专题05相似三角形精讲学案 (核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制九年级数学上册

该初中数学相似三角形专题精讲学案通过知识框架图系统梳理核心内容，涵盖概念、相似比、传递性，以及预备定理、三大判定定理与性质，并用表格对比易错点，清晰呈现知识脉络与重难点联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的相似图形辨析到拔高的动点问题，结合实际应用题型培养应用意识，通过A字型/X字型模型识别等解题思路引导发展推理能力，助力学生分层提升，支持教师精准教学。

专题05相似三角形精讲学案 核心立意 理解相似三角形的概念、相似比及传递性；掌握相似三角形预备定理、三大判定定理与对应性质；熟悉A字型、X字型基础相似模型，能利用相似求解线段、角度、周长与面积，规范几何推理，落实数形结合思想。 相似三角形定义 三个角对应相等，三条对应边成比例的两个三角形为相似三角形；记作 ABC A'B'C'， 书写时对应顶点顺序必须对齐；对应边的比值称为相似比，相似比具备方向性。 补充：相似具有传递性， 若 ABC A'B'C'，A'B'C' A''B''C''，则ABC A''B''C''。 相似三角形预备定理（平行线型） 平行于三角形一边的直线截另外两边（或两边延长线），所得三角形与原三角形相似； 典型模型：A字型、X字型。 三大判定定理 1. AA（两角对应相等）：两角分别对应相等，两三角形相似（最常用）； 2. SAS（两边成比例且夹角相等）：两组对应边成比例，且夹角相等，两三角形相似； 3. SSS（三边对应成比例）：三组对应边比值相等，两三角形相似。 相似三角形核心性质 对应角相等，对应边成比例； 对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比； 周长之比等于相似比； 面积之比等于相似比的平方。 直角三角形专属相似判定 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 ① 书写相似符号时，顶点不按对应顺序书写，找错对应边角； ② 使用SAS判定时，忽略必须是夹角，误用非夹角； ③ 面积比直接等于相似比，忘记平方； ④ 忽略相似比的方向性，前后两个三角形的相似比互为倒数； ⑤ 仅看到两边成比例就直接判定相似，缺少夹角或第三组边条件； ⑥ 混淆全等与相似：全等是相似比为1的特殊相似。 题型 考察方向 难度 题型一 相似图形 ★ 题型二 利用平行判定相似 ★★ 题型三 利用两角对应相等判定相似 ★★ 题型四 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 ★★ 题型五 利用三边对应成比例判定相似 ★★ 题型六 相似三角形的判定综合 ★★★ 题型七 选择或补充条件使两个三角形相似 ★★ 题型八 利用相似三角形的性质求解 ★★ 题型九 证明三角形的对应线段成比例 ★★ 题型十 利用相似求坐标 ★★★ 题型十一 在网格中画与已知三角形相似的三角形 ★★ 题型十二 相似三角形 —— 动点问题 ★★★★ 题型十三 相似三角形实际应用 ★★★ 题型十四 相似三角形的判定与性质综合 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：相似图形 解题思路：①判断图形形状相同；②满足对应角相等、对应边成比例；③相似图形只要求形状一致，大小可以不相等。 1．观察下列各组中的两个图形，是相似图形的是______________，不是相似图形的是______________．（填序号） 【答案】 ③⑤ ①②④⑥ 【分析】本题考查的是相似图形，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同． 形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析即可． 【详解】解：①两个图形形状不相同，不是相似图形； ②两个图形形状不相同，不是相似图形； ③两个图形形状相同，大小不同，是相似图形； ④两个图形形状不相同，不是相似图形； ⑤两个图形形状相同，大小不同，是相似图形； ⑥两个图形形状不相同，不是相似图形； 故答案为：③⑤，①②④⑥． 2．以下选项中，与图中所给图形相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形，关键是掌握相似图形的形状必须完全相同，大小不一定相同．根据相似图形的定义解答即可． 【详解】 解：与图中所给图形相似的是． 故选：D． 3．下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是_____． 【答案】①②⑤ 【分析】根据相似图形的判定一一判断即可． 【详解】解：①两个正三角形相似，正确． ②两个等腰直角三角形相似，正确． ③两个菱形相似，错误． ④两个矩形相似，错误． ⑤两个正方形相似，正确． 故答案为：①②⑤． 【点睛】此题考查相似图形的判定，掌握相似图形的特点:对应边成比例,对应角相等是解题的关键． 4．如图，把菱形沿着对角线的方向移动到菱形的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形的面积的．若，菱形移动的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和观察图形可知，重叠部分与菱形相似，根据重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形ABCD的面积的，可得CA′与CA的比，从而可求CA′的长，即可求出菱形移动的距离AA′． 【详解】解：∵菱形与重叠部分相似，且它们面积比为 3：1， ∴CA′： CA=1：，且， ∴CA′= 1， 则菱形移动的距离AA′是 故选：D 【点睛】主要考查了平移的性质和坐标与图形的关系．需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变． 题型二：利用平行判定相似 解题思路：①找出题干中的平行线；②套用预备定理：平行于三角形一边的直线截另外两边（或两边延长线），所得三角形和原三角形相似；③识别A字型、X字型模型。 5．如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 6．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定及性质．熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，再根据相似三角形的判定解答． 【详解】解：∵的中点M，N，的长为， ∴，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 7．如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，求得，则，由菱形的性质得，则，所以，则，求得于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， 四边形是菱形，点在上，点在的延长线上， ， ， ， ， ． 故选：D． 题型三：利用两角对应相等判定相似 解题思路：①寻找两组对应相等的角（对顶角、公共角、同角的余/补角、平行线内错角等）；②只要两组角对应相等，即可直接判定两三角形相似。 8．将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 【答案】（或） 【分析】本题考查了相似三角形的判定．等腰三角形的性质，由于两个三角板全等且为等腰直角三角形，图中存在多个角和角，通过角度关系可判断，． 【详解】解：和是两个全等的等腰直角三角板， ， ， ， 同理可得， 故答案为：（或） 9．如图，的高相交于点O，请写出两个与相似的三角形__________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．由题意可知，从而可证，即得出，即可解答． 【详解】解：∵的高相交于点O， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴写出两个与相似的三角形，可以是，（答案不唯一）． 故答案为：，（答案不唯一）． 10．如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意． 题型四：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 解题思路：①先找到两组对应边，计算比值，验证比值相等；②确认相等的角必须是这两组边的夹角；③同时满足两个条件，才能判定相似。 11．下列各条件中，能判断的是（    ） A．， B．， C．， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定． 需根据相似三角形的判定定理（两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例）逐一分析选项． 【详解】选项，仅一组边相等且一组角相等，不满足相似三角形的判定条件， 不能判断，不符合题意； 选项，，是与的夹角，但不是与的夹角， 不满足两边对应成比例且夹角相等的判定条件， 不能判断，不符合题意； 选项，三角形内角和为，， ，即， 又，变形得， 两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似 能判断，符合题意； 选项，在中，，， ， 在中，，， ， 即对应角不相等， 不能判断，不符合题意． 故选：． 12．如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由及，可证明，即可得到；另三个结论均无法证明． 【详解】解：，， ， ， B选项正确； 和不是同位角， 无法证明， A选项错误； ， ， C选项错误； ，且与不一定会相等， 与不一定会相等， D选项错误． 13．如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 【答案】3 【分析】设，则，分两种情况：①当时；②当时；分别得出x的方程，解方程得出的长，即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， 设，则， 分两种情况： ①当时， 即， 解得：； ②当时， 即， 解得：或4， 综上，当或3或4时，与是相似三角形，共3个． 题型五：利用三边对应成比例判定相似 解题思路：①依次求出三组对应边的长度；②算出三组对应边的比值；③若三组比值全部相等，即可判定两三角形相似。 14．已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形对应边成比例逐项验证即可． 【详解】解：A.∵，∴选项不符合题意； B.∵，∴选项不符合题意； C.∵，∴选项符合题意； D.∵，∴选项不符合题意； 故选：C． 15．如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从格点、、、中选取一个格点与点、连接成格点三角形，能使该格点三角形与相似的格点是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， 网格的特点可知， ∴ ∴ 故选：C． 16．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了相似三角形的定义及判定相似三角形的性质，解题的关键是掌握其性质． 利用三边成比例证明，可得的度数． 【详解】解：， ， ， ． ． 故答案为： ． 17．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【详解】解：借助网格，可知，，， A、三边从小到大依次为：，，3，，三边与不成比例，故不符合题意； B、三边从小到大依次是：1，，，，三边与成比例，故符合题意； C、三边从小到大依次是：1，，，，三边与不成比例，故不符合题意； D、三边从小到大依次是：2，，，，三边与不成比例，故不符合题意； 故选：B． 题型六：相似三角形的判定综合 解题思路：①先观察图形，标记已知相等的角、成比例线段、平行线；②结合AA/SAS/SSS三种判定定理择优选择；③规范书写证明步骤。 18．根据下列条件不能判定和相似的是（    ） A．，，，，， B．，，， C．，，，，， D．，，，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理，是解题的关键．根据相似三角形的判定定理，逐项分析是否满足两角对应相等、三边对应成比例或两边对应成比例且夹角相等，即可得出答案． 【详解】解：A．∵， ， ， ∴， ∴，故A不符合题意； B．∵，， ∴， ∴，， ∴，故B不符合题意； C．，，， 但与的夹角不是，无法满足两边成比例且夹角相等的条件，且只有一角相等，不能判定相似，故C符合题意； D．，，， ∴，且夹角相等， ∴ ，故D不符合题意． 故选：C． 19．如图，已知，则图中相似三角形共有______对． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平行线的判定和相似三角形的判定．根据已知先判定线段，再根据相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解：， ． ， ， ， ， ， 同理：，， ， ，， ． 共4对． 故答案为：4． 20．如图，在矩形中，延长至点，连接，与相交于点，则图中的相似三角形共有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴； ∵是公共角，， ∴； ∴． 故有3对． 题型七：选择或补充条件使两个三角形相似 解题思路：①先看题干已有条件（已有一组角相等优先补一组角；已有两边成比例优先补夹角相等）；②结合三种判定定理筛选合适条件；③检验条件是否可以证明相似。 21．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、由，不能证明，符合题意； 故选：． 22．如图，在中，，D、E分别为边上的一点，，，点F为边上一点，添加一个条件使与相似，则添加的一个条件是_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先证明可得，再添加条件即可证明． 【详解】 当时， 故答案为：（答案不唯一）． 23．如图，在的内部，与相交于点,添加以下条件不能使成立的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知和相似三角形的判定方法逐项排查即可． 【详解】解：A、∵且， ∴，故不符合题意； B、由，得不出，故B符合题意； C、∵，， ∴，∴，∵ ∴，故不符合题意； D、∵，∴ ∵，∴，故不符合题意． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定方法，即①有两个对应角相等的三角形相似，②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 题型八：利用相似三角形的性质求解 解题思路：①先证三角形相似；②对应角相等、对应边成比例列式；③对应高/中线/角平分线比、周长比=相似比，面积比=相似比的平方；④代入数值计算。 24．已知，相似比为，且的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】相似三角形的周长比等于相似比，即可求出△ABC的周长． 【详解】解：∵，且相似比为 ， 又∵的周长为， ∴的周长为． 25．如图，已知，且，，若，则的面积为________． 【答案】4 【分析】求出线段，利用相似三角形的性质求出面积即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．如图，，，，，在边上取点P，使得与相似，这样的P点共有2个，则m满足的条件是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．分、两种情况利用相似三角形的性质分别列比例得到关于的一元二次方程，再利用根的判别式求解即可． 【详解】解：设，则 情形①， 则，即 解得：； 情形②， ∴，即 ∴， ∴， ∵与相似，这样的P点共有2个， 当①成立时，则②中只有唯一的一个解， 即，解得： 当②有两个解时（即情形②有两个点），则①中的解与②中的一个解相同， 即是的解， ∴ 解得：（负值舍去） 综上所述，或， 故选：A． 题型九：证明三角形的对应线段成比例 解题思路：①先证明包含这两条线段的两个三角形相似；②利用相似三角形对应边成比例的性质，写出比例式；③整理得到待证的线段比例关系。 27．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可． 【详解】解：， ， ， A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 28．如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，熟记平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，数形结合写出线段比例关系是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例及相似三角形判定与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：， 由平行线分线段成比例定理可知， A选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ， B选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ，即， D选项是正确的，不符合题意， C选项是错误的，符合题意； 故选：C． 29．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标(0，3)，点B坐标(4，0)，将点O沿直线对折，点O恰好落在∠OAB的平分线上的O’处，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设直线与∠OAB的平分线交x轴点C，交y轴于D,易求得OA=3,OB=4,AB=5,OD=b,且直线与AB平行，利用角平分线性质可得,再由平行线分线段成比例得即，解得,结合图象，，利用排除法即可得到答案. 【详解】假设直线与∠OAB的平分线交x轴点C，交y轴于D，如图： ∵A(0，3)，B(4，0)， ∴OA=3，OB=4，AB=5，且直线AB斜率等于， 由直线知OD=b，且直线与AB平行， ∵AC平分∠OAB, ∴, ∵直线与AB平行, ∴即， 解得, 结合图象直线的位置，b的范围为， 利用排除法， 故选D. 【点睛】本题考查了角平分线的性质和平行线分线段成比例，利用假设法和排除法解答是选择题的一种技巧． 题型十：利用相似求坐标 解题思路：①写出已知点坐标，求出线段长度；②找到相似三角形，确定相似比；③结合图形位置（同侧/异侧）分类计算对应点坐标；④写出最终坐标。 30．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 31．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___． 【答案】或； 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴ ，， ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 32．如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质及平面直角坐标系中坐标的变化规律．先根据已知条件得出的比值，在平面直角坐标系中，根据点G的坐标得出其横纵坐标的值，由题意易证得，从而得到相关线段的长度，进而求得点B的横纵坐标并最终求出点B的坐标． 【详解】解：∵， ∴， 又∵点， ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴点B坐标为， 故选：D． 题型十一：在网格中画与已知三角形相似的三角形 解题思路：①用勾股定理算出原三角形三边长度，得到三边之比；②在网格里构造三边比值相同的新三角形；③描点连线完成作图。 33．以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（    ）与第一个三角形相似． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据勾股定理求出各三角形的三边长，根据各边对应成比例的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：的三边长分别为， ∴； 的三边长分别为，则， 故； 同理可得，剩余的3个三角形均不满足三边比为，不能与相似，不符合题意； 故选A． 34．如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点的线段交网格线于两点，那么___________． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，设小正方形的边长为1，根据勾股定理得，分别证明和，可求出，，，从而可求出结论． 【详解】解：如图， 设小正方形的边长为1，则，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 同理可得，则， 得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 35．如图，、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点，若，则点应是网格中的点（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例解决问题即可． 【详解】如图， ， ∴两个三角形的对应边的比是， ， 观察图象可知点与丁重合， 故选: D． 题型十二：相似三角形 —— 动点问题 解题思路：①设动点运动时间为t，用含t的式子表示动线段长度；②分情况讨论哪两组角对应相等，列出相似比例方程；③解方程并检验解是否符合动点取值范围。 36．如图，在中，，，点P从点A出发沿边向点B以2的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以4的速度移动，如果P、Q同时出发，经过________秒后和相似？ 【答案】或2 【分析】设经过秒两三角形相似，分别表示出、的长度，再分①与边是对应边，②与边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，表示出边、的长是解题的关键，需要注意分情况讨论，避免漏解而导致出错． 【详解】解：设经过秒后和相似． 则，， ，， ， ①与边是对应边，则， 即， 解得， ②与边是对应边，则， 即， 解得． 综上所述，经过秒或2秒后和相似． 故答案为：或2． 37．如图，在中，，，动点从点开始沿边以的速度向点运动，动点从点开始沿边以的速度向点运动，如果、两点同时出发，经过_____________，与相似． 【答案】4或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质并分情况讨论是解题的关键．分两种情况：或，设经过，然后分别利用相似三角形的性质建立关于t的方程求解即可． 【详解】解：①设经过，， ∴， 即， 解得． ∴经过，． ②设经过后，， ∴， 即， 解得， ∴经过，． 综上，经过或，与相似． 故答案为：或， 38．如图，在Rt中，，点从点出发，沿的路径以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为，的面积为，则关于的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据求出，的长，设点的运动时间为，然后分和两种情况讨论即可． 【详解】解：， ． ， ． 设点的运动时间为， 当时，如图1，过点作交于点， 则， ， ， ． 当时，如图2，过点作交于点，则， ． ， ， ． 综上，关于的函数图象为两条不包含起点和终点的线段，符合题意． 题型十三：相似三角形实际应用 解题思路：①把实际场景抽象成两个相似三角形（影子、标杆、镜面反射等模型）；②找准对应边，确定相似比；③列比例式求解高度、距离等实际量。 39．如图，为测量某棵树的高度，小明用长为竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端影子与树的顶端影子恰好落在地面同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为____米． 【答案】6 【分析】如图，先证明，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图： 由题意知：，， ∴， ∴， ∴，即， ∴树的高度． 40．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为_____． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点C，延长交于点D， 由题意得， ∴，， ∴， 即 即小孔O到的距离为． 41．在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，则树高为（     ） A．6.36米 B．8米 C．11.8米 D．12米 【答案】A 【分析】连接，过点E作于点F，设米，利用“同一时刻，物高和影长成正比”列出方程，解方程求出的长度，进而可得的长度． 【详解】解：如图所示，连接，过点E作于点F， 由题意，米，米，米， 则（米）， 设米， 由题意，得， 解得：， ∴（米）． 题型十四：相似三角形的判定与性质综合 解题思路：①先根据已知条件证明三角形相似；②利用相似性质转化线段、角度关系；③结合勾股定理、方程思想列式计算；④注意多解情况分类讨论。 42．如图，在中，点，分别在，上，，若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．根据题意证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 43．如图，平行四边形中，E是边上的点，交于点F，如果，那么__________． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得，，于是可证得，然后由相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴． 44．如图，在矩形中，，点E在对角线上，且，连接并延长交于点F，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，则可求出的长，证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 解答题 1．一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ， ∴； (2) (3)40，1200 【分析】（1）根据正方形的性质和三角形相似的判定即可证明； （2）利用相似三角形的性质得，代值计算即可； （3）与（2）类似，利用求得与的关系，用的长x表示出矩形的面积，根据二次函数的性质即可求出最值． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形零件的边长为， 由（1）知， ， 同理，由得， ∴， 即， 解得， ∴这个正方形零件的边长为； （3）解：设长方形的长为，宽为， 当长方形的长在时， 同（2）得，即，， 矩形面积， ∵， ∴当时，长方形的面积最大为． 即当时，这个矩形的面积最大，最大值是． 2．如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ∵四边形内角和为， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明，再由证明，从而得到，则可证； （2）先求出再利用求出，求出两个三角形的相似比和的面积，利用相似三角形面积之比等于相似比求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 由（1）知， 由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ． 3．如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若与相交于点，求证：点是的中点； (3)如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明：∵将绕点A旋转得到， ∴，，． ∴，． ∴． (2)证明：过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N， 由旋转的性质可知，， ， ，，， ， 又∵ ， ， ，， ， ， 即点是线段的中点． (3)解：结论：， 理由：延长、交于点，过点作，垂足为， 设，由可得， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∵，， ∴，，， 由（2）得， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴ ∴，即． 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，即可得出，，根据相似三角形的判定定理即可证明． （2）过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N，构造K字形全等，得，由全等三角形的性质得到，进而证明即可得出． （3）延长、交于点，过点作，垂足为，设，则，可求，，根据中点+平行线模型可得，可得，，由勾股定理可得，进而求出，利用可得，由此求出，根据，求出，由此得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 4．真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木塔，明代改建砖塔．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图）高度”的实践活动，方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上．已知点F，G，E，C与真身宝塔底处的点A在同一直线上，，，，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出真身宝塔的高度． 【答案】 【分析】根据题意得，，从而可得，，四边形为矩形，再由相似三角形的性质以及矩形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意得，， ∴，，四边形为矩形， ∴，，． ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 故真身宝塔的高度为． 5．已知：如图，在四边形中，，点在边上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)联结交于点，联结．如果，求证：． 【答案】(1) 证明：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形； (2) 证明：∵ ∴ ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴即 又 ∴． 【分析】（1）根据已知得出，则，结合已知可得，即可证明，结合条件，即可得证； （2）根据得出，根据平行四边形的性质可得，，，代入已知等式得出，根据三线合一，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 6．如图，在中，，，，点是的中点，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动（点不与点、重合）．在上方作正方形，且，．设点的运动时间为秒，正方形与重叠部分的面积为． (1)线段的长为________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当时，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）根据勾股定理求得，再根据直角三角形斜边上的中线定理求得； （2）根据相似三角形的性质列出的方程进行解答； （3）根据运动分情况讨论，运动过程中正方形与三角形的重叠，和运动到一定时间正方形与三角形的重叠面积保持不变． 【详解】（1）解：，，， ， 是的中点， ， 故答案为； （2）解：当点在上时，如图： 则，， ， ， ， ，即， 解得； 当点在上时，； （3）解：当点在上时，，则当，即求在上运动时，正方形与重叠部分的面积为和时间的函数关系式． 当正方形还未完全进入到中时，重叠面积为矩形， ，且， ， ， ， ， ， ， 当在上时，如图： 则，且，同理可知， ， ， ， 解得， 故当时，； 当时，正方形与重叠，重叠面积为正方形的面积，故； 综上所述，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05相似三角形精讲学案 核心立意 理解相似三角形的概念、相似比及传递性；掌握相似三角形预备定理、三大判定定理与对应性质；熟悉A字型、X字型基础相似模型，能利用相似求解线段、角度、周长与面积，规范几何推理，落实数形结合思想。 相似三角形定义 三个角对应相等，三条对应边成比例的两个三角形为相似三角形；记作 ABC A'B'C'， 书写时对应顶点顺序必须对齐；对应边的比值称为相似比，相似比具备方向性。 补充：相似具有传递性， 若 ABC A'B'C'，A'B'C' A''B''C''，则ABC A''B''C''。 相似三角形预备定理（平行线型） 平行于三角形一边的直线截另外两边（或两边延长线），所得三角形与原三角形相似； 典型模型：A字型、X字型。 三大判定定理 1. AA（两角对应相等）：两角分别对应相等，两三角形相似（最常用）； 2. SAS（两边成比例且夹角相等）：两组对应边成比例，且夹角相等，两三角形相似； 3. SSS（三边对应成比例）：三组对应边比值相等，两三角形相似。 相似三角形核心性质 对应角相等，对应边成比例； 对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比； 周长之比等于相似比； 面积之比等于相似比的平方。 直角三角形专属相似判定 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 ① 书写相似符号时，顶点不按对应顺序书写，找错对应边角； ② 使用SAS判定时，忽略必须是夹角，误用非夹角； ③ 面积比直接等于相似比，忘记平方； ④ 忽略相似比的方向性，前后两个三角形的相似比互为倒数； ⑤ 仅看到两边成比例就直接判定相似，缺少夹角或第三组边条件； ⑥ 混淆全等与相似：全等是相似比为1的特殊相似。 题型 考察方向 难度 题型一 相似图形 ★ 题型二 利用平行判定相似 ★★ 题型三 利用两角对应相等判定相似 ★★ 题型四 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 ★★ 题型五 利用三边对应成比例判定相似 ★★ 题型六 相似三角形的判定综合 ★★★ 题型七 选择或补充条件使两个三角形相似 ★★ 题型八 利用相似三角形的性质求解 ★★ 题型九 证明三角形的对应线段成比例 ★★ 题型十 利用相似求坐标 ★★★ 题型十一 在网格中画与已知三角形相似的三角形 ★★ 题型十二 相似三角形 —— 动点问题 ★★★★ 题型十三 相似三角形实际应用 ★★★ 题型十四 相似三角形的判定与性质综合 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：相似图形 解题思路：①判断图形形状相同；②满足对应角相等、对应边成比例；③相似图形只要求形状一致，大小可以不相等。 1．观察下列各组中的两个图形，是相似图形的是______________，不是相似图形的是______________．（填序号） 2．以下选项中，与图中所给图形相似的是（　　） A． B． C． D． 3．下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是_____． 4．如图，把菱形沿着对角线的方向移动到菱形的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形的面积的．若，菱形移动的距离是（ ） A． B． C． D． 题型二：利用平行判定相似 解题思路：①找出题干中的平行线；②套用预备定理：平行于三角形一边的直线截另外两边（或两边延长线），所得三角形和原三角形相似；③识别A字型、X字型模型。 5．如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 6．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 题型三：利用两角对应相等判定相似 解题思路：①寻找两组对应相等的角（对顶角、公共角、同角的余/补角、平行线内错角等）；②只要两组角对应相等，即可直接判定两三角形相似。 8．将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 9．如图，的高相交于点O，请写出两个与相似的三角形__________． 10．如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 题型四：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 解题思路：①先找到两组对应边，计算比值，验证比值相等；②确认相等的角必须是这两组边的夹角；③同时满足两个条件，才能判定相似。 11．下列各条件中，能判断的是（    ） A．， B．， C．， D．，，， 12．如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 13．如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 题型五：利用三边对应成比例判定相似 解题思路：①依次求出三组对应边的长度；②算出三组对应边的比值；③若三组比值全部相等，即可判定两三角形相似。 14．已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 15．如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从格点、、、中选取一个格点与点、连接成格点三角形，能使该格点三角形与相似的格点是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 16．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 17．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 题型六：相似三角形的判定综合 解题思路：①先观察图形，标记已知相等的角、成比例线段、平行线；②结合AA/SAS/SSS三种判定定理择优选择；③规范书写证明步骤。 18．根据下列条件不能判定和相似的是（    ） A．，，，，， B．，，， C．，，，，， D．，，，，， 19．如图，已知，则图中相似三角形共有______对． 20．如图，在矩形中，延长至点，连接，与相交于点，则图中的相似三角形共有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 题型七：选择或补充条件使两个三角形相似 解题思路：①先看题干已有条件（已有一组角相等优先补一组角；已有两边成比例优先补夹角相等）；②结合三种判定定理筛选合适条件；③检验条件是否可以证明相似。 21．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 22．如图，在中，，D、E分别为边上的一点，，，点F为边上一点，添加一个条件使与相似，则添加的一个条件是_________． 23．如图，在的内部，与相交于点,添加以下条件不能使成立的是 （ ） A． B． C． D． 题型八：利用相似三角形的性质求解 解题思路：①先证三角形相似；②对应角相等、对应边成比例列式；③对应高/中线/角平分线比、周长比=相似比，面积比=相似比的平方；④代入数值计算。 24．已知，相似比为，且的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 25．如图，已知，且，，若，则的面积为________． 26．如图，，，，，在边上取点P，使得与相似，这样的P点共有2个，则m满足的条件是（    ） A．或 B． C． D． 题型九：证明三角形的对应线段成比例 解题思路：①先证明包含这两条线段的两个三角形相似；②利用相似三角形对应边成比例的性质，写出比例式；③整理得到待证的线段比例关系。 27．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 28．如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 29．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标(0，3)，点B坐标(4，0)，将点O沿直线对折，点O恰好落在∠OAB的平分线上的O’处，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型十：利用相似求坐标 解题思路：①写出已知点坐标，求出线段长度；②找到相似三角形，确定相似比；③结合图形位置（同侧/异侧）分类计算对应点坐标；④写出最终坐标。 30．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    31．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___． 32．如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型十一：在网格中画与已知三角形相似的三角形 解题思路：①用勾股定理算出原三角形三边长度，得到三边之比；②在网格里构造三边比值相同的新三角形；③描点连线完成作图。 33．以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（    ）与第一个三角形相似． A． B． C． D． 34．如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点的线段交网格线于两点，那么___________． 35．如图，、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点，若，则点应是网格中的点（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型十二：相似三角形 —— 动点问题 解题思路：①设动点运动时间为t，用含t的式子表示动线段长度；②分情况讨论哪两组角对应相等，列出相似比例方程；③解方程并检验解是否符合动点取值范围。 36．如图，在中，，，点P从点A出发沿边向点B以2的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以4的速度移动，如果P、Q同时出发，经过________秒后和相似？ 37．如图，在中，，，动点从点开始沿边以的速度向点运动，动点从点开始沿边以的速度向点运动，如果、两点同时出发，经过_____________，与相似． 38．如图，在Rt中，，点从点出发，沿的路径以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为，的面积为，则关于的函数图象为（    ） A． B． C． D． 题型十三：相似三角形实际应用 解题思路：①把实际场景抽象成两个相似三角形（影子、标杆、镜面反射等模型）；②找准对应边，确定相似比；③列比例式求解高度、距离等实际量。 39．如图，为测量某棵树的高度，小明用长为竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端影子与树的顶端影子恰好落在地面同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为____米． 40．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为_____． 41．在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，则树高为（     ） A．6.36米 B．8米 C．11.8米 D．12米 题型十四：相似三角形的判定与性质综合 解题思路：①先根据已知条件证明三角形相似；②利用相似性质转化线段、角度关系；③结合勾股定理、方程思想列式计算；④注意多解情况分类讨论。 42．如图，在中，点，分别在，上，，若，则__________． 43．如图，平行四边形中，E是边上的点，交于点F，如果，那么__________． 44．如图，在矩形中，，点E在对角线上，且，连接并延长交于点F，则等于（     ） A． B． C． D． 解答题 1．一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 2．如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 3．如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若与相交于点，求证：点是的中点； (3)如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由． 4．真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木塔，明代改建砖塔．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图）高度”的实践活动，方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上．已知点F，G，E，C与真身宝塔底处的点A在同一直线上，，，，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出真身宝塔的高度． 5．已知：如图，在四边形中，，点在边上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)联结交于点，联结．如果，求证：． 6．如图，在中，，，，点是的中点，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动（点不与点、重合）．在上方作正方形，且，．设点的运动时间为秒，正方形与重叠部分的面积为． (1)线段的长为________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当时，求与之间的函数关系式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $