第3章 圆 易错精练卷-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 针对苏科版九年级上册圆单元复习，聚焦易错点，融合古典园林月洞门、管道横截面等文化与实际情境，梯度设计提升几何直观、推理能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|垂径定理（题1）、圆周角（题4）、圆锥展开（题5）|月洞门情境（题7）考查弧长计算，强化文化传承| |填空题|6|内接外切正方形面积比（题11）、点与圆位置（题12）|坐标与圆结合（题15）提升空间观念| |解答题|5|切线证明（题19）、内切圆半径（题20）、动态定值（题21）|无刻度直尺作图（题18）培养几何直观，综合题（题21）发展推理能力|

第3章圆易错精练卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材） 一、单选题 1．在中，，弦，则圆心O到的距离为（     ） A． B． C． D． 2．如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 4．如图，是的外接圆，连接，．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是（     ）度 A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（） A．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离 B．平分直径的弦会垂直于这条直径 C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．相等的角是对顶角 7．月洞门是古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能（如图1），图2是其在正方形网格中的平面示意图，每一个小正方形的边长都是，点是圆心，，是网格线交点且均在上，整个图形是轴对称图形．若，则优弧的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，与以为直径的相切于点，连接交于点，点在上，连接，，若，则与的位置关系为（     ） A．平行 B．垂直 C．相交且不垂直 D．无法确定 9．如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 10．下列命题中原命题和逆命题都正确的个数是（    ） ①圆内接四边形对角互补； ②三角形的内心到三边的距离相等； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； ④线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等； ⑤角平分线上的点到角两边的距离相等 A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题 11．一个圆的内接正方形和外切正方形面积的比为______． 12．已知的直径为8，若点到点的距离为6，则点在___________．（填“内”“外”或“上”） 13．如图，在半径为的中，，弦于点，则等于_________． 14．如图，是的弦，若的半径是，弦是圆内接正多边形的一边．则该正多边形的面积是___________． 15．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，过点P 分别向两坐标轴作垂线段，，垂足分别为点A，B，则线段的最小值为_______． 16．如图，四边形内接于，为的直径．若．则___． 三、解答题 17．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 18．仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）． (1)如图1，矩形的顶点都在圆O上，请找出圆心O． (2)如图2，以平行四边形边为直径的与边相交，请找出圆心O． 19．如图，直线经过上的点C，并且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 20．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 21．如图，在中，，点是外接圆上的一点，且，连接． (1)若，求的度数； (2)如图，过点作，求证：是的切线； (3)点是上一动点（不与重合），连接，是否存在常数，使等式成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第3章圆易错精练卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D B A A A A C 1．A 【分析】根据题意画出图形，过点O作于点D，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示，过点O作于点D， 弦， ， ， 即圆心O到的距离为． 2．C 【分析】根据垂径定理得出，由，知是等边三角形，，从而得出，再由勾股定理计算得出即可． 【详解】解： ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ． 3．A 【分析】根据斜边上的中线得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴扇形的面积为． 4．D 【分析】由圆周角定理得到的度数，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 5．B 【分析】利用圆锥的性质：侧面展开图为扇形，扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长，列方程求解即可． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角为 ， ∵圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，圆锥底面半径 ，母线长 ， ∴圆锥底面周长 ，扇形弧长公式为，据此列方程得 ， 解得 ， ∴圆心角为． 6．A 【详解】解：A、点到直线距离的定义为：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离，A说法正确． B、若平分直径的弦不一定垂直于该直径，B说法错误． C、只有同一平面内垂直于同一条直线的两条直线才互相平行，选项未说明该前提，C说法错误． D、相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角相等，但不属于对顶角，D说法错误． 7．A 【分析】先证明为等边三角形，得出，进而得出优弧所对圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】由图可得， ，∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴优弧所对圆心角为， ∴优弧的长为． 故选：A． 8．A 【分析】本题解题关键是连接，根据同弧所对圆周角是圆心角，得进而得到两段弧长相等，根据垂径定理判断出，最后再根据切线性质得出. 【详解】如图，连接，则． 为的直径， 与以为直径的相切于点 ． 9．A 【分析】由正六边形的性质得出正六边形可以分成面积相等的6个等边三边形，过点O作，则，根据勾股定理求出，求出，进而可得出正六边形的面积，最后根据正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：正六边形如下图： ，又， ∴是等边三角形， 同理可知：正六边形可以分成面积相等的6个等边三角形， 过点O作， 则， ∴， ∴， 正六边形的面积为：， 六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：， 所以阴影部分的面积为：． 10．C 【详解】解：①原命题：圆内接四边形对角互补，正确．逆命题：对角互补的四边形是圆内接四边形，正确； ②原命题：三角形的内心到三边的距离相等，正确．逆命题：到三角形三边距离相等的点是三角形的内心，当该点在三角形内部时是三角形的内心，当该点在三角形的外部时不是三角形的内心，故逆命题错误； ③原命题：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，正确．逆命题：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，正确； ④原命题：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，正确．逆命题：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，正确； ⑤原命题：角平分线上的点到角两边的距离相等，正确．逆命题：到角两边距离相等的点在角的平分线上，当该点在角内部时在角的平分线上，当该点在角外部时不在角的平分线上，故逆命题错误； 综上，原命题和逆命题都正确的有①③④，共3个． 11． 【分析】设出圆的半径，根据圆与内接正方形、外切正方形的位置关系，得到两个正方形边长与圆半径的关系，计算两个正方形的面积后求出面积比. 【详解】设该圆的半径为， 对于圆的外切正方形，其边长等于圆的直径，因此边长为， 可得外切正方形面积. 对于圆的内接正方形，其对角线长等于圆的直径，因此对角线长为， 设内接正方形的边长为，根据勾股定理可得， 整理得，即，因此内接正方形面积. 因此内接正方形与外切正方形的面积比为. 12．外 【详解】解：的直径为， ，. 点到圆心的距离为， ， ， 点在外． 13．5 【分析】根据垂径定理可知的长度，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，, 由垂径定理可知：， ∵, 由勾股定理可得：． 14． 【分析】连接，，过点A作于点D，由圆周角定理得，即可求得的长和正多边形的边数，即可求得面积． 【详解】解：如图，连接，，过点A作于点D， ∵， ∴， ∵， ∴为正八边形的边， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴正八边形的面积． 15．3 【分析】连接，，过点M作轴于点C，则四边形是矩形，得，则当最小时，最小，可知当O、P、M共线时最小，即最小，此时设点P为点，求出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点M作轴于点C， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点P是上的任意一点， ∴当O、P、M共线时最小，即最小， 此时设点P为点， ∵，轴， ∴，， ∴， ∴， 即最小为3． 16．/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形内角和定理，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由圆周角定理可得，，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∵为的直径， ∴， ∴． 故答案为：． 17． 【分析】根据垂径定理，可知是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ． ， 是等腰直角三角形， 在中，． 这个管道横截面的半径为． 18．(1)如图所示，点O即为所求： (2)如图所示，点O即为所求： 方法一 方法二 【分析】（1）根据圆周角所对的弦是直径得到矩形的对角线都是直径，连接对角线交点即为圆心； （2）直线与分别交圆于点、，连接与交点即为圆心；由为直径可得，根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，最后根据圆周角所对的弦是直径得到是直径，直径与交点即为圆心． 【详解】（1）略 （2）略 19．(1)证明：连接， ∵直线经过上的点C，， ∴， 又∵为的半径， ∴直线是的切线． (2) 【分析】（1）连接，三线合一得到，即可得出结论； （2）用直角三角形的面积减去扇形的面积即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴阴影部分的面积. 20．(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 21．(1) (2) 连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； (3)存在， 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据圆周角定理求出，然后可得答案； （2）连接，证明是等腰直角三角形，可得，再根据已知条件得出即可； （3）作于D，交的延长线于E，证明四边形是正方形，可得，再证，利用全等三角形的性质，通过等量代换可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴是的直径，， ∵， ∴ ∴； （2）略 （3）存在；作于D，交的延长线于E， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，，等腰直角三角形中， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论，切线的判定，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确作出合适的辅助线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $