时，的值为_______． 46．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 47．已知抛物线L：与x轴交于两点，抛物线与L关于y轴对称． (1)求抛物线L的解析式； (2)M为抛物线L上一点，过点M作轴交于点N，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次函数的应用精讲学案 核心立意 能从几何、销售、抛物线轨迹等实际情境构建二次函数模型；熟练掌握二次函数应用题标准化建模流程；核心掌握有限自变量区间内求解最值的方法，能解决面积、利润、抛物轨迹三类典型实际问题，渗透数学建模核心思想。 二次函数应用题｜建模五步法（标准答题模板） 第1步【定变量】：区分自变量、因变量，合理设未知数x、y； 第2步【找等量】：依托几何关系或利润数量关系列出等式； 第3步【列解析式】：整理得到二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)； 第4步【定范围】：结合实际背景，确定自变量x的取值范围； 第5步【求解作答】：结合抛物线开口方向、对称轴与自变量区间求最值或函数值，检验结果并规范书写答句。 课内三大必考模型 模型1｜几何面积最值： 以矩形围栏（含一边靠墙、多隔断结构）为典型，给定固定总长，建立面积关于边长的二次函数；结合墙长限制、边长为正的要求确定自变量范围，再求解面积最值。 模型2｜销售利润最值： 涨价、降价调价类问题，单价变化引起销售量反向变化；依据关系式总利润=单件利润×销售量列式，结合单件利润、销售量非负的要求划定自变量区间，求解最大利润。 模型3｜抛物线轨迹应用： 拱桥、喷水、投篮、抛小球类问题，物体运动或拱形轮廓为抛物线；合理建立平面直角坐标系，优先选用顶点式求函数解析式，再通过代值、解方程求解高度、水平距离等未知量。 区间最值判定（本节核心难点） 口诀：对称轴在区间内，顶点取最值；对称轴在区间外，端点取最值 1. 自变量无限制（全体实数范围）：最值在顶点处；a>0有最小值，a<0有最大值； 2. 实际应用问题（自变量存在取值区间）：先判断对称轴是否落在自变量取值区间内； ✔对称轴在区间内 → 顶点处取得最值 ✔对称轴在区间外 → 在区间端点处取得最值 轨迹类建系技巧 建立坐标系时，优先将原点设在抛物线顶点或抛物线与水平面的交点，简化解析式运算。 ① 高频失分点：忽略自变量的实际取值范围，直接套用顶点公式计算最值； ② 长度、销量、单价等实际意义量，自变量取值必须大于0，负根要舍去； ③ 应用题缺少文字答句、漏写单位，造成步骤扣分； ④ 自建坐标系时坐标标注出错，代入点坐标计算失误； ⑤ 求出最值后不验证结果是否符合实际情景。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★★ 题型二 销售问题 ★★★ 题型三 图形运动问题 ★★★ 题型四 拱桥问题 ★★ 题型五 投球问题 ★★ 题型六 喷水问题 ★★ 题型七 增长率问题 ★★ 题型八 其他问题 ★★ 题型九 线段周长问题 ★★★★ 题型十 面积问题 ★★★★ 题型十一 角度问题 ★★★★ 题型十二 特殊三角形问题 ★★★★ 题型十三 特殊四边形 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：图形问题 解题思路：①设其中一条边长为自变量x；②利用总长等量关系，用含x代数式表示另一条边长；③根据面积公式列出二次函数；④结合边长大于0、墙长限制确定自变量取值范围；⑤结合对称轴与自变量区间求最值；⑥检验结果，规范作答。 1．如图，一根铝合金型材长为，用它制作一个“日”字型窗户的框架，如果恰好用完整条铝合金型材，则窗户的最大面积是_______． 【答案】 【分析】设为，则，根据矩形的面积求得面积与的函数关系，根据二次函数的性质求解即可求得答案． 【详解】解：设为，则， 则窗户的面积 当时，取得最大值为． 2．如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．已知矩形的宽为x米，当矩形面积S最大时，则矩形的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式构建S关于x的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S最大， 此时． 3．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边长为米，面积为平方米． (1)写出与的函数关系式__________，并写出的取值范围__________； (2)如果要围成面积为的花圃，求的长度． 【答案】(1)； (2)6米 【分析】（1）表示出的长，根据长方形的面积公式即可写出函数关系式，根据“篱笆的长为24米，墙的最大可用长度为9米”列出不等式组，求解即可得到x的取值范围； （2）把代入函数关系式，求解即可． 【详解】（1）解：∵篱笆的长为24米， ∴（米）， ∴花圃的面积， 即． ∵墙的最大可用长度为9米， ∴，解得 ∴的取值范围是． （2）解：当时，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴的长度为6米． 4．如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)该矩形停车场的最大面积为 【分析】（1）容易判断与都是等腰直角三角形，则，结合矩形的性质可得； （2）结合图形容易判断，解不等式即可； （3）利用矩形面积公式可得关于的二次函数，再结合二次函数的性质求出面积的最大值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由图可知，, ∴， 解得； （3）解：， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下， ∴当时，取得最大值． 答：该矩形停车场的最大面积为． 题型二：销售问题 解题思路：①设涨价或降价x元；②用含x式子表示新单件利润、变化后的销售量；③代入总利润=单件利润销售量列出二次函数；④根据单件利润≥0、销售量≥0确定自变量范围；⑤在区间内求利润最值；⑥按要求求出对应定价并作答。 5．某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为____元． 【答案】 【分析】根据每件利润乘以总销售量得到利润的二次函数解析式，再结合二次函数的性质和给定的自变量取值范围求解最大利润． 【详解】解∶设每件玩具涨价x元， 则利润， ∵每件销售价不低于57元销售， ∴，解得， ∵，抛物线开口向下，当时，w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值，为， ∴最大利润w为2210元． 6．某商店购进某种商品的价格是2.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件时，获利润w元，则w与x的函数关系为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，用含x的代数式分别表示出每件利润及销售量是解题的关键，根据利润公式，列出函数关系式并化简． 【详解】解：∵销售价为x元/件时，每件利润为元， ∴销售量， ∴ ∴故选：A. 7．某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售100件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少5件． (1)当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售量为________件；当每件的销售价为元时，该纪念品每天的销售量为_________件． (2)当每件的销售价为多少时，销售该纪念品每天获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)90， (2)每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为1125元． 【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少5件”，即可解答； （2）根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：当每件的销售价为52元时，则每件的销售价增加2元，每天的销售数量将减少件． 该纪念品每天的销售量为件， 当每件的销售价为元时，该纪念品每天的销售量为件； （2）由题意得： ∵，抛物线开口向下，且， ∴当时，y有最大值1125， ∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为1125元． 8．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)①每件应降价10元；②当降价1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据每件利润乘以日销售量等于日总利润建立方程求解； ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件，列出关于的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为； （2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得： 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件 则 ， ， ∴当时，w有最大值，最大值为3310， ∴当售价为34元/件，即降价元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 题型三：图形运动问题 解题思路：①设运动时间t为自变量；②用含t式子表示动点对应的线段长；③分情况讨论图形形状，列出对应面积或周长函数；④标注每一段t的取值范围；⑤在对应区间分析函数、求解目标量。 9．如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________时，四边形，的面积最小，其最小值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的运用，理解并掌握配方法求二次函数最值的方法是解题的关键． 根据题意，设运动时间为，可得，，，可得，根据数量关系列式，可得关于的二次函数的解析式，运用配方法求最值即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵，即关于的二次函数图像开口线上，则有最小值， ∴当时，有最小值，且最小值为， 故答案为：，． 10．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿折线运动，最终回到点A，设点P的运动时间为，线段的长度为，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分点在上运动三种情况，进行讨论求解即可. 【详解】解：∵，，， ∴， 由题意，当时，点P在上，，为一段上升的线段； 当时，点P在上， ∴， ∴，其函数图象是y随x的增大而增大，且不是线段； 当时，点P在上， ∴，为一段下降的线段； 故符合题意的只有选项A. 11．如图所示，在中，，，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动，若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，求的最大面积． (1)当，同时出发后经过时，_____cm，_____cm． (2)在运动过程中，求的最大面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据“路程=速度×时间”得，同时出发后经过时，，，根据可求出； （2）设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值． 【详解】（1）解：当，同时出发后经过时，，， 又， ∴； （2）解：设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，， 则． ∵，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动， ∴， ∴， ∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为． 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴正半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B的坐标为．点D在边上，且．点M在线段上（不与点A，O重合），将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，． (1)求点N的纵坐标； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)点N的纵坐标为 (2) 【分析】本题考查了图形与坐标，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数与图形运动综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合矩形的性质以及旋转的性质，得出，得出，故点N的纵坐标为； （2）与（1）同理得，点N的纵坐标为，得出，则四边形面积，代入数值计算，得出四边形面积，结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：过点N作于T，如图所示： ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将线段绕点D逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点N的纵坐标为； （2）解：设点，其中， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 与（1）同理得，点N的纵坐标为； ∴，， ∴， 四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值，且为． 题型四：拱桥问题 解题思路：①建立平面直角坐标系；②提取图中关键点坐标；③优先选用顶点式求抛物线解析式；④代入已知数值，求解对应高度或水平宽度；⑤结合实际情况取舍结果。 13．如图是一座截面为抛物线形的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面宽度为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度为________米． 【答案】 【分析】根据题意建立坐标系，然后得出抛物线的解析式，进而令进行求解即可． 【详解】解：由题意可建立坐标系如图所示： ∴抛物线与x轴的交点坐标为， 设抛物线的解析式为，则把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，则有， 解得：， ∴当水面下降2米时，水面的宽度为米． 14．赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出的值，可判断①正确，把解析式化为顶点式，可判定②正确，令，求出的值，可得水面的安全距离为，可得设计龙舟赛道数为，即可判定③正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系， ∴当时，， 解得：，， ∴水面宽度，故①正确； ∵， ∴拱桥的最大高度是，故②正确； ∵龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少， ∴通过拱桥时龙舟最高处到水面至少， 当时，， 解得：，， ∴水面的安全距离为， ∵每条龙舟赛道宽度为， ∴可设计龙舟赛道数为(个)， ∴最多可设计龙舟赛道条，故③正确． 综上所述：正确结论的个数有个． 15．如图是一个矿洞的横截面示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线和下方的矩形组成，矩形的边，，是抛物线的顶点，且点到边的距离为，以矩形的顶点为原点，边所在的直线为轴，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了使矿洞更牢固，工程队想要在矿洞正中间搭建一个正方形支撑架．正方形的边，，为支撑架的架骨，点，在边上，点，在抛物线上，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知抛物线过点，顶点为，设顶点式为，代入点坐标算出​，进而求出抛物线解析式； （2）设，根据正方形性质可知和，利用抛物线在点的函数值与相等建立方程求出，进而算出． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点为，点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 又∵抛物线过， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：∵四边形为正方形， ∴， 设，由题意可知， 则， ∴， 又∵点在抛物线上， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ， 故的长为． 16．地平线下的村院——地坑院，人们常这样描述它：“见树不见村，进村不见房，入户不见门，闻声不见人．”体现了古人“天地相融，方圆共存，天人合一”的哲学理念．如图①为一个地坑院，如图②是其中窑洞的纵截面示意图，底部为矩形，顶部为抛物线形拱．以窑洞矩形底边（在地面上）所在直线为x轴，底边中点为原点建立平面直角坐标系，已知矩形部分高，宽，抛物线形拱的最高点距地面． (1)求抛物线的函数表达式； (2)现计划在窑洞顶部均匀地悬挂5个灯笼（即5个悬挂点水平等距分布），要求5个灯笼在抛物线形拱上呈轴对称分布，且每个灯笼的悬挂点离地面不低于，求相邻两个灯笼悬挂点的最大水平距离，以及此时最外侧灯笼悬挂点的横坐标． 【答案】(1) (2)相邻两个灯笼悬挂点的最大水平距离为米，此时最外侧灯笼悬挂点的横坐标和． 【分析】（1）由题意得到抛物线上的点的坐标和顶点坐标，利用待定系数法设顶点式即可求得； （2）先求出时自变量的值，再由，结合二次函数的图像写出自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为， ，， 抛物线的解析式为， 由题意可知，点，在抛物线上， 把代入解析式得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）令，即， 解得，， 每个灯笼的悬挂点离地面不低于， ， 结合二次函数的图像可知， 相邻两个灯笼悬挂点的最大水平距离为米，此时最外侧灯笼悬挂点的横坐标和． 题型五：投球问题 解题思路：①建立平面直角坐标系；②标出起点、最高点、落地点等关键点坐标；③求出抛物线解析式；④代入水平距离求高度，或给定高度求解水平距离；⑤舍去超出实际范围的解。 17．如图①是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，A是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，B是羽毛球落地点．．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为 ，羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度__________． 【答案】2.25 【分析】将，两点坐标代入解析式，求得、的值，用顶点公式求最大值即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， 解得， ， ∵， ∴当时，， 羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度为． 18．如图，在体育测试中，小亮同学掷实心球时，实心球沿抛物线运行，其中是实心球离初始位置的水平距离，是实心球离地面的高度．若实心球抛出时离地面的高度为，则实心球掷出的水平距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，求出当时对应的的值，即可得到实心球掷出的水平距离． 【详解】解：为， 点的坐标为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 当时，可得：， 解得：，（舍去）， 所以实心球掷出的水平距离为米． 19．掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不能得到满分，理由： 把代入，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵，，， ∴，即， ∴， ∴， 小蕙在此次考试中不能得到满分． 【分析】根据图表可知当时，实心球在空中取得最大高度，设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式，由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值，代入求解即可； （2）由（1）可知解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由图表可知当时，；当时，， ∴可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得当时，， ∴实心球在空中的最大高度是米， 设抛物线的解析式为， 当时，， 则，解得：， 则， 由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 当时，， 得在小蕙投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米； （2）由（1）可知实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式为； （3）略 20．体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离与竖直高度的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如下图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 2 (1)在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是 m，实心球在空中的最大高度是 m； (2)求图中抛物线的解析式； (3)根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； (4)已知图中抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则的值为_______． 【答案】(1)2， (2) (3)邓同学在此次训练中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴邓同学在此次训练中能得到满分； (4)m的值为或 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）根据题意得到出手时实心球的竖直高度即为时y的值，再通过观察表格数据，利用二次函数的对称性确定对称轴和顶点坐标； （2）由（1）知顶点坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）令得到一元二次方程，解方程与米比较即可； （4）根据，分别位于对称轴两侧求出的取值范围，再分情况讨论：求出当M为最低点，或N为最低点时的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得：当时，， 则在邓同学投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，可得： 对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得：当时，， 则实心球在空中的最大高度是米； （2）解：由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 抛物线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （3）略； （4）解：由（1）知，抛物线对称轴为直线， ，分别位于对称轴两侧， 解得： ①如图，当时，， 即， 解得：或； 与相矛盾，故舍去， ； ②如右图，当时，， 即， 解得：或， 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，m的值为或． 题型六：喷水问题 解题思路：①以喷水口为参考建立坐标系；②标出喷水口、最高点、落水点坐标；③求解抛物线解析式；④代入计算最大高度、喷射距离；⑤舍去不符合实际的解。 21．如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】要判断水流能否击中昆虫，只需验证点是否在抛物线上，即将代入函数解析式计算y的值，并与昆虫的高度进行比较． 【详解】解：当时，， ∵，即当水平距离为时，水流的高度为，低于昆虫所在的高度， ∴不在抛物线上， ∴这次射出的水流不能击中昆虫． 22．如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示），假山轮廓所在的抛物线的解析式为，其中垂直于水平地面，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线，落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（   ） A．假山上的点B到水平地面的距离为 B．水平方向上的长度为 C． D．抛物线与的对称轴相同 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． 由假山所在抛物线的函数解析式为，分别令，，求出对应的，即可判断选项A、B，由，即可判断选项C，根据与的图象可判断D选项． 【详解】解：由假山所在抛物线的函数解析式为， 当时，，故假山上的点B到水平地面的距离为； 当时，或（舍去），故水平方向上的长度为，可知选项A、B正确； 由题意得，解得：，可知选项C正确； 由题图可知，喷出的水柱呈现的抛物线与的对称轴相同，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 23．政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【答案】(1)， (2)米 【分析】（1）抛物线经过，对称轴为直线，再由待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令，求出，即可求解半径． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； （2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 24．某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 【答案】(1) (2)答：此时喷出的水柱会落到人工湖外． 理由如下： 对于， 令，得， 解得或（舍去）， 对于， 令，得， 解得或（舍去）， ∵， ∴此时喷出的水柱会落到人工湖外； (3)解：对于， 当，即时，， ∵， ∴游船有被水柱喷到的危险． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分别求出当时，改变喷头的推力前后的两个抛物线解析式中的，比较后即可得出结论； （3）求出抛物线上时，的值，与船的高度比较后得出结论. 【详解】（1）解：由表格中数据，可知抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的表达式为：． （2）略 （3）略 题型七：增长率问题 解题思路：①设增长率为x，记初始量为a；②代入模型y=a(1+x)2（下降用a(1-x)2；③结合题意列函数或方程；④求解，舍去不合实际的负增长率。 25．某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是____． 【答案】 【分析】由题意知，8月份生产玩具万只，9月份生产该玩具万只，依题意得，． 【详解】解：由题意知，8月份生产玩具万只，9月份生产该玩具万只， 依题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式． 26．为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系，理解在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上增长2次得到y是解题的关键． 在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上，增长2次即可得到y，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：第二个月投放单车数量， 第三个月投放单车数量． 故选A． 27．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 28．向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 【答案】(1)； (2)40米． 【分析】（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程，即可求解； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，则可求出与墙垂直的宽为米，再根据长方形的面积公式列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意可得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：李明这两年纯收入的年平均增长率为； （2）解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，根据题意可得 ， 解得，，（不合题意，舍去） 答：养鸡场与墙平行的一边的长度为40米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程． 题型八：其他问题 解题思路：①区分变量与常量；②寻找等量关系建立二次函数；③写出自变量实际取值范围；④结合开口方向、对称轴求值或求最值；⑤规范作答。 29．在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值． 【答案】8 【分析】根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，利用顶点横坐标公式求解即可． 【详解】解：函数关系式为， ，， ∴对称轴 ， 抛物线开口向下，有最大值 当时，竖直高度达到最大值 当她与跳台边缘的水平距离为时，竖直高度达到最大值． 30．某经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度与时间满足二次函数，其图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（     ） A．该图象的对称轴是直线 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为 C．当时，该无人机飞行的高度为 D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 【答案】B 【分析】先根据图象可得，和时，，即可求解对称轴，即可判断A；再将点代入求解抛物线表达式，继而进行判断B、C、D． 【详解】解：由图象可得，和时，， ∴对称轴为直线，故A错误，不符合题意； 将点代入，则 解得 ∴抛物线表达式为， ∵， ∴当时，，故B正确，符合题意； 当时，，故C错误，不符合题意； 当时，则，解得或 ∴该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是，故D错误，不符合题意． 31．在美丽的大自然里，有很多数学的奥妙，如图1是一株破土而出的幼苗．它的叶片上方轮廓和下方轮廓分别可以看作是抛物线的一部分．如图2，以地面为轴，以枝干所在直线为轴建立平面直角坐标系，两个叶片下方的轮廓可以看作抛物线的一部分．已知该轮廓的最低点的坐标为．右侧叶尖距离地面，与枝干的水平距离为． (1)求这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式； (2)若右侧叶片上方轮廓所在抛物线的函数表达式为，现在需要在右侧上方的轮廓上任意取一点，过点作轴的垂线交下方轮廓于点，求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，直接设顶点式；把已知点代入解析式求出系数a，即可得到抛物线表达式． （2）设两点横坐标相同，分别写出P、Q坐标；用上方点纵坐标减下方点纵坐标列出线段的二次函数关系式；对二次式配方，结合开口方向与自变量取值范围，求出最大值． 【详解】（1）解：由题意，得该抛物线的顶点坐标为．点的坐标为． 设这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式为， 将点代入，得 ， 解得， ∴这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点，分别在抛物线和抛物线上， ∴设点的坐标为（），点的坐标为， ． ，， ∴当时，的最大值为． 32．无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面0.1千米，保持高度不变，以20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离2千米处出现一障碍物高度为0.275千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为． (1)点的坐标为_________，点的坐标为_________； (2)求抛物线的表达式； (3)如图，若无人机在点发现障碍物后，可沿原水平方向继续飞行千米后再开启紧急避障模式，开启后飞行轨迹的形状不变，且飞行轨迹最高点的高度不变．为确保无人机飞行高度不低于障碍物高度，求的最大值． 【答案】(1); (2) (3) 【分析】（1）根据直线的表达式可知点的坐标，根据无人机的水平距离可知点的坐标； （2）将点的坐标代入即可求解； （3）根据平移的性质可知平移后的函数解析式，代入点的坐标即可求解范围． 【详解】（1）解：∵直线的表达式为，A的高度为：千米， 则得， 解得：， ∴ 无人机的速度为20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点， 则水平距离为：（千米） 则点的横坐标为：， 则点； （2）解：∵抛物线经过点, 则将点代入抛物线的表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （3）解：由题可知点, 由（2）可知抛物线的顶点坐标为：, 则平移后得顶点坐标为， 点平移后的坐标为： 则新抛物线的表达式为：， ∴抛物线的轨迹在点的上方， 将点的坐标代入可得， 解得： 则的最大值为：． 题型九：线段周长问题 解题思路：①求出抛物线解析式与定点坐标；②设出动点坐标；③水平、铅垂线段直接坐标相减，斜线段用两点间距离公式；④周长最小类问题作对称点，化折线段为直线段；⑤列出函数求最值，检验动点范围。 33．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线与轴交于点，若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求一次函数关系式，勾股定理， 先作点C的对称点，当点三点共线，且时，值最小，再求出点，即可求出直线，然后求出两直线的交点坐标，最后根据勾股定理得出答案. 【详解】解：如图所示，作点C的对称点，可知， 当点三点共线，且时，值最小， 当时，， ∴点. ∵抛物线的对称轴是， ∴点. ∵直线，且， ∴直线. ∵直线经过点， ∴， ∴直线. 将两个函数关系式联立，得 ， 解得， ∴点， 则. 故答案为：. 34．如图，在四边形中，．若过点且与边分别相交于点，设，则关于的函数图象大“致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于，由含角的直角三角形的性质及勾股定理可求解，的长，结合平行四边形的性质可得的长，进而求得，的长，设，则，利用勾股定理可求得与的关系式，根据自变量的取值范围可求得函数值的取值，即可判断函数的图象求解． 【详解】解：过点作于， ，， ， ， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 设，，则， ， ， 抛物线开口方向向上，顶点坐标为，与轴的交点为， ， 当时， 故符合解析式的图象为： 35．如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小．请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）连接，，由于的长度一定，所以周长最小，也就是使最小，点关于对称轴的对称点是点，根据两点之间线段最短可得，与对称轴的交点，即为所求的点，然后再求出直线的表达式为即可． 【详解】（1）解：依题意，得 解得 即抛物线的函数表达式为； （2）解：连接，， 的长度一定，所以周长最小，也就是使最小，点关于对称轴的对称点是点， ∴ ∴根据两点之间线段最短可得，与对称轴的交点，即为所求的点． 设直线的表达式为， 则 解得 此直线的表达式为， 把代入，得， 点的坐标为． 题型十：面积问题 解题思路：①求出抛物线与坐标轴交点、定点坐标；②设抛物线上动点坐标；③用铅垂高法或割补法表示面积，列出面积关于横坐标的二次函数；④结合动点范围确定自变量区间，求面积最值；⑤回代求出动点坐标。 36．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 【答案】2 【分析】根据A、B坐标求出，进而将抛物线化为顶点式，得到顶点的坐标为，即的高为，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、B， ∴， 即顶点的坐标为， ∴的高为， ∴． 37．如图1，在菱形中，，点P从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点C，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点D．在此过程中的面积y与运动时间t的函数图象如图2，则图象中最低点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点Q作，交的延长线于点E，证明，可得，从而得到，进而得到y关于t的函数解析式，即可． 【详解】解：连接，过点Q作，交的延长线于点E， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， 根据图2得：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，y最小，为， 即图象中最低点的坐标是． 38．如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）连接，由题意易得，，设点，且，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得：，解得：， ∴， 把代入直线得：， ∴， ∵抛物线经过，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： ∴， ∵，， ∴，， 设点，由题意知， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为． 题型十一：角度问题 解题思路：①求出解析式与定点坐标，设出动点；②将等角、特殊角条件转化为相似、三角函数关系；③把角度条件转化为边长比例等式；④列方程求解动点坐标；⑤结合图形位置检验，舍去增根。 39．已知：如图，抛物线内的的三个顶点都在抛物线上：其中点为抛物线的顶点，点的坐标为，点的坐标为． （1）___________． （2）在轴上有一点，则点的坐标为___________． 【答案】 90 或 【分析】（1）先用待定系数法求出抛物线解析式，得出点D的坐标，用勾股定理逆定理判断为直角三角形即可求解； （2）分①当点在的上方时和②当点在的下方时两种情况求解即可． 【详解】点，点都在抛物线上， 抛物线的解析式为． 令，则， 或， ， ． ， ． 如图1，过点作于点，过点作于点，于点，则， ． ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ． （2）如图2，①当点在的上方时，设与交于点， 由（1）知， ． ， ， ． ， ， ． ， ． 设直线的解析式为， 直线的解析式为． 令，则， ； ②如图3，当点在的下方时， ， ． 设直线的解析式为， ， 直线的解析式为． 设直线的解析式为， 则， ， 直线的解析式为． 令，则， ． 综上，当时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，把化成顶点式，的图象与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，求一次函数解析式，，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 40．如图，抛物线，顶点为，该抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)证明为直角三角形； (3)求与的差． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先求出，得到，，求出，，用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出，得到，，，根据勾股定理的逆定理判定即可； （3）求出，推出，，得到． 【详解】（1）解：关于抛物线，当时，， ， ， ， ，， ，， 将，代入得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）证明：由（1）知抛物线的解析式为， ， ，， ，，， ， 是直角三角形； （3）解：直线与轴交于点， ， ， ， ， 由（2）得，，， ， ， ，， ， ． 41．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． (1)点B的坐标为________，点D的坐标为________；（用含有m的代数式表示） (2)连接CD、BC． ①若CB平分，求二次函数的表达式； ②当时，若为该二次函数图象上不同两点，且，求证：． 【答案】(1)，； (2)① ②当时，二次函数， ∵为该二次函数图象上不同两点， ∴，即， ∴是一元二次方程即的两根， ∴， ∴ ∴ 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程的根与系数关系，分式的减法，解直角三角形等知识，准确计算和数形结合是关键． （1）在二次函数中，令，即可求出的坐标，将化为顶点式即可写出点的坐标； （2）①过点作，交于点，证，由（1）知，求出，由可列出关于的方程，求出的值即可； ②根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再利用分式的减法计算进行证明即可． 【详解】（1）解：在二次函数中， 当时， ∴， 当时，， ∵点在点的左侧，， ∴， ∵， ∴顶点， ∴故答案为：，； （2）①如图，过点作，交于点E， 则， 平分 由（1）知，， 解得：(舍去)， ∴二次函数的关系式为：； ②略 题型十二：特殊三角形问题 解题思路：①求出抛物线解析式与定点，设动点坐标；②等腰三角形用“两圆一线”分类，利用距离公式按三边两两相等列式；③直角三角形用“两线一圆”分类，按直角顶点分三类，借助勾股定理列式；④解方程；⑤剔除三点共线、超出范围的增根，汇总符合条件的点。 42．如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标； (3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据题意求出点，将点和点代入即可求解； （2）过点作轴，设点，则，根据即可求解； （3）分类讨论时、时、时即可求解； 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴ ∴点 将点和点代入得： ， 解得： ∴ （2）解：过点作轴，如图所示： 设点，则 ∴ ∴当，即点时，有最大； （3）解：设点， 时， 解得： ∴； 时， 解得：或 ∴或； 时， 解得： ∴； 综上所述，或或或 【点睛】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与面积问题、二次函数与特殊三角形问题，掌握二次函数的函数与性质是解题关键． 43．如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—特殊三角形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出点的坐标为，点的坐标为，再分两种情况：当时，点位于点位置，过点作于点；当时，点位于点和点位置；分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：分别将、代入中，得： ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：令，则， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ①当时，点位于点位置，过点作于点，如图， 则点的坐标为， ， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为； ②当时，点位于点和点位置，如图， ，，， ， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 44．如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度最大，最大值是 (3)或或或或． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出直线的解析式为，可得点，从而得到，即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，分五种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，线段的长度最大，最大值是， （3）解：由（1）得：点， 设抛物线的对称轴为直线l， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴可设点， 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图， 此时点Q在的垂直平分线上， ∴点Q的纵坐标为， ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 题型十三：特殊四边形 解题思路：①求出抛物线解析式与定点，设动点坐标；②平行四边形优先用中点坐标公式，按对角线分类讨论；③矩形增加邻边垂直条件，菱形增加邻边相等条件，正方形同时满足垂直、等长；④列方程组求解坐标；⑤检验四点不共线，舍去无效解。 45．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，四边形为正方形，当抛物线的顶点在边上时，的值为_______． 【答案】 【分析】首先根据抛物线解析式求出点的坐标，利用抛物线的对称性求出的长，进而根据正方形的性质求出点的坐标及边所在直线的解析式，再求出抛物线的顶点坐标，根据顶点在边上建立关于的方程求解即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴点的纵坐标为，即边在直线上， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在边上， ∴， 解得，（舍去）， ∴的值为． 46．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，设正方形的对角线长为，则，，，然后代入得，解得，然后求出的值即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：设正方形的对角线长为，则，，， 把，的坐标代入解析式可得：， 解得， ∴， 故选：． 47．已知抛物线L：与x轴交于两点，抛物线与L关于y轴对称． (1)求抛物线L的解析式； (2)M为抛物线L上一点，过点M作轴交于点N，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直接写出交点式即可得出结果； （2）根据对称性求出抛物线的解析式，分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线L：与x轴交于两点， ∴； （2）解：∵抛物线与L关于y轴对称， ∴抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的解析式为， 设， ∵轴交于点N， ∴设， ∴当以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，分2种情况讨论： ①当四边形为平行四边形时，则， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； ②当四边形为平行四边形时，则， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； 综上：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $