广东省深圳市2026-2027学年高三上学期9月开学模拟考试数学试题

广东省深圳市2026一2027学年高三上学期开学模拟卷 数学试题 ★祝大家学习生活愉快★ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1.设全集U=R,集合A={x2x≥1}，B={x-1<x<1},则图中阴影部分表示的集合为 A.{x-1<x<1} B.{xl0≤x<1} C.{xx>-1} D.{xx≥0} 2.若复数z满足(1-2i)z=5i,则复数z= A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2-i 3.已知向量1，已2是平面上两个不共线的单位向量，且AB=1+22,BC=-31+222,DA=31-62,则 A.A、B、C三点共线B.A、B、D三点共线C.A、C、D三点共线D.B、C、D三点共线 4.设等差数列{a}的前n项和为S,且公差不为0，若4,4,4，构成等比数列，S1=66,则，= A.5 B.6 C.7 D.8 5.底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积 为 A.8W5π B.9√5π C.3√5π D.16π 6已知a∈R,函数fx)=cos(x-)-a在区间[-石，元上有且仅有两个零点，，，则cos(x-) 3a的最小值为 A.- B-￥ C.-2 D. 1服圆c是+若 =1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上，且关于原点对称，若直线AP,A0的斜 率之积为-}，则C的离心率为 A B号 C. D. 数学试题第1页共4页 8.f(x)是定义在(0，十∞)上的非负可导函数，且满足xf'(x)十f(x)≤0.对任意正数a,b,若a<b,则必有 A.af(b)≤bf(a B.bf(a)≤af(b) C.a(a)≤f(b) D.bf(b)≤f(a) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)=2sim(x+平)cos(x+正)，则 A.f(x)的最大值为1 B.f(x)的最小正周期为π C.fx)在(0，)上单调递增 D.fx)的图象关于x=平对称 10.设动直线1：x-y-2十3=0(m∈R)交圆C:(x-4)2+(y-5=12于A,B两点（点C为圆心），则下 列说法正确的有 A.直线1过定点(2,3) B.当AB取得最小值时，m=1 C.当∠4CB最小时，其余弦值为 D.AB·AC的最大值为24 11.已知连续函数fx)满足Hx,y∈R,f(x+y)=fx)+fy)+xy-1,f1)=2,则 A.f-1)=1 B.f(x)最小值为1 C.Vx∈Z,fx-1)=f(-x) D.H0∈R,f(2cos20)≥fcos20) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某中学对“秋假”期间申请留校的学生实行免费托管，现要从5名教师中选若干人在3天假期值班（每天 只需1人值班)，同一人不能连续值班2天，则可能的安排方法有种 13.已知（√x-1)"的展开式的二项式系数和等于C9+C+C1+C+C+CP,则(W-1)"展开式中的 含x项的系数为一 14.已知41，，…，是8个正整数，记S={a,十4，+…+a,1≤i1<i2<…<i≤8}，其中i1,i2,…,i∈N,若 S={82,83,84,85,86,87,89},则这8个正整数中的最大数与最小数的和为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.在三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinB+√3 bcosA=0. (1)求角A: (2)若a=2W3,cosB=T,求边c的长 7 数学试题第2页共4页 16.己知正方形ABCD,M、N分别是AB、CD的中点，将△ADM沿DM折起，如图所示. (1)求证：BN∥平面AMD: (2)若翻折后当△ACD为等边三角形时，求平面ABC与平面BCD夹角的余弦值. D 17.A,B两盒中各有10件产品，其中A盒中有4件次品，B盒中有5件次品 (1)在A盒中随机取4件产品，这4件产品中次品数为变量X,求变量X的概率分布及E(X). (2)若随机交换A盒与B盒中两件产品后，再从A,B盒中各随机取2件产品，这4件产品中次品数为变 量Y,求E(Y). (3)甲乙两人轮流从A盒中和B盒中有放回地抽取一件产品，规则如下：甲先从A盒中抽取，抽到次品加 一分后甲继续抽，若抽到正品换乙从B盒中继续抽，规则一样.求前10轮结束后，甲乙得分期望值的差？ 数学试题第3页共4页 18已知椭圆c是+ +。=1(a>b>0)仅经过点4(-3,0,4V3,)A3,)中的两个. (1)求C的方程： (2)椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦 点.己知C的左、右焦点分别为，乃，点乃在C上且在第二象限内，从发出的光线乃经过C的反 射，反射光线所在直线与C的另一个交点为乃：记直线乃R与C的另一个交点为P,直线乃乃与C的另一 个交点为卫4，如此交替进行，得到点列{P} ()设直线A1,的斜率为k,证明：数列{飞-1}是等比数列，并求出其公比： ()设△B,-1B的面积为S,证明：S,<,3 2n-1 19.设y=f(x、y=g(x)、y=h(x)是三个定义域为R的函数，如果f(x)g(x)+g(x)H(x)+xf'(x)=A对 一切实数x恒成立(A是常数)，就称y=f(x)、y=g(x)、y=x)是一组“A有序和谐函数” (1)为了使得y=1、y=e、y=(x)是一组0有序和谐函数”，求一个满足要求的函数y=hx); (2)设f(x)=sinx,g(x)=sin(x+a),h(x)=sin(x-a),求a的所有可能取值，使得y=fx、y=g(x)、y =N是一组-33有序和谐函数： 4 (3)已知y=1、y=e(、y=(x)是一组“1有序和谐函数”，且0<o(x)<1恒成立，证明：y=h(x)存在零 点 (注：①在R上每一处都存在导数的函数必连续：②当p(x)、q(x)都可导时[p(q(x)]'=p(q(x)·d(x). 数学试题第4页共4页 参考答案 1.C 【解析】A={x2≥1}={xx≥0}，B={x-1<x<1},AUB={xx>-1} 2.C 【保：=高产-，0=21 3.C 【解析】对A,因为AB=高+22，BC=-3记1+2，不存在实数1使得AB=BC,故A、B、C三点不共线， 故A错误： 对B,因为AB=d1+2E2,DA=31-6C2,不存在实数1使得AB=1DA,故A、B、D三点不共线，故B错 误： 对C,因为AC-店+BC=-2+4,D-3记-6配，则4-子D,故A、C、D三点共线，故C正 确： 对D,因为BC=-3d1+22,BD=-DA-AB=DA=-31+6-di-2=-41+4,不存在实数1使 得BC=BD,故B、C、D三点不共线，故D错误. 4.D 【解析】因为Sn是等差数列{a}的前n项和，所以S1=11a6=66,得a6=6, 因为4,45，成等比数列，所以=a4, 设等差数列{a}的首项为a,公差为d,则/a=a十5d=6 (a+4d}=(a+3d)(a+6d)' 因为d≠0，解得，4=-4，d=2,所以=41十6d=8. 5.A 【解析】如图，设截面圆的圆心为C,截面圆的半径CD=1,底面圆半径OB=3,PC=2, “CD 由于0B1CD,所以%-品→高-？→P0-6, 所以PB=WPO+OB2=√36+9=3√5，PD=√5 所以原圆台的侧面积为π(3×3√5-1×√5)=85π 6.A 【解析1x∈[石，，则-≤x-牙≤号。 函数x)=cos(x-牙）-a在区间[-名，刘上有且仅有两个零点， 则y=cosx与y=a在[钙，号]上有两个交点， 则3≤a<1,且cos(-25)=cs(-牙)=a, 数学答案1页共8页 不妨设x<则x-∈[-号，0，-2(0，号]， sin(x-)--1-o,sin(x3-)-V1- c0s(x-)-3a=cos[(-牙）-(-2】-3a =cos(x-)cos(。-2)+simx-买)》imx牙）-3a =d+d-1-3a=22-3a-1, 当a=子时：=2d-3a-1有最小值-号 则cos(x-)-3红的最小值为号 7.A 【解析】设P(o,o),则(-，-)，A(-a,0), 血国有0。即=片又答+答1用8-的-兽》】 所以 立6得到所以c的离心率为e91二1}=吗 8.A 【解析】令gx)=f(x),g(x)=fx)+f'(x)≤0， 所以g(x)在(0，十∞)上为常函数或递减， 1°若g(x)在(0，+∞)上为单调递减，所以g(a)>gb), 即Wa>o=00,2>8>0@ ①②两式相乘得： 所以fg>→a>o, _a 2°若g(x)在(0，+∞)上为常函数，且fx)=0,则gd)=g(b)=0, 即4a=ro=0®，是>左>0@， ③@两式相乘得：a=f→fa=fb, a b 综上所述，f(a≥af(b). 9.AB 【解析】fx)=2sim(x+平)cos(x+平)=sin2(x+平)=sim(2x+)=cos2x, ∴fx)mx=1,故A正确： 最小正周期T=牙=元，故B正确， x∈(0，)时，t=2x∈(0，，：y=cost在(0,0单调递减，∴fx)在(0,5)上单调递减，故C错： f牙)=cos受=0，x=干不是函数fx)的对称轴，故D错， 10.AD 【解析】对于A:由x-y-2+3=0有m(x-2)-y+3=0,令x-2=0有-y+3=0, 所以子所以直线过定点2,3，故4正编 数学答案2页共8页 对于B:点（2,3)在圆C内，圆C的圆心为C(4,5),当AB取得最小值时，直线1与过点C(4,5)和(2,3) 的直线垂直， 所以m子} =-1,解得m=-1,故B错误： 对于C:当∠ACB最小时，此时AB最小，当AB最小时，直线1与过点C(4,5)和(2,3)的直线垂直， 则-V2-4-2-5-3=2→hl=4,由余弦完理有0乙4CB=BCCC1B-专故 2 2BC·AC C错误； 对于D:丽C=Co孩，C-≤43=24，即的最大值为24，故D正确 2 2 11.ACD 【解析】A选项，f(x+y)=(x)+fy)+xy-1中，令x=y=0得 f(0)=2f(0)-1,解得f(0)=1, 令x=1,y=-1得f(0)=f1)+f-1)-2, 又f(1)=2,故2+f(-1)-2=1,解得f(-1)=1,A正确： B选项，f(x+y)=f(x)+fy)+y-1中，令y=-x得 f(0)=fx)+f-x)-x2-1,又f0)=1,故f(x)+f(-x)=2+x2, 不妨设f(x)=ax2+bx+c, c=1 又f(0)=1,f1)=2,f-1)=1,故a+b+c=2 a-b+c=1 [c=1 解得a=之，故=合2+号x+1 b=号 经检验，x)=号2+分x+1满足x+)=f)+)+w-1且为连续函数， 则)-方+x+1-x+号+名，放f0)的最小值为3,8结误， C选项，f(x+y)=fx)+fy)+xy-1中，令y=1得f(x+1)=f(x)+f1)+x-1, 故fx+1)-f(x)=f(1)+x-1=x+1, 则fx-1)-fx-2)=x-1,fx-2)-f(x-3)=x-2…,f(1)-f(0)=1, f0)-f-1)=0,f-1)-f-2)=-1,…:f-x+2)-f-x+1)=-x+2, f-x+1)-f(-x)=-x+1, 以上式子累加得f(x-1)-f(-x)=x-1+x-2++1+0+（-1)+（-x+1)=0, 故x∈Z,f(x-1)=f(-x),C正确： D选项，fx+y)=f(x)+fy)+xy-1中，令x=2l,y=-1, 则f(2u-1)=f（2m)+f(-1)-2-1=f2)-2, 则f(2u)-f(21-1)=2u, 其中cos20=2cos20-1,令c0s29=l, 则f(2cos28)=f(2),f(cos28)=f(21-1), 故f(2cos20)-f(cos28)=f(2u)-f(21-1)=2u=2cos29≥0， 即0∈R,f(2cos2)≥f(cos20),D正确， 数学答案3页共8页 12.80 【解析】由题意可得，值班的人数为2人或者3人， 若值班人数为2人，则需要一个人值班首尾两天，另外一人值班中间一天，故CC=20, 若值班人数为3人，则每人值班一天，故A=60, 所以可能的安排方法有20+60=80种. 13.45 【解析】C9+C+C+…+CH=211, .C9+C7+CH+C,+C+C=CH+C,+C+Ci1+C+C1=210, “.m=10,又(W-1)展开式的通项为gH=C(W)10-(-1产=(-1Cox寺， 当5-=1，解得k=8,.万=(-1C0x=45x,即展开式中的含x项的系数为45. 14.23 【解析】由题意可知：从8个数中任取7个数的和共有Cg=8种不同的值， 但是82,83,84,85,86,87,89只有7个数， 可知必有两种7个数的和相等，设这个和为t(82≤t≤89)， 令T=之4，那么，任取7个数的和就等于T-a,i=1,2,,8,这8个取值和的集合为S, S={T-4,T-,…,T-s} 则2(T-4)=87-T=7T=82+83+84+85+86+87+89+1=56+1 因为T为整数，所以596+t是7的倍数，由596=7×85+1可知，1+t是7的倍数， 再因为82≤t≤89，所以t=83.可知T=97. 因此，，4，…，中最大数为：97-82=15，最小数为：97-89=8， 因此，它们的和为23 15.(1)因为asinB+√3 bcosA=0,由正弦定理得sinAsinB+√3 sinBcosA=0, 又因为B∈(0，π)，可得sinB>0,所以siA+√3cosA=0,即tanA=-√3， 因为A∈(0，，所以A=2r 3 (2)因为cosB=今，且Be0,,所以mB=V-csB--4-2y7 7 由1)知：A=牙，且A+B+C=元，所以C=元-(A+B)=号-B, 可得smC=m号-B)=m号cB-6o号m8=9×9-号×2-沿 2 7 7 14 又因为a=2√3，由正弦定理， s4=siC,可得c=asnC- 2W3×Y7 4=2W7 sinA 3 2 16.(①)设正方形边长为a,由已知得BM∥DN,且BM=DN=号， 所以四边形BMDN为平行四边形. DM∥BN, 则DM∥BN,由〈{BNt平面AMD,,所以BN∥平面AMD. DMC平面AMD, (2)设正方形边长为a,则△ACD为边长为a的等边三角形， 数学答案4页共8页 由N为DC中点，得AN⊥CD. 又MN⊥CD,MN∩AN=N,则MN,ANC平面AMN,所以CD⊥平面AN. 由CDC平面BMDC,则平面AMN⊥平面BMDC. 过A作AH⊥MN于H,则AH⊥平面BMDC. 过H作HE⊥BC于E,连接AE,则AE⊥BC, B 从而∠AEH为二面角A一BC一D的平面角， 在△1N中，AM=号，AW=S0,N=a,易知△4N为直角三角形. 2 由Sar=号AMAN-号AH:N,得AH=V经4 4 在矩形BCM中，易得那=号.则△M中，可求得AB=V4 4 在Rt△AHE中，COSLAEH= 3 AF √7a 7 4 所以平面ABC与平面BCD夹角的余弦值为2y7 7 17.(1)由题意得X服从超几何分布，X的取值可能为0,1,2,3,4， 则=-g-1=a-)-S-0-是 Cto 210 PX=2)=- 号x婴去川xg器 1 Cio 210 Cio C品 则随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 ∂ 1 1 14 21 7 35 210 则E(0=0×☆+1×景+2×号+3x务+4×品0=号 (2)固定一次交换后的结果，设交换后A盒、B盒中的次品数分别为d和d, 交换产品不会改变两盒中次品的总数，所以d4+d=9 设从A盒、B盒中各取2件产品时，所取次品数分别为Ya和Ya,则Y=Y4十Ya, 在上述固定的交换结果下，从含有d4件次品的10件产品中随机取2件， 所取次品数的期望为-2×是：同理，()-2×需、 因此，无论交换后两盒中的次品如何分配， 都有)=2×器+2×器=品d+d=号.放)=号. (3)按题意，一轮是某人从开始抽取到抽到正品为止：抽到正品后，本轮结束并换另一人开始下一轮. 由于甲先开始，所以前10轮中甲进行第1,3,5,7,9轮，乙进行第2,4,6,8,10轮，即甲、乙各进行5轮. 数学答案5页共8页 甲从A盒抽取时，拍到次品的概率为香，抽到正品的概率为哥 设甲一轮的期望得分为E4 若甲第一次抽到正品，本轮得分为0：若第一次抽到次品，甲先得1分， 再继续进行与开始时相同的有放回抽取过程，后续期望得分仍为E4: 因此品，=×0+品1+8小，解得，号 同理，乙从B盒抽取时，抽到次品和正品的概率均为} 设乙一轮的期望得分为，则。=号×0+号1+B),解得B=1. 所以前10轮结束后，甲、乙得分期望值的差为5×瓜4-5×=5×（号-1）=-？ 18.(1)检验可知，点A,,A3不可能同时在椭圆上 若桃圆经过4：4，则a=3此时43， )不在椭圆上， 层+-1 a2=9 所以C经过点A1,A,代入C的方程可得 是+” 1 解得 1b2=8 所以C的方程为号+营=1 (2)(i)设直线1的方程为x=y+,1交C于M(x1,),N(x2,), (x=ty+m 联立可得{ 化简可得(8t2+9)y2+16ty+82-72=0, (9+8=1 由△=(16t)2-4(8+9)(82-72)=288(82-2+9)>0可得8P-m2+9>0, 限据韦达定理可得h+19:⅓=8二1乃 -16u 8t+9 . y12 直线dM,4N的斜率之积为k地k十35十3广十m十3十十3 1 y1+t(m+3)(h+)+(m+3月 82-72 8(-3) f(82-72)-16ttm+3)+(8P+9)(m+39(m+3)’ 因为直线BB,经过右焦点B(1,0),所以-。=91+3 8(1-3) =-4 9 因为直线BnB+1经过左焦点R(-1,O),所以kk+1= 8(-1-3)=16 9(-1+3) 9 前以会：禁然=4是定值，故数列优}是公比为4的等比数列 数学答案6页共8页 2 (ⅱ)依题意得直线A1Pm-1的方程为x=tm-1y-3, 所以乃-1的纵坐标-1= 48t2-1 83n-1+9’ 48t2m+1 因为6+1=寻1，所以1_ 83m+1+9 。48t2n+185m-1+9_1,8m-1+9 y2m-1 48t2n-1 85+1+948t2-1 Γ26，m-1+18 83-1十9 因为f0-提单调递省，6=（号产4≤≤2行： 3 所以长H=.8脱+9<1.8号+9 526-1+182g+18 S v2n-1 因为<号2-2万=2万<3，所以8<是 19.(1)因为f(x)=1,g(x)=e*,所以f'(x)=0,g(x)=e. 若y=f(x),y=g(x),y=h(x)是一组“0有序和谐函数”，则f(x)g(x)+g(x)h'(x)+h(x)f(x)=0 代入得1·ex+e(x)+h(x)·0=0,即e(1+(x)=0. 因为e>0,所以(x)=-1 因此可取h(x)=一x. (2)由题意，f'(x)=cosx,g'(x)=cos(x+a),(x)=cos(x-a. 根据“A有序和谐函数”的定义，得 f(x)g'(x)+g(x)h'(x)+h(x)f'(x)=sinxcos(x+a)+sin(x+a)cos(x-a)+sin(x-a)cosx 由积化和差公式，得n(x+a=号[sin(2x+a)一sina，个sin6x+@)cos(x--a)=号[sin2x+sin2a, simn(x-@)cosx-[sin(2x-a)-sina]. 三式相加，得sinxcos(x+a)+sin(x十a)cos(x-a)+sin(x-a)cosx= [sin(2x+a)+sin2x+sin(2x-@)+sin2a-2sin@). 因为n(2x+a)+如(2x-a=2sim2.所以原式等于sim2x(cosa+)+如2026a 2 若它对一切实数x恒等于常数-平，则含x的项必须为0，所以c0sa十分-0，即cosa=一号 4 因此a=2km+牙或a=2m+,kez -5-253 若a=2k+牙，则s2a,2sma=分 2二33，符合条件) 2 2 数学答案7页共8页 若a=2+机则2a2na号2冷 3√3 2 2 4 ,不符合条件 所以a的所有可能取值为a=2机+否，kc乙 (3)因为y=1,y=e(,y=h(x)是一组“1有序和谐函数”，所以1·(e('+e((x)+h(x)·0=1, 即eg(x)+e(w(x)=l.所以o'(x)+(x)=ep, 令F(x)=o(x)+h(x),则F'(x)=p'(x)+(x)=epw, 由0<o)<1,得6<ew<1,所以F(x)> e 令Gy)=F)-总，则G)=F)-日>0，所以G)在R上单调递增。 若x>0,则G()>G0,即Fx)-。>(0,所以Px>P0)+ 取充分大的正数x2,使得F(0)+>1,则P(x)>1. e 又因为0<p()<1,所以(x)=F(x)-p(x)>0, 若x<0,则G)<G(0),即F)-&<r0, 所以Fx)<FO)+各， 取充分小的负数，使得F0)+。<0,则Px)<0. 又因为o(x)>0,所以h(x1)=F(x1)-p(x)<0. 因为h(x)在R上可导，所以h(x)在R上连续. 又h(x1)<0,h(3)>0,由零点存在定理可知，存在xo∈(x1,x),使得h(x)=0. 故y=h(x)存在零点. 数学答案8页共8页