第四单元 比和比例（知识梳理+典型例题+综合训练）六年级数学上册典例专项精讲（苏教版 新教材）

该小学数学第四单元“比和比例”复习讲义通过知识框架系统梳理核心内容，涵盖比的意义、性质、与分数除法的联系、化简比技巧，按比分配问题，以及比例的意义、性质和解比例方法，并用对比表格呈现比与分数、除法的关联，步骤化归纳化简比和按比分配的解题思路，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于分考点设计典型例题，如“比的应用”中结合行程问题和花田种植数量关系，引导学生用份数法或分数法解决问题，培养运算能力和推理意识，综合训练融入电商销售、健康手册印刷等生活情境，发展应用意识和模型观念，不同层次例题满足差异化需求，助力教师实施精准教学，支持学生自主复习提升。

第四单元 比和比例 （知识梳理+典型例题+综合训练） 目录 知识梳理 1 一、比的基础核心知识点 2 1、‌比的意义‌。 2 2、‌比的基本性质‌。 2 3、‌比与分数、除法的联系。 2 4、‌化简比技巧‌。 2 二、按比分配问题 3 三、比例核心知识点 3 1、‌比例的意义‌。 3 2、‌比例的基本性质‌。 3 典型例题 3 【考点一】比的意义 3 【考点二】比的基本性质 4 【考点三】求比值和化简比 5 【考点四】比的应用 6 【考点五】比例的意义 8 【考点六】比例的基本性质 9 【考点七】比例的应用 10 【考点八】比与分数、除法的关系 11 【考点九】解比例 12 综合训练 13 一、比的基础核心知识点 1、‌比的意义‌。 两个数相除又叫做两个数的比，比号记作“∶”，比的前项除以后项的商叫做比值，比的后项不能为0。 2、‌比的基本性质‌。 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，这是化简比的核心依据。 3、‌比与分数、除法的联系。 比的前项对应分子、被除数，比号对应分数线、除号，后项对应分母、除数，比值对应分数值、商；三者本质区别是比表示倍比关系，除法是运算，分数是独立的数。 4、‌化简比技巧‌。 整数比除以最大公因数，小数比先转化为整数比再化简，分数比乘分母的最小公倍数消去分母，最终结果要得到前后项互质的最简整数比。 二、按比分配问题 ‌按比分配‌：已知总数量和部分量的比，可通过份数法（先求总份数，再求每份数量，最后求各部分量）或分数法（先求各部分占总量的分率，再用总量乘对应分率）求解。 三、比例核心知识点 1、‌比例的意义‌。 表示两个比相等的式子叫做比例，组成比例的四个数是比例的项，两端的两项是外项，中间的两项是内项。 2、‌比例的基本性质‌。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这是解比例的核心依据。 ‌解比例方法‌：已知比例中的任意三项，利用外项积等于内项积列出方程，即可求出未知项。 【考点一】比的意义 【典型例题1】如图，甲、乙、丙三个图形的面积比是（    ）。 A．3∶5∶2 B．4∶5∶1 C．4∶10∶1 D．5∶5∶2 【典型例题2】为保护滇池流域生态，西山区某湿地种植乔木和灌木共480棵，乔木与灌木数量比是5∶3，灌木棵数是乔木棵数的（ ），灌木比乔木少（ ）棵。 【典型例题3】六（1）班男生人数是女生人数的，男生人数占全班人数的（ ）。 【典型例题4】有甲、乙两袋面粉，如果从甲袋中倒出给乙袋，两袋面粉就一样重。原来甲乙两袋面粉的重量比是（ ）。 【考点二】比的基本性质 【典型例题1】如果把8∶3的后项加上12，要使比值不变，那么它的前项应该（    ）。 A．加上12 B．加上32 C．乘4 D．乘6 【典型例题2】在一个旅行团中，成年男性和成年女性的人数比为2∶3，成年女性和儿童的人数比为8∶1，旅行团中成人（男性和女性）与儿童的人数比是（    ）。 A．5∶1 B．12∶1 C．13∶1 D．40∶3 【典型例题3】如果把4∶7的前项加上8，要使比值不变，后项应（    ）。 A．加上8 B．减去3 C．乘3 D．除以3 【典型例题4】为了提高学生上课的积极性，老师采取奖励措施，表现好的学生会获得小红花。如果甲学生、乙学生拥有小红花的比是，乙学生、丙学生拥有小红花的比是，那么甲学生、丙学生拥有小红花的比是（    ）。 A． B． C． 【考点三】求比值和化简比 【典型例题1】计算下面各题。 4.2时∶90分（化简比）        （求比值） 【典型例题2】化简下面各比并求比值。                             0.125∶0.8            48∶28 【典型例题3】把下面各比化成最简单的整数比。          【典型例题4】先化简，再求比值。                                                          54∶15 【考点四】比的应用 【典型例题1】A、B两地相距380千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，经过4小时相遇。已知甲车和乙车速度比是11∶8，乙车每小时比甲车每小时少行驶多少千米？ 【典型例题2】为丰富校内阅读书目，学校分给六年级一批课外读物，第一天分出总数的，第二天分出35本，已经分出的本数和剩余的本数比是3∶7，这批课外书一共有多少本？ 【典型例题3】渭南开展创建文明城市宣传活动，“西岳”“乐天”“光华”三个社区同时向群众发放传单。“西岳”社区发放传单120份，占总数的；“乐天”“光华”两个社区发放传单份数比是3∶2。“乐天”“光华”两个社区各发放传单多少份？ 【典型例题4】暑期旅游高峰即将来临，某景区为提升游客量，特推出花田网红打卡地。花田网红打卡地种植的康乃馨和小雏菊的数量比是2∶3，小雏菊和向日葵的数量比是5∶4，已知这块花田网红打卡地这三种花总数为185株，那么向日葵有几株？ 【考点五】比例的意义 【典型例题1】下面每组中的两个比可以组成比例的是（    ）。 A．10∶24和30∶8 B．和 C．和 【典型例题2】能和0.3∶0.6组成比例的是（    ）。 A．3∶60 B．2∶1 C．8∶16 D．1∶0.18 【典型例题3】一个长方形被两条直线分成了四个部分（如图），三个小长方形的面积分别是，，。阴影部分的面积是（ ），四个部分的面积组成的比例是（ ）。 【典型例题4】下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 ①0.8∶0.4和3.2∶1.6 ②和10∶ 6 ③和 ④48∶16和 【考点六】比例的基本性质 【典型例题1】甲数的等于乙数的（甲、乙两数均不为0）甲、乙两数的比是（    ）。 A．3∶4 B．4∶3 C．16∶15 D．15∶16 【典型例题2】在一个比例中，两个外项的积是6，其中一个内项是最小的质数，另一个内项是（    ）。 A．2 B．3 C．4 D．5 【典型例题3】一个比例中，两个内项的积是最小的合数，其中一个外项是，另一个外项是（ ）。 【典型例题4】在一个比例中，两个外项的积是33，其中一个内项是两个外项积的，则另一个内项是（ ）。 【考点七】比例的应用 【典型例题1】学校合唱社团一共有56人，男生人数的和女生人数的相等。合唱社团男、女生各多少人？ 【典型例题2】阳光小学体育功能室原有足球和篮球的数量比为4∶7。“体育节”开展前，学校新购进足球和篮球各55个，这时足球和篮球的数量比为5∶6。原来足球和篮球各有多少个？（用比例知识解答） 【典型例题3】甲、乙两箱梨，甲箱梨的等于乙箱梨的，甲箱梨比乙箱梨多24千克，原来甲、乙两箱梨各有多少千克？ 【典型例题4】学校体操队队员在110～120人之间，已知男队员人数的与女队员人数的相等。学校体操队中男、女队员各有多少人？ 【考点八】比与分数、除法的关系 【典型例题1】（    ）÷15＝3∶（    ）＝0.6＝。 【典型例题2】。 【典型例题3】（ ）÷（ ）（ ）＝（ ）（填小数）。 【典型例题4】（填小数）。 【考点九】解比例 【典型例题1】求未知数。 4＋0.7＝102       ∶10＝∶ 【典型例题2】解方程。                       【典型例题3】求未知数x。 1.3＋0.08x＝2.9         ＋x＝           ∶＝∶x 【典型例题4】求未知数。                   一、选择题 1．下列说法正确的是（    ）。 A．两根铁丝的长度都是2米，第一根剪去米，第二根剪去，两根铁丝剩下的长度一样。 B．自然数可以分为奇数和偶数，也可以分为质数和合数。 C．从0～9这10张数字卡片中，任意抽取一张，抽到比5大的数字的可能性比抽到比5小的数字的可能性大。 D．从甲地到乙地，张欢需要10小时，李轩需要12小时，张欢和李轩的速度比是6∶5。 2．豆豆用纯果汁和水配制了4种不同浓度的饮料，分别存入4个瓶子。请根据4个瓶子上的标签数据分析一下，下面说法不正确的是（    ）。 A．④的浓度最高 B．②浓度最低 C．①和③的口味相同 D．如果在②中加入40g果汁，口味和④相同 3．煮米饭时，米和水的比为时米饭有点稀，米和水的比为时米饭有点干，如果想煮软硬适中的米饭，米和水的比可以是（    ）。 A． B． C． D． 4．一个分数，分子与分母的和是28，分子与分母的比是1∶3，这个分数是（    ）。 A．真分数 B．假分数 C．带分数 D．最简分数 5．一个三角形的三个内角度数之比是1∶3∶5，它是一个（    ）三角形。 A．直角 B．锐角 C．钝角 D．不能确定 6．下面各比中，能和组成比例的是（    ）。 A． B． C． D． 7．下面（    ）组中的两个比不能组成比例。 A．和 B．和 C．和 8．在比例里，两个内项的积是最小的合数，其中一个外项是0.5，另一个外项是（    ）。 A．2 B．4 C．8 D．0.5 二、填空题 9．如果（a、b≠0），则a与b的最简整数比是（ ）。 10．如图，梯形中甲、乙、丙三个三角形的面积比是（ ），如果梯形的面积是18平方厘米，那么图中甲的面积是（ ）平方厘米。 11．两款同容积桶装老醋，甲桶醋酸和水的比为1∶9，乙桶醋酸和水的比为2∶11。两桶醋中，（ ）桶老醋更酸一些。 12．把一根长96cm的铁丝围成一个长方体框架（接头处不计），在它的表面贴上彩纸，已知长、宽、高的比是5∶4∶3，这个长方体的体积是（ ）cm3。 13．每年农历五月初五是我国传统节日端午节。彤彤家包了甜粽、豆沙粽和八宝粽一共90个，甜粽、豆沙粽和八宝粽的数量比是。彤彤家包了（ ）个甜粽，（ ）个豆沙粽，（ ）个八宝粽。 14．在一个比例中，两个比的比值都是，这个比例的两个外项分别是8和20，这个比例是（ ）或（ ）。 15．软木画是我国民间传统美术，是国家级非物质文化遗产之一。有一幅长方形软木画作品，它的长的正好等于宽的，已知该作品的长比宽长11m，那么这幅作品宽（ ）m。 16．在读书节来临之际，老师们为同学们购买了9本科技书和6本故事书，两种书的总价一样，科技书与故事书的单价比是（ ）。 三、计算题 17．求比值。 45∶30＝        ＝        0.7∶2.8＝        ＝       12∶1.2＝ 18．解方程或比例。          四、解答题 19．某校兴趣社团设立了书法社、少儿编程社和舞蹈社，其中书法社有75名学生，书法社和少儿编程社学生人数的比是5∶6，舞蹈社的学生人数占兴趣社团学生总人数的。该校兴趣社团一共有多少名学生？ 20．在“电商赋能振乡村”活动中，某主播帮助农户线上销售20吨土豆，第一次售出总量的，第二次售出的数量与第一次售出的数量比是3∶4。还剩多少吨没售完？ 21．皇泽寺景区文创店新进的一批“唐风女皇”冰箱贴深受游客喜爱，今天卖出冰箱贴的个数与剩下冰箱贴的个数比是，如果再卖出15个，就卖出这批冰箱贴的了，这批冰箱贴一共有多少个？ 22．健康是人生的基石，贯穿生活的每一个细节。某工厂要印刷一批日常健康知识手册。第一天印刷了全部的，第二天比第一天少印刷了280本，这时已印刷与未印刷的手册本数比是5∶3。该工厂要印刷的这批日常健康知识手册有多少本？ 23．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每时行60千米，乙车每时行45千米。当甲车行驶了全程的时，两车还相距150千米。则A、B两地相距多少千米？ 24．“木落雁南度”描述了北雁南飞的自然景象。大雁迁徙飞行情况如下表所示。 根据表中的数据写出三个不同的比例。 时间/天 1 2 3 4 … 路程/km 350 700 1050 1400 … 25．根据3∶9＝6∶18，回答下面的问题。 （1）如果第二项加上9，第一项和第三项不变，那么第四项加上多少后式子仍然能组成比例？ （2）如果把外项18减去6，第一项和第三项不变，那么内项9减去多少后比例仍然成立？ 26．同学们在解决这样一个问题：有两个非零自然数a和b，已知求a与b的最简整数比。 下面是两位同学的做法： 阳阳：用假设法，假设，算出a＝4，b＝5，再求出a与b的最简整数比。（    ） 佳佳：用比例的基本性质，把a和看作比例的外项，b和看作比例的内项，根据写出，再化简。（    ） （1）分析上面两位同学的想法，你认为谁说的有道理？请在括号里打“√”。 （2）在这个问题中，a与b的最简整数比是（ ）。 （3）用你喜欢的方法解决问题：两个非零自然数m和n，并且m的等于n的，求m与n的最简整数比。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 比和比例 （知识梳理+典型例题+综合训练） 目录 知识梳理 1 一、比的基础核心知识点 2 1、‌比的意义‌。 2 2、‌比的基本性质‌。 2 3、‌比与分数、除法的联系。 2 4、‌化简比技巧‌。 2 二、按比分配问题 3 三、比例核心知识点 3 1、‌比例的意义‌。 3 2、‌比例的基本性质‌。 3 典型例题 3 【考点一】比的意义 3 【考点二】比的基本性质 5 【考点三】求比值和化简比 8 【考点四】比的应用 11 【考点五】比例的意义 14 【考点六】比例的基本性质 17 【考点七】比例的应用 18 【考点八】比与分数、除法的关系 22 【考点九】解比例 24 综合训练 28 一、比的基础核心知识点 1、‌比的意义‌。 两个数相除又叫做两个数的比，比号记作“∶”，比的前项除以后项的商叫做比值，比的后项不能为0。 2、‌比的基本性质‌。 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，这是化简比的核心依据。 3、‌比与分数、除法的联系。 比的前项对应分子、被除数，比号对应分数线、除号，后项对应分母、除数，比值对应分数值、商；三者本质区别是比表示倍比关系，除法是运算，分数是独立的数。 4、‌化简比技巧‌。 整数比除以最大公因数，小数比先转化为整数比再化简，分数比乘分母的最小公倍数消去分母，最终结果要得到前后项互质的最简整数比。 二、按比分配问题 ‌按比分配‌：已知总数量和部分量的比，可通过份数法（先求总份数，再求每份数量，最后求各部分量）或分数法（先求各部分占总量的分率，再用总量乘对应分率）求解。 三、比例核心知识点 1、‌比例的意义‌。 表示两个比相等的式子叫做比例，组成比例的四个数是比例的项，两端的两项是外项，中间的两项是内项。 2、‌比例的基本性质‌。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这是解比例的核心依据。 ‌解比例方法‌：已知比例中的任意三项，利用外项积等于内项积列出方程，即可求出未知项。 【考点一】比的意义 【典型例题1】如图，甲、乙、丙三个图形的面积比是（    ）。 A．3∶5∶2 B．4∶5∶1 C．4∶10∶1 D．5∶5∶2 【答案】B 【分析】三个图形的高相等，依据各自的面积公式：三角形的面积＝底×高÷2；平行四边形的面积＝底×高；梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2；代入数据分别求得面积，进而求出它们的面积比。 【解答】解：设甲、乙、丙三个图形的高都是h， 甲面积：（3＋5＋2）÷2＝10÷2＝5 （3＋5）h÷2＝8h÷2＝4h 乙面积：5×h＝5h 丙面积：2h÷2＝ h 甲∶乙∶丙＝4 h∶5h∶h＝4∶5∶1 故答案为：B 【典型例题2】为保护滇池流域生态，西山区某湿地种植乔木和灌木共480棵，乔木与灌木数量比是5∶3，灌木棵数是乔木棵数的（ ），灌木比乔木少（ ）棵。 【答案】 120 【分析】则灌木棵数是乔木棵数的几分之几等于灌木占的份数除以乔木占的份数；乔木与灌木数量比是5∶3，把乔木和灌木的总棵数480棵看作单位“1”，则乔木占总棵数的，则灌木占总棵数的，根据求一个数的几分之几用乘法，可以分别求出乔木和灌木的棵数，再相减即可。 【解答】灌木棵数是乔木棵数的； （棵） ＝180（棵） （棵） 灌木比乔木少120棵。 【典型例题3】六（1）班男生人数是女生人数的，男生人数占全班人数的（ ）。 【答案】 【分析】已知六（1）班男生人数是女生人数的，即男生人数和女生人数的比为3∶4，我们可以理解为男生人数占3份，女生人数占4份，那么全班人数就占（4＋3）份，男生人数占全班人数的几分之几就用男生人数的份数除以全班人数的份数即可。 【解答】设六（1）班男生人数为3份，则女生人数为4份，全班人数就是4＋3＝7（份），故男生人数占全班人数的。 【典型例题4】有甲、乙两袋面粉，如果从甲袋中倒出给乙袋，两袋面粉就一样重。原来甲乙两袋面粉的重量比是（ ）。 【答案】5∶3 【分析】把甲袋面粉原来的重量看作单位“1”，把单位“1”平均分成5份，从甲袋中倒出1份给乙袋，乙袋增加1份面粉后两袋面粉就一样重，则乙袋面粉原来的重量是（5－1－1）份，最后根据比的意义求出原来甲乙两袋面粉的重量比。 【解答】分析可知，甲袋面粉原来的重量∶乙袋面粉原来的重量＝5∶（5－1－1）＝5∶3，所以原来甲乙两袋面粉的重量比是5∶3。 【考点二】比的基本性质 【典型例题1】如果把8∶3的后项加上12，要使比值不变，那么它的前项应该（    ）。 A．加上12 B．加上32 C．乘4 D．乘6 【答案】B 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。先求出后项加上12后的数值，计算后项扩大到原来的几倍，再根据性质求出前项应变化的数值，最后与选项进行对照。 【解答】 即后项乘5，前项也应乘5前项变为： 前项应该加上： 所以前项应该加上32或乘5。 【典型例题2】在一个旅行团中，成年男性和成年女性的人数比为2∶3，成年女性和儿童的人数比为8∶1，旅行团中成人（男性和女性）与儿童的人数比是（    ）。 A．5∶1 B．12∶1 C．13∶1 D．40∶3 【答案】D 【分析】已知成年男性与成年女性的比、成年女性与儿童的比，其中成年女性是中间量。根据比的基本性质，将两个比中成年女性对应的份数化成相同的数（即求3和8的最小公倍数），从而得到成年男性、成年女性、儿童的连比，再求出成人（男性和女性）的总份数与儿童份数的比。 【解答】成年男性∶成年女性＝2∶3＝（2×8）∶（3×8）＝16∶24 成年女性∶儿童＝8∶1＝（8×3）∶（1×3）＝24∶3 所以，成年男性∶成年女性∶儿童＝16∶24∶3。 把成年男性的人数看作16份，则成年女性的人数看作24份，儿童的人数看作3份，成人（男性和女性）的总份数为：16＋24＝40（份），所以成人与儿童的人数比为：40∶3。 【典型例题3】如果把4∶7的前项加上8，要使比值不变，后项应（    ）。 A．加上8 B．减去3 C．乘3 D．除以3 【答案】C 【分析】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。解题时先计算前项加上8后的数值，确定前项扩大到原来的几倍，再根据比的基本性质推断后项应进行的运算。 【解答】（4＋8）÷4 ＝12÷4 ＝3 即前项乘3，后项也应乘3。 【典型例题4】为了提高学生上课的积极性，老师采取奖励措施，表现好的学生会获得小红花。如果甲学生、乙学生拥有小红花的比是，乙学生、丙学生拥有小红花的比是，那么甲学生、丙学生拥有小红花的比是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变； 要求甲学生与丙学生拥有小红花的比，需要先根据已知条件，将乙学生在两个比中的份数化为相同的数，再找出甲和丙的份数比，据此解答。 【解答】1∶2 ＝（1×3）∶（2×3） ＝3∶6 3∶5 ＝（3×2）∶（5×2） ＝6∶10 甲∶乙∶丙＝3∶6∶10，则甲∶丙＝3∶10。 甲学生、丙学生拥有小红花的比是3∶10。 故答案为：C 【考点三】求比值和化简比 【典型例题1】计算下面各题。 4.2时∶90分（化简比）        （求比值） 【答案】14∶5； 【分析】单位换算：1时＝60分； 化简比：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变； 单位不同时，先统一单位再化简，最终结果是最简整数比（前、后项互质）； 求比值规则：用比的前项÷后项，结果是一个数（整数、小数、分数均可）； 【解答】4.2时∶90分（化简比） ＝（4.2×60）∶90 ＝252∶90 ＝（252÷18）∶（90÷18） ＝14∶5 0.125∶（求比值） ＝ ＝ ＝ ＝ 【典型例题2】化简下面各比并求比值。                             0.125∶0.8            48∶28 【答案】24∶7，；3∶5，；5∶32，；12∶7， 【分析】化简比根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变；求比值用最简比的前项除以后项即可。 【解答】（1）∶ ＝（×30）∶（×30） ＝24∶7 24÷7＝ （2）0.25∶ ＝∶ ＝（×12）∶（×12） ＝3∶5 3÷5＝ （3）0.125∶0.8 ＝（0.125×1000）∶（0.8×1000） ＝125∶800 ＝（125÷25）∶（800÷25） ＝5∶32 5÷32＝ （4）48∶28 ＝（48÷4）∶（28÷4） ＝12∶7 12÷7＝ 【典型例题3】把下面各比化成最简单的整数比。          【答案】7∶1；6∶5；3∶5 【分析】比的前项和后项同时乘以49得出最简单的整数比； 把比的前项和后项同时乘以10后，再继续把比的前项和后项同时除以7，即可得到最简单的整数比； 第三个把0.375化成分数 ，再乘以分母的最小公倍数8，得到最简单的整数比。 【解答】＝（）∶（）＝7∶1 ＝（4.2×10）∶（）＝42∶35＝（42÷7）∶（35÷7）＝6∶5 ＝＝（）∶（）＝3∶5 【典型例题4】先化简，再求比值。                                                          54∶15 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）；/ 【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变，，将比化为最简整数比；再根据“比值＝前项÷后项”，比的前项除以后项的商，是一个数（可以是整数、分数或小数）。 【解答】（1）＝＝800∶1＝800÷1＝800 （2）＝＝15∶36＝＝5∶12＝5÷12＝ （3）＝＝6∶7＝6÷7＝ （4）54∶15＝（54÷3）∶（15÷3）＝18∶5＝18÷5＝＝3.6 【考点四】比的应用 【典型例题1】A、B两地相距380千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，经过4小时相遇。已知甲车和乙车速度比是11∶8，乙车每小时比甲车每小时少行驶多少千米？ 【答案】15 千米 【分析】根据路程＝相遇时间×速度和，用总路程除以相遇时间求出甲、乙两车的速度和。已知两车速度比是，将速度和看作份，用速度和除以总份数求出每一份的速度。乙车每小时比甲车每小时少行驶的千米数，即速度差，对应份数差为份，用每一份的速度乘份数差即可求解。 【解答】 （千米） 答：乙车每小时比甲车每小时少行驶15千米。 【典型例题2】为丰富校内阅读书目，学校分给六年级一批课外读物，第一天分出总数的，第二天分出35本，已经分出的本数和剩余的本数比是3∶7，这批课外书一共有多少本？ 【答案】200本 【分析】将这批课外书的总数看作单位“1”，已知第一天分出总数的，第二天分出35本，已经分出的本数和剩余的本数比是3∶7，即已经分出的本数占总数的，那么第二天分出的35本占总数的（－），单位“1”未知，根据分数除法的意义求出这批课外书的总数。 【解答】35÷（－） ＝35÷（－） ＝35÷（－） ＝35÷ ＝35× ＝200（本） 答：这批课外书一共有200本。 【典型例题3】渭南开展创建文明城市宣传活动，“西岳”“乐天”“光华”三个社区同时向群众发放传单。“西岳”社区发放传单120份，占总数的；“乐天”“光华”两个社区发放传单份数比是3∶2。“乐天”“光华”两个社区各发放传单多少份？ 【答案】“乐天”社区发放 108 份，“光华”社区发放 72 份 【分析】首先用“西岳”社区发放的份数除以其所占总数的分率，求出传单的总份数；然后用总份数减去“西岳”社区发放的份数，求出“乐天”和“光华”两个社区发放的份数；最后根据两个社区发放份数的比，利用按比例分配的方法求出各自发放的份数。 【解答】（份） （份） 比例份数：（份） “乐天”社区发放份数：（份） “光华”社区发放份数：（份） 答：“乐天”社区发放108份，“光华”社区发放72份。 【典型例题4】暑期旅游高峰即将来临，某景区为提升游客量，特推出花田网红打卡地。花田网红打卡地种植的康乃馨和小雏菊的数量比是2∶3，小雏菊和向日葵的数量比是5∶4，已知这块花田网红打卡地这三种花总数为185株，那么向日葵有几株？ 【答案】60株 【分析】把康乃馨和小雏菊的数量比是2∶3的前、后项都乘5，小雏菊和向日葵的数量比是5∶4的前、后项都乘3，即可求出康乃馨、小雏菊、向日葵数量的连比。 算出康乃馨、小雏菊、向日葵份数和，用总株数除以份数和求出每份的株数，再用每份的株数乘向日葵的份数即可求出向日葵的株数。 【解答】2∶3＝（2×5）∶（3×5）＝10∶15 5∶4＝（5×3）∶（4×3）＝15∶12 所以康乃馨、小雏菊、向日葵数量的比是10∶15∶12 185÷（10＋15＋12） ＝185÷（25＋12） ＝185÷37 ＝5（株） 5×12＝60（株） 答：向日葵有60株。 【考点五】比例的意义 【典型例题1】下面每组中的两个比可以组成比例的是（    ）。 A．10∶24和30∶8 B．和 C．和 【答案】C 【分析】根据比例的意义，表示两个比相等的式子叫做比例。判断两个比能否组成比例，关键是看这两个比的比值是否相等。解题思路是分别求出各选项中两个比的比值，若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。 【解答】A ．，，因为，比值不相等，不能组成比例，此选项错误； B．，，因为，比值不相等，不能组成比例，此选项错误； C．，，因为，比值相等，能组成比例，此选项正确。 【典型例题2】能和0.3∶0.6组成比例的是（    ）。 A．3∶60 B．2∶1 C．8∶16 D．1∶0.18 【答案】C 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出原式和各选项中比的比值，比值相等的能组成比例；反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【解答】0.3∶0.6＝0.3÷0.6＝ A．3∶60＝3÷60＝，≠，比值不相等，不能组成比例； B．2∶1＝2÷1＝2，2≠，比值不相等，不能组成比例； C．8∶16＝8÷16＝，＝，比值相等，能组成比例； D．1∶0.18＝1÷0.18＝，≠，比值不相等，不能组成比例。 【典型例题3】一个长方形被两条直线分成了四个部分（如图），三个小长方形的面积分别是，，。阴影部分的面积是（ ），四个部分的面积组成的比例是（ ）。 【答案】120 【分析】由长方形的面积＝长×宽，可知等宽的两个长方形面积的比等于长的比，根据这个等量关系列出方程，可求出阴影部分的面积。再写出四个部分的面积组成的比例即可。 【解答】根据长方形的性质，得40和5所在的长方形的长的比是8：1。 解：设阴影部分的面积是x平方分米，则 x：15＝8：1 阴影部分的面积是120平方分米。 四个部分的面积组成的比例是：。（答案不唯一） 【典型例题4】下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 ①0.8∶0.4和3.2∶1.6 ②和10∶ 6 ③和 ④48∶16和 【答案】①和④可以组成比例； 0.8∶0.4＝3.2∶1.6； 48∶16＝； 【分析】根据“两内项之积等于两外项之积”判定哪组中的两个比可以组成比例。 【解答】①0.8∶0.4和3.2∶1.6中0.8×1.6＝1.28，3.2×0.4＝1.28， 3.2×0.4＝0.8×1.6，即0.8∶0.4和3.2∶1.6可以组成比例。 ②和10∶ 6中，，，即和10∶ 6不可以组成比例。 ③和中，，即，即和不可以组成比例。 ④48∶16和中，，即48∶16和可以组成比例。 即①和④可以组成比例； 0.8∶0.4＝3.2∶1.6； 48∶16＝。 【考点六】比例的基本性质 【典型例题1】甲数的等于乙数的（甲、乙两数均不为0）甲、乙两数的比是（    ）。 A．3∶4 B．4∶3 C．16∶15 D．15∶16 【答案】C 【分析】根据“甲数的等于乙数的”可得出：甲数×＝乙数×，再根据比例的基本性质将其改写成比例式，得出甲数与乙数的比，并化简为最简整数比。 【解答】由甲数×＝乙数×可得： 甲数∶乙数＝∶ ＝（×20）∶（×20） ＝16∶15 【典型例题2】在一个比例中，两个外项的积是6，其中一个内项是最小的质数，另一个内项是（    ）。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】最小的质数是2。在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。已知两个外项的积是，则两个内项的积也是6用6除以2即可。 【解答】最小的质数是 【典型例题3】一个比例中，两个内项的积是最小的合数，其中一个外项是，另一个外项是（ ）。 【答案】 【分析】比例中两个外项的积＝两个内项的积；最小的合数是4;已知两个内项的积是4，因此两个外项的积也等于4;用外项的积除以已知的外项，即可得到另一个外项。 【解答】 【典型例题4】在一个比例中，两个外项的积是33，其中一个内项是两个外项积的，则另一个内项是（ ）。 【答案】3 【分析】由比例的基本性质可知，两个外项的积是33，内项的积也是33。把外项积看作单位“1”，据此求出一个内项；再用两个内项的积除以11可求出另一个内项。 【解答】33×＝11 33÷11＝3 【考点七】比例的应用 【典型例题1】学校合唱社团一共有56人，男生人数的和女生人数的相等。合唱社团男、女生各多少人？ 【答案】男生21人；女生35人 【分析】根据“男生人数的等于女生人数的”可得出：男生人数×＝女生人数×，再根据比例的基本性质将其改写成比例式，并化简比，得出男生与女生的人数比。 将比看作份数，用合唱社团的总人数除以总份数，求出一份数，再用一份数分别乘男生、女生占的份数，求出男生和女生的人数。 【解答】男生人数×＝女生人数× 男生人数∶女生人数＝∶＝（×15）∶（×15）＝3∶5 一份数： 56÷（3＋5） ＝56÷8 ＝7（人） 男生：7×3＝21（人） 女生：7×5＝35（人） 答：合唱社团男生有21人，女生有35人。 【典型例题2】阳光小学体育功能室原有足球和篮球的数量比为4∶7。“体育节”开展前，学校新购进足球和篮球各55个，这时足球和篮球的数量比为5∶6。原来足球和篮球各有多少个？（用比例知识解答） 【答案】足球原来有20个，篮球有35个。 【分析】设原来足球4x个，篮球7x个，根据后来足球、篮球的比，列出比例式：（4x＋55）∶（7x＋55）＝5∶6，据此求出x的值，进而求出原来足球和篮球个数。 【解答】解：设原来足球4x个，篮球7x个。 （4x＋55）∶（7x＋55）＝5∶6 6（4x＋55）＝5（7x＋55） 24x＋330＝35x＋275 35x－24x＝330－275 11x＝55 x＝5 足球：4×5＝20（个） 篮球：7×5＝35（个） 答：足球原来有20个，篮球有35个。 【典型例题3】甲、乙两箱梨，甲箱梨的等于乙箱梨的，甲箱梨比乙箱梨多24千克，原来甲、乙两箱梨各有多少千克？ 【答案】甲箱64千克；乙箱40千克 【分析】根据“甲箱梨的等于乙箱梨的”，求一个数的几分之几是多少，用这个数×几分之几，再利用比例的基本性质，求出甲、乙两箱梨的质量比。再根据甲箱比乙箱多的质量和对应的份数差，求出每份的质量，最后用每份的质量分别乘甲、乙对应的份数，得到两箱梨各自的质量。 【解答】甲×＝乙× 甲∶乙＝∶ ＝（×40）∶（×40） ＝8∶5 每份的质量： 24÷（8－5） ＝24÷3 ＝8（千克） 甲箱质量：8×8＝64（千克） 乙箱质量：8×5＝40（千克） 答：原来甲箱梨有64千克，乙箱梨有40千克。 【典型例题4】学校体操队队员在110～120人之间，已知男队员人数的与女队员人数的相等。学校体操队中男、女队员各有多少人？ 【答案】男队员75人；女队员40人 【分析】根据“男队员人数的与女队员人数的相等”利用比例的基本性质求出男、女队员人数的比，因为人数应该为整数，所以总人数应该为总份数的倍数，并且在110～120之间，由此确定总人数，每份的人数＝总人数÷总份数，最后乘男、女队员的人数各自所占的份数。 【解答】男队员的人数×＝女队员的人数× 男队员的人数∶女队员的人数 ＝∶ ＝（×20）∶（×20） ＝15∶8 总份数：15＋8＝23（份） 23×1＝23（人），因为23＜110，所以不符合题意； 23×2＝46（人），因为46＜110，所以不符合题意； 23×3＝69（人），因为69＜110，所以不符合题意； 23×4＝92（人），因为92＜110，所以不符合题意； 23×5＝115（人），因为110＜115＜120，所以符合题意； 23×6＝138（人），因为138＞120，所以不符合题意。 每份的人数：115÷23＝5（人） 男队员人数：5×15＝75（人） 女队员人数：5×8＝40（人） 答：学校体操队中男队员有75人，女队员有40人。 【考点八】比与分数、除法的关系 【典型例题1】（    ）÷15＝3∶（    ）＝0.6＝。 【答案】9；5；20 【分析】首先把0.6化成分数为；除数15相当于分数的分母，分母由5变成15乘3，分子也要跟着乘3计算出第一空；把分数化成比的形式就可以得到第二空；分数的分子由3变成12乘4，分母也要跟着乘4。 【解答】 【典型例题2】。 【答案】8；20；4；5 【分析】0.8是一位小数，可化为分母是10的分数；16÷（ ）＝0.8，用16÷0.8即可算出，再根据分数的基本性质，将分子和分母同时除以2，分数大小不变，可以写成比的形式，分子相当于比的前项，分母相当于比的后项。 【解答】0.8＝； 16÷0.8＝20，16÷20＝0.8； ＝＝4∶5； 因此，。 【典型例题3】（ ）÷（ ）（ ）＝（ ）（填小数）。 【答案】3 5 25 0.6 【分析】分数与除法的关系：分数的分子相当于被除数，分母相当于除数。据此解答第一、第二空； 分数与比的关系：分数的分子相当于比的前项，分母相当于后项，分数值相当于比值。比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。据此解答第三空； 分数化成小数，用分数的分子除以分母。据此解答第四空。 【解答】3÷5 3∶5＝（3×5）∶（5×5）＝15∶25 3÷5＝0.6 所以3÷5＝15∶25＝0.6 【典型例题4】（填小数）。 【答案】96；12；9；0.375 【分析】根据分数与除法的关系，，再根据商不变的规律，被除数和除数同时乘12，就可以得到。 根据分数的基本性质，分子和分母同时乘4，就可以得到。 根据分数与比的关系，，再根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘3，就可以得到。分数化小数，用分数的分子除以分母。 【解答】 所以，。 【考点九】解比例 【典型例题1】求未知数。 4＋0.7＝102       ∶10＝∶ 【答案】＝140；＝8 【分析】（1）根据等式的性质，方程两边先同时减去4，再同时除以0.7，求出方程的解； （2）先根据比例的基本性质将比例方程改写成＝10×，然后方程两边同时除以，求出方程的解。 【解答】（1）4＋0.7＝102 解：4＋0.7－4＝102－4 0.7＝98 0.7÷0.7＝98÷0.7 ＝140 （2）∶10＝∶ 解：＝10× ＝2 ÷＝2÷ ＝2×4 ＝8 【典型例题2】解方程。                       【答案】；； 【分析】先根据比例的基本性质变形，再根据等式的性质，方程两边同时除以；计算（6×2.4）的积，再根据等式的性质，方程两边先同时减去14.4，再同时除以5；先根据比例的基本性质变形，再根据等式的性质，方程两边同时除以1.2；据此解答。 【解答】 解： 解： 解： 【典型例题3】求未知数x。 1.3＋0.08x＝2.9         ＋x＝           ∶＝∶x 【答案】x＝20；x＝；x＝ 【分析】1.3＋0.08x＝2.9，根据等式的性质1和2，两边同时－1.3，再同时÷0.08即可； ＋x＝，根据等式的性质1和2，两边先同时－，再同时×4即可； ∶＝∶x，根据比例的基本性质，先写成x＝×的形式，两边再同时×3即可。 【解答】1.3＋0.08x＝2.9 解：1.3＋0.08x－1.3＝2.9－1.3 0.08x÷0.08＝1.6÷0.08 x＝20 ＋x＝ 解：＋x－＝－ x×4＝×4 x＝ ∶＝∶x 解：x＝× x×3＝×3 x＝ 【典型例题4】求未知数。                   【答案】；； 【分析】（1）先化简方程的左边，方程两边再同时除以，求解未知数； （2）利用比例的基本性质，先把原式改写成内项积等于外项积的形式，再解方程； （3）方程两边先同时乘，再同时除以0.5，进行求解未知数。 【解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 一、选择题 1．下列说法正确的是（    ）。 A．两根铁丝的长度都是2米，第一根剪去米，第二根剪去，两根铁丝剩下的长度一样。 B．自然数可以分为奇数和偶数，也可以分为质数和合数。 C．从0～9这10张数字卡片中，任意抽取一张，抽到比5大的数字的可能性比抽到比5小的数字的可能性大。 D．从甲地到乙地，张欢需要10小时，李轩需要12小时，张欢和李轩的速度比是6∶5。 【答案】D 【分析】A．第一根铁丝：用铁丝的长度－剪去的长度，求出剩下的长度； 第二根铁丝：把铁丝的长度看作单位“1”，第二根剪去，用铁丝的长度×，求出剪去的长度，进而求出剩下的长度，再进行比较。 B．能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身外，还有其他因数，这样的数叫做合数；据此解答。 C．求出大于5的数字有几个，小于5的数字有几个，再根据可能性大小的特征：数量越大，抽到的可能性越大，反之，数量越少，抽到的可能性越小。 D．设甲地到乙地的路程为单位“1”，根据速度＝路程÷时间，分别求出张欢的速度和李轩的速度，再根据比的意义，用张欢的速度∶李轩的速度，化简即可。 【解答】A．第一根铁丝： 2－＝（米） 第二根：2－2× ＝2－ ＝（米） ≠，所以两根铁丝剩下的长度不相等，说法错误。 B．自然数是从0开始的整数，1既不是质数也不是合数，0也不是质数或合数，因此自然数不能仅分为质数和合数，说法错误。 C．在0～9这10个数字中，比5大的数字有：6、7、8，9，一共有4个。 比5小的数字有：0、1、2、3、4 ，一共有5个。 5＞4，所以抽到比5大的数字的可能性比抽到比5小的数字的可能性小，说法错误。 D．设甲地到乙地的路程为单位“1”。 张欢速度：1÷10＝；李轩速度：1÷12＝ ∶ ＝（×60）∶（×60） ＝6∶5 从甲地到乙地，张欢需要10小时，李轩需要12小时，张欢和李轩的速度比是6∶5，说法正确。 说法正确的是从甲地到乙地，张欢需要10小时，李轩需要12小时，张欢和李轩的速度比是6∶5。 2．豆豆用纯果汁和水配制了4种不同浓度的饮料，分别存入4个瓶子。请根据4个瓶子上的标签数据分析一下，下面说法不正确的是（    ）。 A．④的浓度最高 B．②浓度最低 C．①和③的口味相同 D．如果在②中加入40g果汁，口味和④相同 【答案】B 【分析】根据果汁与水的比值，来判断浓度的高低；口味相同即浓度相同。分别计算四个瓶子中果汁和水的比值，再对比选项的描述是否正确。 【解答】① ② ③ ④ 逐个分析选项： A．0.6＞0.4＞0.2，是四个比值里最大的，因此④浓度最高，说法正确； B．0.6＞0.4＞0.2，是四个比值里最小的，因此①和③浓度最低，说法错误； C．①和③的果汁水比都是，浓度完全相同，因此口味相同，说法正确。 D．在②中加入40g果汁后，果汁变为，水仍为，此时果汁水比为，和④的相等，浓度相同即口味相同，因此这个说法正确。 3．煮米饭时，米和水的比为时米饭有点稀，米和水的比为时米饭有点干，如果想煮软硬适中的米饭，米和水的比可以是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，米和水的比为时米饭偏稀，说明水相对较多；米和水的比为时米饭偏干，说明水相对较少。因此，软硬适中的米饭，其米和水的比值应介于和的比值之间。各比转化为比值（分数），通过比较数值大小来确定符合要求的选项。 【解答】米和水的比为时，比值为：；米和水的比为时，比值为：。因为，且时偏稀（水多），时偏干（水少），所以软硬适中的米水比值应大于且小于。 A．，比值为。因为，，，即，水相对更多，米饭会更稀，此选项错误。 B．，比值为。因为，，，即，水相对更多，米饭会更稀，此选项错误。 C．，比值为。因为，，，即，比值在合适范围内，此选项正确。 D．，比值为。因为，水相对更少，米饭会更干，此选项错误。 因此米和水的比可以是。 4．一个分数，分子与分母的和是28，分子与分母的比是1∶3，这个分数是（    ）。 A．真分数 B．假分数 C．带分数 D．最简分数 【答案】A 【分析】解题思路是先根据分子与分母的和以及它们的比，利用按比例分配的方法求出分子和分母的具体数值，从而写出这个分数。然后根据真分数、假分数、带分数和最简分数的定义，对该分数进行逐一判断，确定符合定义的选项。 【解答】.求总份数： 求分子： 求分母： 这个分数是。 A．分子小于分母的分数叫做真分数。因为，所以是真分数。此选项正确。 B．分子大于或等于分母的分数叫做假分数。因为，所以不是假分数。此选项错误。 C．带分数是由整数和真分数合成的数。不是带分数。此选项错误。 D．分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。和的公因数有和，所以不是最简分数。此选项错误。 这个分数是真分数。 5．一个三角形的三个内角度数之比是1∶3∶5，它是一个（    ）三角形。 A．直角 B．锐角 C．钝角 D．不能确定 【答案】C 【分析】三角形内最大的角是钝角，这个三角形是钝角三角形；三角形内最大的角是锐角，这个三角形是锐角三角形；三角形内最大的角是直角，这个三角形是直角三角形。三角形的内角和是180度。已知一个三角形三个内角度数的比是1∶3∶5，先根据比求出总份数，再表示出最大的角占总份数的几分之几，最后根据求一个数的几分之几是多少，用具体量乘分率，即用三角形的内角和乘最大角所占的分率求出最大角的度数，通过度数判断最大角的类型，再确定三角形的类型。大于0度小于90度的角是锐角，等于90度的角是直角，大于90度小于180度的角是钝角。 【解答】总份数： （份） 最大角的度数：（度） 100度是钝角，所以这个三角形是钝角三角形。 6．下面各比中，能和组成比例的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例的意义，表示两个比相等的式子叫做比例。判断两个比能否组成比例，关键是看它们的比值是否相等。先求出已知比 的比值，再分别求出各选项中比的比值，比值相等的就能组成比例。 【解答】 ＝ ＝ ＝ A． ＝ ＝ ＝ 因为 ，此选项错误； B． ＝4÷6 ＝ ＝ 因为 ，此选项正确； C． ＝6÷4 ＝ ＝ 因为 ，此选项错误； D． ＝1÷2 ＝ 因为 ，此选项错误。 7．下面（    ）组中的两个比不能组成比例。 A．和 B．和 C．和 【答案】C 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此解答。 【解答】A．，，因为，所以和能组成比例，不符合题意； B．，，因为，所以和能组成比例，不符合题意； C．，，因为，所以和不能组成比例，符合题意。 8．在比例里，两个内项的积是最小的合数，其中一个外项是0.5，另一个外项是（    ）。 A．2 B．4 C．8 D．0.5 【答案】C 【分析】解题关键在于明确最小的合数是，从而得知两个内项的积为。再依据比例的基本性质“两个外项的积等于两个内项的积”，利用除法求出另一个外项。 【解答】最小的合数是，所以两个内项的积是。 根据比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 所以两个外项的积也是。 二、填空题 9．如果（a、b≠0），则a与b的最简整数比是（ ）。 【答案】24∶25 【分析】如果（a、b≠0），根据比例的性质，把乘积式转化为比例式，再利用分数比化简。 方法：把比的前项和后项同时乘它们的分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简。 【解答】由，得a∶b＝∶ 5和6的最小公倍数是30，将∶的前项和后项同时乘30，得24∶25。 24∶25不能再进行化简，因此是a与b的最简整数比。 10．如图，梯形中甲、乙、丙三个三角形的面积比是（ ），如果梯形的面积是18平方厘米，那么图中甲的面积是（ ）平方厘米。 【答案】4∶3∶3 7.2 【分析】（1）通过观察所给的图形，可知梯形是由甲、乙、丙3个三角形组成的，所以甲、乙、丙3个三角形的高都是梯形的高，因此3个三角形的高相等，根据三角形的面积公式S＝底×高÷2，由此可知，面积比就是底的比。 （2）已知梯形的面积，甲、乙、丙的面积比（1）中已经求得，把最简比看作各个三角形所占的份数，求得总份数，用梯形的面积除以总份数，计算出每一份是多少，然后再乘甲占的份数，即可求得甲的面积。 【解答】（1）设梯形的高为h，甲、乙、丙三个三角形的面积比是： 4h∶3h∶3h （2）求甲的面积： 18÷（4＋3＋3） ＝18÷10 ＝1.8（平方厘米/份） 1.8×4＝7.2（平方厘米） 11．两款同容积桶装老醋，甲桶醋酸和水的比为1∶9，乙桶醋酸和水的比为2∶11。两桶醋中，（ ）桶老醋更酸一些。 【答案】乙 【分析】要判断哪桶老醋更酸，实质是比较两桶醋中醋酸占总醋量的分率（即浓度）的大小。根据“醋酸和水的比”，分别求出醋酸占总量（醋酸加水）的几分之几，再通过通分比较两个分数的大小，分率大的则更酸。 【解答】1÷（1＋9）＝1÷10＝ 2÷（2＋11）＝2÷13＝ ，所以＞， 即乙桶老醋更酸一些。 12．把一根长96cm的铁丝围成一个长方体框架（接头处不计），在它的表面贴上彩纸，已知长、宽、高的比是5∶4∶3，这个长方体的体积是（ ）cm3。 【答案】480 【分析】铁丝的长度等于长方体棱长总和；棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；长＋宽＋高＝棱长总和÷4，求出长、宽、高的和；长、宽、高的比是5∶4∶3，即把长、宽、高的和分成了5＋4＋3＝12份，用长、宽、高的和÷总份数，求出1份是多少，进而求出长、宽、高；再根据长方体体积＝长×宽×高进行解答。 【解答】96÷4＝24（cm） 5＋4＋3＝12（份） 长：24÷12×5＝10（cm） 宽：24÷12×4＝8（cm） 高：24÷12×3＝6（cm） 体积：10×8×6＝480（cm3） 13．每年农历五月初五是我国传统节日端午节。彤彤家包了甜粽、豆沙粽和八宝粽一共90个，甜粽、豆沙粽和八宝粽的数量比是。彤彤家包了（ ）个甜粽，（ ）个豆沙粽，（ ）个八宝粽。 【答案】30 40 20 【分析】已知甜粽、豆沙粽和八宝粽的总数是90个，且它们的数量比是3∶4∶2，令甜粽的数量是3份，豆沙粽的数量是4份，八宝粽的数量是2份，先求出总份数，再确定每种粽子占总数的几分之几，最后用总数乘对应的分率即可求出每种粽子的具体数量。 【解答】总份数： 3＋4＋2 ＝7＋2 ＝9 3÷9 ＝ ＝ 4÷9＝ 2÷9＝ 甜粽的数量：90×＝30（个）。 豆沙粽的数量：90×＝40（个）。 八宝粽的数量：90×＝20（个）。 14．在一个比例中，两个比的比值都是，这个比例的两个外项分别是8和20，这个比例是（ ）或（ ）。 【答案】8∶10＝16∶20 20∶25＝6.4∶8 【分析】在比例里，两端的两项叫做比例的外项。分两种情况讨论，情况一：外项为8和20；情况二：外项为20和8。 【解答】情况一：第一个比的后项。8÷＝8×＝10 第二个比的前项，20×＝16 所以这个比例是8∶10＝16∶20 情况二：第一个比的后项。20÷＝20×＝25 第二个比的前项，8×＝ 所以这个比例是20∶25＝6.4∶8 15．软木画是我国民间传统美术，是国家级非物质文化遗产之一。有一幅长方形软木画作品，它的长的正好等于宽的，已知该作品的长比宽长11m，那么这幅作品宽（ ）m。 【答案】3 【分析】根据比例的基本性质，把长的等于宽的改写成比例；求出长与宽的份数比，算出长比宽多的份数；用11m除以多的份数算出每份的米数，再乘宽的份数即可。 【解答】因为长×＝宽× 那么长∶宽＝∶ ＝（×21）∶（×21） ＝14∶3 11÷（14－3）×3 ＝11÷11×3 ＝3（m） 16．在读书节来临之际，老师们为同学们购买了9本科技书和6本故事书，两种书的总价一样，科技书与故事书的单价比是（ ）。 【答案】 【分析】，因为两种书总价相等，可以据此建立科技书和故事书单价、数量的等式关系。 根据总价相等的条件列出等式，利用比例的基本性质变形，求出两种书的单价比。 【解答】科技书单价故事书单价 根据比例的基本性质，可推出：。 三、计算题 17．求比值。 45∶30＝        ＝        0.7∶2.8＝        ＝       12∶1.2＝ 【答案】；2；；；10 【分析】根据求比值的方法：用比的前项除以比的后项，即可求出比值。 【解答】（1）45∶30 ＝45÷30 ＝ （2）∶ ＝÷ ＝×10 ＝2 （3）0.7∶2.8 ＝0.7÷2.8 ＝ （4）∶3 ＝÷3 ＝× ＝ （5）12∶1.2 ＝12÷1.2 ＝10 18．解方程或比例。          【答案】 ＝0.7；＝ 【分析】（1）先计算乘法部分，将方程化简为1.2＋2＝2.6。再根据等式的性质1，两边同时减去1.2，最后根据等式的性质2，两边同时除以2求解； （2）据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，写成＝×，再根据等式的性质2，两边同时除以求解； 【详解】根据分析可得： ×1.6＋2＝2.6 解：1.2＋2＝2.6 1.2＋2－1.2＝2.6－1.2 2＝1.4 2÷2＝1.4÷2 ＝0.7 ∶＝∶ 解：＝× ＝ ÷＝÷ ＝×2 ＝ 四、解答题 19．某校兴趣社团设立了书法社、少儿编程社和舞蹈社，其中书法社有75名学生，书法社和少儿编程社学生人数的比是5∶6，舞蹈社的学生人数占兴趣社团学生总人数的。该校兴趣社团一共有多少名学生？ 【答案】225名 【分析】根据书法社的人数和书法社与少儿编程社的人数比，求出少儿编程社的人数，进而求出这两个社团的总人数。其次，把兴趣社团学生总人数看作单位“1”，已知舞蹈社人数占总人数的，则书法社和少儿编程社的人数占总人数的。最后，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”，用除法计算出兴趣社团的总人数。 【解答】（75＋75÷5×6）÷（1－） ＝（75＋90）÷ ＝165÷ ＝165× ＝225（名） 答：该校兴趣社团一共有225名学生。 20．在“电商赋能振乡村”活动中，某主播帮助农户线上销售20吨土豆，第一次售出总量的，第二次售出的数量与第一次售出的数量比是3∶4。还剩多少吨没售完？ 【答案】6吨 【分析】把线上销售土豆的总量看作单位“1”，单位“1”已知，用售出土豆的总量×，求出第一次售出土豆的量；再用第二次售出与第一次售出的数量比是3∶4，即第二次售出的量是第一次的，把第一次售出的土豆看作单位“1”，用第一次售出量×，求出第二次售出土豆的量，再用线上土豆销售总量－第一次售出的量－第二次售出的量即可。 【解答】20×＝8（吨） 8×＝6（吨） 20－8－6＝6（吨） 答：还剩6吨没售完。 21．皇泽寺景区文创店新进的一批“唐风女皇”冰箱贴深受游客喜爱，今天卖出冰箱贴的个数与剩下冰箱贴的个数比是，如果再卖出15个，就卖出这批冰箱贴的了，这批冰箱贴一共有多少个？ 【答案】 315 个 【分析】本题的解题关键是抓住这批冰箱贴的总个数不变，将其看作单位“1”。根据开始卖出的个数与剩下的个数的比是，可求出开始卖出个数占总个数的。再卖出15个后，卖出的个数占总个数的。这15个对应的分率就是前后两次卖出分率的差，即。根据“具体数量÷对应分率＝单位‘1’的量”即可列式求解。 【解答】原来卖出的个数占总个数的： （个） 答：这批冰箱贴一共有315个。 22．健康是人生的基石，贯穿生活的每一个细节。某工厂要印刷一批日常健康知识手册。第一天印刷了全部的，第二天比第一天少印刷了280本，这时已印刷与未印刷的手册本数比是5∶3。该工厂要印刷的这批日常健康知识手册有多少本？ 【答案】1600本 【分析】把手册总本数看作单位“1”，依据已印刷、未印刷数量比求出已印刷总量对应的分率；再用总印刷分率减去第一天分率得到第二天印刷分率；算出第一天、第二天印刷分率差，对应实际数量280本，用量率对应求出单位“1”总量。 【解答】 （本） 答：该工厂要印刷的这批日常健康知识手册有1600本。 23．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每时行60千米，乙车每时行45千米。当甲车行驶了全程的时，两车还相距150千米。则A、B两地相距多少千米？ 【答案】360千米 【分析】把A、B两地的距离看作单位“1”，根据甲、乙两车的速度，求出两车的速度比是4∶3，即乙车的速度是甲的；因为两车是同时出发，当甲车行了全程的时，乙车行了全程的；用单位“1”分别减去甲车和乙车行驶了全程的分率，得到还未行驶的分率；最后用150千米除以未行驶的分率即可求出全程的距离。 【解答】 乙车的速度是甲的 ＝360（千米） 答：A、B两地相距360千米。 24．“木落雁南度”描述了北雁南飞的自然景象。大雁迁徙飞行情况如下表所示。 根据表中的数据写出三个不同的比例。 时间/天 1 2 3 4 … 路程/km 350 700 1050 1400 … 【答案】示例：；；（答案不唯一） 【分析】首先根据速度×时间＝路程，可得速度一定时，路程和时间成正比，然后根据表示两个比相等的式子，叫做比例，根据大雁飞行的速度相等，写出三个不同的比例即可。（本题答案不唯一） 【解答】，，，， 答：三个不同的比例分别是，，。（答案不唯一） 25．根据3∶9＝6∶18，回答下面的问题。 （1）如果第二项加上9，第一项和第三项不变，那么第四项加上多少后式子仍然能组成比例？ （2）如果把外项18减去6，第一项和第三项不变，那么内项9减去多少后比例仍然成立？ 【答案】（1）18 （2）3 【分析】（1）在比例a∶b＝c∶d（b≠0，d≠0）中，根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，即ad＝bc。这是判断四个数能否组成比例的重要依据。根据内项之积等于外项之积，先求出变化后的第四项应该是多少，再用第四项变化后的数减去18即为所求； （2）根据内项之积等于外项之积，先求出变化后的第二项应该是多少，用9减去第二项变化后的数即为所求。 【解答】（1）（9＋9）×6÷3 ＝18×6÷3 ＝108÷3 ＝36 36－18＝18 故第四项加上18后式子仍然能组成比例，3∶18＝6∶36。 （2）（18－6）×3÷6 ＝12×3÷6 ＝36÷6 ＝6 9－6＝3 故内项9减去3后比例仍然成立，3∶6＝6∶12。 26．同学们在解决这样一个问题：有两个非零自然数a和b，已知求a与b的最简整数比。 下面是两位同学的做法： 阳阳：用假设法，假设，算出a＝4，b＝5，再求出a与b的最简整数比。（    ） 佳佳：用比例的基本性质，把a和看作比例的外项，b和看作比例的内项，根据写出，再化简。（    ） （1）分析上面两位同学的想法，你认为谁说的有道理？请在括号里打“√”。 （2）在这个问题中，a与b的最简整数比是（ ）。 （3）用你喜欢的方法解决问题：两个非零自然数m和n，并且m的等于n的，求m与n的最简整数比。 【答案】（1）阳阳：（√）；佳佳：（√） （2） （3） 【分析】（1）阳阳采用假设法，假设等式的结果为1，求出和的具体数值再求比，方法可行；佳佳采用比例的基本性质，直接将乘法等式改写成比例式，方法也可行。因此两位同学说的都有道理。 （2）根据比例的基本性质“在比例里，两个外项的积等于两个内项的积”，由可得，再化简为最简整数比。 （3）首先根据题意列出等式，然后利用比例的基本性质写出与的比，最后化简为最简整数比。 【解答】（1）阳阳的想法：假设＝1，则， 所以，方法正确。 佳佳的想法：根据比例的基本性质，把和看作外项，和看作内项，可得 ，化简后结果一致，方法正确。 （2）因为 所以 ＝ （3）根据题意可得： ＝ ＝ ＝ ＝6∶5 所以与的最简整数比为6∶5。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $