导数中的切线与零点问题专题训练-2027年高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数几何意义与函数零点综合应用，以"设切点-构函数-用导数-数形结合"为主线，系统训练切线方程构建与零点个数判定，发展逻辑推理与直观想象。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线方程与条数问题|8题|设切点求导得切线方程，转化为函数零点个数问题|导数几何意义→切线方程→函数零点| |函数零点与方程根问题|10题|构造函数，利用导数研究单调性极值，数形结合分析交点|函数性质→方程根→参数范围|

导数中的切线与零点问题专题训练（含参考答案） 1．（单选）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．（单选）函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（单选）已知关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（单选）已知函数，若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若曲线的一条切线为，则______. 6．已知函数，过点且与曲线相切的直线只有1条，则实数的取值范围是___ ___ ． 7．已知直线与函数的图象相切，则 ． 8．从点可向曲线引三条不同切线，则的取值范围为______________． 9．若函数有3个零点，则实数的取值范围为__________． 10．若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是__________． 11．若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是_____ ． 12．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围为__________． 13．已知函数，若使得成立，则实数的取值范围是_______． 14．已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______． 15．已知函数，过点可作条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是_______． 16．已知有两个极值点，则实数的取值范围为______． 17．已知函数，若关于的方程有3个实数解，则实数的取值范围为 ． 18．已知函数，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为__________． 参考答案 题号 1 2 3 4 答案 C A C B 1．C 【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义求出切线方程，代入，得到，构造，求导，得到函数单调性，从而得到，结合当时，，当时，，从而得到答案. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导，得， 所以曲线在点处的切线方程为. 由题意可知，点在直线上，可得. 令，则. 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，且当时，，当时，， 又直线与曲线的图象有两个交点， 所以的取值范围为. 故选：C 2．A 【分析】利用导数研究且的单调性和极值，进而画出图象，数形结合知有两个根，只需保证有三个根，即可确定参数范围. 【详解】由，可得或， 令且定义域为，则， 当时，即递减；当时，即递增； 所以，且，在趋向正无穷趋向正无穷， 综上，根据解析式可得图象如下图示： 显然对应两个根，要使原方程有5个根，则有三个根，即有3个交点， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：导数研究且性质并画出图象，结合、的根个数分布确定参数范围. 3．C 【分析】先将方程变形转化为，将方程的实数解的问题转化为函数与，交点个数的问题，再利用函数导数分析函数的极值（最值），结合函数的图象分析即可得. 【详解】由题意知，所以方程变形为：，. 设函数，. 则关于的方程恰有两个互异的实数解的问题转化为直线与函数的图象有两个不同的交点， 由， 当时，由，，此时，所以函数在上单调递减， 当且时，由，，此时，所以函数在和上单调递增. 所以函数在处有极小值，也即函数的最小值. 当时，，，且，.所以且. 当从左侧时，且，.所以函数且. 当从右侧时，且，.所以函数且. 当，，，所以函数， 所以函数大致图象如图所示：    由图可知，与函数的图象有两个不同的交点，得. 故的取值范围是. 故选：C. 4．B 【分析】求导，判断函数单调性及极值，作出函数图象，将方程变形为，结合函数图象，数形结合可得参数范围. 【详解】因为， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 注意到时，，，时，大致图象如下， 方程分解为， 由于，故知有三个解，故须使有一个不同的实数解， 由图象知. 故选：B.    5． 【分析】由是曲线的切线，求导函数利用斜率出参数即可. 【详解】设切点为， 因为，所以， 所以在处的切线斜率为， 则过该点的切线方程为：， 即，又知切线为：， 故得：，. 故答案为:. 6．或 【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出切线方程，再将点代入可得，构造函数，则的图像与直线只有1个交点，利用导数求出函数的单调区间和极值，作出图象，结合图象即可得解. 【详解】设切点为， 由，得， 所以切线的斜率为， 切线方程为， 因为点在切线上，所以， 即， 令，则， 令，得或， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，极大值为， 当时，，当时，， 所以的图象如图所示，    因为过点且与曲线相切的直线只有1条， 所以的图像与直线只有1个交点， 由图象可得或， 即实数的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 7． 【分析】设出与函数的切点坐标，写出在切点处的切线方程，根据该切线方程与是同一条直线，得到关于切点横坐标与的方程组，消元后求解即可. 【详解】，则； 令与函数的切点为， 则在该点处的切线方程为， 整理得：，又因为， 故可得，则，即， 故， 两边取对数，解得，则. 8． 【分析】先设出切点坐标，根据两点坐标写出直线的斜率再根据切点的导数值等于切线的斜率列方程，因为有三条不同切线所以对应方程有三个不同的解，即对应函数有三个零点，通过函数的导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围从而求出的取值范围. 【详解】切点设为，其中 有三个不同的解 即有三个不同的解 设 ，该函数有三个不同零点, ， 令，则或， 令，则或， 令，则， 所以：函数在区间单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在和处取得极值， 要想函数有三个不同零点， 则，即 所以： 故答案为： 9． 【详解】有三个零点有三个解有三个解， 令，， 令，得或， 的单调递增区间有，， 令，得，在上单调递减，故的大致图象为 要想使得有三个解，必有，所以的取值范围是. 10． 【分析】分别求两曲线的切线方程，根据公切线条件列方程组，消元后得到关于的表达式，构造函数求最值，进而确定的取值范围. 【详解】设切点分别为， ，即， ，即， ，则， 设， 在单调递减，在单调递增， ， 又为正实数， . 11． 【分析】本题为导数几何意义与函数零点问题的综合应用，将过点有两条切线的问题，转化为方程有两个不同实数根的问题，通过导数研究函数的单调性与极值，最值确定的取值范围. 【详解】解：由题意得，设切点为，则切线的斜率， 设切线方程为，又点在切线上，所以, 化简得，由题意知过点可以作曲线的两条切线， 即关于的方程有两个不同的实数根， 令，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减，所以在处取极大值， 当时，；当时，， 又因为当时，；当时，， 因此要使有两个不同的实数根，即有两个不同的实数根， 此时实数的取值范围为. 12． 【分析】利用导数分别求函数和的值域，再根据不等式，转化为子集问题，即可列不等式求解. 【详解】，得或， 因为，所以，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， ，，，所以函数在区间的值域是， ，在区间恒成立，所以在区间单调递增， 所以在区间的值域为， 由条件可知函数在区间的值域是在区间的值域的子集， 即是的子集， 即，解得：， 所以实数的取值范围是. 13． 【分析】先求出的最小值将原命题转化为有解的问题，随后运用参变分离法构造新函数并求其极小值，即可得出参数的取值范围. 【详解】由题意得， 则当时，，即在上单调递增， 则；由使得成立， 则在上有解，即在上有解， 令，因为，则， 故在上单调递减，则，即实数的取值范围是． 14． 【分析】根据对，，使得成立，只需求解即可. 【详解】因为， 所以， 当时，，当时，， 所以， 因为开口方向向下， 所以在区间上的最小值的端点处取得， 所以要使对，，使得成立， 只需，即或， 即或， 解得， 所以a的取值范围是， 故答案为： 15． 【分析】设切点为，由导数的几何意义求出切线方程，结合点在切线上，可得，令，利用导数判断函数单调性，作出其图象，将原问题转化为直线与的图象有三个不同的交点，数形结合，即可求得答案. 【详解】依题意可设切点为， 由，可得， 则切线的斜率为， 故切线方程为， 因为点在切线上，故， 即，令，则， 当或时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则的极小值为，极大值为； 且当或时，，当时，， 当x趋向于负无穷时，无限接近于0，当x趋向于正无穷时，趋向于负无穷， 由此可作出图象如图： 由题意可知过点可作条与曲线相切的直线， 即需直线与的图象有三个不同的交点， 结合图象可知需，即实数的取值范围是 故答案为： 16． 【分析】经求导转化可知，函数有两个极值点，等价于函数与的图象有两个交点.，故只需研究函数的图象即可求得参数范围. 【详解】由求导，，由可得：， 因不满足此式，故可得：， 则函数有两个极值点，即函数与的图象有两个交点. 由求导，，则当时，，当时，，当时， 则函数在和上是减函数，在上是增函数，故时，取得极小值. 且当时，，当从0的左边趋近于0时，，当从0的右边趋近于0时，，当时，. 故可作出函数的图象如图.    由图可知：函数与的图象有两个交点等价于. 故答案为：. 17． 【分析】利用导数研究函数的单调性，作出图象，令，，由数形结合即可求解. 【详解】． 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，有极小值． 作出函数的图象如图，    令，则方程，化成， 即，解得或， 显然有1个实数解，应该有2个实数解， ，实数的取值范围为． 故答案为：. 18． 【分析】求导，判断其单调性，作出其大致图象，数形结合，将关于的方程有三个不等的实根转化为有两个不等的实根，且一个根小于0，另一个根在内，结合二次方程根的分布，求得答案. 【详解】由题意得，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则， 又时，，时，， 可知函数的图象如下图所示， 令，，由方程有三个不等的实根， 即有两个不等的实根， 即有两个不等的实根，且一个根小于0，另一个根在内， 令，， 则有两个不等的实根，设为， 则，所以不妨令， 则，，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $