第一章 一元二次方程（复习讲义）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学单元复习讲义通过表格系统梳理一元二次方程知识体系，将定义、解法、判别式、韦达定理及应用按“概念-方法-应用”逻辑串联，用要点归纳突出“降次转化”等思想，清晰呈现重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，如增长率问题结合“数学思维”培养推理能力，面积问题渗透“模型观念”，通过15类题型及难点精练帮助学生掌握方法，支持分层复习，助力教师实施精准教学。

第一章一元二次方程 复习要点 1. 先判断方程是否为一元二次方程并化为一般式，这是所有解题的基础。 2. 根据方程结构优先选择简便解法，公式法作为保底，配方法重在理解其推导过程。 3. 判别式和韦达定理要捆绑使用，含参问题需分类讨论且务必注意二次项系数不为零。 4. 列方程的关键是找准等量关系，解后必须检验并舍去不符合实际意义的根。 5. 复习时始终贯穿“降次”转化、分类讨论和整体代换等数学思想。 6. 重视错题归纳与常见陷阱（如漏条件、符号错误），比盲目刷新题更有效。 复习重难点 重点：熟练掌握配方法、公式法、因式分解法等多种解法以及根的判别式的应用，并能根据方程特征灵活选择最优解法。 难点： 在列一元二次方程解决实际问题时，准确分析题目中的数量关系并建立正确的等量关系。 知识点 一元二次方程的定义 1. 核心概念 方程两边都是___________，只含有___________未知数，并且___________未知数的最高次数是___________，这样的方程叫做一元二次方程。 2. 三个必备要素（缺一不可） 判断一个方程是否为一元二次方程，必须同时满足以下三个条件： (1) ___________：方程的两边都是整式（即分母中不能含有未知数） (2) 只含有一个未知数：即“一元” (3) 未知数的最高次数是2：即“二次”，注意是“___________” 的最高次数 3. 一般形式 经过整理，所有的一元二次方程都可以化为这个形式，称为一元二次方程的___________。 叫做___________， 叫做___________ 叫做___________， 叫做___________ 叫做___________ 要点归纳： ___________：如果 ，方程就变成 ，是一元一次方程了。因此， 是一元二次方程定义的___________。 和 可以为0：当 时，方程为 ；当 时，方程为 ；当 时，方程为 。它们都是___________。 符号不能丢：在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，___________，特别是负号“-”。 要点速测 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 知识点一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思路是 “降次”——把二次方程转化为两个一元一次方程。主要方法有四种： 直接开平方法 适用形式：（）或 （） 解法原理：利用平方根的意义直接开平方。例如，由 可得 ，从而转化为两个一元一次方程。 要点速测 2．方程的解为___________． 配方法 核心思想：通过配方，将方程转化为 （）的形式，再用直接开平方法求解。 适用情况：特别适用于二次项系数为1的情况。 一般步骤（五步法） ： 化：将二次项系数化为1（如果二次项系数不为1） 移：将常数项移到方程右边 配：方程两边都加上___________ 开：方程左边配成完全平方式后，用直接开平方法求解 写：写出方程的解 要点速测 3．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 公式法 核心思想：运用一元二次方程的求根公式直接求解。 求根公式：对于 （）， 要点速测 4．用公式法解一元二次方程：． 一般步骤（五步法） ： 化：将方程化为一般形式 定：确定 、、 的值（注意符号） 算：计算判别式 判：判断 的符号，确定方程根的情况 代：代入求根公式，写出方程的解 要点速测 5．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 因式分解法 核心思想：将方程一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，令每个因式分别为0，从而实现“降次”。 常用方法：提取公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法等。 一般步骤（三步法） ： 移项变形：将方程右边化为0 因式分解：将方程左边分解成两个一次因式的乘积 降次求解：令每个因式等于0，解两个一元一次方程 要点速测 6．已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C．或3 D．或1 知识点 根的判别式 对于一元二次方程 （），令 ，称为___________。 根据 的符号，可以直接判定方程根的情况： 当 时，方程有___________的实数根 当 时，方程有___________的实数根（即一个实数根） 当 时，方程___________ 要点速测 7．下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 知识点 根与系数的关系（韦达定理） 如果一元二次方程 （）的两个实数根为 、，则： 这个关系由法国数学家韦达发现，因此也叫___________。 要点速测 8．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 知识点 一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答）： 审题：弄清题意，找出已知量和未知量，明确题目中的等量关系 设未知数：用字母表示题目中的___________ 列方程：根据等量关系列出___________ 解方程：选用适当的方法求解 检验：双重检验——既要检验是否是方程的___________，又要检验是否符合实际题意（如人数、长度等必须为正数、整数等），不符合的要___________ 作答：写出完整的答案 要点速测 9．健身运动已成为一种时尚，各种健身俱乐部应运而生，某健身俱乐部2020年有会员200人，其中男、女会员人数之比为． (1)求该健身俱乐部2020年男、女会员各有多少名？ (2)预计今后两年该俱乐部男、女会员的人数每年分别按k人和（）人递增，这样到2022年该俱乐部男、女人数之比将变为． ①求k的值； ②2020年该俱乐部每个男、女会员的年会费分别为1000元和900元，若每个男会员的年会费每年增加300元，每个女会员的年会费每年以相同的百分数递增，这样2022年该俱乐部全体女会员年会费总量将达到2020年全体男会员年会费总量的．问2022年该俱乐部每个女会员的年会费是否与男会员的年会费相等？ 常见应用题型包括： 面积问题：如矩形面积、直角三角形面积、花园设计等 增长率（降低率）问题：基本关系为 ，其中 为基数， 为平均增长率（或降低率）， 为增长（或降低）次数 传播问题：如一人患流感，经过两轮传染后共有多少人患病 循环比赛问题：单循环（每两队赛一场）与双循环（每两队赛两场）问题 销售利润问题：常用关系式为 要点速测 10．问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 题型1 由一元二次方程的定义求参数 ▌例1 若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 解题要点 由一元二次方程的定义求参数 1. 确认最高次数：方程必须形如 （），先整理成标准形式。 2.排除二次项系数为零：令 ，并由此解出参数范围，再结合其他条件取舍。 3.注意隐含约束：若方程含分式或根式，需先确保其有意义（如分母不为0、被开方数非负）。 4.验证回代：求得参数后，代回原方程检验是否确实为一元二次方程。2. ▌迁移练1-1已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． ▌迁移练1-2已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ ▌迁移练1-3（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 题型2 由一元二次方程的解求参数 ▌例1 若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 解题要点 由一元二次方程的解求参数 1. 确代入法：将已知解直接代入原方程，得到关于参数的方程（组）。 2.利用韦达定理（若已知两个解）：由 ， 列式求参。 3.注意解的多样性：若题中说“有一个解为0”，则常数项 ；若说“两个解互为相反数”，则一次项系数 。 4.验根：求得参数后，代回原方程，确保该解确实满足且方程为一元二次。 ▌迁移练1-1若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 ▌迁移练1-2若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______． ▌迁移练1-3若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 题型3 配方法的应用 ▌例1 综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 解题要点 配方法的应用 1.标准步骤：二次项系数化为1 → 移常数项 → 配方（加一次项系数一半的平方）→ 写成完全平方式。 2.用于求最值：配方后 形式，可快速判断顶点坐标及最大/最小值。 3.用于证明：配方后结合平方非负性，可证明恒大于0或恒小于0等不等式。 4.注意符号：配方时务必等式两边同加同减，保持等价变形。 ▌迁移练1-1【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． ▌迁移练1-2 “” 这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，．．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：因为（，所以当___________时，代数式有最__________）（填“大”或“小”）值，这个最值为_________． (2)比较代数式与的大小． ▌迁移练1-3配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题，我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）下列各数中，“完美数”有______（只填序号）； ①10；②24；③34；④60 【探究问题】 （2）若可配方成（m，n为常数），求的值； 【拓展应用】 （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，求符合条件的k的值． 题型4 因式分解法解一元二次方程 ▌例1 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 解题要点 因式分解法解一元二次方程 1.优先尝试：先看能否提取公因式或使用平方差、完全平方公式。 2.十字相乘法：对 ，若 ，尝试拆分为 形式。 3.化为 ：必须确保方程右边为0，否则先移项。 4.不要丢根：分解后令每个因式分别为0，求出所有解，切勿约去含未知数的因式。 ▌迁移练1-1如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否为“邻根方程”． (2)已知关于的方程是“邻根方程”，求的值． (3)若关于的方程是“邻根方程”，令，试求的最大值． ▌迁移练1-2阅读材料：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似地，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过提公因式把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)方程的解是，　　　　　，　　　　　； (2)仿照例题解方程：； (3)拓展：用“转化”思想求方程的解． ▌迁移练1-3关于的一元二次方程经过适当变形可以写成的形式现列表探究的变形： 变形 【观察】表格中的值为______，与满足的等量关系为______，的值随值的增大而______（填“增大”或“减小”）； 【尝试】若一元二次方程变形为，求、的值； 【拓展】若一元二次方程经过变形可写成，则的最大值为______（用含有、的代数式表示）． 题型5 换元法解一元二次方程 ▌例1 解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 解题要点 换元法解一元二次方程 1.识别重复结构：如 ，令 。 2.换元后解出中间变量：先求 的值，再代回解 ，注意 的取值范围。 3.注意增根：若换元时进行了平方或开方，需检验最终 是否满足原方程。 4.多层换元：若结构复杂，可进行两次换元，逐步降次。 ▌迁移练1-1阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． ▌迁移练1-2【阅读材料】请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，．当时，，，此方程无实数根． 原方程的根为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请用上述方法解下列方程： (1) (2) ▌迁移练1-3阅读材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得， 所以，所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”． 利用阅读材料提供的换根法求新方程： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1，则所求方程为__________． 题型6 解分式方程（化为一元二次） ▌例1 设，则方程可变形为（   ） A． B． C． D． 解题要点 解分式方程（化为一元二次） 1.去分母：方程两边同乘最简公分母，注意分母不能为0。 2.化简整理：去分母后得到整式方程（可能为一元二次），按常规方法求解。 3.必验根：将求得的解代入最简公分母，若为零则为增根，需舍去。 4.若增根导致无解：检查原方程是否矛盾，或参数取值是否使公分母恒为零。 ▌迁移练1-1对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． ▌迁移练1-2分式方程的解是______． ▌迁移练1-3解分式方程：． 题型7 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ▌例1 k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 解题要点 根据判别式判断一元二次方程根的情况 1.计算判别式：，先确保方程为标准形式。 2.判断规则： ⇔ 两个不等实根； ⇔ 两个相等实根（重根）； ⇔ 无实数根。 3.注意系数的符号：代入时 均带符号，特别是 为负数时勿出错。 4.结合题目要求：若题中说“有实数根”，则 ；若说“有两个实数根”，通常 且 。 ▌迁移练1-1已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 ▌迁移练1-2设二次方程有实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 ▌迁移练1-3已知整式，其中…，…且，，，，…，均为整数，n为正整数．若，，则满足条件的整式A共有__________个；若，，且当x为任意实数时，整式A的值都是正数，则满足条件的整式A共有__________个． 题型8 根据一元二次方程根的情况求参数 ▌例1 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． 且 C． 且 D． 解题要点 根据一元二次方程根的情况求参数 1.列不等式（或等式）：由题意（如两个不等实根、有实数根等）得到 与0的不等关系。 2.注意二次项系数：同时满足 ，这是隐藏条件，常被忽略。 3.若根有特殊限制（如正根、负根、整数根），还需结合韦达定理或根的表达式。 4.最终取交集：将所有条件（如 范围、、其他限制）取交集得出参数范围。 ▌迁移练1-1若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． ▌迁移练1-2关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． ▌迁移练1-3已知a、b为实数，关于x的方程有且仅有三个不同的实数根．实数a、b满足的关系式为________． 题型9 一元二次方程的根与系数的关系 ▌例1 已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 解题要点 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 1.前提条件：方程 有实数根（），且 。 2.两大公式：，。注意符号。 3.变形应用：利用 ， 等。 4.构造新方程：若已知两根，可构造 。. ▌迁移练1-1已知，是方程的两个实数根，则=________． ▌迁移练1-2设、是方程的两个实数根，且，则______． ▌迁移练1-3若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 题型10 增长率问题（一元二次方程的应用） ▌例1 2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 解题要点 增长率问题（一元二次方程的应用） 1.设基数为 ，增长率为 ，则两次增长后为 ，下降率为 。 2.区分“平均增长率”：若连续增长（或下降）相同次数，则用指数形式。 3.注意单位与起始时间：明确是从哪一年开始，增长/下降了几个月或几年。 4.解出后检验：增长率通常为正，下降率在0～1之间，负值或大于1需舍去。 ▌迁移练1-12021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，据有关部门统计，年末我国贫困人口还有万人，此后逐年下降，截至到年末我国贫困人口仅有万人．若设贫困人口的年平均下降率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3某加工厂九月份加工了吨干果，十一月份加工了吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 题型11 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） ▌例1 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． (1)的长用含的代数式表示为 m； (2)现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 解题要点 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 1.画示意图：将几何图形（矩形、三角形、圆等）中的未知量用 表示。 2.建立面积/周长方程：利用公式（如面积=长×宽，勾股定理等）列出等式。 3.注意“去边角”或“修路”类问题：常通过平移、补形将不规则图形转化为规则图形。 4.取舍根：解出的边长必须为正，且满足图形实际限制（如不超过总长）。 ▌迁移练1-1如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？ ▌迁移练1-2你知道古代数学家怎样解一元二次方程吗？ 以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为，即． 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示． 第四步：计算大正方形面积用x表示为 ．长方形面积为3，小正方形面积为4． 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程 ， 两边开方可求得：． 则上述过程中，按顺序横线上应填入 ， ．    ▌迁移练1-3小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 题型12 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） ▌例1 2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 解题要点 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 1.握手问题： 个人两两握手一次，总次数为 。 2.循环赛（单循环）：每两队赛一场，总场数同样为 。 3.双循环赛：每两队主客各一场，总场数为 。 4.注意“自己与自己不握手/比赛”，列方程后解得 ，正数且为整数才符合。 ▌迁移练1-1为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 ▌迁移练1-32026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 题型13 行程问题（一元二次方程的应用） ▌例1 《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 解题要点 行程问题（一元二次方程的应用） 1.基本关系：路程 = 速度 × 时间，常设速度为 或时间为 。 2.相遇/追及：画线段图，明确两者行进的总路程关系（如相遇时路程和=总距）。 3.涉及“变速”或“停留”：分段表示时间，利用时间差或路程差列方程。 4.解后检验：速度、时间均为正数，且符合实际情况（如不能为负）。 ▌迁移练1-1在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了________秒． ▌迁移练1-2一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 题型14 工程问题（一元二次方程的应用） ▌例1 列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 解题要点 工程问题（一元二次方程的应用） 1.基本量：工作量 = 效率 × 时间，通常把总工作量设为1。 2.合作效率：甲效率 + 乙效率 = 合作效率，再乘以合作时间 = 完成工作量。 3.列方程：根据“甲先做若干天，再合作”或“同时开工，先后完成”等描述建立等式。 4.注意单位：时间单位统一（天、小时），效率为“单位时间完成的工作量”。 ▌迁移练1-1学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 ▌迁移练1-2 “万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ ▌迁移练1-3列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 题型15 营销问题（一元二次方程的应用） ▌例1 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．15元 D．15元或20元 解题要点 营销问题（一元二次方程的应用） 1.基本公式：利润 = 售价 - 进价；总利润 = 单件利润 × 销售量。 2.价格变化影响销量：常见“每涨价1元，销量减少若干件”，需用含 的式子表示新销量。 3.建立方程：根据“总利润达到多少”或“利润率”列等式，注意单位（元/件）。 4.取舍：售价、销量均为正数，且涨价或降价需在合理范围内（如不能无限降价）。 ▌迁移练1-1目前，我区大面积种植草莓的优良品种“丰香”，“章妃”，“红颊”，这些草莓颗粒饱满，口感香甜，已成为了我区万元高效农业的一大典型经济作物，并带动了城乡旅游，某一草莓园的采摘套票售价为100元/张，成本为60元/张，每天平均有80人前来采摘．为吸引人气，打响品牌，扩大销售，某天草莓园采取了合理的降价措施．经调查发现，如果票价每下降1元，票数便可多售出2张，已知草莓园降价后，当天多销售了1000元． (1)降价后，草莓园当天销售多少元？ (2)草莓园采摘套票降价了多少元？ ▌迁移练1-2某商场销售一种商品，每件进价40元．经市场调查发现，当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件． (1)设售价为x元，日销售量为y件，求y与x的函数关系式； (2)若商场希望日利润达到1800元，则售价应定为多少元？ ▌迁移练1-3西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． (1)上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ 难点一 根据一元二次方程根的情况求参数（判别式法） 核心知识点： 利用判别式 的符号决定根的性质： 有两个不相等的实数根； 有两个相等的实数根（即一个根）； 没有实数根（在初中范围无解）。 ⚠️ 易错知识（高分拦路虎）： “一元二次”是前提（暗含 ）： 题目若说“关于 的方程 有实数根”，必须先讨论 是否为 0。若 ，方程变为一次方程 ，也有实数根（1个）。此时不能盲目用 。 结论：若题干明确说“一元二次方程”，则 ；若只说“方程”或“有实数根”，必须分类讨论二次项系数是否为 0。 “有两个实数根”与“有两个不相等的实数根”的文字陷阱： 题目写“有两个实数根” 允许相等 。 题目写“有两个不相等的实数根” 。 题目写“有实数根” （且若一次方程也算）。 化简后再找 ： 必须把方程化为标准形式 再算 。若未移项，直接套用系数，符号必错。 难点精练 1．若数使关于的一元二次方程有两个不相等的实数解，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是_________________（填序号） 难点二 配方法的应用 核心知识点： 将 变形为 。用途：求顶点坐标、求最值、证明恒正/恒负。 ⚠️ 易错知识（细节决定成败）： 二次项系数不提取完全（配平失误）： 错误操作：。括号内减了 1，括号外乘以 2，相当于整体减了 2。最后常数项应为 ，而不是 。 口诀：括号内加减多少，括号外要乘以系数补回来。 配方时“加一半平方”漏乘系数： 在解方程 时，两边同除以 3 得 ，此时加 1 得 。如果不除以 3直接配方，右边配平极其容易出错。 代数式恒等变形与方程变形的混淆： 求代数式最值（恒等变形）：，配出来的常数项要减去。 解方程（等号两边同加）：，等号右边是正数。 易错：很多同学在求最值时写成 ，把恒等号当成了方程。 难点精练 4．如图，在平行四边形中，，，，，点P在边上运动且不与点A、D重合，连接，取的中点E，过点P作，垂足为点F，连接，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 5．阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或 ③选取一次项和常数项配方： 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，求的值 (3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 6．【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 难点三 换元法解一元二次方程 核心知识点： 当方程中含有相同的代数式（如 、）或互为倒数/相反数关系时，设这个整体为 ，解出 后再代回求 。 ⚠️ 易错知识（最容易产生增根或漏根）： 忽视新元 的取值范围（隐含定义域）： 例如：已知 ，设 。解得 或 。易错：直接将 代回 得无解。虽然结果无解，但过程若未舍去，容易导致最终答案多写。 根号换元：设 ，则 且 。解得 必须立马舍去。 “倒数型”换元忘记分母不为 0： 设 ，则 。如果解出 ，要直接舍去，并判断原方程无此根。 “双换元”回代不全： 设 ，解出 后，代回解分式方程，要检查 是否为增根（显然不是根，因为分母不能为0）。 难点精练 7．已知，则方程的解集是_______； 8．若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实数根． （1）当时，则的值是________； （2）当时，则的值是________． 9．阅读下面材料，然后解答问题： 我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程：，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：，， 或． 解得，，，． (1)请参考例题解法，解下列方程： ； ． (2)已知一元二次方程，，直接写出的值． 难点四 一元二次方程根的判别式（专项） 核心知识点： 不仅仅是判断根，还用于判定三角形形状、证明代数式恒正/恒负、以及二次函数与 轴交点个数。 ⚠️ 易错知识（思维盲区）： 使用前提必须是整式方程： 若方程含分母且分母含未知数（分式方程），先去分母化为整式方程。但此时 判断的是去分母后的整式方程的根，必须代入原分式方程检验增根。很多时候 但整式方程的根使分母为 0，从而原方程无解。 证明“方程总有实数根”的策略出错： 不要只盯着 配平方。若二次项系数含参，一定要先说“当 时，方程为一元一次方程，有实根；当 时，”。 经典技巧：若证明 ，要强调“平方非负，所以 ”。 “有两个实数根”求参数范围，忘记 与 的双重限制： 例：关于 的一元二次方程 有两个实数根，求 范围。 易错：只列 ，不列 。正确答案是 且 。 难点精练 10．使得的值为整数的无理数的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 11．已知关于的整式，其中为常数．给出下列命题：①若是关于的二次三项式，则；②若为单项式，则；③若是关于的一次函数，则；④当时，不能分解为两个关于的一次因式的乘积．其中正确的命题个数是（     ） A． B． C． D． 12．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 难点五 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 核心知识点： 若 是方程 的两根，则 ，。 ⚠️ 易错知识（大坑集中营）： 前提条件 是隐形开关： 题目给出“已知 是方程 的两根，且 ”。 易错：先用韦达定理代入算出 的两个值，直接写答案。必须：算出 后，必须代回原方程验证 。因为韦达定理成立的前提是方程必须有实数根！若某个 使 ，这个 必须舍去。 符号系数的混淆（ 带负号）： 方程 ，。（正号），（负号）。切记： 是 ，前面有个负号！ 非对称式变形的盲区： 求 。必须先保证 （即 ）。若 ，则有一个根为 0，该分式无意义。 求 ，常用公式 ，开方时不要忘了 ，且需结合两根大小关系取舍。 难点精练 13．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 14．小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+ ， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 15．关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 难点六 动态几何问题（一元二次方程的应用） 核心知识点： 将动点的运动时间 设为未知数，利用勾股定理、面积公式、相似三角形比例，构建关于 的一元二次方程。 ⚠️ 易错知识（实际应用题丢分重灾区）： 忽视“运动范围”导致增根（范围限定的隐性条件）： 点 从 向 运动，速度为 2cm/s，线段 。则 的范围必须是 。 易错：解得 或 ，直接取两个。但 时点早已越过终点，图形已不存在，必须舍去。 “谁在动，谁在变”的线段表示错误： 总长 ， 从 出发走了 ，则 。 易错：很多同学设“经过 秒后，”忘记乘以速度。必须严格区分“路程 = 速度 × 时间”。 面积法的“割补”漏算： 求重叠部分面积。当动点在运动过程中，图形形状改变（如梯形变为三角形），需要分类讨论。 易错：列了一个面积方程，解出 ，但这个 并不在对应的分类时间段内。分类讨论得出的 必须满足“该形状存在的时间段”。 勾股定理中直角边与非直角边的混淆： 若构建直角三角形，且斜边是固定的某条线段，使用 时，务必确认 是对应斜边（最大的边）。很多时候动点构成的三角形并非直角三角形，需要利用“水平距离”和“铅垂距离”的平方和等于两点间距离公式来列式，此时极易把斜边当成直角边代错。 难点精练 16．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 17．如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 18．在矩形中， ，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 基础达标 一、单选题 1．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．且 2．一元二次方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 4．关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B． C． D．， 5．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 6．如图所示为长米、宽米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大 C．两个负根 D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小 9．已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．某公司一月份的产值为万元，计划三月份的产值达到万元，如果每月产值的增长率相同，设增长率为，可列方程______________． 11．若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为_____． 12．若关于的方程是一元二次方程，则________． 13．如图，在中，，，点从点出发，沿射线方向以的速度移动，点从点出发，沿射线方向以的速度移动，如果、两点同时出发，问：经过__________秒后的面积等于．    14．有一人患了流感，经过两轮传染后共有225个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染给了______人． 15．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______________． 三、解答题 16．解方程： (1)． (2)． (3) (4)． 17．某校学生为了制作图片展览，要在一幅长、宽的图片四周镶上宽度相同的银边，并且要使银边的面积和图片的面积相等，那么银边的宽应该是多少？    18．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．商家想尽快销售完该款商品，采取降价措施增加销量． (1)若日利润保持不变，每件售价应定为多少元？ (2)每件商品降价多少元时日利润最大？ 19．如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且，，在，，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． (1)试用含有的代数式表示五边形的面积__________； (2)当时，请写出小正方形种植花卉所需的费用__________； (3)当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 20．阅读：已知，求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴是方程的根， ∴，即． 利用以上方法，求证：（m、n为非零实数） 21．综合与实践 【项目主题】班级劳动实践小组拟用正方形和等腰直角三角形地砖铺设社区小广场． （1）【项目准备】已知图中小正方形地砖的面积为，则等腰直角三角形地砖的面积为①_____，图形中心的稍大正方形地砖的面积为②_____． （2）【项目分析】第1个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第2个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第3个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； ．．． 根据规律， 第4个图形中，小正方形的个数为③_____，等腰直角三角形的个数为④_____， （3）【项目实施】如果社区小广场是按以上方法铺设的面积为的正方形广场，则需要小正方形地砖的块数为⑤_____，等腰直角三角形地砖的块数为⑥_____． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①_____；②_____；③_____；④_____；⑤_____．⑥_____． 能力进阶 一、单选题 1．已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．拋物线恰好经过三个象限，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．拋物线的顶点可以在第三象限 C．若，则当时，y随x的增大而增大 D．方程有两根且两根异号 3．已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知整式，其中，均为正整数，，下列说法正确的个数是（     ） ①若，则； ②若，，方程的两个实数根分别为，，则； ③若为整数，且，则所有满足条件的整式的和为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等且都小于的不动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若关于x的方程有绝对值相同，符号相反的两个根，则m的值应为（   ） A．c B． C． D． 7．在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当的面积等于时，运动时间为（  ） A． B． 或 C． D． 或 8．定义：若，是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则称这个方程为“奇根方程”．下列说法中正确的个数是（     ） ①是“奇根方程”； ②若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则该方程一定是“奇根方程”； ③若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则满足条件的所有整数k的值之和为； ④若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则存在有理数使得该方程的根为有理数． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 9．满足的所有实数x的和为_______． 10．如图，在矩形中，对角线，相交于与点，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，过点作的垂线交于点，．若，则的长是________． 11．若方程的两根分别是方程的两根的相反数，则__________． 12．已知实数，，满足，，则的值为________． 13．如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，若，，则________． 14．已知二次方程的两根一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围为________． 15．已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 三、解答题 16．【阅读理解】 滨滨在学习二次根式性质时，发现有些含二次根式的式子，可以化成另一个含二次根式的式子的平方．例如，他的计算方法如下： 设（，），得，，猜想，验证成立，得． 【深入思考】 (1)江江发现把两边平方，得，设，又因为，所以， 这样就能先求的值，再求出，的值，请你把江江求，值的这个解题过程写完整． 【尝试探究】 (2)把下列各式化成含二次根式的式子的平方（直接写出结果）： ①     ② 17．如图，在正方形中，为边上一点，为边上一点，，，，求正方形的边长． 18．某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 19．对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 20．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章一元二次方程 复习要点 1. 先判断方程是否为一元二次方程并化为一般式，这是所有解题的基础。 2. 根据方程结构优先选择简便解法，公式法作为保底，配方法重在理解其推导过程。 3. 判别式和韦达定理要捆绑使用，含参问题需分类讨论且务必注意二次项系数不为零。 4. 列方程的关键是找准等量关系，解后必须检验并舍去不符合实际意义的根。 5. 复习时始终贯穿“降次”转化、分类讨论和整体代换等数学思想。 6. 重视错题归纳与常见陷阱（如漏条件、符号错误），比盲目刷新题更有效。 复习重难点 重点：熟练掌握配方法、公式法、因式分解法等多种解法以及根的判别式的应用，并能根据方程特征灵活选择最优解法。 难点： 在列一元二次方程解决实际问题时，准确分析题目中的数量关系并建立正确的等量关系。 知识点 一元二次方程的定义 1. 核心概念 方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程。 2. 三个必备要素（缺一不可） 判断一个方程是否为一元二次方程，必须同时满足以下三个条件： (1) 是整式方程：方程的两边都是整式（即分母中不能含有未知数） (2) 只含有一个未知数：即“一元” (3) 未知数的最高次数是2：即“二次”，注意是“整理后” 的最高次数 3. 一般形式 经过整理，所有的一元二次方程都可以化为这个形式，称为一元二次方程的一般形式。 叫做二次项， 叫做二次项系数 叫做一次项， 叫做一次项系数 叫做常数项 要点归纳： 是必要条件：如果 ，方程就变成 ，是一元一次方程了。因此， 是一元二次方程定义的核心。 和 可以为0：当 时，方程为 ；当 时，方程为 ；当 时，方程为 。它们都是一元二次方程。 符号不能丢：在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，必须带上它们前面的符号，特别是负号“-”。 要点速测 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、方程含分式，不是整式方程，不符合题意； B、展开左边得，整理得，符合一元二次方程定义； C、当时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、展开左边得，整理得，是一元一次方程，不符合题意． 知识点一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思路是 “降次”——把二次方程转化为两个一元一次方程。主要方法有四种： 直接开平方法 适用形式：（）或 （） 解法原理：利用平方根的意义直接开平方。例如，由 可得 ，从而转化为两个一元一次方程。 要点速测 2．方程的解为___________． 【答案】， 【分析】运用直接开平方法即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 配方法 核心思想：通过配方，将方程转化为 （）的形式，再用直接开平方法求解。 适用情况：特别适用于二次项系数为1的情况。 一般步骤（五步法） ： 化：将二次项系数化为1（如果二次项系数不为1） 移：将常数项移到方程右边 配：方程两边都加上一次项系数一半的平方 开：方程左边配成完全平方式后，用直接开平方法求解 写：写出方程的解 要点速测 3．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，即可得到正确结果． 【详解】解： ． 公式法 核心思想：运用一元二次方程的求根公式直接求解。 求根公式：对于 （）， 要点速测 4．用公式法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】根据公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， ． 一般步骤（五步法） ： 化：将方程化为一般形式 定：确定 、、 的值（注意符号） 算：计算判别式 判：判断 的符号，确定方程根的情况 代：代入求根公式，写出方程的解 要点速测 5．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 因式分解法 核心思想：将方程一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，令每个因式分别为0，从而实现“降次”。 常用方法：提取公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法等。 一般步骤（三步法） ： 移项变形：将方程右边化为0 因式分解：将方程左边分解成两个一次因式的乘积 降次求解：令每个因式等于0，解两个一元一次方程 要点速测 6．已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C．或3 D．或1 【答案】C 【分析】把方程的解代入得到关于的一元二次方程，解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：将代入得． 整理得． 因式分解得． ∴或， ∴或． 知识点 根的判别式 对于一元二次方程 （），令 ，称为根的判别式。 根据 的符号，可以直接判定方程根的情况： 当 时，方程有两个不相等的实数根 当 时，方程有两个相等的实数根（即一个实数根） 当 时，方程没有实数根 要点速测 7．下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】计算各一元二次方程的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，逐一验证三个说法的正误即可． 【详解】解：①对于方程，，当时，，方程有两个相等的实数根，即有实数解，故①错误； ②对于方程，， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程都有两个不相等的实数根，故②正确； ③对于方程，由方程有两个不相等的实数根得，即，解得， 当时，方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，故错误，③错误； 综上，正确的说法有1个． 知识点 根与系数的关系（韦达定理） 如果一元二次方程 （）的两个实数根为 、，则： 这个关系由法国数学家韦达发现，因此也叫韦达定理。 要点速测 8．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】(1)证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∵， ∴， 即， ∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）将原方程化为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，结合绝对值的非负性证明判别式恒大于0； （2）利用根与系数的关系，将变形为含两根和与两根积的形式，代入已知条件求解，进而得到的值． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）得方程的一般形式为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴． 知识点 一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答）： 审题：弄清题意，找出已知量和未知量，明确题目中的等量关系 设未知数：用字母表示题目中的未知量 列方程：根据等量关系列出一元二次方程 解方程：选用适当的方法求解 检验：双重检验——既要检验是否是方程的根，又要检验是否符合实际题意（如人数、长度等必须为正数、整数等），不符合的要舍去 作答：写出完整的答案 要点速测 9．健身运动已成为一种时尚，各种健身俱乐部应运而生，某健身俱乐部2020年有会员200人，其中男、女会员人数之比为． (1)求该健身俱乐部2020年男、女会员各有多少名？ (2)预计今后两年该俱乐部男、女会员的人数每年分别按k人和（）人递增，这样到2022年该俱乐部男、女人数之比将变为． ①求k的值； ②2020年该俱乐部每个男、女会员的年会费分别为1000元和900元，若每个男会员的年会费每年增加300元，每个女会员的年会费每年以相同的百分数递增，这样2022年该俱乐部全体女会员年会费总量将达到2020年全体男会员年会费总量的．问2022年该俱乐部每个女会员的年会费是否与男会员的年会费相等？ 【答案】(1)男会员160人，女会员40人 (2)①；②相等 【分析】（1）根据男、女会员人数之比为和总人数，列出方程求解即可； （2）①根据男、女会员人数之比为，列出分式方程求解即可；②设每个女会员的年会费每年增长的百分数为y，根据增长率可列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设该健身俱乐部2020年有女会员x人，则有男会员4x人． 依据题意，得， 解得，， ， 答：该健身俱乐部2020年有男会员160人，女会员40人． （2）解：①依据题意得：， 解得：， 经检验是所列方程的根， 故； ②设每个女会员的年会费每年增长的百分数为y， ， 整理得 ， 解得 ，（不合题意，舍去）， 2022年女会员每人年会费：（元）， 2022年男会员每人年会费：（元）． ∴2022年该俱乐部每个女会员的年会费与男会员的年会费相等． 常见应用题型包括： 面积问题：如矩形面积、直角三角形面积、花园设计等 增长率（降低率）问题：基本关系为 ，其中 为基数， 为平均增长率（或降低率）， 为增长（或降低）次数 传播问题：如一人患流感，经过两轮传染后共有多少人患病 循环比赛问题：单循环（每两队赛一场）与双循环（每两队赛两场）问题 销售利润问题：常用关系式为 要点速测 10．问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) 80元 (3) ①日产量定为60千克；②不能实现 【分析】（1）利用待定系数法，代入表格数据求解一次函数解析式； （2）根据一次函数的增减性，结合自变量取值范围求的最大值； （3）①先根据总利润每千克利润日产量，得到总利润关于的二次函数，再令求解即可； ②令，通过方程解的情况判断目标利润能否实现． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 从表格中选取两组数据，即；， 代入得，解得， 则有， 经检验，其余点均满足该解析式，结合的取值范围，得函数关系式为； （2）解：已知 ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为， 即这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是80元； （3）解：由题意，每日生产的梨膏糖全部售完，设总利润为W， 则， ①当时，得方程， 整理得，解得，均满足， 在获得相同利润时，日产量为60千克比120千克投入的人力和原材料更少，成本更低， 因此选择60千克更合理， 答：当日该产品的日产量应该定为60千克． ②当时，得方程， 整理得，配方得， 任何实数的平方都大于等于0，因此方程没有实数解，即不存在满足条件的日产量，因此不能实现目标利润， 答：不能实现利润为1500元的计划． 题型1 由一元二次方程的定义求参数 ▌例1 若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 解题要点 由一元二次方程的定义求参数 1. 确认最高次数：方程必须形如 （），先整理成标准形式。 2.排除二次项系数为零：令 ，并由此解出参数范围，再结合其他条件取舍。 3.注意隐含约束：若方程含分式或根式，需先确保其有意义（如分母不为0、被开方数非负）。 4.验证回代：求得参数后，代回原方程检验是否确实为一元二次方程。2. 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． ▌迁移练1-1已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． ▌迁移练1-2已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． ▌迁移练1-3（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 【答案】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，求解即可； （2）根据一元一次方程的定义得到，求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． （2）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴． 题型2 由一元二次方程的解求参数 ▌例1 若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 解题要点 由一元二次方程的解求参数 1. 确代入法：将已知解直接代入原方程，得到关于参数的方程（组）。 2.利用韦达定理（若已知两个解）：由 ， 列式求参。 3.注意解的多样性：若题中说“有一个解为0”，则常数项 ；若说“两个解互为相反数”，则一次项系数 。 4.验根：求得参数后，代回原方程，确保该解确实满足且方程为一元二次。 【答案】A 【详解】解：把代入方程，得，即， 解得． ▌迁移练1-1若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【答案】A 【分析】把代入一元二次方程中，得到，再把代入，即可． 【详解】解：将代入，得， ， ． ▌迁移练1-2若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______． 【答案】 【详解】解：是一元二次方程的解， 将代入方程得， 整理得， ． ▌迁移练1-3若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 【答案】 【分析】先由方程根的定义，得到，再化简所求代数式，将整体代入计算即可得到答案． 【详解】解： 是关于的方程的一个根， ，则， ． 题型3 配方法的应用 ▌例1 综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 解题要点 配方法的应用 1.标准步骤：二次项系数化为1 → 移常数项 → 配方（加一次项系数一半的平方）→ 写成完全平方式。 2.用于求最值：配方后 形式，可快速判断顶点坐标及最大/最小值。 3.用于证明：配方后结合平方非负性，可证明恒大于0或恒小于0等不等式。 4.注意符号：配方时务必等式两边同加同减，保持等价变形。 【答案】(1)；； (2) (3)8 【分析】（1）根据配方法进行配方，利用因式分解即可； （2）把化为，再利用三角形三边关系进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，有最小值，最小值是． 分解因式，原式． （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为． ▌迁移练1-1【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． ▌迁移练1-2 “” 这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，．．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：因为（，所以当___________时，代数式有最__________）（填“大”或“小”）值，这个最值为_________． (2)比较代数式与的大小． 【答案】(1)，，，小， (2) 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是利用作差法比较大小． （1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答； （2）利用求差法和配方法解答即可． 【详解】（1）解： 时，代数式有最小值，这个最小值为； 故答案为：，，，小， （2）解： ， ▌迁移练1-3配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题，我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）下列各数中，“完美数”有______（只填序号）； ①10；②24；③34；④60 【探究问题】 （2）若可配方成（m，n为常数），求的值； 【拓展应用】 （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，求符合条件的k的值． 【答案】（1）①③；（2）6或；（3）5 【分析】本题考查新定义、配方法的应用，理解题中新定义是解答的关键． （1）根据题中定义判断即可； （2）先配方求得m、n值，进而代值求解即可； （3）利用完全平方公式配方得，根据题中定义可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴10和34是“完美数”， 故答案为：①③； （2）由题意，得． ∵可配方成， ∴， ∴，或． 当，时，； 当，时，， 即的值为6或； （3）由题意，得． ∵S为“完美数”， ∴， ∴． 题型4 因式分解法解一元二次方程 ▌例1 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 解题要点 因式分解法解一元二次方程 1.优先尝试：先看能否提取公因式或使用平方差、完全平方公式。 2.十字相乘法：对 ，若 ，尝试拆分为 形式。 3.化为 ：必须确保方程右边为0，否则先移项。 4.不要丢根：分解后令每个因式分别为0，求出所有解，切勿约去含未知数的因式。 【答案】(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． ▌迁移练1-1如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否为“邻根方程”． (2)已知关于的方程是“邻根方程”，求的值． (3)若关于的方程是“邻根方程”，令，试求的最大值． 【答案】(1)是“邻根方程” (2)或 (3) 【分析】（1）先解一元二次方程得到两个根，结合“邻根方程”的定义进行判断； （2）先解一元二次方程得到两个根，根据定义列方程求解； （3）根据“邻根方程”定义得到两根差为，利用完全平方公式变形结合根的和与积推导得到与的关系，代入后配方求最大值. 【详解】（1）解方程， 因式分解得， 解得，， ，符合“邻根方程”的定义 ， 是“邻根方程”； （2）解方程， 因式分解得， 解得，， 方程是“邻根方程” ， ， 当时，得； 当时，得， 的值为或； （3）设方程的两根为，， 方程是“邻根方程” ， ，两边平方得，变形得， 由一元二次方程根与系数的关系得，， 代入得， 整理得， 代入， 得 ， ， 当时，取得最大值，最大值为． ▌迁移练1-2阅读材料：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似地，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过提公因式把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)方程的解是，　　　　　，　　　　　； (2)仿照例题解方程：； (3)拓展：用“转化”思想求方程的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题是材料阅读题，考查了运用转化思想解方程，读懂材料是解题的关键．含有二次根式的方程要检验． （1）方程左边分解因式即可完成求解； （2）仿照例题解方程即可； （3）方程两边分别平方，转化为整式方程，解整式方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， 即或， 因式分解得：， 解得：或， 故原方程的解为：． （2）解：， 因式分解得：， ∴或， 即或， 解得：或， 故原方程的解为：． （3）解：方程两边平方得：， 即， 配方得：， ， 当时，方程左边，方程右边，左边右边， 所以是原方程的解， 当时，方程左边，方程右边，左边右边， 所以是增根，应舍去， ∴原方程的解为． ▌迁移练1-3关于的一元二次方程经过适当变形可以写成的形式现列表探究的变形： 变形 【观察】表格中的值为______，与满足的等量关系为______，的值随值的增大而______（填“增大”或“减小”）； 【尝试】若一元二次方程变形为，求、的值； 【拓展】若一元二次方程经过变形可写成，则的最大值为______（用含有、的代数式表示）． 【答案】观察：，，减小．尝试：，．拓展：． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法、解一元二次方程公式法、不等式的性质、函数的表示方法，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 观察：结合表格数据即可判断得解； 尝试：依据题意，由，则，从而，结合变形为，进而可以判断得解； 拓展：依据题意，由一元二次方程经过变形可写成，即，可得，，故，又，则，可得，最后即可判断得解． 【详解】解：观察：由表格可得； 由、、、知， 对于，，； 对于，，； 对于，，； 对于，，． 可以发现的值从逐渐减小到，的值从逐渐增大到， 的值随值的增大而减小． 故答案为：，，减小． 尝试：由题意，， ， ， 变形为， ，． 拓展：由题意，一元二次方程经过变形可写成，即． ，． ． ， ． ． 的最大值为． 故答案为：． 题型5 换元法解一元二次方程 ▌例1 解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 解题要点 换元法解一元二次方程 1.识别重复结构：如 ，令 。 2.换元后解出中间变量：先求 的值，再代回解 ，注意 的取值范围。 3.注意增根：若换元时进行了平方或开方，需检验最终 是否满足原方程。 4.多层换元：若结构复杂，可进行两次换元，逐步降次。 【答案】(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设 ， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 ▌迁移练1-1阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) ，，， (2) ，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键． （1）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程； （2）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． ▌迁移练1-2【阅读材料】请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，．当时，，，此方程无实数根． 原方程的根为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请用上述方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次的方法和步骤． （1）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出值，进而即可求解； （2）设，将原方程变形为，求出值，进而利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为，即， 解此方程得， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴原方程的解为． （2）解：设，则原方程化为，即， 解此方程得， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴原方程的解为． ▌迁移练1-3阅读材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得， 所以，所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”． 利用阅读材料提供的换根法求新方程： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1，则所求方程为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是明确材料中的换根法，根据实际的问题进行换根． （1）根据题意可得，所求方程的根与原方程的根的关系，用所求方程的根的代数式表示原方程的根，代入原方程即可得所求的方程． （2）根据题意可得，所求方程的根与原方程的根的关系，用所求方程的根的代数式表示原方程的根，代入原方程即可得所求的方程． 【详解】（1）设所求方程的根为，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得． 故所求方程为：． 故答案为：． （2）设所求方程的根为，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得． 故所求的方程为：． 故答案为：． 题型6 解分式方程（化为一元二次） ▌例1 设，则方程可变形为（   ） A． B． C． D． 解题要点 解分式方程（化为一元二次） 1.去分母：方程两边同乘最简公分母，注意分母不能为0。 2.化简整理：去分母后得到整式方程（可能为一元二次），按常规方法求解。 3.必验根：将求得的解代入最简公分母，若为零则为增根，需舍去。 4.若增根导致无解：检查原方程是否矛盾，或参数取值是否使公分母恒为零。 【答案】C 【分析】本题考查了分式化简，解分式方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，进行等量代换．将原方程中的换成，再去分母化简即可． 【详解】解：根据题意，得， 两边同乘，消去分母：， 移项整理得：． 故选：C． ▌迁移练1-1对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． ▌迁移练1-2分式方程的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查可化为一元二次方程的分式方程的解法，熟记分式方程的解法是解题的关键．先去分母得到一元二次方程，再解一元二次方程，然后检验是否有增根即可． 【详解】解：方程去分母，得， 解得：， 经检验：是增根，舍去，是原方程的根， ∴原方程的根为， 故答案为：． ▌迁移练1-3解分式方程：． 【答案】 【详解】解：方程两边同时乘最简公分母得：， 整理得， 解得，， 检验：把代入最简公分母得：， ∴是原方程的增根， 把代入最简公分母得：， ∴是原方程的解． 题型7 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ▌例1 k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 解题要点 根据判别式判断一元二次方程根的情况 1.计算判别式：，先确保方程为标准形式。 2.判断规则： ⇔ 两个不等实根； ⇔ 两个相等实根（重根）； ⇔ 无实数根。 3.注意系数的符号：代入时 均带符号，特别是 为负数时勿出错。 4.结合题目要求：若题中说“有实数根”，则 ；若说“有两个实数根”，通常 且 。 【答案】A 【分析】计算根的判别式，配方后判断其取值范围，即可确定方程根的情况． 【详解】解：一元二次方程为， ，，， ． 为实数， ，即． 方程必有实根． ▌迁移练1-1已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． ▌迁移练1-2设二次方程有实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根的判别式得到p和q的关系，结合p、q均为素数的性质，推导得到根的属性． 【详解】∵一元二次方程有实数根， ∴，即， ， ∵均为素数，素数中唯一的偶数是2，其余均为奇数， 当均为奇素数时， 为奇数，且不可能是完全平方数， 一定是无理数， 当，为奇素数时，即， ， 不存在这相的奇素数， 当，为奇素数时，即， ， 设（k为非负整数），即， 均为非负整数， 或， 解得或，均不符， 不可能是完全平方数， 一定是无理数， 当且仅当时，， 综上所述，原方程的根一定是无理数． ▌迁移练1-3已知整式，其中…，…且，，，，…，均为整数，n为正整数．若，，则满足条件的整式A共有__________个；若，，且当x为任意实数时，整式A的值都是正数，则满足条件的整式A共有__________个． 【答案】 【分析】对两个问题分别按条件列举所有可能的系数组合，结合二次整式恒正的判别式条件逐一判断，统计满足条件的个数即可． 【详解】解：先计算第一个空： 当，时，，满足，，为整数． 满足条件的组合为： ，符合条件； ，符合条件； 时，，不满足，因此共个满足条件的整式； 再计算第二个空： 当，时，，满足，，为整数，且对任意实数，． ， 对任意成立等价于判别式． 按分类讨论： 1. 当时，，，，不满足条件，共0个； 2. 当时，，，得，故； 其中满足的共4个； 3. 当时，，，得，故； 所有组合都满足，共4个； 4. 当时，，，得，故； 所有组合都满足，共3个； 5. 当时，，，仅，满足，共1个； 6. 当时，最小系数和为，无满足条件的组合； 综上，满足条件的整式共个． 题型8 根据一元二次方程根的情况求参数 ▌例1 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． 且 C． 且 D． 解题要点 根据一元二次方程根的情况求参数 1.列不等式（或等式）：由题意（如两个不等实根、有实数根等）得到 与0的不等关系。 2.注意二次项系数：同时满足 ，这是隐藏条件，常被忽略。 3.若根有特殊限制（如正根、负根、整数根），还需结合韦达定理或根的表达式。 4.最终取交集：将所有条件（如 范围、、其他限制）取交集得出参数范围。 【答案】A 【分析】当时，原方程是一元一次方程，方程有解，符合题意；当时，根据一元二次方程有实数根以及二次根式有意义的条件列出关于k的不等式组求解即可． 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得，符合题意； 当，即时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， ∴且， 综上，． ▌迁移练1-1若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式，即， 解得． ▌迁移练1-2关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 【答案】且/且 【分析】需满足两个条件，一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是方程有两个不相等实数根要求根的判别式大于0，据此列不等式求解． 【详解】解：∵该方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式计算得， ∴， 解得， 综上，m的取值范围是且． ▌迁移练1-3已知a、b为实数，关于x的方程有且仅有三个不同的实数根．实数a、b满足的关系式为________． 【答案】 【分析】将原方程分解为两个一元二次方程，原方程有三个不同实根，说明一个方程有重根、另一个方程有两个不等实根，计算判别式即可得到、的关系式． 【详解】解：利用平方差公式分解得， 因此原方程等价于两个一元二次方程，， 分别计算两个方程的判别式 ，， ∵原方程有且仅有三个不同实数根，说明两个方程中一个有两个不等实根，一个有两个相等实根， ， ∴若，则，此时只有2个实根，不符合要求， 只能，此时，符合要求， 整理得， 假设两个方程有公共根，两式相减得，矛盾，因此三个根互不相同，满足条件， 故所求关系式为． 题型9 一元二次方程的根与系数的关系 ▌例1 已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 解题要点 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 1.前提条件：方程 有实数根（），且 。 2.两大公式：，。注意符号。 3.变形应用：利用 ， 等。 4.构造新方程：若已知两根，可构造 。. 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，将两根和与两根积代入已知等式，得到关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得． ▌迁移练1-1已知，是方程的两个实数根，则=________． 【答案】5 【分析】利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴ ． ▌迁移练1-2设、是方程的两个实数根，且，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入中，即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴． ▌迁移练1-3若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【答案】(1) (2)①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式 ②； 【分析】（1）先计算根的判别式，根据原方程有两个不相等的实数根，得出不等式，解不等式，得出，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知可得或，解一元二次方程，即可求解． （2）①由，是方程的根得到，，结合的定义进行证明； ②根据根与系数的关系写出、的值，运用完全平方公式变形求得的值，利用①中的结论求得的值． 【详解】（1）解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ； （2）①略 ②，是方程的两根， ，， ； 由①知： ． 题型10 增长率问题（一元二次方程的应用） ▌例1 2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 解题要点 增长率问题（一元二次方程的应用） 1.设基数为 ，增长率为 ，则两次增长后为 ，下降率为 。 2.区分“平均增长率”：若连续增长（或下降）相同次数，则用指数形式。 3.注意单位与起始时间：明确是从哪一年开始，增长/下降了几个月或几年。 4.解出后检验：增长率通常为正，下降率在0～1之间，负值或大于1需舍去。 【答案】A 【详解】解：设每年市政府投资的增长率为x， 列方程得． ▌迁移练1-12021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，据有关部门统计，年末我国贫困人口还有万人，此后逐年下降，截至到年末我国贫困人口仅有万人．若设贫困人口的年平均下降率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】年末我国贫困人口还有万人，年平均下降率为．年末贫困人口为万人．年末贫困人口为万人．年末贫困人口为万人，据此列出方程即可， 【详解】解：由题意可得，． ▌迁移练1-2某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以每次降价前的价格为计算基数，结合最终售价列方程即可． 【详解】解：∵商品原价为289元，平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后的售价为元， ∵第二次降价以第一次降价后的售价为基数， ∴两次降价后的售价为元， ∵ 两次降价后售价为256元， ∴可列方程． ▌迁移练1-3某加工厂九月份加工了吨干果，十一月份加工了吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 【答案】 【分析】十一月加工量=九月加工量（+月平均增长率），把相关数值代入即可． 【详解】解：设该厂加工干果重量的月平均增长率为， 根据题意，可列方程为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 题型11 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） ▌例1 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． (1)的长用含的代数式表示为 m； (2)现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 解题要点 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 1.画示意图：将几何图形（矩形、三角形、圆等）中的未知量用 表示。 2.建立面积/周长方程：利用公式（如面积=长×宽，勾股定理等）列出等式。 3.注意“去边角”或“修路”类问题：常通过平移、补形将不规则图形转化为规则图形。 4.取舍根：解出的边长必须为正，且满足图形实际限制（如不超过总长）。 【答案】(1) (2)解：不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当时，，不符合题意， 答：不能围成面积为的花圃． 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意，列方程求得方程的根，检验即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 则； （2）略． ▌迁移练1-1如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？ 【答案】这个仓库的长和宽分别为14米、10米． 【分析】 首先设这个仓库的长为x米，则宽表示为，再根据面积为140平方米的仓库可得，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设这个仓库的长为x米， 由题意得：， 解得：，， ∵这堵墙的长为18米， ∴不合题意舍去， ∴， 宽为：（米）． 答：这个仓库的长和宽分别为14米、10米． ▌迁移练1-2你知道古代数学家怎样解一元二次方程吗？ 以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为，即． 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示． 第四步：计算大正方形面积用x表示为 ．长方形面积为3，小正方形面积为4． 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程 ， 两边开方可求得：． 则上述过程中，按顺序横线上应填入 ， ．    【答案】， 【分析】利用代数式表示出大正方形的面积，然后根据面积的数量关系列出方程． 【详解】解：计算大正方形面积用x表示为； 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程． ▌迁移练1-3小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 【答案】(1)①；②米 (2)养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到平方米， ∵长为米， ∴， 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米． 【分析】（1）①利用“的长 的长木栏总长门的宽度的长”，可用含的代数式表示出的长； ②根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合，即可确定结论； （2）假设养蜂场的面积可以达到平方米，由长为米，可得出长为米，根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不正确． 【详解】（1）解：①依题意，得：（米）； ②依题意，得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴的长为米； （2）略． 题型12 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） ▌例1 2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 解题要点 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 1.握手问题： 个人两两握手一次，总次数为 。 2.循环赛（单循环）：每两队赛一场，总场数同样为 。 3.双循环赛：每两队主客各一场，总场数为 。 4.注意“自己与自己不握手/比赛”，列方程后解得 ，正数且为整数才符合。 【答案】D 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． ▌迁移练1-1为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 【详解】解：依题意，共有个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， 又∵ 两队之间进行一场比赛， ∴ 实际总比赛场数为， 已知总比赛为36场， 因此列方程得，符合题意的为选项A. ▌迁移练1-2在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 【答案】C 【分析】根据双循环赛制得到总比赛场数与球队数量的关系，列方程求解即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支．∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为． 根据题意得． 整理得． 解得，． ∵球队数量为正整数，舍去． ∴，即参加小组赛的球队有8支． ▌迁移练1-32026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 题型13 行程问题（一元二次方程的应用） ▌例1 《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 解题要点 行程问题（一元二次方程的应用） 1.基本关系：路程 = 速度 × 时间，常设速度为 或时间为 。 2.相遇/追及：画线段图，明确两者行进的总路程关系（如相遇时路程和=总距）。 3.涉及“变速”或“停留”：分段表示时间，利用时间差或路程差列方程。 4.解后检验：速度、时间均为正数，且符合实际情况（如不能为负）。 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． ▌迁移练1-1在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了________秒． 【答案】/ 【分析】本题考查一元一次方程及一元二次方程的应用，是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程，列方程并解方程即可解决，注意速度单位的转化和题目的问题相符． 【详解】解：时速为108千米米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒， 则， 解得：． 平均每秒减速（米/秒）； 设刹车后汽车滑行10米时用了t秒， 依题意列方程：， 解方程得，（不合题意，舍去）， 即， 故答案为：． ▌迁移练1-2一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可. （2）①利用列代数式即可； ②利用建立一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 题型14 工程问题（一元二次方程的应用） ▌例1 列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 解题要点 工程问题（一元二次方程的应用） 1.基本量：工作量 = 效率 × 时间，通常把总工作量设为1。 2.合作效率：甲效率 + 乙效率 = 合作效率，再乘以合作时间 = 完成工作量。 3.列方程：根据“甲先做若干天，再合作”或“同时开工，先后完成”等描述建立等式。 4.注意单位：时间单位统一（天、小时），效率为“单位时间完成的工作量”。 【答案】(1)360个；240个 (2)80 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． ▌迁移练1-1学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 【答案】(1)600 (2)50 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书，结合甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等，列分式方程求解； （2）先得出计划时间为天，根据实际工作效率和时间关系列一元二次方程求解，即可作答． 【详解】（1）解：设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书， 依题意，， 解得， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解， ∴甲计划每天整理（本） （2）解：由（1）得甲计划每天整理600本， ∵总图书4800本， 则计划时间天， 依题意，甲实际每天整理本，实际完成时间天 根据工作量关系，得方程， 展开得， 化简得， 即 解得或， 由于不符合实际意义，故． ▌迁移练1-2 “万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． ▌迁移练1-3列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解； （2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据“甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，” 列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 题型15 营销问题（一元二次方程的应用） ▌例1 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．15元 D．15元或20元 解题要点 营销问题（一元二次方程的应用） 1.基本公式：利润 = 售价 - 进价；总利润 = 单件利润 × 销售量。 2.价格变化影响销量：常见“每涨价1元，销量减少若干件”，需用含 的式子表示新销量。 3.建立方程：根据“总利润达到多少”或“利润率”列等式，注意单位（元/件）。 4.取舍：售价、销量均为正数，且涨价或降价需在合理范围内（如不能无限降价）。 【答案】A 【分析】设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天销售数量为件，根据每天销售利润每件盈利销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天销售数量为件，即件， 依题意得， 整理得， 解得，； ∵每件盈利不少于25元， ∴，即， ∴． ▌迁移练1-1目前，我区大面积种植草莓的优良品种“丰香”，“章妃”，“红颊”，这些草莓颗粒饱满，口感香甜，已成为了我区万元高效农业的一大典型经济作物，并带动了城乡旅游，某一草莓园的采摘套票售价为100元/张，成本为60元/张，每天平均有80人前来采摘．为吸引人气，打响品牌，扩大销售，某天草莓园采取了合理的降价措施．经调查发现，如果票价每下降1元，票数便可多售出2张，已知草莓园降价后，当天多销售了1000元． (1)降价后，草莓园当天销售多少元？ (2)草莓园采摘套票降价了多少元？ 【答案】(1)9000元 (2)10元 【分析】（1）降价后，草莓园当天销售钱数原来80人的销售价增加的1000元； （2）设草莓园采摘套票降价了x元，根据等量关系：（原来的票价降低的价格）（原来卖出的张数增加的张数），列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵原来的销售额为元，增加了1000元， ∴降价后，草莓园当天的销售额为（元）； （2）解：设草莓园采摘套票降价了x元，根据题意得： ， 解得：，， 当降价为50元时，票价为（元）， ∵， ∴此时小于成本价，降价措施不合理， ∴舍去， 答：降价了10元． ▌迁移练1-2某商场销售一种商品，每件进价40元．经市场调查发现，当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件． (1)设售价为x元，日销售量为y件，求y与x的函数关系式； (2)若商场希望日利润达到1800元，则售价应定为多少元？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)售价定为70元 【分析】（1）根据当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件，得出（，且x为整数），即可作答． （2）分别表示出单件利润为元，销售量为件，再结合利润=单件利润×销售量进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（，且x为整数）； （2）解：依题意， 整理得： ∴ 解得 ∴售价定为70元． ▌迁移练1-3西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． (1)上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ 【答案】(1) 礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元 (2) 礼盒甲每件降价元 【分析】（1）利用两款礼盒销售量相等的等量关系列分式方程求解； （2）结合价格调整后总销售额的变化关系列方程求解． 【详解】（1）解：设上一周礼盒乙的销售单价为元，则礼盒甲的销售单价为元， ∵两款礼盒销售量相等， ∴，解得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解且符合实际意义， ∴ 礼盒甲的销售单价为（元）． 答：上一周礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元． （2）解：∵上周礼盒乙的销售额为元，单价为元， ∴上周两款礼盒的销售量均为（件）， 设礼盒甲每件降价元， ∵调整价格后两款礼盒总销售额比上周多元， ∴， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：礼盒甲每件降价元． 难点一 根据一元二次方程根的情况求参数（判别式法） 核心知识点： 利用判别式 的符号决定根的性质： 有两个不相等的实数根； 有两个相等的实数根（即一个根）； 没有实数根（在初中范围无解）。 ⚠️ 易错知识（高分拦路虎）： “一元二次”是前提（暗含 ）： 题目若说“关于 的方程 有实数根”，必须先讨论 是否为 0。若 ，方程变为一次方程 ，也有实数根（1个）。此时不能盲目用 。 结论：若题干明确说“一元二次方程”，则 ；若只说“方程”或“有实数根”，必须分类讨论二次项系数是否为 0。 “有两个实数根”与“有两个不相等的实数根”的文字陷阱： 题目写“有两个实数根” 允许相等 。 题目写“有两个不相等的实数根” 。 题目写“有实数根” （且若一次方程也算）。 化简后再找 ： 必须把方程化为标准形式 再算 。若未移项，直接套用系数，符号必错。 难点精练 1．若数使关于的一元二次方程有两个不相等的实数解，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况、解分式方程，熟练一元二次方程的判别式，解分式方程的步骤是解题的关键．由方程有两个不相等的实数解，利用可得出，解分式方程可得，结合分式方程的解为正整数得到或，再代入分别检验分式方程的解是否符合题意即可得出结论． 【详解】解：方程有两个不相等的实数解， ， 解得：， ， ， 解得：， 由题意得，是正整数， 是正偶数，且， ， ， 或， 或， 当时，是分式方程的增根，不符合题意，舍去； 当时，是分式方程的解，符合题意； 满足条件的的值为5． 故选：C． 2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次方程根的情况，利用判别式求出的取值范围，再解分式方程，根据解为负整数且分式有意义，确定符合条件的整数，最后计算所有符合条件的的和即可． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得； 解分式方程， 方程两边同乘（，否则分式无意义）得：， 整理得， 解得， ∵分式方程的解为负整数， ∴，且为整数，且， 即，是的倍数，， 结合且为整数，可得符合条件的整数只有， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 3．关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是_________________（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和判别式的性质。对于每个说法，通过代入根的定义、分析判别式或代数变形进行判断即可． 【详解】解：①若c是方程的一个根，将代入方程得：，即，这意味着或，并非“一定有”，因此说法①错误； ②由，则， 所以，， 所以，方程必有实数根，说法②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根，说法③正确； ④若是方程的根，则，即， 而， 因此，说法④正确． 故答案为：②③④． 难点二 配方法的应用 核心知识点： 将 变形为 。用途：求顶点坐标、求最值、证明恒正/恒负。 ⚠️ 易错知识（细节决定成败）： 二次项系数不提取完全（配平失误）： 错误操作：。括号内减了 1，括号外乘以 2，相当于整体减了 2。最后常数项应为 ，而不是 。 口诀：括号内加减多少，括号外要乘以系数补回来。 配方时“加一半平方”漏乘系数： 在解方程 时，两边同除以 3 得 ，此时加 1 得 。如果不除以 3直接配方，右边配平极其容易出错。 代数式恒等变形与方程变形的混淆： 求代数式最值（恒等变形）：，配出来的常数项要减去。 解方程（等号两边同加）：，等号右边是正数。 易错：很多同学在求最值时写成 ，把恒等号当成了方程。 难点精练 4．如图，在平行四边形中，，，，，点P在边上运动且不与点A、D重合，连接，取的中点E，过点P作，垂足为点F，连接，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】过点作交于点，过点作交于点，延长，交于点，根据平行四边形的对边平行可得，根据平行线的性质得出，根据直角三角形的性质和勾股定理求出，根据等腰直角三角形的定义和性质得出，根据勾股定理求出，求得，根据等腰直角三角形的定义和性质得出，根据勾股定理求出，求得，根据平行线的判定和性质得出，根据如果两个三角形中有两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等可得，根据全等三角形的性质得出，，推得当的值最小时，的值最小；根据等腰直角三角形的定义和性质得出，设，求得，，，，根据勾股定理得出，推得当时，的值最小为，即可求出的最小值为，的最小值为． 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点，延长，交于点，如图： ∵四边形是平行四边形， 故， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∵，， 故是等腰直角三角形， ∴，， ∴； ∵，， 故是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 故， ∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点， 故， ∵，，， ∴， ∴，， 故， 当的值最小时，的值最小； ∵，， 故是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ， ， 在中，， 故， 整理得：， 当时，的值最小为， 此时的最小值为， 故， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 5．阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或 ③选取一次项和常数项配方： 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，求的值 (3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1) 第一种形式：选取二次项和一次项配方， ； 第二种形式：选取二次项和常数项配方， ； 或 ； 第三种形式：选取一次项和常数项配方， ； (2) (3)当，时，取得最小值，最小值为 【分析】（1）根据配方的定义，分别选取二次项、一次项、常数项中的两项，进行配方即可得出三种形式； （2）首先根据配方法把变形为，再根据偶次方的非负性，得出，，解出、的值，然后将、的值代入代数式，计算即可得出结果； （3）首先根据配方法把代数式变形为，再根据偶次方的非负性，得出，进而得出当，时，取得最小值，再进行计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：， 配方，得：， 即， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， 当，时，取得最小值， 即当，时，取得最小值，最小值为． 【点睛】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式进行配方是解本题的关键． 6．【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）仿照例题利用配方法求解即可； （3）过点F作于点H，证明，得到；设，则，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，过点F作于点H， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为8． 难点三 换元法解一元二次方程 核心知识点： 当方程中含有相同的代数式（如 、）或互为倒数/相反数关系时，设这个整体为 ，解出 后再代回求 。 ⚠️ 易错知识（最容易产生增根或漏根）： 忽视新元 的取值范围（隐含定义域）： 例如：已知 ，设 。解得 或 。易错：直接将 代回 得无解。虽然结果无解，但过程若未舍去，容易导致最终答案多写。 根号换元：设 ，则 且 。解得 必须立马舍去。 “倒数型”换元忘记分母不为 0： 设 ，则 。如果解出 ，要直接舍去，并判断原方程无此根。 “双换元”回代不全： 设 ，解出 后，代回解分式方程，要检查 是否为增根（显然不是根，因为分母不能为0）。 难点精练 7．已知，则方程的解集是_______； 【答案】 【分析】利用换元法将原方程转化为整式方程，整理后换元求解，结合的范围舍去增根，检验后得到原方程的解集． 【详解】设，由得， 原方程可化为， 因为，方程两边均为正数，两边同时平方得：展开整理得：， 因为，方程两边同时除以得：整理得： ， 由，令，代入得：整理得一元二次方程， 解得或， 因为 ，所以，舍去，得即， 两边同乘得， 解得，由， 得检验：将代入原方程，左边，右边，左边等于右边， 是原方程的解． 8．若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实数根． （1）当时，则的值是________； （2）当时，则的值是________． 【答案】 / 【分析】（1）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到，配方即可得，根据，，得到，即可得到，再解方程即可； （2）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到，配方即可得，根据，，得到，即可得到，化简后两边同时除以，将方程转化为，解方程即可． 【详解】解：（1）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵，为正实数， ∴． （2）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵n、t均为正实数， ∴． 9．阅读下面材料，然后解答问题： 我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程：，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：，， 或． 解得，，，． (1)请参考例题解法，解下列方程： ； ． (2)已知一元二次方程，，直接写出的值． 【答案】(1)，；， (2)或或12 【分析】本题主要考查了换元法在解一元二次方程中的应用，正确理解题意，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）①设，则原方程换元为，由此求解即可； ②设，则原方程换元为，由此求解即可； （2）设，则，设，则，求出的值，则，分为四种情况代入计算求解即可． 【详解】（1）解：， 设，则原方程换元为， ， 解得（舍去），， ， 解得，， ， 设，则原方程换元为， ， 解得（舍去），， ， 即， 解得，； （2）设，则， 原方程换元为， 解得，， 设，则， 原方程换元为， 解得，， 当，时， ； 当，时， ； 当，时， ； 当，时， ； 综上，的值为或或． 难点四 一元二次方程根的判别式（专项） 核心知识点： 不仅仅是判断根，还用于判定三角形形状、证明代数式恒正/恒负、以及二次函数与 轴交点个数。 ⚠️ 易错知识（思维盲区）： 使用前提必须是整式方程： 若方程含分母且分母含未知数（分式方程），先去分母化为整式方程。但此时 判断的是去分母后的整式方程的根，必须代入原分式方程检验增根。很多时候 但整式方程的根使分母为 0，从而原方程无解。 证明“方程总有实数根”的策略出错： 不要只盯着 配平方。若二次项系数含参，一定要先说“当 时，方程为一元一次方程，有实根；当 时，”。 经典技巧：若证明 ，要强调“平方非负，所以 ”。 “有两个实数根”求参数范围，忘记 与 的双重限制： 例：关于 的一元二次方程 有两个实数根，求 范围。 易错：只列 ，不列 。正确答案是 且 。 难点精练 10．使得的值为整数的无理数的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】C 【分析】设分式的值为整数k，整理得到关于x的方程，利用一元二次方程根的判别式确定k的所有可能整数值，再分别解方程，判断x是否为无理数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：∵， ∴分母恒不为0， 设，其中k为整数， 整理得 ， 当时，得 ， 解得，是有理数，不符合要求； 当时，方程为一元二次方程，若方程有实根，则判别式：， 即， 解得， ∵k为整数，且， ∴k的可取值为1，2，3， 当时，方程为， 解得，都是无理数，符合要求； 当时，方程为， 解得或，都是有理数，不符合要求； 当时，方程为， 解得或，都是有理数，不符合要求； 综上，符合条件的无理数共有2个． 11．已知关于的整式，其中为常数．给出下列命题：①若是关于的二次三项式，则；②若为单项式，则；③若是关于的一次函数，则；④当时，不能分解为两个关于的一次因式的乘积．其中正确的命题个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多项式、一次函数的定义，逐个判断四个命题，利用判别式判断二次多项式能否分解为一次因式乘积，最终统计正确命题个数． 【详解】解：已知，逐个判断： 若是二次三项式，需满足二次项系数不为，且一次项、常数项均不为， ∴一次项系数为，由二次项系数得，常数项得， ∴满足二次三项式要求， ∴正确． 若为单项式，需二次项系数为且常数项为， ∴ 得，得， ∴当时是单项式， 当时是二项式， ∴错误． 若是一次函数，需二次项系数为，一次项系数不为， ∴ 得， ∴均满足一次函数要求，与命题不符， ∴错误． 当时，，是二次多项式，计算判别式： 当时，，， ∵， ∴，得， 当时，，， ∵， ∴，得， ∴，二次多项式无实根，不能分解为两个一次因式的乘积， ∴正确． 综上所述，正确的命题个数是． 12．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时 ， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； (2)整数的值为或或 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 难点五 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 核心知识点： 若 是方程 的两根，则 ，。 ⚠️ 易错知识（大坑集中营）： 前提条件 是隐形开关： 题目给出“已知 是方程 的两根，且 ”。 易错：先用韦达定理代入算出 的两个值，直接写答案。必须：算出 后，必须代回原方程验证 。因为韦达定理成立的前提是方程必须有实数根！若某个 使 ，这个 必须舍去。 符号系数的混淆（ 带负号）： 方程 ，。（正号），（负号）。切记： 是 ，前面有个负号！ 非对称式变形的盲区： 求 。必须先保证 （即 ）。若 ，则有一个根为 0，该分式无意义。 求 ，常用公式 ，开方时不要忘了 ，且需结合两根大小关系取舍。 难点精练 13．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 14．小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+ ， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】类比一元二次方程根与系数的探究方法，将三次方程因式分解为含根的乘积形式，对比常数项系数求解． 【详解】解：∵，，是一元三次方程的三个根， ∴， 展开右边得． ∵等式为恒等式，两边常数项对应相等， ∴， 整理得． 15．关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； (2) (3)的最大值为 【分析】（1）运用提公因式解一元二次方程，即可证明； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据，，推出，可得的取值范围，结合题意求出最后的取值范围，再化简代入，求解即可； （3）先根据题意求出，设的一个根为，再根据题意推出，将代入求出，最后根据配方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 难点六 动态几何问题（一元二次方程的应用） 核心知识点： 将动点的运动时间 设为未知数，利用勾股定理、面积公式、相似三角形比例，构建关于 的一元二次方程。 ⚠️ 易错知识（实际应用题丢分重灾区）： 忽视“运动范围”导致增根（范围限定的隐性条件）： 点 从 向 运动，速度为 2cm/s，线段 。则 的范围必须是 。 易错：解得 或 ，直接取两个。但 时点早已越过终点，图形已不存在，必须舍去。 “谁在动，谁在变”的线段表示错误： 总长 ， 从 出发走了 ，则 。 易错：很多同学设“经过 秒后，”忘记乘以速度。必须严格区分“路程 = 速度 × 时间”。 面积法的“割补”漏算： 求重叠部分面积。当动点在运动过程中，图形形状改变（如梯形变为三角形），需要分类讨论。 易错：列了一个面积方程，解出 ，但这个 并不在对应的分类时间段内。分类讨论得出的 必须满足“该形状存在的时间段”。 勾股定理中直角边与非直角边的混淆： 若构建直角三角形，且斜边是固定的某条线段，使用 时，务必确认 是对应斜边（最大的边）。很多时候动点构成的三角形并非直角三角形，需要利用“水平距离”和“铅垂距离”的平方和等于两点间距离公式来列式，此时极易把斜边当成直角边代错。 难点精练 16．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 17．如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 【答案】 【分析】过点作于点，标记与交于点，由题意求得，，进而可得到，分析可得，，从而求得，根据与矩形重叠部分的面积为，得到，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，标记与交于点， 在中， ∵，，， ∴点到的距离，即的高为， ∵， ∴点刚好在矩形的上边所在直线上， ∴， 当时，点进入矩形左侧， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与矩形重叠部分的面积为， ∴， 解得，， ∵， ∴． 18．在矩形中， ，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当t的值为时，点B在的垂直平分线上 (2)当时，的长度等于10cm (3)存在t的值，使得五边形的面积等于，此时t的值为1 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意得，，则，再根据垂直平分线的性质可得进行求解即可； （2）由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （3）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：，则， 当时，点B在的垂直平分线上， ∴， 解得， ∴当t的值为时，点B在的垂直平分线上； （2）解：在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 解得：（不合题意，舍去）， ∴当时，的长度等于； （3）解：存在t的值，使得五边形的面积等于，理由如下： 由题意得：， ， ∴五边形的面积， 即， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴存在t的值，使得五边形的面积等于，此时t的值为1． 基础达标 一、单选题 1．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及满足两个实数根的条件，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系． 一元二次方程有两个实数根需满足判别式且二次项系数不为0，列式求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，且， 即，解得， ∴且． 故选：C． 2．一元二次方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程没有实数根，可得：，解不等式求出的取值范围，根据取值范围确定的值． 【详解】解：一元二次方程没有实数根， ， 解得：， 四个选项中只有， 的值可能是． 故选：A． 3．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】由于一元二次方程有实数根，所以，再由此方程是一元二次方程可知，根据这两个条件求出m的取值范围即可． 【详解】解：因为方程是一元二次方程， 所以， 因为方程有实数根， 所以， 所以， 所以且． 故选：C． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，在解答此类题目时一定要注意二次项系数不为0，这是此题的易错点． 4．关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B． C． D．， 【答案】B 【分析】将方程整理后，通过提取公因式因式分解，得到方程的根． 【详解】解：， 移项得：， 提取公因式得：， 化简得：， ∴ ． 5．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 【答案】D 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数，为常数项，对应题目方程即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是、． 6．如图所示为长米、宽米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，合理列出方程是解题的关键． 设小道的宽为米，则个小矩形可合成长为米、宽为米的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为米，宽为米的矩形， 根据题意知：． 故选：D． 7．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原一元二次方程变形因式分解，得到方程的两个根，再结合题目给出的根的大小关系和倍数关系列方程，求解得到的值． 【详解】解：∵ 原方程可变形为， 由平方差公式因式分解得 ， ∴ 方程的两个根为和， ∵ ，， ∴ ，，代入关系式得 ， 展开整理得 ， 因此的值为． 8．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大 C．两个负根 D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小 【答案】D 【分析】方程整理为一般形式，设两根分别为a，b，利用根与系数的关系表示出a+b与ab，判断即可． 【详解】解：设方程两根设为a，b， 方程整理得：x2+x﹣2﹣p2＝0， ∴由根与系数的关系得：a+b＝﹣1＜0，ab＝﹣2﹣p2＜0， 则一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小． 故选：D． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，绝对值，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 9．已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方程得到一个解为，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则， 当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根， ∴，，， 解得：， ∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上：， 故选：C 二、填空题 10．某公司一月份的产值为万元，计划三月份的产值达到万元，如果每月产值的增长率相同，设增长率为，可列方程______________． 【答案】 【分析】设增长率为，根据增长率问题列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设增长率为，根据题意得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 11．若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程根的意义是关键；将已知根代入一元二次方程，求解参数a的值． 【详解】解：将代入方程 得：， 即 ， 解得 ． 故答案为：． 12．若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 13．如图，在中，，，点从点出发，沿射线方向以的速度移动，点从点出发，沿射线方向以的速度移动，如果、两点同时出发，问：经过__________秒后的面积等于．    【答案】或或 【分析】过点作于点，则，当运动时间为秒时， ， ，， ，根据的面积等于，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，则，如图所示．    当运动时间为秒时， ， ， ， ， 依题意得：． 当时，， 解得：，； 当时，， 解得：不符合题意，舍去，． 经过或或秒后，的面积等于． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．有一人患了流感，经过两轮传染后共有225个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染给了______人． 【答案】14 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，根据题意，设每轮传染中平均一人传染人，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，设每轮传染中平均一人传染人， ∴，整理得得，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了人， 故答案为：14 ． 15．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______________． 【答案】且 【分析】，一元二次方程的二次项系数不为，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于，据此列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得， 综上可得的取值范围是且． 三、解答题 16．解方程： (1)． (2)． (3) (4)． 【答案】(1)，； (2)， (3)， (4)， 【分析】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法并根据每个方程的特点恰当选择解法是解题的关键． （1）移项后利用直接开平方法解方程； （2）利用配方法解方程，两边同时加9，方程可化为，即可解方程； （3）利用配方法解方程，两边同时加3，方程可化为，即可解方程； （4）移项后可得，再利用因式分解法即可解方程． 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： ∴ ∴ ∴， ∴，； （3）解： ∴ ∴ ∴， ∴，； （4）解： ∴ ∴，即 ∴，． 17．某校学生为了制作图片展览，要在一幅长、宽的图片四周镶上宽度相同的银边，并且要使银边的面积和图片的面积相等，那么银边的宽应该是多少？    【答案】 【分析】设银边的宽应该是，根据银边的面积和图片的面积相等列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设银边的宽应该是， 由题意，得． 整理，得． 解得（不合题意，舍去）． 答：银边的宽应该是． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，根据等量关系正确列出方程是解题的关键． 18．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．商家想尽快销售完该款商品，采取降价措施增加销量． (1)若日利润保持不变，每件售价应定为多少元？ (2)每件商品降价多少元时日利润最大？ 【答案】(1)40元 (2)10元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，解题的关键是： （1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，利用该种小商品的日销售利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）根据（1）列出的方程求解最大值即可． 【详解】（1）解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 依题意得：整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 每件售价应定为（元）． 答：每件售价应定为40元． （2）设日利润元，每件降价元． 当时，最大，此时（元） 答：每件商品降价10元时日利润最大． 19．如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且，，在，，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． (1)试用含有的代数式表示五边形的面积__________； (2)当时，请写出小正方形种植花卉所需的费用__________； (3)当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 【答案】(1) (2)元 (3)当米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元 【分析】（1）根据题意，结合图形，得到，分别求出正方形面积、面积、面积，代入化简即可得到答案； （2）在，，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元，结合（1）中所求面积表达式，代入得到，，，从而所需费用为元； （3）根据图形，大正方形是四个小正方形中的情况之和，结合大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元，由（1）中所求列出方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设米，则米， ∴， ， ∴ ， 故答案为：； （2）解：若，则， ∴，， ∴， ∴所需费用为：（元）， 故答案为：元； （3）解：根据题意得 ， 整理得，解得， 答：当米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元． 【点睛】本题是实际应用题，涉及间接方法求不规则图形面积、列代数式解实际问题、整式混合运算、有理数混合运算、一元二次方程解实际应用题等，读懂题意，数形结合，掌握解决实际应用题的方法步骤是解决问题的关键． 20．阅读：已知，求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴是方程的根， ∴，即． 利用以上方法，求证：（m、n为非零实数） 【答案】 证明：当即时， ，， 此时； 当时， ∵ ； ∴， ∴是方程的根， ∴ ， 即， ∴． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式．当即时，验证原不等式成立；当时，通过构造一个一元二次方程，并证明是该方程的根，从而利用判别式非负的性质证明不等式成立． 【详解】略 21．综合与实践 【项目主题】班级劳动实践小组拟用正方形和等腰直角三角形地砖铺设社区小广场． （1）【项目准备】已知图中小正方形地砖的面积为，则等腰直角三角形地砖的面积为①_____，图形中心的稍大正方形地砖的面积为②_____． （2）【项目分析】第1个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第2个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第3个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； ．．． 根据规律， 第4个图形中，小正方形的个数为③_____，等腰直角三角形的个数为④_____， （3）【项目实施】如果社区小广场是按以上方法铺设的面积为的正方形广场，则需要小正方形地砖的块数为⑤_____，等腰直角三角形地砖的块数为⑥_____． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①_____；②_____；③_____；④_____；⑤_____．⑥_____． 【答案】①；②2；③56；④28；⑤756；⑥84 【分析】（1）根据题目条件及图形计算即可； （2）根据图片的序号与图形中的数据关系，找出规律即可； （3）由（2）中的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：（1）图中小正方形地砖的面积为，则等腰直角三角形地砖的面积是小正方形地砖的面积的一半，为，图形中心的稍大正方形地砖的面积是小正方形地砖的面积的两倍，为； （2）第1个图形可分成4个等腰梯形， 其中1个等腰梯形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为， 第1个图形中小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第2个图形中小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为， 第3个图形中小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第4个图形中小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； （3）第个图形中小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第1个图形的面积是， 第2个图形的面积是， 第3个图形的面积是， ．．． 第个图形的面积是， 当时，解得（负值舍去）， 当时，． 铺设该广场需要小正方形地砖的块数为756，等腰直角三角形地砖的块数为84． 能力进阶 一、单选题 1．已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据两个方程都有实数根，用判别式求出k的取值范围，再利用一元二次方程根与系数的关系化简所求代数式，最后根据一次函数的性质求出代数式的最小值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∴的取值范围为， ∴ ∵， ∴原式随k的增大而减小，且， ∴当k取最大值时，原式取得最小值，即． 2．拋物线恰好经过三个象限，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．拋物线的顶点可以在第三象限 C．若，则当时，y随x的增大而增大 D．方程有两根且两根异号 【答案】D 【分析】抛物线恒过点，必经过第三、四象限，结合“恰好经过三个象限”的限制，分情况讨论对称轴位置、顶点分布，再结合根的判别式与根与系数的关系，对各选项逐一判断． 【详解】解：抛物线过点，即经过y轴的负半轴，则至少要经过第三、四两个象限，如果时，抛物线开口向上延伸同时要经过第一、二象限，这样共经过四个象限，与题设矛盾； 故只有，顶点在x轴的上方，抛物线与x轴有两个交点，且对称轴在y轴的左侧与右侧两种情况．（如图） A． 当对称轴在y轴右侧时，，可得a与b异号，则，此选项不符合题意； B． 如下图，若抛物线的顶点在第三象限，则只经过第三、四两个象限，与题设矛盾，故顶点不可能在第三象限，此选项不符合题意； C．若，对称轴，如下图： 在时，随增大而减小，此选项不符合题意； D．方程的判别式， ∵， ∴， ∴． ∴方程有两个不相同的实数根． 又由根与系数关系可得：方程的两根，两根异号，此选项符合题意． 3．已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，实数，满足，根据根与系数的关系得到、，据此逐项判断即可． 【详解】解：由题意得，，，则，， 设实数，满足， 由根与系数关系得：、， 故A、B选项错误； ， 故C选项正确； ， 故D选项错误． 4．已知整式，其中，均为正整数，，下列说法正确的个数是（     ） ①若，则； ②若，，方程的两个实数根分别为，，则； ③若为整数，且，则所有满足条件的整式的和为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】先根据递推公式推导得到，再依次验证三个说法．对于①，直接计算即可；对于②，先求出、，得到关于的一元二次方程，由根与系数的关系，结合完全平方公式进行计算即可；对于③，由可得，由整数的性质可得是的正因数，结合可得，，，，分别求出对应的整式，最后求和即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴为定值， ∴，即， 对于①，当时，，故①错误； 对于②，∵，， ∴，， ∴， 整理，得， 由根与系数的关系可得，，， ∴， ∴，故②正确； 对于③，∵，即， ∴， ∵为整数，为正整数， ∴是的正因数， ∴，，，，，，，，， ∴，，，，，，，，， ∵，为正整数， ∴，， ∴， ∴， ，，，，，， 又∵， ∴，即 解得或， ∴，，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴所有满足条件的整式的和为，与题干给出的结果不一致，故③错误。 综上，只有1个说法正确． 5．对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等且都小于的不动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用根的判别式得到的范围，再结合二次函数图像性质得到时对应的函数值，即可求出的完整取值范围． 【详解】解：∵二次函数（为常数）有不动点， 令，则，即， ∵二次函数有两个不相等的不动点， 即有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 令，该抛物线开口向上，对称轴为， ∵方程的两个根都小于， ∴当时，， 解得：， 综上所述，的取值范围是． 6．若关于x的方程有绝对值相同，符号相反的两个根，则m的值应为（   ） A．c B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原分式方程整理为一元二次方程，根据题意两根互为相反数，两根之和为0，因此一元二次方程的一次项系数为0，据此求解m即可． 【详解】解：去分母得 ， 整理为一元二次方程标准形式：， ∵ 方程有两个绝对值相同，符号相反的根，即两根互为相反数， ∴ 两根之和为0，且二次项系数不为0， ∵ 一元二次方程两根和为 ，且， ∴ ， 展开得 ， 提取公因式得 ， ∴ ． 7．在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当的面积等于时，运动时间为（  ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设运动时间为，用含的代数式表示、，由三角形的面积公式列方程，求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动， ，，， ， 当时，， ， ， ，， 经检验，都符合的范围， 故选：． 8．定义：若，是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则称这个方程为“奇根方程”．下列说法中正确的个数是（     ） ①是“奇根方程”； ②若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则该方程一定是“奇根方程”； ③若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则满足条件的所有整数k的值之和为； ④若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则存在有理数使得该方程的根为有理数． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据“奇根方程”的定义，利用一元二次方程的判别式和根与系数的关系，逐个判断四个说法的正误，统计正确个数得到答案。 【详解】解：对于一元二次方程 ，两根之和为 ，方程有实数根需满足判别式 ， 据此逐个判断： ①对于方程，，得 ，满足，且，有两个实数根， 因此该方程是“奇根方程”，①正确； ②对于方程 ，由题意得，，方程有两个不等实根得，即，两根和，取，得，不满足定义，因此该方程不一定是“奇根方程”，②错误； ③对于方程，由定义得，解得，方程有两个实根得，即， 因此符合条件的整数为，和为，③错误； ④对于方程，由定义得，解得，计算判别式，取 ，是有理数，满足，此时是完全平方数，方程根为有理数， 因此存在满足条件的有理数，④正确． 综上，正确的说法共 个． 二、填空题 9．满足的所有实数x的和为_______． 【答案】 【分析】根据有理数乘方结果为的三种情况分类讨论，求出所有满足条件的实数，再计算所有的和. 【详解】解：非零数的次幂等于，因此满足 ， ， 解得或，均满足， 因此和是符合条件的解. 的任意次幂等于，因此满足 解得，代入原式得，等式成立，因此是符合条件的解. 的偶次幂等于，因此满足 是偶数， 由，解得，故，是偶数，因此，等式成立，因此是符合条件的解； 所有实数的和为； 10．如图，在矩形中，对角线，相交于与点，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，过点作的垂线交于点，．若，则的长是________． 【答案】 【分析】由题意推出为等腰直角三角形，结合用勾股定理求出，过点作，垂足为，设，，其中，，，通过同角的余角相等证，故，，推出，，在中由勾股方程解得，在中由勾股定理解出和，利用矩形对角线中点性质得为的中位线，得出的长，从而可得出． 【详解】解：由题意得， ， 是等腰直角三角形， ，由勾股定理得， ，解得， 如图，过点作，垂足为， ， 设，，其中，，， 四边形是矩形，对角线，相交于与点， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 化简得， 因式分解得， ，， ， ， 在中，， ，解得或（舍去）， ，， 点和点分别为，的中点， 为的中位线， ， ， ． 11．若方程的两根分别是方程的两根的相反数，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到关于的方程组，求解得到的值后即可计算出的结果． 【详解】解：设方程的两根为， 由题意可知，方程的两根为， 根据一元二次方程根与系数的关系， 对可得，； 对可得，， 整理得，； 联立得方程组， 解得， 因此． 12．已知实数，，满足，，则的值为________． 【答案】 【分析】由，知，，为方程的两实根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，为方程的的两实根， ∴， ∴，，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 13．如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，若，，则________． 【答案】 【分析】根据题意，得，设，根据勾股定理，得，继而求得，根据勾股定理，得，故，解方程即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 设， ， ∴， ∴，， ∴， 解得，负的舍去，线段长不能为负， ∴， 根据勾股定理，得， ， 整理，得， 解得或，负的舍去，线段长不能为负， 故, 故； 14．已知二次方程的两根一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【分析】由二次方程和根的判别式解不等式组得出实数m的取值范围． 【详解】解：是二次方程， ，解得． 二次方程有两根， ． 即． 或． 解，得． 解，得且，不合题意舍去． 实数m的取值范围为． 15．已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 【答案】 【分析】将用含和的代数式表示，代入得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程有实根时判别式非负，结合求出的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】解：由得 ， 将代入得 ， 整理得 ， 两边同除以得 ， 因为为实数，所以关于的一元二次方程有实数根，判别式， 即 ， 因式分解得 ， 因为已知， 所以， 即 故的最小值为． 三、解答题 16．【阅读理解】 滨滨在学习二次根式性质时，发现有些含二次根式的式子，可以化成另一个含二次根式的式子的平方．例如，他的计算方法如下： 设（，），得，，猜想，验证成立，得． 【深入思考】 (1)江江发现把两边平方，得，设，又因为，所以， 这样就能先求的值，再求出，的值，请你把江江求，值的这个解题过程写完整． 【尝试探究】 (2)把下列各式化成含二次根式的式子的平方（直接写出结果）： ①     ② 【答案】(1) 把两边平方，得，设，又因为，所以， 所以， 整理得：，解得，， 当时，，， ∵，， ∴，； 当时，，， ∵，， ∴，； 综上，，或，． (2) ① ；② 【分析】（1）根据题干中的方法列出关于的一元二次方程，解方程即可； （2）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：①设（，）， 得，， 猜想， 验证成立， 得． ②设（）， 得，， 猜想， 验证成立， 得． 17．如图，在正方形中，为边上一点，为边上一点，，，，求正方形的边长． 【答案】正方形边长为 【分析】将绕逆时针旋转到，可证，设正方形边长为，则有，，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可得关于的方程，解方程即可求出正方形的边长． 【详解】解：设正方形边长为， 则在正方形中，， 如下图所示，将绕逆时针旋转到， 则，，，， ∴， ∴点三点共线， ， ， 又，， ， ， ，， ，，， 在中：，即， ， 整理得：， 分解因式得：， （负值舍去）， 答：正方形边长为． 18．某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；②米； (2)解：不能，理由如下： 当饲养场面积为170平方米时，， 整理得， 判别式， 方程无实数根， 因此饲养场面积不能达到170平方米. 【分析】（1）①用总长加上两个门宽再减去2个的长，列出代数式即可；②根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程，利用判别式判断方程的根的情况，即可. 【详解】（1）解：①由题意，（米）； ②由题意，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故米； （2）略 19．对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 【答案】(1)和 (2)代数式没有镜像值， 理由：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， ， 计算根的判别式， 方程没有实数根， 代数式没有镜像值． (3)正整数的值为 【分析】（1）根据定义列一元二次方程求解即可得到镜像值； （2）根据定义列一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实根，即可得到结论； （3）根据定义整理方程，推导出两个镜像值差的表达式，结合差为整数，a为正整数的条件求解即可． 【详解】（1）解：设代数式的镜像值为，根据定义得， 整理得， 解得， 即代数式的镜像值是和． （2）略 （3）解：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， 为正整数，代数式有两个镜像值， ，方程是一元二次方程，且， 方程的两个根为， 则两个根差的绝对值为， 两个镜像值的差为整数，是正整数， 是正整数， 为正整数， ， 即， 满足条件的整数平方只有，即， 得，符合要求 正整数的值为． 20．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $