专题15 带电粒子在有界磁场中的运动 专项训练——2027届高考物理高分突破系列（全国适用）

**基本信息** 以“洛伦兹力提供向心力”为核心，通过“找圆心、定半径、算圆心角”三步法系统解决有界磁场运动问题，融合模型建构与临界多解分析。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例剖析|2个核心典例|三步法（圆心判定/半径计算/圆心角分析）；磁聚焦/磁发散模型|从洛伦兹力公式推导半径公式，通过几何关系建立物理量联系，拓展至临界条件与多解情境| |类题拓展|8道变式题|动态圆法/边界条件分析法/多解成因归类（电性/磁场方向/临界状态）|从单一粒子到多粒子系统，从单一边界到复合边界，构建“模型→变式→应用”的递进逻辑|

专题15带电粒子在有界磁场中的运动 典例剖析1：带电粒子在有界匀强磁场中的运动 如图所示，一大小不可忽略的带负电粒子以一定初速度竖直向上进入垂直于纸面向里的匀强磁场中， 假设整个空间中均匀悬浮着不带电的尘埃颗粒，带电粒子与尘埃颗粒相碰后会粘在一起。不计尘埃的重力， 带电粒子运动过程中电荷量不变。下列粒子的运动轨迹中可能正确的是() X 深度探究 探究1：模型建构 本题中，一共涉及到了几种经典模型？分别是哪些？ 标究2：拓展设门 设问1：带电粒子与尘埃碰撞的过程中，哪些物理量发生了变化？哪些物理量没有变化？ 设问2：如果该带电粒子所带电荷为正电荷，则正确答案应该是哪个？ 试卷第1页，共28页 设问3：带电粒子在与尘埃碰撞过程中，系统动量守恒，但是，系统的机械能守恒吗？ 採究3：类题拓展 1.(情境拓展：单一边界一→双边界场)如图所示，平面直角坐标系第一象限有与坐标平面垂直的匀强 磁场B,x轴y轴为磁场边界。一束速度大小各不相同的电子从x轴上的A点(L,O)不断射入磁场，射入 速度方向与x轴负方向夹角均为0=30°，已知sin37°=0.6，下列说法正确的是() ××××X×BX ××××××× ××××××× ××××××× ××××××× 四××××XX A A.从y轴上不同位置射出磁场的电子，射出时速度方向平行 B.电子能到达x轴区域的长度是能到达y轴区域长度的3 C.第一象限有电子经过区城的面积为7312+8江 3 3 D.若θ=37°，则y轴上有电子射出区域的长度变短 2.(情境拓展：单一边界一一三边界场)如图所示，直角三角形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场， ∠B=30°，甲粒子从C点沿CA方向射入磁场，恰不从AB边射出，乙粒子从C点沿着CB方向射入磁场， 恰好垂直AB边射出，甲、乙粒子带电荷量之比为3：1，则甲、乙粒子的动量大小之比为() + ××× 30 A.1:1 B.3:1 C.1:3 D.31 3.(情境拓展：单一边界一平行边界)如图所示，平行虚线MN、PQ间有宽度为L、磁感应强度为B、 方向垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为、电荷量为+g的粒子沿着纸面与N夹角为=37的方向以速 试卷第2页，共28页 率v垂直射入磁场中，恰能垂直P巴边界射出磁场；改变粒子入射速度方向和大小，使粒子均以的速率 沿纸面不同方向射入磁场，不计粒子的重力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，下列说法正确的是() X A.粒子射入磁场的速率v满足v=4BqL 5m B,粒子以)的速率沿纸面不同方向射入磁场时，粒子在磁场中运动的周期变为原来一半 C.粒子以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，则从PQ边界射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为 53πm 90 Bq D,粒子以号的速率沿纸面不同方向射入磁场，则从PQ边界射出范围的长度为P 4. (对象拓展：单一粒子一一多个粒子)如图所示，矩形虚线框MPQ内有一匀强磁场，磁感应强度方 向垂直纸面向里。α、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的 方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计，下列说法正确的是() A.粒子a带负电 B.粒子b的动能最大 C.粒子c在磁场中运动的时间最短 D.粒子c在磁场中运动时受到的向心力最大 典例剖析2：带电粒子在匀强磁场中的临界与多解问题 平面直角坐标系xOy的第一、第四象限充满匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B,方向相反，坐 试卷第3页，共28页 标原点处有一粒子源，该粒子源可向与x辅夹角为0<0≤受区域各方向发射速率范国在v,≤v≤2，的带正 电粒子，粒子质量均为、电荷量均为q,如图所示。粒子进入第一象限后，A点为速率最小的粒子首次 进入第四象限通过x轴的最远点，OA:OC=5:8,Vo为已知量，不计粒子重力、粒子间的碰撞及相互作用， 已知sin37°=0.6。 B X X X (1)求A点坐标： (2)求能够到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围： (3)若首次通过A点进入第四象限的粒子和首次通过C点进入第四象限的粒子会在x轴上相遇，以粒子同时 离开A、C为计时起点(t=0时刻)，求粒子第一次在x轴上相遇的位置及时刻。 深度探究 操究1：题型点拨 1、作为带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题，本题形成多解结果的原因是什么？ 2、本题求解过程中可以采用什么形象的手段可以帮助题目的分析？ 探究2：拓展设门 设问1：根据题意，速率最小的粒子首次进入第四象限通过x轴的位置是否存在与0点距离最近的点？ 设问2：根据题意，所有粒子首次进入第四象限之前在第一象限中运动的时间t,是否存在最大值？ 设问3：根据题意，同一个粒子在不同象限中运动时，其速度的大小是否发生变化？ 操究3：类题拓展 1.(多选)（原因拓展：粒子电性不确定）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B,方向垂直纸面向里， N是它的下边界。现有质量为、电荷量为q的带电粒子与N成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中 试卷第4页，共28页 运动的时间可能为() ×××××××××××× ××××××××××D×× B ×××××××××××× ×××××××××××× ×××××0的×× M O 少 A. πm 2πm B. 3qB 3qB C. 4πm 5πm 3gB D. 3gB 2.(多选)（原因拓展：磁场方向不确定）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负 离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。己知 0、A两点间的距离为5，负离子的比荷为9，速率为，0P与00间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁 m 感应强度B的大小和方向可能是() -P 130 A.B=mv 垂直纸面向里 垂直纸面向里 2qs B.B=V2mv qs C.B=2mv 垂直纸面向外 D.B=4mv ,垂直纸面向外 qs qs 3.(模型拓展：动态圆模型)如图所示，在y>0空间存在垂直Oy平面向里的匀强磁场。带电粒子质量 为m,带电荷量绝对值为q,从O点以速度v飞入磁场，速度方向与y轴正方向夹角0=30°。粒子恰能经过 Pa,a点。不计粒子重力。下列说法正确的是() a B A.粒子带负电 试卷第5页，共28页 B.磁感应强度大小为3+1m心 qa C.粒子从O到P的时间等于 5/3-1ma 6v D.若只改变粒子入射方向，则粒子一定不能经过P点 4.(多选)（情境拓展：临界状态不唯一）如图所示，在x○y平面内存在着磁感应强度大小均为B的匀强 磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向里，第三象限内的磁场方向垂直纸面向外， P-2L,0Q10,-2L为坐标轴上的两点。现有一质量为m电荷量为e的电子从p点沿PQ方向射出， 不计电子的重力，则下列说法中正确的是() A少 ××××××××× ××××××××× Px××××××× ⊙××xxx ·×××× ···×××× ····⑨×××× A.若电子从P点出发恰好第一次经原点0点，运动时间一定为m 2eB B.若电子从P点出发恰好第一次经原点O点，运动路程可能为πL C.若电子从P点出发恰好第一次经原点O到达Q点，运动路程可能为πL或2πL 3πm D.若电子从P点出发经原点O到达Q点，运动时间可能为 eB 秘法提炼 1.基本思想 带电粒子在有界磁场中的运动问题，本质上就是带电粒子在洛伦兹力作用下的圆周运动。洛伦兹力作 用下的圆周运动，关键是洛伦兹力充当带电粒子做圆周运动的向心力。具体分析的时候，按照一找圆心、 二找半径、三找圆心角的顺序进行。 一找圆心，即要利用左手定则判断带电粒子的偏转方向。此时，要注意带电粒子所带的电性，因为带 正电荷的粒子的受力方向和带负电荷的粒子的受力方向是不一样的，在其他条件都一样的情况下，两者受 试卷第6页，共28页 力方向相反。 二找半径，即要利用几何关系，构建三角形，再利用三角函数，根据已知条件求得几何关系上的半径。 与此同时，几何半径应该与理论上的半径R=w/（Bq)相等。 三找圆心角，即速度偏转角。这个角的目的是为了计算带电粒子在匀强磁场中运动的时间。 2.二级结论 (1)磁聚焦：粒子以相同速度从不同位置射入磁场，最终将会聚到同一点（过该点的磁场圆的切线 与入射方向平行)。 (2)磁发散：粒子源在圆形磁场边界上某位置以大小相同的速度各方向发射粒子，粒子出射后的速 度方向相同（均平行于过发射点的磁场圆的切线)。 专题巩固提升 一、单选题 1.如图所示，与x轴的夹角为60的直线OP将xOy平面的第一象限分成两个区域I、IⅡ。I区域内存在磁感 应强度大小为B、方向垂直坐标平面向里的匀强磁场，I区域为真空。在t=0时刻，一束质量为m、电荷 量为~q的粒子，以不同速率从点(0，α)沿x轴正方向垂直磁场进入I区域。不计粒子间的相互作用力和重 力，则下列说法正确的是() P (0,a)xxB× Ⅱ 660 A.带电粒子在磁场中运动的最长时间为m 3gB B.若粒子恰好垂直PO离开磁场，则其速度为9B@ 2m C.若粒子从x轴离开第一象限，其速度的最小值是29Ba 3m D.若粒子恰好垂直x轴离开第一象限，其在第一象限中运动的时间为 m+3m 2gB qB 试卷第7页，共28页 2.如图，正方形bcd内有方向垂直于纸面、大小可以调节的匀强磁场，一电子在纸面内从顶点a以一定 的速度沿ad方向射入磁场。当磁感应强度的大小分别为B1、B2、B时，电子可分别从ab边的中点e、b 点和c点射出，则B1、B2、B3之比为() A.1:2:3 B.1:2:4 C.3:2:1 D.4:2:1 3.如图所示，在正三角形ABC区域内存在垂直向外的匀强磁场，三角形边长为L,D点为BC边靠近C点 的一个三等分点，现有一电子平行于BA方向射入磁场，粒子在三角形磁场边界仍受到洛伦兹力作用，电 子质量为m,电荷量为e,下列说法正确的是() A.电子离开磁场时的速度偏向角可能为60° B.若电子速度为 BeL 6m ,则粒子在磁场中的飞行时间为4Tm 3Be Q。若电子从AB边飞出，则电子可能飞出的区域长度为2，之 D.电子可能从A点飞出 4.如图甲所示，圆心在x轴上的圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，在O点沿x轴正向发射一颗比荷为k 的带正电粒子，粒子运动过程x、y方向的速度分量随时间变化如图乙、图丙所示，重力不计，则() 试卷第8页，共28页 V3 分 乙 A.磁场方向垂直纸面向外 B.粒子在穿过磁场过程中速度方向改变了60° C.磁感应强度大小为2k 3t2-t1 D,磁感应强度大小为2π 3k(t2-t 5.如图所示，空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，水平直线MN下方、上方的磁感应强度大小分别为 B1、B2,且B1=2B2=2Bo,一带正电的粒子P静止在直线MN下方与MN距离为d的位置。某时刻，粒 子P爆炸分裂为带正电的粒子A和不带电的粒子B,已知粒子A的质量为，电荷量为+q,以大小为 2qBo Vo= 一的速度开始水平向右运动，一段时间后与粒子B相遇。不计粒子重力，磁场区域足够大。则 m () × × ×B,X X X × × M--------不---N ××××1a× ××××业×n× B ××××P×× 3 qBod A.粒子B的质量为m B.粒子B的速度大小为 3πm 3πm C.两粒子相遇前，粒子A运动的时间为4qB。 D.两粒子相遇前，粒子B通过的距离为2.5d 二、解答题 6.如图1所示，长方体OABC-OABC区域的上表面OABC为一正方形，以O点为坐标原点建立图示 试卷第9页，共28页 的空间直角坐标系，yOz平面的左侧存在沿z轴正向的匀强磁场B,yOz平面右侧的长方体区域内存在沿y 轴正方向的匀强磁场B2,且B2随时间的变化规律如图2所示（取沿y轴正向为正），两区域的磁感应强度 V3 大小相等。0时刻从空间坐标(X。=- )L,y三土，Z=0)的M点（图中未标出）发射一比荷为 正粒子，粒子的初速度大小为V0,方向与x轴正方向的夹角8=60°，一段时间后粒子恰沿x轴正向从O点 进入长方体区域，最后恰从B点沿x轴正向射出，不计粒子的重力，求： B B2 B B 1/2πL 5 图1 图2 (1)磁场的磁感应强度的大小。 (②)正方形OABC边长a满足的条件。 3)若正方形OABC的边长a=4L,长方体区域的高度h=16L,当该正粒子经过O点时，立即在长方体区 域内加上沿y轴负向的匀强电场，粒子最后恰从B点射出，求所加匀强电场的电场强度及粒子经过B点时 的速度大小。 7.某离子分析器的原理示意图如图所示，分析器由分布在y轴左侧的偏转区和y轴右侧的检测区组成。在 直线X=-,和y轴之间的偏转区内存在着两个等大反向的有界匀强电场，电场强度大小为E,其中X轴上方 的电场沿y,负方向·箱下方的电场y油正方向，热各点认为E=0:在电场左边界上点A-, 到 点C-l,0区间内存在一线状离子源，离子源各处都能持续发射电量为+g质量为m的相同离子，所有离 子均以相同速度V0沿X轴正方向射入电场。在y轴右侧检测区内分布着垂直于Oy平面向里、范围足够大的 磁场，磁感应强度大小B随位置坐标X均匀变化，且满足B=B,+kx(k为大于零的常数)。在检测区有一 块与y轴平行的足够长的检测板，打到检测板的离子会被板吸收，忽略电磁场间的相互影响，不计离子的 试卷第10页，共28页 重力及它们之间的相互作用，已知E=4m心。求： qlo X=-l ×BX米XX ××米×× ××米×× ××K××x ××米×× A ××米×× 检测板 ××义× 偏转区 检测区 1)从A点发出的离子第一次经过y轴时的坐标： (2)从AC间某些位置发出的离子能沿X轴正方向进入磁场，写出这些位置的y坐标； (3)若检测板可沿X轴平移，要使检测板能收集到沿X轴正方向进入磁场并经磁场偏转后的所有离子，求检 测板位置坐标X的最大值。 8.在高能物理的稳态磁约束聚变研究中，常用环状磁场来约束带电粒子的活动范围，其模型简化图如图 所示，圆心均为O点的内圆半径为R、外圆半径为2R的圆环形区域内有方向垂直纸面向外、磁感应强度 大小为B的匀强磁场，内圆半径上的M点有一粒子源，可沿平行纸面的各个方向发射速度大小不同、质量 均为、电荷量均为+qq>0的同种粒子，M点到圆心的距离为kR0≤k≤1，粒子源发射出的各种速率 的粒子在各个方向都是均匀分布的。不计粒子重力和粒子间的相互作用力。 kR (1)当k=0时，求粒子不从外圆射出去的速度的最大值V1: 2)当k=1时，求速度为39B的粒子中，从外圆射出去的粒子数和被约束在外圆以内的粒子数之比： 4m 3)当k=0.5时，若粒子都不会从外圆射出去，求此时速度的最大值V2:若有部分粒子可从外圆射出，求没 试卷第11页，共28页 有从外圆射出去的粒子中，速度的最大值V3。 试卷第12页，共28页 专题15 带电粒子在有界磁场中的运动 典例剖析1：带电粒子在有界匀强磁场中的运动 如图所示，一大小不可忽略的带负电粒子以一定初速度竖直向上进入垂直于纸面向里的匀强磁场中，假设整个空间中均匀悬浮着不带电的尘埃颗粒，带电粒子与尘埃颗粒相碰后会粘在一起。不计尘埃的重力，带电粒子运动过程中电荷量不变。下列粒子的运动轨迹中可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 带电粒子与尘埃颗粒相碰后会粘在一起，满足动量守恒，故乘积不变，又带电粒子运动过程中电荷量不变，故圆周运动半径不变。由左手定则，带电粒子向右偏转。 故选A。 深度探究 探究1：模型建构 本题中，一共涉及到了几种经典模型？分别是哪些？ 【答案】两种经典模型，分别是匀速圆周运动模型和碰撞模型。 探究2：拓展设问 设问1：带电粒子与尘埃碰撞的过程中，哪些物理量发生了变化？哪些物理量没有变化？ 【答案】带电粒子与尘埃碰撞合二为一之后，相对于原来的粒子，质量增大，速度减小；但动量大小没有变化，电荷量没有变化。 设问2：如果该带电粒子所带电荷为正电荷，则正确答案应该是哪个？ 【答案】C。因为正电荷和负电荷在同一的磁场中受力方向相反，故轨迹圆心位置也相反。 设问3：带电粒子在与尘埃碰撞过程中，系统动量守恒，但是，系统的机械能守恒吗？ 【答案】不守恒，两个物体碰撞之后粘在一起，属于非弹性碰撞，该过程系统机械能有损失。 探究3：类题拓展 1．（情境拓展：单一边界——双边界场）如图所示，平面直角坐标系第一象限有与坐标平面垂直的匀强磁场B，x轴y轴为磁场边界。一束速度大小各不相同的电子从x轴上的点（L，0）不断射入磁场，射入速度方向与x轴负方向夹角均为，已知，下列说法正确的是（     ） A．从轴上不同位置射出磁场的电子，射出时速度方向平行 B．电子能到达轴区域的长度是能到达轴区域长度的 C．第一象限有电子经过区域的面积为 D．若，则轴上有电子射出区域的长度变短 【答案】C 【详解】AB．电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 可得轨迹半径 可知电子的轨迹半径，所有轨迹圆都经过入射点，且在点处切线方向相同。与轴恰好相的轨迹圆如图所示 由几何关系可知，轨迹与轴相切时，圆心到轴的距离等于半径，即 解得 此时圆心的横纵坐标分别为， 圆心坐标为，且轨迹与轴的切点为，与轴的另一个交点为，其横坐标为 则点坐标为，当时，电子能到达的轴区域从到，可得长度 当时，轨迹从轴穿出，当趋向无穷大时，轨迹趋近于入射方向的直线，与轴的交点坐标为 则点坐标为，此时从轴射出的电子与轴的夹角为 因此从轴上射出的电子与轴的夹角在之间，不同位置射出的电子速度方向并不平行。经过的轴区域从到，可得长度 比值为，故AB错误； C．通过电子运动轨迹的分析，可知面积可以由两部分进行计算，首先第一部分：从到，临界圆在第一象限内扫过的面积，临界圆与轴交于和，为等边三角形，边长。临界圆在第一象限内的面积为圆和等边三角形的面积之和 其次第二部分：从到无穷大，新增的扫过区域，该区域面积为四边形的面积减去扇形的面积，其中四边形由两个全等的直角三角形组成，面积为 扇形对应圆心角，占整圆的，扇形面积为 所以 总面积，故C正确； D．当时，轨迹圆的圆心坐标 临界相切条件 解得 轴最高点（切点） 轴最低点（渐近点，趋向无穷大时轨迹趋近于入射直线） 轴区域长度 比较可知 当入射角从增大到时，轴上有电子射出区域的长度变长，故D错误。 故选C。 2．（情境拓展：单一边界——三边界场）如图所示，直角三角形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，，甲粒子从C点沿CA方向射入磁场，恰不从AB边射出，乙粒子从C点沿着CB方向射入磁场，恰好垂直AB边射出，甲、乙粒子带电荷量之比为3：1，则甲、乙粒子的动量大小之比为（　　） A．1:1 B． C．1: D．3:1 【答案】B 【详解】带电粒子在三角形磁场中的运动，作出两粒子的运动轨迹如图所示 设AC的长度为l，由几何知识可得 则 两粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 则 结合 可得 故选B。 3．（情境拓展：单一边界——平行边界）如图所示，平行虚线MN、PQ间有宽度为L、磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为+q的粒子沿着纸面与MN 夹角为θ=37°的方向以速率 v垂直射入磁场中，恰能垂直PQ边界射出磁场；改变粒子入射速度方向和大小，使粒子均以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，不计粒子的重力， 下列说法正确的是（　　） A．粒子射入磁场的速率 v满足 B．粒子以的速率沿纸面不同方向射入磁场时，粒子在磁场中运动的周期变为原来一半 C．粒子以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，则从PQ边界射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为 D．粒子以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，则从 PQ边界射出范围的长度为 【答案】C 【详解】A．速度为的粒子沿着纸面与 夹角为的方向垂直射入磁场时，洛伦兹力提供向心力，在磁场中做圆周运动轨道半径为 洛伦兹力提供向心力有 解得，A错误； B．根据周期公式 洛伦兹力提供向心力 解得周期 从周期表达式可以看出周期只与磁感应强度，粒子质量和粒子电荷量有关，而这些物理量均未发生变化，所以周期不变，B错误； C．从A项中洛伦兹力表达式可以看出速度为时，轨道半径 从B选项中洛伦兹力表达式可以看出速度为时，轨道半径 解得 分析知，当粒子在磁场中的弦长为时，圆心角最小，时间最短，设此时圆心角为 则 因此 所以速度为的粒子在磁场中的最短时间为 解得，C正确； D．当粒子平行于边界向下入射时，在边界射出时有最低点，出射点与入射点竖直方向的距离为 当出射方向与边界相切时，在上有最高点，出射点与入射点竖直方向距离为 所以从边界射出范围为，D错误。 故选C。 4．（对象拓展：单一粒子——多个粒子）如图所示，矩形虚线框MNPQ内有一匀强磁场，磁感应强度方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计，下列说法正确的是（　　） A．粒子a带负电 B．粒子b的动能最大 C．粒子c在磁场中运动的时间最短 D．粒子c在磁场中运动时受到的向心力最大 【答案】B 【详解】A．根据左手定则，磁场方向垂直纸面向里，粒子初速度向上。粒子向左偏转，说明其受到的洛伦兹力向左，可知粒子带正电，故A错误； B．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由可得轨道半径。由于三个粒子的质量和电荷量大小相等，所在磁场相同，由图可知，粒子的轨迹半径最大，则粒子的速度最大，根据动能公式可知，粒子的动能最大，故B正确； C．根据粒子在磁场中运动的周期，可知三个粒子运动周期相同。粒子在磁场中运动时间，其中为轨迹对应的圆心角。由图可知，粒子完成了半个圆周运动，其余两粒子、均未完成半个圆周就射出边界，因此粒子在磁场中运动的时间最长，故C错误； D．粒子在磁场中运动时受到的向心力即为洛伦兹力，由对B选项的分析可知，粒子的轨迹半径最小，说明其速度最小，因此粒子在磁场中运动时受到的向心力最小，故D错误。 故选B。 典例剖析2：带电粒子在匀强磁场中的临界与多解问题 平面直角坐标系xOy的第一、第四象限充满匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B，方向相反，坐标原点处有一粒子源，该粒子源可向与x轴夹角为区域各方向发射速率范围在的带正电粒子，粒子质量均为m、电荷量均为q，如图所示。粒子进入第一象限后，A点为速率最小的粒子首次进入第四象限通过x轴的最远点，，为已知量，不计粒子重力、粒子间的碰撞及相互作用，已知。 (1)求A点坐标； (2)求能够到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围； (3)若首次通过A点进入第四象限的粒子和首次通过C点进入第四象限的粒子会在x轴上相遇，以粒子同时离开A、C为计时起点（时刻），求粒子第一次在x轴上相遇的位置及时刻。 【答案】(1)（，0） (2) (3)，， 【详解】（1）粒子以最小速度进入第四象限的最远点在x轴上的截距为直径，由于，A点的横坐标为，则C点的横坐标为 故A点的坐标为（，0） （2）设粒子进入第一象限时与y轴正方向的夹角为、速度大小为时通过A点，如图所示，需满足 由此可知，通过A点的粒子的竖直分速度为 由于通过A点的粒子的速度满足 与y轴正方向的夹角满足 故到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围是 （3）设粒子进入第一象限时与y轴正方向的夹角为、速度大小为时通过C点，同理可得 可得 因此通过点的粒子的速度满足 与轴正方向的夹角满足，故 两粒子相遇，必有（其中、取，，） 即 由于是第一次相遇，则取最小的自然数，取， 因此粒子第一次在轴上相遇的位置： 由于粒子在两磁场中的运动具有周期性，且粒子做圆周运动的周期均为，因此从、两点出发运动时间最短的粒子最快到达相遇点。 由分析知，粒子相遇时的时间 其中， 代入，可得到，到达第一次相遇位置的粒子，满足 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 由此可知，当时相遇的时间最短，即，的粒子最先相遇； 因此，粒子第一次在轴上相遇的时刻为 即相遇时刻 深度探究 探究1：题型点拨 1、作为带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题，本题形成多解结果的原因是什么？ 【答案】带电粒子的速度大小不确定和速度方向不确定都是本题形成多解结果的原因。 2、本题求解过程中可以采用什么形象的手段可以帮助题目的分析？ 【答案】作图法，即画出轨迹圆。 探究2：拓展设问 设问1：根据题意，速率最小的粒子首次进入第四象限通过x轴的位置是否存在与O点距离最近的点？ 【答案】不存在，根据题意可知，与O点距离最近的点，就是O点本身，此时粒子的速度方向为x轴正方向，粒子射出之后，立刻进入第四象限。 设问2：根据题意，所有粒子首次进入第四象限之前在第一象限中运动的时间t，是否存在最大值？ 【答案】有。根据题意可知，所有粒子在第一象限磁场中运动时的周期是一样的，而在其中运动的最长时间正好是半个周期。 设问3：根据题意，同一个粒子在不同象限中运动时，其速度的大小是否发生变化？ 【答案】不变，因为洛伦兹力不做功，不会改变粒子的速度大小。 探究3：类题拓展 1．（多选）（原因拓展：粒子电性不确定）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　）    A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况    带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得 根据线速度和周期的关系，可得 联立解得 由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2＝60°，则对应时间分别为 故选AD。 2．（多选）（原因拓展：磁场方向不确定）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（     ） A．，垂直纸面向里 B．，垂直纸面向里 C．，垂直纸面向外 D．，垂直纸面向外 【答案】BD 【详解】AB．取负离子电荷量的绝对值为，设轨道半径为，由洛伦兹力提供向心力得 解得 磁场垂直纸面向里时，负离子所受洛伦兹力初始向右，圆心在点右侧，故 该方向下的临界轨迹如图所示。 圆心到直线的距离不小于，由几何关系得 解得，A项对应的轨道半径为，B项对应的轨道半径为 前者大于，后者小于，故A错误，B正确。 CD．取负离子电荷量的绝对值为，设轨道半径为，由洛伦兹力提供向心力得 解得 磁场垂直纸面向外时，负离子所受洛伦兹力初始向左，圆心在点左侧。要使圆轨道不越过直线，圆心应在，之间，故 该方向下的临界轨迹如图所示。 圆心到直线的距离不小于，由几何关系得 解得，C项对应的轨道半径为，D项对应的轨道半径为 前者大于，后者小于，故C错误，D正确。 故选BD。 3．（模型拓展：动态圆模型）如图所示，在空间存在垂直平面向里的匀强磁场。带电粒子质量为，带电荷量绝对值为，从点以速度飞入磁场，速度方向与轴正方向夹角。粒子恰能经过点。不计粒子重力。下列说法正确的是（     ） A．粒子带负电 B．磁感应强度大小为 C．粒子从到的时间等于 D．若只改变粒子入射方向，则粒子一定不能经过点 【答案】AC 【详解】A．由左手定则可判断粒子带负电，故A正确； B．粒子运动轨迹圆的圆心位于过点与速度垂直的直线上，也在、连线的中垂线上，所以圆心为两线的交点，如图1所示。 设轨迹圆半径为，由几何关系有圆心到轴的距离 可得 又因洛伦兹力充当粒子做圆周运动的向心力，有 可得 故B错误； C．粒子从到，轨迹圆弧对应的圆心角，粒子做圆周运动的周期 则粒子从到运动的时间 故C正确； D．只改变粒子入射方向，粒子仍经过点时，轨迹圆的圆心仍在、连线的中垂线上，且到的距离为，为图2中点。 由对称性可知，粒子入射速度方向与轴正方向夹角为，故D错误。 故选AC。 4．（多选）（情境拓展：临界状态不唯一）如图所示，在平面内存在着磁感应强度大小均为的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向里，第三象限内的磁场方向垂直纸面向外，，为坐标轴上的两点。现有一质量为、电荷量为的电子从点沿方向射出，不计电子的重力，则下列说法中正确的是（     ） A．若电子从点出发恰好第一次经原点点，运动时间一定为 B．若电子从点出发恰好第一次经原点点，运动路程可能为 C．若电子从点出发恰好第一次经原点到达点，运动路程可能为或 D．若电子从点出发经原点到达点，运动时间可能为 【答案】C 【详解】A．电子从点出发恰好第一次经原点点，有两类情况，一类是第奇数次回到轴经过原点，另一类是第偶数次回到轴经过原点。其中第一次和第二次回到轴的轨迹如图，运动时间 又 解得 当时，运动时间为；当时，运动时间为，故A错误； B．由轨迹图结合几何关系可知，轨迹圆的半径为。 可得运动路程为，故B错误； D．若电子从点出发第一次经原点到达点，轨迹也为两类，如图。由轨迹图结合几何关系，可得运动时间为或 解得或，故D错误； C．若电子从点出发恰好第一次经原点到达点，运动路程为或 解得或，故C正确。 故选C。 秘法提炼 1.基本思想 带电粒子在有界磁场中的运动问题，本质上就是带电粒子在洛伦兹力作用下的圆周运动。洛伦兹力作用下的圆周运动，关键是洛伦兹力充当带电粒子做圆周运动的向心力。具体分析的时候，按照一找圆心、二找半径、三找圆心角的顺序进行。 一找圆心，即要利用左手定则判断带电粒子的偏转方向。此时，要注意带电粒子所带的电性，因为带正电荷的粒子的受力方向和带负电荷的粒子的受力方向是不一样的，在其他条件都一样的情况下，两者受力方向相反。 二找半径，即要利用几何关系，构建三角形，再利用三角函数，根据已知条件求得几何关系上的半径。与此同时，几何半径应该与理论上的半径R=mv/（Bq）相等。 三找圆心角，即速度偏转角。这个角的目的是为了计算带电粒子在匀强磁场中运动的时间。 2.二级结论 （1）磁聚焦：粒子以相同速度从不同位置射入磁场，最终将会聚到同一点（过该点的磁场圆的切线与入射方向平行）。 （2）磁发散：粒子源在圆形磁场边界上某位置以大小相同的速度各方向发射粒子，粒子出射后的速度方向相同（均平行于过发射点的磁场圆的切线）。 专题巩固提升 一、单选题 1．如图所示，与轴的夹角为的直线将平面的第一象限分成两个区域、。区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直坐标平面向里的匀强磁场，区域为真空。在时刻，一束质量为、电荷量为的粒子，以不同速率从点（0，a）沿轴正方向垂直磁场进入区域。不计粒子间的相互作用力和重力，则下列说法正确的是（　　） A．带电粒子在磁场中运动的最长时间为 B．若粒子恰好垂直离开磁场，则其速度为 C．若粒子从轴离开第一象限，其速度的最小值是 D．若粒子恰好垂直轴离开第一象限，其在第一象限中运动的时间为 【答案】D 【详解】A．当粒子由y轴离开磁场时，时间最长为半个周期即，A错误； B．若粒子垂直于PO离开磁场，其半径为，由 得，B错误； C．若粒子轨迹恰与PO相切时，轨迹半径为，有 则，故最小速度为，C错误； D．粒子垂直轴离开磁场，半径为，有 在磁场中转过角，则运动时间 匀速运动时间 故在第一象限内运动时间为，D正确。 故选D。 2．如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面、大小可以调节的匀强磁场，一电子在纸面内从顶点a以一定的速度沿ad方向射入磁场。当磁感应强度的大小分别为时，电子可分别从ab边的中点e、b点和c点射出，则之比为（　　） A．1∶2∶3 B．1∶2∶4 C．3∶2∶1 D．4∶2∶1 【答案】D 【详解】电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得半径公式 由此可知，在、、一定的情况下，磁感应强度与轨道半径成反比，即 设正方形边长为，当磁感应强度为时， 解得 当磁感应强度为时， 解得 当磁感应强度为时，设半径为，由几何关系 解得 综上所述，半径之比为 所以磁感应强度之比为 故选D。 3．如图所示，在正三角形ABC区域内存在垂直向外的匀强磁场，三角形边长为L，D点为BC边靠近C点的一个三等分点，现有一电子平行于BA方向射入磁场，粒子在三角形磁场边界仍受到洛伦兹力作用，电子质量为m，电荷量为e，下列说法正确的是（　　） A．电子离开磁场时的速度偏向角可能为60° B．若电子速度为，则粒子在磁场中的飞行时间为 C．若电子从AB边飞出，则电子可能飞出的区域长度为 D．电子可能从A点飞出 【答案】B 【详解】A．电子平行于BA方向入射，当电子轨迹与AC边相切时，根据几何关系可知，此时速度的偏向角恰好为，所以当电子从AC边射出时的速度偏角都小于；由分析可知，当电子从AB边或BC边射出时，其速度偏向角都大于，所以电子离开磁场时的速度偏向角不可能为60°，故A错误； C．当电子的运动轨迹恰好与AB边相切时，运动轨迹如图所示： 根据几何关系可知， 解得此时电子做匀速圆周运动的半径为 由分析可知，当电子的运动轨迹恰好与AC边相切时，其圆周运动的圆心恰好为E点，运动轨迹如上图所示，根据几何关系可知，此时电子做匀速圆周运动的半径为 所以若电子从AB边飞出，则电子可能飞出的区域长度为，故C错误； B．若电子速度为，根据洛伦兹力提供向心力有 解得此时电子做匀速圆周运动的半径为 所以电子将从BC边飞出。由几何关系可知，当电子从BC边飞出时转过的圆心角为，电子在磁场中运动的周期为 所以粒子在磁场中的飞行时间为，故B正确； D．由C选项分析可知，电子不可能从A点飞出，故D错误。 故选B。 4．如图甲所示，圆心在x轴上的圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，在O点沿x轴正向发射一颗比荷为的带正电粒子，粒子运动过程x、y方向的速度分量随时间变化如图乙、图丙所示，重力不计，则（     ） A．磁场方向垂直纸面向外 B．粒子在穿过磁场过程中速度方向改变了60° C．磁感应强度大小为 D．磁感应强度大小为 【答案】D 【详解】A．根据图像可知，正电粒子进入磁场后轴正方向的速度分量增大，可知进入磁场时正电粒子受到的洛伦兹力向上，由左手定则可知磁场方向垂直于纸面向里，故A错误； B．由图像可知，正电粒子出磁场时，、方向的速度分量分别为， 设此时速度方向与轴夹角为，如图所示 则有 可知 故粒子在穿过磁场的过程中，速度方向改变了，故B错误； CD．设粒子的轨迹圆半径为，根据圆周运动 则有 解得 根据洛伦兹力提供圆周运动所需的向心力，有 可知 联立解得，故C错误、D正确。 故选D。 5．如图所示，空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，水平直线下方、上方的磁感应强度大小分别为、，且，一带正电的粒子P静止在直线下方与距离为d的位置。某时刻，粒子P爆炸分裂为带正电的粒子A和不带电的粒子B，已知粒子A的质量为m，电荷量为，以大小为的速度开始水平向右运动，一段时间后与粒子B相遇。不计粒子重力，磁场区域足够大。则（　　） A．粒子B的质量为 B．粒子B的速度大小为 C．两粒子相遇前，粒子A运动的时间为 D．两粒子相遇前，粒子B通过的距离为 【答案】B 【详解】ABC．粒子A获得水平向右的速度，在磁场中做匀速圆周运动，根据 可得 根据 可得 粒子B获得水平向左的速度，在水平方向做匀速直线运动，若粒子A、B相遇，则两者的运动轨迹如图所示。 相遇前粒子A运动的总时间为 根据速度公式， 根据动量守恒， 得到，故AC错误、B正确； D．根据图可得，相遇前粒子B通过的距离为，故D错误。 故选 B。 二、解答题 6．如图1所示，长方体区域的上表面OABC为一正方形，以O点为坐标原点建立图示的空间直角坐标系，yOz平面的左侧存在沿z轴正向的匀强磁场，yOz平面右侧的长方体区域内存在沿y轴正方向的匀强磁场，且随时间的变化规律如图2所示（取沿y轴正向为正），两区域的磁感应强度大小相等。0时刻从空间坐标（，，）的M点（图中未标出）发射一比荷为k的正粒子，粒子的初速度大小为，方向与x轴正方向的夹角，一段时间后粒子恰沿x轴正向从O点进入长方体区域，最后恰从B点沿x轴正向射出，不计粒子的重力，求： (1)磁场的磁感应强度的大小。 (2)正方形OABC边长a满足的条件。 (3)若正方形OABC的边长，长方体区域的高度，当该正粒子经过O点时，立即在长方体区域内加上沿y轴负向的匀强电场，粒子最后恰从点射出，求所加匀强电场的电场强度及粒子经过点时的速度大小。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）带电粒子从M点运动至O点的径迹如图甲所示，则由几何关系 由洛伦兹力提供向心力 解得， （2）带电粒子在磁场中的运动周期 粒子0时刻发出后经过进入磁场，此后每经过，方向改变一次，因而带电粒子在正方形OABC区域内的运动情况如图乙所示 则有（n=1，2，3…） （3）设带电粒子从O点运动至B'点经历的时间为，在xOz平面内有 y轴负方向上有 联立解得 经过点时y轴负向的速度 其速度大小 解得 7．某离子分析器的原理示意图如图所示，分析器由分布在轴左侧的偏转区和轴右侧的检测区组成。在直线和轴之间的偏转区内存在着两个等大反向的有界匀强电场，电场强度大小为，其中轴上方的电场沿轴负方向，轴下方的电场沿轴正方向，轴各点认为。在电场左边界上点到点区间内存在一线状离子源，离子源各处都能持续发射电量为、质量为的相同离子，所有离子均以相同速度沿轴正方向射入电场。在轴右侧检测区内分布着垂直于平面向里、范围足够大的磁场，磁感应强度大小随位置坐标均匀变化，且满足（为大于零的常数）。在检测区有一块与轴平行的足够长的检测板，打到检测板的离子会被板吸收，忽略电磁场间的相互影响，不计离子的重力及它们之间的相互作用，已知。求： (1)从点发出的离子第一次经过轴时的坐标； (2)从间某些位置发出的离子能沿轴正方向进入磁场，写出这些位置的坐标； (3)若检测板可沿轴平移，要使检测板能收集到沿轴正方向进入磁场并经磁场偏转后的所有离子，求检测板位置坐标的最大值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）离子从A点发出到第一次经过x轴的过程。在y轴方向，有 根据牛顿第二定律，有 x轴方向 解得 由对称性可知，从A点发出的离子第一次经过y轴时的坐标为 （2）沿x轴正方向进入磁场时可能的运动轨迹如图所示 离子需满足的条件为 设到C点距离为y处射出的粒子通过电场后也沿x轴正方向射出，粒子第一次到达x轴用时，水平位移为，则 竖直方向 解得 即满足要求的AC间离子y坐标为 （3）若要检测板能收集到沿x轴正方向进入磁场的所有离子，离子到达检测板的速度满足vx=0，vy=v0时，x取最大值；如图所示 对离子受力，在y轴方向应用动量定理 即 所以 又B=B0+kx 可得 解得 8．在高能物理的稳态磁约束聚变研究中，常用环状磁场来约束带电粒子的活动范围，其模型简化图如图所示，圆心均为O点的内圆半径为R、外圆半径为2R的圆环形区域内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，内圆半径上的M点有一粒子源，可沿平行纸面的各个方向发射速度大小不同、质量均为m、电荷量均为的同种粒子，M点到圆心的距离为，粒子源发射出的各种速率的粒子在各个方向都是均匀分布的。不计粒子重力和粒子间的相互作用力。 (1)当时，求粒子不从外圆射出去的速度的最大值； (2)当时，求速度为的粒子中，从外圆射出去的粒子数和被约束在外圆以内的粒子数之比； (3)当时，若粒子都不会从外圆射出去，求此时速度的最大值；若有部分粒子可从外圆射出，求没有从外圆射出去的粒子中，速度的最大值。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）由牛顿第二定律有 解得 当时，从圆心O点沿半径方向向外发射粒子如图所示。 由几何关系有 解得运动半径 故 （2）当时，速度为的粒子，运动半径，入射点在内圆上，向纸面内各个方向均匀发射，如图所示。 当入射方向与环的半径夹角为时，那么进入磁场再进入内圆再进入磁场时的夹角都为，也就是不会从外圆出去。由几何关系可知，在图中OM线上方范围入射的粒子都会从外圆射出去，在OM线下方范围入射的粒子都不会从外圆射出去。所以当时，速度为的粒子中，从外圆射出去的粒子数和被约束在外圆以内的粒子数之比为。 （3）当时，由几何关系，下图中粒子源发出速度大小相同的粒子，从A点竖直向上进入磁场，角最大，最有可能从外圆射出去，即如果它都没有出去，则这个速度大小的粒子从其他方向发射也不会从外圆射出去，此时角为。 由余弦定理有 解得 所以 同理，由几何关系可知，图丙中粒子源发出的粒子，从B点向下进入磁场，角最大，最有可能射不出外圆，若它刚好射不出，此时角为，有 所以 速度大小为的粒子中，只有沿MB方向射出的恰好不会从外圆射出去，其他方向发射的都会从外圆射出去；速度大小比小的粒子沿各个方向发射都不会从外圆射出去，速度大小介于到之间的粒子要看发射方向，一部分会从外圆射出去，一部分不会从外圆射出去。 试卷第26页，共28页 试卷第25页，共28页 学科网（北京）股份有限公司 $