第二章 图形的相似（复习讲义）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学“图形的相似”单元复习讲义通过表格系统梳理复习要点与重难点，将相似图形定义、判定方法、性质及位似等核心知识分块呈现，构建从基础概念到综合应用的知识脉络，突出相似三角形判定与性质的重点及灵活运用的难点。 讲义亮点在于分层题型设计，如“利用两角对应相等判定相似”题型通过公共角、平行线导角培养推理意识，“网格中画相似三角形”结合勾股定理发展几何直观。基础达标与能力进阶练习满足不同学生需求，解题要点提供方法指导，助力学生自主复习，也为教师精准教学提供支持。

第二章 图形的相似 复习要点 1.相似图形对应角相等、对应边成比例，这是所有判定和计算的根本依据。 2.判定三角形相似有五种常用方法：定义、平行线、三边成比例、两边成比例且夹角相等、3.两角对应相等（含直角三角形的HL型）。 4.相似三角形对应线段和周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 5.位似图形是相似图形的特例，对应点连线交于一点（位似中心），且对应线段平行。 6.以原点为位似中心时，位似比为k，同侧坐标乘k，异侧坐标乘-k。 7.全等是相似比为1的特例，位似强调位置关系，但相似图形不一定位似。 复习重难点 重点： 熟练掌握相似三角形的判定方法（两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例）、相似三角形的性质（对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方），以及位似图形的概念、性质与作图。 难点： 灵活运用相似三角形的判定与性质，结合比例线段、面积关系等知识解决综合性的几何证明与计算问题。 知识点 相似图形与相似多边形： 相似图形的定义: 形状相同的平面图形叫做相似图形（简称相似形）。两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到。 要点速测 1．下列说法中正确的有（   ） ①所有的圆都是形状相同的图形； ②所有的正方形都是形状相同的图形； ③所有的等腰三角形都是形状相同的图形； ④所有的矩形都是形状相同的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查形状相同图形即相似图形的概念，只需逐一判断每个说法，统计正确个数即可得到答案. 【详解】解：形状相同的图形要求对应角相等，对应边成比例，仅大小可以不同. ①∵所有圆仅半径不同，形状完全一致， ∴①正确； ②∵所有正方形的内角均为，对应边一定成比例， ∴所有正方形形状都相同，②正确； ③∵等腰三角形的内角度数不固定，对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，不同角度的等腰三角形形状不同， ∴③错误； ④∵矩形的长与宽的比值不一定相等，对应边不成比例，不同长宽比的矩形形状不同， ∴④错误； 综上，正确的说法共2个． 故选：B． 相似多边形的定义: 两个边数相同的多边形，如果一个多边形的各个角与另一个多边形的各个角对应相等，各边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 要点速测 2．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 相似多边形的表示方法: 用符号“∽”表示相似，读作“相似于”。例如，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，记作： 注意：在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 要点速测 3．如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，先求出两个四边形的相似比，再计算面积比即可． 【详解】解：四边形四边形，且，， 它们的相似比为， 它们的面积之比为， 即． 相似比: 相似多边形对应边的比叫做相似比。当两个多边形全等时，相似比为1。 要点速测 4．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似的性质对各选项进行判断后即可解答．本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的性质：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到， ∴，，，点A，O，三点在同一条直线上． ∴， 综上，只有选项C错误，符合题意． 相似多边形的性质: 对应角相等 对应边成比例 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 要点速测 5．已知五边形五边形，若，则五边形与五边形的面积比为_____． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质和相似比，先根据对应边的长度求出相似比，再利用相似多边形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵五边形五边形，， ∴相似比为 则面积比为：． 故答案为：． 知识点相似三角形 相似三角形的判定方法（五种）: 判定方法一：两角分别相等 两角分别相等的两个三角形相似。这是最常用的判定方法——只需找到两个三角形的两个对应角相等即可。对于直角三角形，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似。 要点速测 6．如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴． 【详解】略 判定方法二：两边成比例且夹角相等 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。注意：这个角必须是两边的夹角，否则判断结果可能是错误的。 要点速测 7．如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 【答案】证明： ，，，， ，， ，， ， ， ． 【分析】根据题意可求出，，进而得到，结合，即可得证． 【详解】略 判定方法三：三边成比例 三边成比例的两个三角形相似。 要点速测 8．若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系．分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 相似三角形的性质: (1) 对应角相等，对应边的比相等 (2) 对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 (3) 周长的比等于相似比 (4) 面积的比等于相似比的平方 提示：相似三角形的这些性质同样适用于一般相似多边形。 要点速测 9．如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得出相似比，进而求出与的面积比，利用面积差求出四边形的面积，最后计算比值即可； 【详解】解：，且， ， ， ， ， ， ． 知识点 图形的位似 位似图形的定义: 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O的距离之比都等于一个定值k（k≠0），那么这两个多边形叫做位似图形，点O叫做位似中心。 简单来说：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线） ，这样的两个图形叫做位似图形。 要点速测 10．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似图形的对应线段的比等于位似比，据此列出比例式计算即可 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 位似图形的性质: 具有相似图形的所有性质：对应角相等，对应边成比例；周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比（位似图形的相似比也叫位似比） 要点速测 11．如图，小华在学习了“位似”后，利用相关知识在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图1中标出与的位似中心点的位置（保留作图痕迹，无需说明理由）； (2)以坐标原点为位似中心，请你帮小华在图2中画出的位似图形，且与的位似比为2．（画出所有符合题意的图形） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或者，也考查了位似的性质． （1）连接、、，它们的交点即为M点； （2）把、、点的横纵坐标都除以2或得到点、、的坐标，然后描点即可． 【详解】（1）解：如图，点M即为所作； （2）解：如图，即为所作． 位似图形的画法: 利用位似可以将一个图形放大或缩小。在位似中心与各顶点连线（或延长线）上取点，使新顶点到位似中心的距离与原顶点到位似中心的距离之比等于给定的相似比。 要点速测 12．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中利用网格和无刻度直尺描出边上一点，使得； (2)以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取格点D，连接交于点P即可，根据相似三角形的判定和性质可知； （2）根据位似图形的定义作图即可． 【详解】（1）略； （2）略． 知识点 比例线段与黄金分割 比例线段: 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b = c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。 比例的基本性质：若a:b = c:d，则ad = bc 比例中项：若a:b = b:c，则b² = ac（b称为a、c的比例中项） 要点速测 13．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D．2 【答案】A 【详解】解：∵直线，直线和被，，所截， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 黄金分割: 如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，即 ，则P点叫做线段AB的黄金分割点。 黄金比约为 0.618。 黄金矩形：两条邻边长度的比值约为0.618的矩形 黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形（底角为72°），底角平分线将其腰黄金分割 要点速测 14．宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． 题型1 图形的相似 ▌例1 如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 解题要点 图形的相似 1.定义优先：形状相同、大小不一定相同，对应角相等，对应边成比例。 2.对应关系：书写相似符号（∽）时，务必保持顶点顺序一一对应，这是找准比例式的基础。 3.性质应用：相似三角形的对应高、中线、角平分线之比等于相似比；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 4.区分全等：全等是相似的特殊情况（相似比为1），若题中未说明大小关系，记得考虑两种情况（放大或缩小）。 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵， ∴． ▌迁移练1-1平行四边形与平行四边形相似，，的对应边，平行四边形的面积为，则平行四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形面积比等于相似比的平方，结合已知对应边长度和原平行四边形面积，即可求出目标平行四边形的面积. 【详解】解：平行四边形与平行四边形相似，，的对应边， 相似比为， 由相似多边形面积比等于相似比的平方，得：， ， ， 解得. ▌迁移练1-2如图，与位似，点为位似中心，．若的面积为4，则的面积是________． 【答案】9 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似， ∴， ∴． ▌迁移练1-3风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝较短的那条对角线长度为______． 【答案】90 【分析】先说明大风筝和小风筝相似，且相似比为，再利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， ∴大风筝和小风筝相似，相似比为， ∴大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长， ∴大风筝较短的那条对角线长度为． 题型2 比例的性质 ▌例1 如果，那么下列比例式中成立的是（     ） A． B． C． D． 解题要点 比例的性质 1.基本性质：若 ，则 （交叉相乘），常用于由比例式求线段长或参数。 2.合比/分比性质： 可推出 ，常用于需要“整体代换”的证明题。 3.等比性质：若 （分母之和不为0），则各比等于 。 4.注意顺序：比例式中“前项”与“后项”的置不能随意调换，必须严格对应图形中的对应边。 【答案】A 【分析】根据比例基本性质，内项之积等于外项之积，计算判断即可； 【详解】解：A．由，得，成立，符合要求； B．由，得，不是，不成立，不符合要求； C． 由，得，不是，不成立，不符合要求；     D． 由，得，不是，不成立，不符合要求； ▌迁移练1-1对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴设，（）， A选项：，，，错误； B选项：，不一定为1，错误； C选项：，错误； D选项：，正确，符合题意． ▌迁移练1-2若，则的值是________ ． 【答案】4 【详解】解：设， ∴， ∴． ▌迁移练1-3已知，满足，求、、的值． 【答案】，， 【分析】设，则，，，求出的值，即可求出、、的值． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，． 题型3 由平行判断成比例的线段 ▌例1 23．如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 解题要点 由平行判断成比例的线段 1.核心定理：平行线分线段成比例（三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例）。 2.“A”字模型：在 中，若 ，则 （或 ）。 3.“X”字模型（8字型）：若 ，则 （交点O两侧对应成比例）。 4.识别平行线：看到题目中的平行符号，立即联想截线，找准被截的两条直线（或延长线）上的对应线段。 【答案】D 【分析】如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，首先得到，然后利用四边形的面积求解即可. 【详解】解：如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作， ∵， ∴， ∴四边形的面积． ∴四边形的面积为定值. ▌迁移练1-1已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知等式变形为比例式，根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系即可． 【详解】解：∵， ∴， A．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； B．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   C．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   D．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项正确． ▌迁移练1-2如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握该性质． 根据平行线分线段成比例逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵，， ∴， 该选项正确； B. ∵，， ∴， ∴； 该选项正确； C. ∵，， ∴， ∴， 该选项正确； D.根据给出条件无法得出， 该选项不一定正确； 故选：D． ▌迁移练1-3如图，已知，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，由，根据平行线分线段成比例定理逐项进行分析判断即可得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴，而与不一定相等，与不一定相等， 故A正确，C不正确，D不正确； 由得， 假设成立，则， ∴， ∴，与已知条件不符， ∴不成立， 故B不正确， 故选：A． 题型4 由平行截线求相关线段的长或比值 ▌例1 如图，已知直线，直线m交直线a、b、c于点A、B、C，直线n交直线a、b、c于点D、E、F，若，则（     ） A．2 B． C． D． 解题要点 由平行截线求相关线段的长或比值 1.设未知数：若比值已知或线段含未知量，常设 参与比例运算，建立方程求解。 2.找准对应边：严格区分“对应线段”，避免将 误写为 ，注意大边与小边的隶属关系。 3.整体代换：若只给部分线段和差关系（如 ），利用比例式列出整式方程。 4.结果检验：所求线段长必须为正数，且需满足三角形三边关系或图形实际限制。 【答案】A 【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，据此列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即． ▌迁移练1-1如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：设刻度尺所在直线与直线、、的交点分别为、、， ∵直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． ▌迁移练1-2如图，已知，，，那么的长是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ▌迁移练1-3如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到即可求解； （2）由（1）得，再根据平行线分线段成比例得到，进而可求解． 【详解】（1）解：因为 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以 因为， 所以， 又因为 所以． 题型5 利用两角对应相等判定相似 ▌例1 如图，是的角平分线，点是边上一点，请你用尺规作图法在线段上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 解题要点 利用两角对应相等判定相似 1.先找隐含角：公共角、对顶角、直角永远是隐含的等角，优先使用。 2.平行导角：利用平行线的同位角、内错角或同旁内角互补寻找另一对等角。 3.等角代换：利用同角（或等角）的余角、补角相等，或角平分线、等腰三角形等条件进行传递。 4.书写规范：判定后需明确指出“两角分别相等的两个三角形相似”，并对应写好顶点顺序。 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，尺规作图，掌握相关知识是解决问题的关键．因为是的角平分线，所以，若使得，则只需作即可． 【详解】解：如图所示，点即为所求．（作法不唯一）． ∵是的角平分线， ∴， 若使得， 则只需作即可． 利用作一个角等于已知角的尺规作图方法作，交于，点即为所求． ▌迁移练1-1如图，在菱形中，． (1)实践操作：利用尺规，作的平分线交于点．（要求不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1) 如图，即为所求作； (2) 证明：是的平分线， ， ， ， 又， ． 【分析】本题考查了复杂作图——作角平分线，相似三角形的判定，掌握角平分线的作法以及相似三角形的判定定理是解题关键． （1）根据角平分线的作法正确作图即可； （2）结合角平分线的定义得出，再根据两组角对应相等证明相似即可． 【详解】（1）略 （2）略 ▌迁移练1-2如图，为矩形的对角线，点F是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】 解：如图所示，点E即为所求．（答案不唯一）    【分析】本题主要考查了作垂直平分线，相似三角形的判定，作的垂直平分线交与点E，交与点F，根据平行线的判定可知，即可得出． 【详解】略 ▌迁移练1-3如图，在中，，请用尺规作图法在上求作一点，使得，并写出的证明过程． 【答案】 解：如图所示，点即为所求． 证明：由线段垂直平分线的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】略 题型6 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 ▌例1 如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 解题要点 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 1.“夹角”是灵魂：必须是比例两边的夹角相等，绝对不能使用“其中一边的对角”（此为“边边角”，不成立）。 2.找准对应边：先确定相等角的两条夹边，分别比之，若比值相等则相似。 3.单位统一：若边长带不同单位，先化为同一单位再求比值。 4.常见陷阱：题目给出比例关系但夹角不一定相等时，需先证明夹角相等（如公共角、对顶角）。 【答案】B 【分析】由及，可证明，即可得到；另三个结论均无法证明． 【详解】解：，， ， ， B选项正确； 和不是同位角， 无法证明， A选项错误； ， ， C选项错误； ，且与不一定会相等， 与不一定会相等， D选项错误． ▌迁移练1-1观察下列每组三角形，根据标出的条件，不能判定两个三角形相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，能判定相似，故不符合题意； B中，，能判定相似，故不符合题意； C中，只有一组角相等不能判定相似，故符合题意； D中，且对顶角相等，能判定相似，故不符合题意； 故选：C． ▌迁移练1-2观察下列每组三角形，不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知：A中，能判定相似，选项正确，故不符合题意； B中，即夹角相等，能判定相似，选项正确，故不符合题意； C中只有一组角相等，不能判定相似，故符合题意， D 中有一组角相等，且对顶角相等，故有两组角相等的三角形相似，选项正确，故不符合题意； 故选：C． ▌迁移练1-3如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【答案】证明：，，，， ，， ∴， 又， ． 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 【详解】略 题型7 利用三边对应成比例判定相似 ▌例1 如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（    ） A． B． C． D． 解题要点 利用三边对应成比例判定相似 1.排序法：将两个三角形的三边分别按从小到大（或从大到小）排列，再计算最长边之比、最短边之比、中间边之比。 2.最直接的判定：当图形角度不明显或角的条件不足时，优先考虑测量或计算三边比值。 3.计算细致：求比值时注意约分，若三组比值完全一致，则判定成立。 4.需确保存在性：前提是三个给定的线段确实能构成三角形（满足两边之和大于第三边）。 【答案】D 【分析】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，熟练掌握三角形相似判定定理是解题的关键． 根据三角形相似判定定理：三边对应成比例，分别利用勾股定理计算各三角形的边长，然后逐个选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：设正方形网格的边长为1， 则在中，，，， A、该三角形三边分别为，，4，则，故与不相似，不符合题意； B、该三角形三边分别为，，3，则，故与不相似，不符合题意； C、该三角形三边分别为2，，，则，故与不相似，不符合题意； D、该三角形三边分别为，2，，则，故与相似，符合题意； 故选：D． ▌迁移练1-1如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【答案】(1)， (2) 解：如图 ∵，， ∴， ∴． 当点E在点处时，同理可证． 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定： （1）利用勾股定理求出的值，然后求比值即可； （2）利用勾股地理和相似三角形的判定方法画图即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， （2）略 ▌迁移练1-2如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，与的顶点都在格点上．求证：． 【答案】 证明：∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理与网格问题，利用三边对应成比例判定相似等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用三边对应成比例证明两个三角形相似． 【详解】略 题型8 相似三角形的判定综合 ▌例1 42．如图，点是等边三角形的边上的一点，下面四个选项中的条件不能判定与相似的是（   ） A． B．， C． D． 解题要点 相似三角形的判定综合 1.优先尝试“两角”：在复杂图形中，AA（两角）判定法往往最快捷，先找平行线和公共角。 2.多次相似传递：若图中存在多个三角形，可先证一对相似，再通过等角或等边过渡到另一对。 3.熟悉基本模型：熟记“A字型”、“X字型”、“母子型（射影定理）”、“一线三等角”模型，快速定位判定方法。 4.综合运用性质：判定成功后，及时利用相似比去倒推题目要求的角度或线段长度。 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法进行验证即可求解． 【详解】解：已知是等边三角形， ∴， A选项：∵， ， ∴， ∴本选项能判定与相似，不符合题意． B选项：∵， ∴，， ∴ ， ∴本选项能判定与相似，不符合题意． C选项：当时，无法得到的度数，故无法判定与相似， ∴本选项不能判定与相似，符合题意． D选项：∵， ∴， ∴本选项能判定与相似，不符合题意． 故选：C ． ▌迁移练1-1如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知． (1)求证：； (2)若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）由，可得，由，，即，可证． （2）由（1）知，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴，即， 解得，， 答：水果园的面积为 ． ▌迁移练1-2如图，已知，点是边上一点，且，请用尺规作图法在边上找一点E，使，且相似比为．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析． 【分析】根据题意作一个角等于已知角，作． 【详解】解：如图所示，点即为所求，    作， ∴， ∴相似比为：， ∴如图所示，点即为所求． 【点睛】此题考查了尺规作图，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定以及作一个角等于已知角的作图方法是解答本题的关键． ▌迁移练1-3在矩形中，于点，连接，过点作交于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵于点，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ (2) 【分析】（1）由矩形的性质得，，因为，所以，，则所以，则； （2）由，，，根据勾股定理得，由，求得，根据勾股定理得，由，求得，则即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】此题主要考查了同角的余角相等、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度、勾股定理等知识，解题关键是证明． 题型9 选择或补充条件使两个三角形相似 ▌例1 如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 解题要点 选择或补充条件使两个三角形相似 1.从判定定理出发：逆向思考，缺什么补什么。缺角就补角（AA），缺边比例就补边（SSS或SAS）。 2.优先考虑角：补充一对等角通常最简单（如添加一个角等于已知角，或添加一组平行线）。 3.注意隐含条件：公共角和对顶角已经天然存在，不要遗漏，这往往能少补充一个条件。 4.验证充分性：补充条件后要确保判定定理完整（如补充SAS时，需确保是夹边比例且夹角相等，而不仅仅是任意两边）。 【答案】D 【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可． 【详解】解：根据题意可知， 选项A，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项B，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项C，可转化成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故不符合题意． 选项D，两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意． ▌迁移练1-1如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由可得：，即，则根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； B、由可得：，则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； C、由根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； D、由，不能判定，故符合题意． ▌迁移练1-2如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ，， ， 故选项不符合题意； 添加条件，没有夹角的条件，无法证明， 故选项符合题意． ▌迁移练1-3如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 题型10 证明三角形的对应线段成比例 ▌例1 如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 解题要点 证明三角形的对应线段成比例 1.目标转化：要证 ，先看这些线段是否是某两个相似三角形的对应边。 2.构造相似：若不在同一对相似三角形中，常添加辅助线（如作平行线）构造“A字型”或“X字型”来搭建比例桥梁。 3.等量代换：若线段 与另一线段 相等，可先证 ，再利用 代换。 4.逆向分析：从结论倒推，想得到这个比例式需要证明哪两个三角形相似，逐步靠拢已知条件。 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，熟记平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，数形结合写出线段比例关系是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例及相似三角形判定与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：， 由平行线分线段成比例定理可知， A选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ， B选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ，即， D选项是正确的，不符合题意， C选项是错误的，符合题意； 故选：C． ▌迁移练1-1如图，在中，，垂足为． (1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 【答案】(1)这四条线段是成比例线段 (2) 有，这四条线段是成比例线段． 理由：在Rt中，， 由勾股定理，得， 由（1）可知， ． 在Rt中，， 由勾股定理，得， ， ， 即这四条线段是成比例线段． 【分析】根据可得，根据比例线段的概念即可判断； 类似上述同样的方法判断与是否成比例即可. 【详解】解： 这四条线段是成比例线段． 在Rt中，， 即这四条线段是成比例线段． 略 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握直角三角形面积的不同表达式及比例线段的概念. ▌迁移练1-2如图，在中，，点为边上的点，连结，作，使边交于点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1) 证明： ∵, ∴, ∵, ∴, ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）先根据等边对等角得到，再利用三角形外角的性质和已知条件证明，由此即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到 ，据此代值计算即可． 【详解】（1）略 （2）∵， ， ∵, , , ， ∴． ▌迁移练1-3如图，在四边形中，平分，，E为的中点，连接，，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握直角三角形的性质、相似三角形的判定及其性质是解题的关键． （1）证明，，即可解决问题． （2）由（1）知，，求得，，即可解决问题. 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ， ， ， ． 题型11 在网格中画与已知三角形相似的三角形 ▌例1 如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 解题要点 在网格中画与已知三角形相似的三角形 1.勾股定理求边长：先利用网格计算出原三角形各边的长度（小直角三角形的斜边）。 2.确定相似比：根据题目要求（如放大2倍、缩小一半）或特定顶点位置，确定新的边长。 3.利用网格特性：网格中长度为 、、 等线段可通过连接特定格点得到（横纵格数满足勾股定理）。 4.方向可变：新三角形可以旋转、翻转（轴对称），只要边长比例对应且角度相等即可。 【答案】6 【分析】根据网格结构得出为直角三角形，且两直角边，，比值为．由相似三角形的性质可知也应为直角三角形，且两直角边之比为．已知且在竖直格线上，分和两种情况讨论，结合分别对应短直角边或长直角边计算或的长度，确定点的位置并验证是否在网格范围内． 【详解】如图所示： 设小正方形的边长为，在中，，，，． ∵与相似， ∴是直角三角形，且两直角边之比为． 由图可知，在同一条竖直格线上，．若，则在以为直径的圆上，此时为等腰直角三角形，与不相似， 故排除． ∴直角顶点为或． 当时，，即在水平格线上．若对应，则， 解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 当时，，即在水平格线上．若对应，则，解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 综上所述，符合条件的点E共有个． ▌迁移练1-1如图，的三个顶点都在格点上，请在图的网格内画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． 【答案】如图所示，即为所求； 【分析】根据相似三角形的性质和相似比，即可画出． 【详解】解：根据网格得： ，，， 若要，且相似比为， ∴，，， 如图2，即为所画三角形． ▌迁移练1-2如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 【答案】(1)如图，即为所求作，； (2)如图，即为所求作，． 【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可得，进而计算的面积， （2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可得，进而计算的周长． 【详解】（1）解：作略， 的面积为； （2）解：作略， ∵，面积之比为， ∴和的相似比为， ∵，，， ∴，，， ∴的周长． ▌迁移练1-3如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 【答案】(1)3 (2)①如图，即为所求； ②如图，即为所求 【分析】（1）根据网格及相似三角形的判定和性质即可求解； （2）①利用网格画出即可； ②结合网格及勾股定理，利用三边对应成比例画图，且使三角形的一条边为网格中可以画出的最长线段． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）①证明：根据网格可得：， ∴， ∴； ②∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 题型12 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 ▌例1 已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (3)在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 解题要点 画已知图形放大或缩小 倍后的位似图形 1.确定位似中心：中心可以是图形内、图形外、图形边上或顶点上，根据题意先标记。 2.连线截取：连接中心与各关键顶点，在射线上（或反向延长线上）按比例截取，使 。 3.分清内外：若要求图形与中心在同侧，则沿正向截取；若在异侧，则沿反向延长线截取（此时位似比为 ）。 4.保留作图痕迹：连线、截点保留清晰痕迹，最后用实线连接新图形的各顶点。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． ▌迁移练1-1在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． 【答案】(1)如图，即为所求 (2) (3)如图，点即为所求，理由如下： 取格点E、F，连接，交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． 【分析】（1）将、分别延长一倍得到、，再连接即可； （2）根据题意得与的相似比为，再根据周长比等于相似比即可得解； （3）如图，取格点E、F，利用网格构造相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵将放大2倍得到， ∴与的相似比为， ∴与的周长之比为； （3）解：略 ▌迁移练1-2如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有和格点（网格线的交点）O． (1)以点O为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，画出放大后的； (2)将绕点O顺时针旋转，得到，请你画出，并直接写出边在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)如图所示．    (2)如图所示．扫过的面积为 【分析】（1）先确定位似中心为，因为位似比为2，所以分别连接、、并延长，使对应线段长度变为原来的2倍，得到对应顶点、、，顺次连接即可； （2）根据旋转的性质，确定旋转中心、旋转方向为顺时针、旋转角为，分别作出、、三点旋转后的对应点、、，顺次连接得到，因为扫过的面积是圆心角为，半径分别为、的两个扇形的面积差，所以先计算、的长度，再用扇形面积公式计算面积差． 【详解】（1）分别连接， 延长到使，延长到使，延长到使， 顺次连接，所以即为所求作的图形； （2）分别将点绕点顺时针旋转得到对应点，顺次连接得到即为所求作的图形； 根据勾股定理，结合网格可得：，， 线段旋转过程中扫过的图形是圆心角为的圆环，面积为大扇形面积减小扇形面积： ． ▌迁移练1-3如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点和点都是格点． (1)将先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，请画出； (2)以为位似中心，在网格图中作，使得与的相似比为； (3)利用网格图，过点向画垂线． 【答案】(1)如图，为所求； (2)如图，为所求； (3)如图，垂线为所求． 【分析】（1）将点A向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，再将点B，C向右平移4个单位长度，向上平移3个单位长度得到点，然后依次连接，则即为所求； （2）连接并延长至，使得，同理可得，然后依次连接，则即为所求； （3）取点E，F，可得，，，，可得，即可得，再由，可得，即，则，所以即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型13 求位似图形的对应坐标 ▌例1 如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 解题要点 求位似图形的对应坐标 1.原点为位似中心：若位似中心是原点，则对应点坐标 ，其中 为位似比（ 同侧， 异侧）。 2.非原点位似中心：先平移图形使位似中心移至原点，变换后再平移回去；或利用向量的线性运算（）。 3.注意倍数变化：横纵坐标同时乘以 ，不要只乘一个方向。 4.多解情况：若未指明同侧还是异侧，通常 取正负两个值，对应两个答案。 【答案】D 【分析】分两种情况：点C的对应点在第一象限和点C的对应点在第三象限，根据所给的相似比求解即可． 【详解】解：∵，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， ∴当点C的对应点在第一象限时，点的坐标为，即， 当点C的对应点在第三象限时，点的坐标为，即， 综上所述，点C的对应点的坐标为或． ▌迁移练1-1如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平移，位似比的意义，解答即可； 【详解】解：点为位似中心，将按相似比缩小，得到， 将点向下平移１个单位长度，得到位似中心为，点的对应点为，按相似比缩小，得到对应点， 再将点向上平移１个单位长度就得到点的对应点D的坐标为； ▌迁移练1-2如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，对应点的坐标之比等于位似比，确定位似中心为原点，位似比为，且点对应点，利用坐标运算求解． 【详解】解： 以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段 ∴点与点是对应点，且位似比为 ∴点的横、纵坐标分别为点横、纵坐标的 ∵ ∴点的横坐标为，纵坐标为 ∴． ▌迁移练1-3如图，在中，三个顶点的坐标分别是．以点C为位似中心，在x轴下方作的位似图形，并把的边长放大为原来的2倍，那么点的坐标为_________． 【答案】 【分析】建立以C为坐标原点的新平面直角坐标系，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：以C为坐标原点建立平面直角坐标系，如图， 则点A在新坐标系中的坐标为，即点A向右平移1个单位，向上平移一个单位， 与以点C为位似中心，在位似中心异侧把的边长放大为原来的2倍， 点A在新坐标系中的横、纵坐标都乘， 点在新坐标系中的坐标为， 则点向左平移1个单位，向下平移一个单位后的坐标为， 即点在原坐标系中的坐标为． 题型14 在坐标系中画位似中心 ▌例1 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 解题要点 在坐标系中画位似中心 1.连线找交点：连接两组对应点的对应顶点（如 与 ， 与 ），其所在直线的交点即为位似中心。 2.利用待定系数法：求出 和 两条直线的解析式，联立解方程组，交点坐标即为中心。 3.验证：求出中心后，连接第三组对应点验证是否也经过该点（若不过则该图形只是相似，并非位似）。 4.特殊情况：若所有对应点连线互相平行（交点在无穷远处），则位似中心在图形的一侧，需根据坐标比例判断。 【答案】 【分析】对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， ▌迁移练1-1如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； (3)和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 解：如图，即为所求； (3) 【分析】（1）利用平移的性质即可解答； （2）利用位似三角形的概念即可解答； （3）连接，，交于点即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，点即为所求． 可得． ▌迁移练1-2在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系． (1)画出位似中心 (2)求出位似中心的坐标（写出过程） 【答案】(1) 如图，点即为所求： (2)， 由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵ 所在直线与所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，， ∴位似中心的坐标为. 【分析】本题考查坐标与图形变换—位似，一次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握位似图形的性质，是解题的关键： （1）由位似图形的性质得出所在直线与所在直线的交点坐标即为位似中心，作图即可； （2）根据题意确定直线的解析式为：，求出直线与轴的交点坐标，即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． ▌迁移练1-3如图，在每个小正方形边长为1个单位长度的网格中，三个顶点分别为，，，若与是位外似图形，且，． (1)请直接写出位似中心的坐标： ； (2)在网格中将补充完整． 【答案】(1) (2) 如图，即为所求． 【分析】本题主要考查了判断位似中心，写出直角坐标系中点的坐标，在坐标系中画位似图形等知识点，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）连接，，并分别延长相交于点，则点即为与的位似中心，即可得出答案； （2）根据位似图形的性质画图即可． 【详解】（1）解：连接，，并分别延长相交于点， 则点即为与的位似中心， 位似中心的坐标为； （2）略 难点一 相似三角形的判定综合 核心知识点： 相似三角形的四种判定方法： 两角对应相等（AA）——最常用，只需找两个角； 两边对应成比例且夹角相等（SAS）——注意必须是“夹角”； 三边对应成比例（SSS）——计算量大，但最稳妥； HL（直角三角形专用）——斜边和一条直角边对应成比例。 ⚠️ 易错知识（思维定势的陷阱）： “对应”二字是灵魂，顺序不能乱： 写比例式时，必须保持同一个三角形的边在等号同侧。例如 ，则 。如果写成 就完全错了（把对应边配错了）。 易错点：题目给出图形，但没有标明字母对应顺序，需要自己根据角的相等来判断。很多同学直接把看起来像的两个三角形按位置对应，忽略了角是否真的相等。 “SSA”是致命假判定（没有“SSA”定理）： 已知两边和其中一边的对角对应成比例，不能判定相似！这和全等的“SSA”陷阱一样。必须找这两边的夹角，否则即使比例对，也不一定相似。 隐含条件的挖掘不足： 公共角（两个三角形重叠时）、对顶角、平行线带来的同位角/内错角，这些是AA判定的天然素材。 易错点：在复杂图形（如“A字型”和“X字型”混合）中，看漏平行线隐含的等角，导致只找到一个角相等就急着用AA，实际上另一个角没证出来。 多个三角形中选错配对对象： 图中往往有3个以上三角形，哪个和哪个相似？要用“传递法”，先证一组简单的相似，再通过边的比例关系过渡到目标三角形。 难点精练 1．如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． (1)发现 ①线段与线段之间的数量关系是________， ②直线与直线之间的位置关系是________ (2)探究 若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． (3)应用 在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）． 【答案】(1)①；②； (2) 解：（1）中结论还成立，证明如下： ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图，延长，交于点，交于点， ∵， ∴ ， ∴； (3)，或． 【分析】（1）①由矩形的性质可得，由题意可得，证明，即可得出；②延长交于点，则，由①可得，由相似三角形的性质可得，求出，即可得出结果； （2）由矩形的性质可得，证明，结合题意得出，即可推出，从而可得，，则，延长，交于点，交于点，再由，计算即可得出结果； （3） 两种情况：当点、、在同一直线上，且点在线段上时；当点、、在同一直线上，且点在线段上时；分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，延长交于点， ， ∵， ∴， 由①可得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ， 同理可得：，， ∴，； 综上所述，，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 2．解答下列各题： (1)如图，在和中，，，，，连接，，________． (2)如图，在矩形中，，，连接，点为上一动点，为上一动点，且满足，连接，，求长的最小值． (3)某市规划在矩形区域内建设一个社区公园，如图，其中米，米．为了优化景观布局，设计师计划在主干道对角线上设置一个景观节点，在边上设置一个入口，使得，修建步行通路，与交于点，形成三角形商业活动区，四边形为休闲健身区，、、、为景观绿化区，种植不同品种的花卉．是否存在这样的点，使商业活动区的面积为矩形面积的？如果存在，求的长；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的长为或 【分析】（1）依题意，，证明，即可证明； （2）作于点，连接，则，，证得，，根据求得，再根据，得到答案； （3）作于点，根据的面积为矩形的，求得，延长至点，连接，使得，作于点，设，即，求得答案． 【详解】（1）在中，，， 因此，可得，即， 由，得，即， 又已知，因此， 根据两边成比例且夹角相等，得，对应角相等， 故． （2） 作于点，连接， 则，， 四边形为矩形， ， 又 ， ，， ， ， ，即 又， 的最小值为． （3）存在， 连接，则， 四边形为矩形， ， 又， ， ， ， 作于点， 的面积为矩形的， ， 解得， 延长至点，连接，使得， ， 作于点， ， 设，则， ，解得， 或． 3．如图，在矩形中，，E是的中点，    (1)在上作一点F，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) 如图，点F即为所求．    (2) 【分析】本题主要考查了相似变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确作出点． （1）过点作即可； （2）先证明，设的长为x，则．由勾股定理，得．再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）在矩形中， ． ， ． E为的中点， ． 设的长为x，则． 在中，由勾股定理，得． ， ， ． 4．综合与探究 【问题情境】 如图，在矩形中，，，点是边上的一动点，连接，以为直角边在其右侧作，使，其中与交于点，与交于点，连接． 【猜想证明】 (1)判断与的位置关系，并加以证明； 【深入探究】 (2)当时，求线段的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 【答案】(1)；证明如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴． (2) (3)或 【分析】（1）根据相似三角形的性质得出，，推得，根据相似三角形的判定和性质得出，结合矩形的性质即可证明； （2）根据相似三角形的性质求出，根据矩形的性质得出，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的判定和性质求出，即可求解； （3）根据正切的定义和相似三角形的性质得出，分两种情况讨论：当时，，根据平行线的性质推得，结合正切的定义即可求解；当时，，过点作交于点，过点作交于点，根据平行线的性质推得，结合正切的定义求得，根据勾股定理求得，结合正切的定义求出，根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）由题意可得． 由（1）得， ∴， 即 解得； ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， 故． （3）在中，， 又∵， ∴，∴． 分两种情况讨论． 情况一：当时，，如图①， ∵， ∴， 故， ∴， 在中，， 即 解得； 情况二：当时，， 过点作交于点，过点作交于点，如图②， 则四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴， 故， ∴； 在中，， 即 解得； 在中，， ． ∵， ∴， 即， 解得； 在中，， 即， ∴． 综上所述，的长为或． 难点二 利用相似求坐标 核心知识点： 将几何图形放入平面直角坐标系，利用相似三角形的对应边成比例，将线段长度转化为点的横纵坐标。常用模型：一线三垂直（K型图）、A字型与坐标轴的交点。 ⚠️ 易错知识（坐标系中最容易漏解和符号搞反）： 坐标的正负号是最大失分点（长度永远为正，坐标可正可负）： 通过相似比算出来的永远是线段长度（正数）。若点在 轴负半轴或 轴负半轴，必须加上负号。 案例：算得 到 轴的距离为 3，若 在第二象限，横坐标应为 ，而不是 。很多同学直接写 3 就丢了分数。 “不明确对应关系”导致的多解漏解（最经典的压轴陷阱）： 题目说“以 为顶点的三角形与 相似”，但没有明确 对应 、 对应 等。此时必须分两类讨论： 情况1：（按顺序对应）； 情况2：（交叉对应）。 易错点：只算一种情况，直接丢一半分。必须利用“夹角相等”来锁定对应关系，分情况列比例方程。 动点在直线或抛物线上运动时，忽略“位置”分类： 点 在直线 上，且使两三角形相似。解方程可能得到两个 值，但其中一个点可能在延长线上，图形是反向相似，需根据题目图形（如图中要求 在线段上）进行取舍。 难点精练 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，和是以点为位似中心的位似图形，且点与点在直线AB同侧．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴于，过点作轴于，利用位似比求出，的长，结合点的坐标即可求出点的坐标 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ，，， ，， 和是以点为位似中心的位似图形， ， 位似比为， ， ，轴， ，， ， ， 轴，轴， ， ， ， ，， 点在第二象限， 点的纵坐标为， 点在点的左侧， 点的横坐标为， ． 6．如图，正方形与正方形是位似图形，O为位似中心，相似比为，点A的坐标为，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，位似图形的性质及平面直角坐标系中点的坐标特征，利用正方形的性质、相似图形的性质及平面直角坐标系中点的坐标与距离的关系来求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， 又∵四边形和均为正方形， ∴，， ∴点E的坐标为， 故选：C． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点．直线经过B，C两点，点C是x轴正半轴上一点，且．在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1），若存在，点M的坐标为_______． 【答案】或 【分析】根据一次函数的性质求出，，进而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，利用勾股定理表示出，，根据题意分2种情况讨论：或，利用相似三角形的性质列出方程，求出的值即可求解． 【详解】解：对于， 当时，，解得； 当时，； ，， ， ， ， ，， 设直线的解析式为，则有， 解得， 直线的解析式为， 设， 则，， 由勾股定理得，， ， 由题意知，点M与A、B、C三点中的某两点构成的三角形与相似时，如图， 分两种情况：或 当时，则， 即， ， ， 解得，（舍去）， ； 当时，则， 即， ， ， 解得：，（舍去）， ， 综上所述，存在，点M的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、相似三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，线段、的长是一元二次方程的两根（），，． (1)求点A、C的坐标； (2)求直线的解析式； (3)在x轴上是否存在点P，使以点C、E、P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】(1)A的坐标是，C的坐标是； (2)； (3)存在，P的坐标是和. 【分析】（1）首先解方程求得方程的根，则A和C的坐标即可求得； （2）根据三角函数求得B的坐标，作轴于点F，根据，利用相似三角形的性质求得和的长，即可求得E的坐标，利用待定系数法确定函数关系式； （3）根据题意可判断点P在x轴正半轴，设P的坐标是，则．分成和两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：（1）解方程，即， 即或， 解得：， 又， ，， 的坐标是，的坐标是． （2）解：， ，则B的坐标是． . ， . 过点作轴于点F． 则， . ， ，. 则，则点E的坐标是 . 设直线的解析式是， ，    解得： . 则直线的解析式是. （3）解：当时，， 即， . ， . ， . 根据题意可知点P在x轴正半轴，设P的坐标是，则． ①当时，， 即， 解得：， 则点P的坐标是； ②当时，， 则， 解得：， 则点P的坐标是． 综上可知，点P的坐标是和． 难点三相似三角形——动点问题 核心知识点： 动点以一定速度运动，用时间 表示变化后的线段长度，由动点构成的新三角形与已知三角形相似。核心步骤： 设 秒后到达某位置； 用含 的代数式表示所有相关边长（注意：总长 − 已走路程）； 根据相似对应关系分情况列比例方程； 解方程并验证 是否在运动时间范围内。 ⚠️ 易错知识（压轴题的五大陷阱，条条致命）： 对应关系不固定，必须分类讨论（漏解重灾区）： 例如：在 中，，，点 从 沿 运动，点 从 沿 运动，速度分别为 1cm/s 和 2cm/s。问 为何值时， 与 相似？ 正解：分两类——① （ 对应 ， 对应 ）；② （ 对应 ， 对应 ）。两种情况算出两个 。 易错：只按一种顺序列比例式，丢掉另一种，导致只写一个答案。 运动范围是“生死线”，解出的 必须验证： 若点从 到 ，总长 10cm，速度 2cm/s，则 的有效范围是 。 易错：列分式方程解得 和 ，看都不看直接写两个。必须把 舍去，因为此时点已经越过终点，三角形不存在了。 “谁先到达终点”导致图形形状突变（双动点）： 若 速度不同，一个点到达终点后停止，另一个继续运动。此时新三角形的形状与之前完全不同，需要按时间段分段讨论（如 和 ）。 边长表示时“速度×时间”和“总长−速度×时间”搞反： 从 向 走，则 ，。 若 从 向 走，则 ，。 易错：不看起点，一律写成 ，起点不同，表达式完全不同。 “面积比”与“相似比”的转化在动点中的误用： 若题目说“动点构成的三角形面积是原三角形面积的 ”，很多同学直接令相似比 。 正解：面积比 = ，所以相似比 。平方关系永远不能忘。 难点精练 9．如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到，由于未指定对应顶点，需分两种情况讨论相似三角形的对应边比例关系，列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 若与相似，分两种情况： ①当时， ∴，即，解得； ②当时， ∴，即，解得； 综上所述，的长为4或9 ． 10．如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 【答案】4或 【分析】设运动时间是t秒，根据题意得，，，根据相似三角形的性质可得或，进而求解即可． 【详解】解：设运动时间是t秒， ∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动． ∴，，， ∵，且以为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或 ∴或． 即当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是4或． 11．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． 12．如图，在中，，，，D是的中点．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向点B匀速运动．当点P不与A、B重合时，过点P作的垂线交或于点Q，连接．设点P的运动时间为t秒．    (1)__________； (2)求的长（用含t的代数式表示）； (3)连接，当是直角三角形时，求t的值． 【答案】(1)5 (2) (3)或 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）分两种情况讨论：当时，当时，利用相似三角形的判定和性质求解； （3）分两种情况讨论：当时，当时，利用相似三角形的判定和性质求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：如图，当时，    ∵，， ∴， ∴， ∵动点P 的速度为每秒4个单位长度，，， ∴， ∴； 如图，当时，    ∵，， ∴， ∴， ∵动点P 的速度为每秒4个单位长度，，， ∴， ∴， 综上所述：． （3）解：如图，    当时， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵动点P 的速度为每秒4个单位长度， ∴； 如图，    当时， ∵， ∴， 同理可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到相似三角形、勾股定理等，综合性较强，灵活合理的运用分类讨论思想是解题关键． 难点四 相似三角形实际应用 核心知识点： 利用相似三角形的性质测量无法直接到达的高度或宽度。三大模型： 影子模型（太阳光是平行光）； 镜子模型（入射角等于反射角）； 标杆/测角仪模型（构造“A字型”）。 ⚠️ 易错知识（实际问题最考验建模能力和生活常识）： “墙上的影子”处理不当（物理与数学结合的最大坑）： 如果物体的影子一部分落在地面上，一部分落在竖直墙面上。此时不能直接用“物高 : 影长 = 定值”。 正确做法：将墙上那一段影子平移到地面，视为物体高度“虚拟延长”后的影子，或者先利用墙高反推地面等效影长。或者，更直接的是过墙根作水平线，把图形分解为一个“A字型”相似 + 一个矩形。 易错：直接把地面影长 + 墙面影长当作总影长去列比例，完全错误！ 镜子问题中“人眼”位置的忽略： 镜子放在地面上，人通过镜子看到树顶。相似三角形是 “人眼—镜—树顶” 和 “人脚—镜—树脚”。 易错：人的高度是眼睛到地面的距离（约身高），但题目常直接给身高。列式时，人的对应边是“眼睛高度”，而不是“身高减脚”？通常是身高（视为平视），但若题目给的是“眼睛离地 1.6m”，必须用 1.6，而不是 1.7m。 单位换算与近似值取舍： 题目给出 ，，必须统一单位再算比。 实际问题求高度，若解出来是无理数，题目若没说“精确到”，就保留根号；若说了“精确到 0.1”，必须四舍五入，且要带单位。 难点精练 13．在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据由勾股定理求出，再由翻折的性质得，设与交于点，然后说明 ，可得，进而得出，接下来求出，即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 由翻折的性质得，， ， ， ， ， ，， 设与交于点， ， ，， ， ， ， ∵与同高（顶点为，底边在上）， ， 与同高（顶点为，底边在上）， ， 又， ， 由翻折得， ， 即与重叠部分的面积是． 14．如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由与都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到，，且四个锐角为，利用等式的性质得到，故结论①正确；由，，若，则或与重合，当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故结论②不一定正确；由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到，故结论③正确；利用相似三角形对应角相等得，结合得到，利用内错角相等两直线平行得到，故结论④正确；先依托面积为定值，将梯形面积最值转化为面积最值，结合确定的高固定，得最长时面积最大，再借助相似三角形对应边比例将最长转化为最长，由题意得当、重合时最长，即可求出最大值，最后代入梯形面积公式算出最大面积，故结论⑤正确． 【详解】解：∵、都是等腰直角三角形， ∴，， ， ①∵， ∴， 即，故①正确； ②∵， ∴， 若，则或与重合， 当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故②不完全正确； ③∵，， ∴，故③正确； ④∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵为等腰直角三角形且， ∴的面积为定值， ∵， ∴当的面积最大时，梯形的面积最大， 如图，过点作于点，则为等腰直角斜边上的中线， ∴， ∵， ∴中边上的高为定值（即为）， 当的面积最大时最长， ∵， ∴， ∴当最长时，也最长， ∵为线段上任意一动点， ∴当、重合时最长， 此时，则， ， 即四边形的面积最大值为，故⑤正确； 综上，正确的结论是． 15．如图，在菱形中，点分别在和边上，点在边上，且．若，则四条线段中最长的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算菱形的边长，利用平行四边形的判定和性质求出的长，再利用平行线分线段成比例计算的长，最后比较四条线段的长度得出最长的线段． 【详解】解：在菱形中，， ， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 在线段中，最长的线段为． 16．如图所示，矩形中，，，，，，则______ 【答案】 【分析】过点F作，分别交和于点P和Q，在上截取，，证明四边形和四边形都是矩形，得到，，；证明，推出 ，设，则，可求出，，由勾股定理得到，；证明，得到，即，求出，，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点F作，分别交和于点P和Q，在上截取，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，； ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ， ∴， ； ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ， ， ， ， ∴，即， ，， ∴， 解得或（舍去）， ． 难点五 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 核心知识点： 位似图形是特殊的相似图形，对应点连线交于位似中心。若以原点为位似中心，位似比为 ，则变换后点的坐标为 或 。 相似比 ； 周长比 = 相似比 ； 面积比 = 相似比的平方 。 ⚠️ 易错知识（位似特有的符号和倍数陷阱）： “反向位似”的负号不要丢： 若题目说“在位似中心同侧”，则 ，坐标乘 ；若说“异侧”或“反向延长线上”，则 ，坐标乘 。 易错点：求两个位似图形的相似比时，对应坐标的比值可能为负。面积比、周长比必须取正值，所以答案是 或 。很多同学直接写负数，直接判错。 位似中心不是原点时，不能用简单的坐标相除： 若位似中心是 ，对应点 和 。此时应先平移位似中心到原点，即计算相对坐标： 相对 为 ， 相对 为 。相似比 。 易错：直接算 或 ，虽然碰巧可能对（如果位似中心在原点），但一旦中心不在原点就全错。 周长比和面积比的前后顺序混淆： 题目问“两个位似图形的面积比是_______”，如果没有指明谁比谁，通常写“前：后”或默认“新：旧”。但若问“面积比为 ”，求“相似比”则对应为 。特别注意题目问的是“大比小”还是“小比大”，顺序写反不得分。 难点精练 17．如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 【答案】 【分析】证明，得出对应边成比例，求出相关线段即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 解得． 18．在沙滩上撑开的太阳伞如图所示，伞檐离地面的距离是，伞面撑开最宽处有，伞形成的阴影离伞脚，试问身高的小明在什么范围内不会被太阳光晒到？ 【答案】小明站在伞脚的右侧，离伞脚到处，不会被太阳光晒到 【分析】解题时先结合题图获取伞高、伞面宽度、原有阴影长度、人的身高这些已知数值，依托平行投影光线平行的几何特征证明两个直角三角形相似，代入边长比例式计算出人头顶影子最远点到伞脚的距离，结合原有阴影下限，划定出不受光照的距离范围． 【详解】解：如图，过太阳伞的一个端点E作于F，设小明站在处时，其影子的最外端与点H重合， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小明站在伞脚的右侧，离伞脚到处，不会被太阳光晒到． 19．中原福塔又名“河南广播电视塔”，获得“河南当代最美建筑”一等奖．某综合与实践小组开展测量中原福塔高度的活动，记录如下： 活动主题 测量中原福塔的高度 测量工具 标杆、测距仪 测量过程 图1为实物图，图2为测量方案示意图． 测量方法： 把长为 的标杆垂直立于地面的点处，福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ． 将标杆沿着方向平移到点处，此时福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ， （所有点均在同一平面内） 计算 请根据上述数据，计算中原福塔的高度 项目反思 【答案】中原福塔的高度为 【分析】先利用得，再利用得，根据题目给出的边长计算即可． 【详解】解：由题意，知 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， 同理，可得 ， ∴， ∵ ， ∴． ∵ ， ， ， ∴， 解得 ． ∵标杆长 ， ∴ ， ∴， 解得 ， ∴中原福塔的高度为 ． 20．综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车肓区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 【答案】(1) (2)解：不能看到物体，理由如下： 过点M作交于点G，过点E 作交于点H， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ， ∴驾驶员不能观察到物体； 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故将座椅的高度调低； (3)增大 (4) 【分析】（1）设，根据三角形相似，得到，求解即可． （2）过点M作交于点G，过点E 作交于点H，根据三角形相似的判定和性质求解即可； （3）设，得到，根据分式的性质，求解即可． （4）设，根据题意，得，解得，求解即可; 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， 故的长为 （2）略 （3）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的根， 故， 减小， 也在减小， 在增大， 在增大， 故增大; （4）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， ， 根据题意，得车顶到地面的距离为， 故; 难点六 相似三角形的判定与性质综合 核心知识点： 判定：找到相似关系，建立比例桥梁。 性质：相似比 对应边比 ，对应高/中线/角平分线比 ，周长比 ，面积比 。 综合应用：先判定哪两个三角形相似，再用性质求未知线段或面积比。 ⚠️ 易错知识（综合题环环相扣，一步错步步错）： “面积比”与“相似比”的平方关系总是被记反（高频重灾区）： 若相似比为 ，则面积比为 。若已知面积比为 ，相似比为 （开平方）。 易错点：题目给出“面积比是 4:9”，让求周长比。很多同学直接填 ，大错！正确答案是 。口诀：面积开方得相似，周长等于相似比。 “对应高/中线/角平分线”必须也是“对应”的： 若 ， 中 边上的高对应的是 中 边上的高。如果题目给的是 边上的高，而对应过去找 边上的高，才是正确配对。乱配会直接导致比例式错误。 综合题中“设而不求”的中间量转换： 已知条件很少，直接求不出边长。需要设一个未知数 ，利用相似比列出方程（如 ），解出 后，再用性质求面积或周长。 易错点：设了未知数，但在列比例式时，忘记用含 的代数式替换掉变化后的线段（如 ，运动后 ， 等）。 难点精练 21．如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出，是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，进而证明，根据相似三角形的性质求出，再进一步分析即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，点E 的横坐标为， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 解得：，， ∴，，故B错误，C正确， ∴， ∴，故A正确， ∴，故D正确． 故选：B． 22．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为10，则的长为______． 【答案】16 【分析】根据位似图形的性质得到，再证明即可． 【详解】解：∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，( ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 23．如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 【答案】10 【分析】由题意得，，可得与的相似比为，则与的周长比为，进而可得答案． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为5， ∴的周长是10． 93．图①、图②、图③是6×6的正方形网格．每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图①中，在边上取一点D，在边上取一点E，连结，使； (2)在图②中，在边上取一点F，； (3)在图③中，在内部取一点G，连结，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图，应用与设计作图、中位线的性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据题意，得到，再由相似比与面积比的关系可知，当时，，再作中点即可； （2）根据面积比，作三等分点，连接就可； （3）根据面积比，作四等分位置即可． 【详解】（1），， ， 当时，则， 故取分别为，中点即可， 如图，点即为所作； （2）， ，即， 如图：连接，点即为所作； （3）如图：点即为所作； 基础达标 1．如图，，与相交于点G．若则的长为（　　） A． B． C．12 D．20 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识点，能够熟练运用比例关系是解题关键． 2．在中，点，分别在边，上，那么在下列条件中，一定能够判定的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先画出图形，根据相似三角形的性质与判定逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 由，不能判断； B. 由，不能判断； C. 由，不能判断；     D. ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 3．小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的相似和垂直平分线的性质，分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误． 【详解】解：如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确； 如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确； 故选：B． 4．如图，在坐标系xOy中，两个南开校徽图标是位似图形，位似中心是点O，①号校徽与②号校徽的位似比为2：1．点在②号校徽上，则在①号校徽上与点M对应的N点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两个图形上对应点的横坐标与横坐标之比等于位似比，纵坐标与纵坐标之比等于位似比求解即可． 【详解】解：∵①号校徽与②号校徽的位似比为2：1．点M(−3，−3)在②号校徽上， ∴在①号校徽上与点M对应的N点坐标为（-6，-6）， 故选C． 【点睛】本题主要考查了求位似图形对应点的坐标，熟知两个位似图形上对应点的横坐标与横坐标之比等于位似比，纵坐标与纵坐标之比等于位似比是关键． 5．如图，在中，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，得到，利用相似性质，解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握判定和定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选项B，C错误； ∴， ∴， 故选项A错误； ∵， ∴， ∵， ∴， 故选项D正确． 故选：D． 6．如图，已知和是以点O为位似中心的位似图形，，的面积为4，则的面积为（　　） A．6 B．10 C．25 D．12 【答案】C 【分析】根据比例的性质，求出位似比，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方，求出的面积即可． 【详解】解：和是以点O为位似中心的位似图形，， ∴， ∴和相似，且相似比为：， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查位似图形的性质，相似三角形的性质．熟练掌握相似比等于位似比，是解题的关键． 7．如图，在边长为1的正方形网格中， ABC与DEF是位似图形，则ABC与DEF的面积比是（     ） A．4：1 B．2：1 C．：1 D．9：1 【答案】A 【分析】△ABC与△DEF是位似图形，所以△ABC∽△DEF，根据勾股定理求出AB和DE算出他们的比值，则面积之比也就解出来了． 【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形， ∴△ABC∽△DEF， 由图可知AB==，DE=， ∴， ∴， ∴△ABC与△DEF的面积比为4：1 故选：A． 【点睛】本题考查位似图形的性质和相似三角形的性质，熟练的运用似图形的性质是解题的关键． 8．如图，与是以点为位似中心的图形（点，，的对应点分别为点，，）．若与的周长之比为，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∵的周长与的周长比是， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 9．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，则树高是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出和相似是解题的关键． 先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再加上即可得解． 【详解】解：在和中， 即 解得：， 即树高． 故选：B． 10．如图，点P是的重心．过P作的平行线，分别交，于点D，E；作交于点F．若的面积为36，则四边形的面积为（     ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形重心的有关性质，相似三角形的判定以及性质，连接并延长交于G，由重心的性质得，，由平行线截直线成比例可得出，，再证明，，由相似三角形的性质可得出，，分别求出和，进一步即可得出答案． 【详解】解：连接并延长交于G，由重心的性质得，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴四边形的面积， 故选：B． 11．如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，，则______．    【答案】 【分析】利用相似五边形的对应边之比等于相似比建立方程求解即可． 【详解】解：∵五边形与五边形相似且相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴，经检验符合题意； 故答案为： 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比即为相似比是解本题的关键． 12．如图，与是位似图形，点O是位似中心，位似比为，如果，那么___________． 【答案】3 【分析】本题考查位似变换，解题关键是掌握位似变换的性质，根据位似图形的性质得到，求出即可． 【详解】解：∵与是位似图形，点O是位似中心，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 13．如图，在中，是上的一点，，，，则________． 【答案】2 【分析】证出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 14．如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，那么原来矩形的长边与短边的比值是______． 【答案】 【分析】先根据题意得到，再代入变形得到，然后求解． 【详解】根据题意，得． 将代入，得，开平方得（舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似多边形对应边成比例的性质，熟练掌握相似多边形对应边成比例是解题的关键． 15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上． 已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，则树高_________m． 【答案】5 【分析】利用直角三角形和直角三角形相似求得的长后加上小明同学的身高即可求得树高． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型． 16．如图，菱形ABCD与菱形AEFG相似，AEFG的顶点G在ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H， ．若，，则菱形ABCD的边长为______． 【答案】9 【分析】连接AC，首先证明△ABC是等边三角形，再证明△BGH∽△CAG，推出，由此构建方程即可解决问题． 【详解】解：连接AC． ∵菱形ABCD∽菱形AEFG， ∴∠B=∠E=∠AGF=60°，AB=BC， ∴△ABC是等边三角形，设AB=BC=AC=a，则BH=a-7，BG=a-3， ∴∠ACB=60°， ∵∠AGB=∠AGH+∠BGH=∠ACG+∠CAG， ∵∠AGH=∠ACG=60°， ∴∠BGH=∠CAG， ∵∠B=∠ACG， ∴△BGH∽△CAG， ∴， ∴， ∴a2-10a+9=0， ∴a=9或1（舍弃）， ∴AB=9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 17．中，，，是上的一点，且，设是某边上的一点，如果截得的三角形与原三角形相似，且它们的面积比是，则的长为___________． 【答案】2或7.5 【分析】分两种情况：（1）Q在AC边上时，如图1，作辅助线构建高线，先根据高线平行，利用相似三角形的性质求出，利用面积比是1：4列式，可得出AQ的长；（2）Q在AB边上时，如图2，同理可得出AQ的长． 【详解】解：分两种情况： （1）在边上时，如图1，过作于，过作于， 则，， ∵， ， ， ∴ ∴， ∴ ， ∴， ∴； （2）在边上时，如图2，过作于，过作于， 则，， ， ， ， ∴ ， ， ， ， 综上所述：的长为2或7.5． 故答案为：2或7.5 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据Q是△ABC某边上的一点，说明点Q不确定在AB或AC上，所以采用分类讨论的思想，作高线，根据三角形面积公式与面积比相结合，列式得出结论． 18．已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质．利用设参法，得，再代入代数式求值即可． 【详解】解：设，则：， ∵， ∴ ． 19．综合与实践 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在旗杆底部所在的平面上，放置一个平面镜E．来测量学校旗杆的高度，当镜子中心与旗杆的距离米，镜子中心与测量者的距离米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆的顶端点A．已知测量者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米，求学校旗杆的高度是多少米． 任务一：在计算过程中C，D之间的距离应该是 米． 任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度． 任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用测量者在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，请你在备用图中画出该方案的示意图，并说明必要的已知条件． 【答案】任务一：1.5；任务二：学校旗杆的高度是15米；任务三：如图见解析，点A，M，F三点共线，已知测量者的身高MN，影长FN，旗杆的影长FB即可求得旗杆AB的高度 【分析】（1）C，D之间的距离应是测量者的眼睛距离地面的距离，即可作答； （2）因为入射光线和反射光线与镜面夹角相等，所以△CDE∽△ABE，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可； （3）点A，M，F三点共线，已知测量者的身高MN，影长FN，旗杆的影长FB，即可求得旗杆AB的高度． 【详解】任务一：C，D之间的距离应是测量者的眼睛距离地面的距离，即为1.5米， 故答案为：1.5； 任务二：由已知，∠DEC=∠BEA， ∠CDE=∠ABE=90°， △CDE∽△ABE， ， ， AB=15， 所以，学校旗杆的高度是15米； 任务三：如图所示，点A，M，F三点共线，已知测量者的身高MN，影长FN，旗杆的影长FB，即可求得旗杆AB的高度． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．    (1)请在轴左侧画出，使其与关于原点位似，点、、分别与、、对应，且位似比为； (2)在（1）的条件下，写出点的对应点的坐标． 【答案】(1) 如图所示：    (2) 【分析】（1）根据位似图形的性质确定点、、,顺次连线即可； （2）根据图形直接得到坐标． 【详解】（1）略 （2）点的对应点的坐标为． 【点睛】此题考查了位似图形的性质，位似作图，确定位似图形中点的坐标，正确理解位似图形的性质是解题的关键． 21．项目式学习． 背景 小军和小华在假期利用所学知识测量了某建筑的高度（如图）． 素材 首先，小军竖直站立在地面上的点C处，同一时刻，该建筑在太阳光下的影子顶端和小军在太阳光下的影子顶端分别落在地面上的点E、F处；随后，小华在点G处竖立一个高为1米的测角仪，测得该建筑顶端A的仰角，已知小军的身高米，米，米，米 说明 点B、E、C、F、G在同一直线上，点A、M、B在同一直线上，，图中所有点均在同一平面内． 问题 求该建筑的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，） 【答案】该建筑的高度约为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用三角函数解直角三角形是解题的关键．由题意可得四边形为矩形，则米，，再证明可得，即可得出，再求出，然后根据三角函数可得，求出的值即可． 【详解】解：， ， ∴四边形为矩形， 米，， ，， ， ，即， ∴， ∴， 由题意知：， 在中，， ， 解得：， 答：该建筑的高度约为米． 22．如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC． （1）求证：； （2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长． 【答案】 （1）证明：∵DF∥AC， ∴， ∵DE∥BC，       ∴，       ∴； （2）， 【分析】（1）由平行线分线段成比例得出和，即推出． （2）设BF＝x，根据题意可求出，再根据（1）结论，即可求出x的大小，即可求出BF和CF的长． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵，      ∴， ∵，且AE＝4，EC＝2，        ∴，        解得：， ∴，      ∴． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 23．如图，四边形，连接，，且． (1)求证：； (2)若的延长线交于点，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形相似． （1）根据，即可证明； （2）证明，得出，则，故，证明，得出，即可得出，证出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．如图，在中，，，，为的中点．动点从点开始沿边以的速度运动，过点作，垂足为．设点的运动时间为（）． (1)当为何值时，四边形为矩形？ (2)设四边形的面积为，写出与的关系式； (3)是否存在某一时刻，使四边形与的面积比为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (4)当为何值时，的值最小？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例，可得，即可求解； （2）根据，可得，再由，即可求解； （3）根据题意可得，即可求解； （4）过点D作于点F，延长至点M，使，过点M作于点E，交于点P，则，由垂线段最短得，的最小值为的长，证得，可得，再根据，可得，然后根据，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵为的中点， ∴， 即， ∴， 即当t的值为时，四边形为矩形； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ， 即； （3）解：根据题意得：， 即， 解得：（舍去）或4， 故存在某一时刻，使四边形与的面积比为； （4）解：如图，过点D作于点F，延长至点M，使，过点M作于点E，交于点P，则， 此时， 由垂线段最短得，的最小值为的长， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 即当时，的值最小． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短性质的应用，轴对称性质，求函数解析式，关键是构造直角三角形和应用相似三角形解决问题． 能力进阶 1．在中，，，，平分交于点D，垂直平分线段交于点E，交的延长线于点F，则之长为（　　） A．5 B．6 C． D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的性质和垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，掌握应用等积变换可求得边之比是解题的关键．根据三角形的等积变换，可得出，则结合已知可得，，根据平行线的性质及等量代换可得，代入解答出即可． 【详解】解：如图，延长交于G，连接， ，， 平分 到、的距离h相等， 设点A到距离为y 则，， ， 又， ，， 又， ， ， ， 垂直平分线段，得， 同理， 即， ； 故选：B． 2．如图，中，，平分交于点D，交于点E，M为的中点，交的延长线于点F，．下列结论，①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有(   )． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由角平分线的性质即可得出，进而可得出，可判断①；由角平分线的性质可知，即可设，则．在中，根据勾股定理即可求出，又易证，即得出，可判断⑤；证明，得出，结合⑤知，即得出，从而得出，可判断③；连接，由直角三角形的性质可得出，即得出，从而证明，可得出，，进而可求出，可判断④；假设成立，可求出．根据，得出与不符，故可判断②错误． 【详解】∵平分， ∴． ∵， ∴，故①正确； 由题意可求． ∵平分， ∴， 故可设，则， 在中，，即 ， 解得：（舍去负值）． ∵， ∴， ∴，即，故⑤不正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，由⑤知， ∴， ∴，故③正确； 如图，连接， 在中，为斜边的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 假设成立， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵在中，为斜边的中线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴与不符， ∴不成立，故②错误； 综上可知正确的有①③④，共3个． 故选C． 【点睛】本题考查角平分线的定义和性质，三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质等知识．熟练掌握三角形相似的判定定理和正确的作出辅助线是解题关键． 3．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧交于，连接，再分别以为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列说法中错误的是（   ）． A． B．∽ C． D． 【答案】D 【分析】由作图方法即可判断A；然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，从而得到即可判断C；再由，即可判断B；根据勾股定理求出，从而得到的长，即可求出，从而判断D． 【详解】解，由作图方法可知，为的垂直平分线，， ,，故A正确； ，， ， ， ， ， ，， ，故C正确， ，， ，故B正确； ，， ， ， ，故D错误． 4．如图，菱形中，，与交于点O，E为延长线上一点，且，连结，分别交于点F，G，连结， ①②③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④中正确的结论是（     ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由菱形的性质及可得点G分别是、的中点，则由中位线定理可得①正确；由，则有，面积关系，再由中线平分面积可得②正确；易得四边形是平行四边形，再由已知可得是等边三角形，从而可得四边形是菱形，可得③正确；由G是的中点，得，再由即可得④正确，从而最后可确定答案． 【详解】∵四边形为菱形，与交于点O， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， 即点G是、的中点， ∴由中位线定理得，且， 故①正确； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， 故③正确； ∵G是的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故④正确， 故全部正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等高的三角形面积关系等知识，综合性较强，灵活运用这些知识是解答本题的关键． 5．如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．则线段的长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交延长线于点，过点作于点，可证四边形是矩形，得，，由得，利用相似比求出长，由及可证，设，则，，在中，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 在中，， ∴， 解得：，即． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形判定及性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形判定及性质，勾股定理，作辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 6．如图，折叠矩形纸片ABCD，，，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合）．把沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H点． （1）如图1，若，则DG的长是______． （2）如图2，若点C恰在射线EF上，连接DH，则线段DH的长是______． 【答案】 4 【分析】（1）证△AEB≌△DGE即可； （2）先证CE=CB=10，从而求出CF=8，则AE=EF=2，DE=8，再证△ABE∽△DEG，得，即可求出DG=，由勾股定理即可求得EG=，最后根据S四边形DGFE=，即可求出DH． 【详解】解：（1）如图1，∵矩形ABCD， ∴AD=BC=10，CD=AB=6，∠A=∠D=90°， ∴DE=AD-AE=10-4=6， ∴DE=AB， 由折叠得：∠AEB=∠BEF，∠DEG=∠HEG， ∴∠AEB+∠BEF+∠DEG+∠HEG=180°， ∴∠AEB+∠DEG=90°， ∵∠AEB+∠ABE=90°， ∴∠ABE=∠DEG， ∴△AEB≌△DGE（ASA）， ∴DG=AE=4， 故答案为：4； （2）如图2，由折叠可知∠AEB=∠FEB，AE=EF，AB=BF=6，∠BFE=∠A=90°， ∵ADBC， ∴∠AEB=∠EBC， ∴∠FEB=∠EBC， ∴CE=CB=10， ∵点C在直线EF上， ∴∠BFC=90°，CF=10-EF=10-AE， ∴CF=， ∴AE=EF=CE-CF=10-8=2， ∴DE=AD-AE=10-2=8， 由（1）知，∠ABE=∠DEG， 又∵∠GDE=∠A=90°， ∴△ABE∽△DEG， ∴，即， ∴DG=， ∴EG=， 由折叠可知，EG垂直平分线段DH， ∴S四边形DGFE=， ∴， ∴， ∴DH=． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，本题属矩形折叠问题，属中考试常考题型． 7．如图，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，…按此方法作下去，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】分别过点作x轴的垂线，垂足分别为，依题意得，，，进而得，则，直线与直线表达式联立得交点坐标，进而得，因为，，都是锐角为的直角三角形，求出斜边长度，就可以确定坐标，且,，即，据此规律即可得出点的坐标． 【详解】解：分别过点作x轴的垂线，垂足分别为，如下图： 直线与x轴交于点， ，解得，即点坐标为，， 直线与直线交于点，两直线表达式联立得， 解得，即，， 轴， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，，， ， 在中，， 即， 在中， ， ， ，， 都是锐角为的直角三角形， 设，则，， 设，， 设，， 以此类推，， ， ， ， ， ． 8．如图，等腰与等腰，，，，，垂足为H，直线交于点O．将绕点C顺时针旋转，则的长的最大值是______． 【答案】 【分析】如图，延长到N，使得，连接，，连接交于M，取的中点F，连接，，根据可证的，然后根据角度关系可证得，从而得到，然后得到点O为中点，可得到是中位线，从而求出，然后在中，利用勾股定理计算出，当O，A，F三点共线时即可解决问题 【详解】如图，延长到N，使得，连接，，延长交于M，取的中点F，连接，，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 9．如图，在中，是边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点为．已知点，点，则当，，三点共线时，点的坐标为____________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，根据平行四边形的性质和点、的坐标得到，，再根据折叠的对应角相等和平行线的性质推出，然后根据等角对等边和勾股定理求出，进而求出，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即C、D纵坐标相同， ∵点，点， ∴，， 由折叠的性质，可知， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 10．已知，平面直角坐标系，两点． (1)如图1，点，是x轴上任意一点，且A、B、E三点不共线，三角形的面积为S，求S关于m的函数表达式； (2)①如图2，过点B且垂直于y轴的直线l，在直线l上有一点P，将点A绕着点P逆时针旋转，得到点Q，当点Q在x轴上时，点P的坐标是______； ②如图3，若点P在直线上，同样将点A绕着点P逆时针旋转，得到点Q，当点Q在x轴上时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）延长交x轴于点C，过A作轴于D，根据， ，求得，根据，当时，，；当时，，； （2）①过P作直线轴于点H，过A作直线于点G，交y轴于点D，证明四边形是矩形，推出，结合，证明，得到，得到，即得；②设，得，根据，得到，解得，即得． 【详解】（1）解：延长交x轴于点C，过A作轴于D， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 当时，， ； 当时，， ； ∴； （2）①过P作直线轴于点H，过A作直线于点G，交y轴于点D， 则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设，同①过P作直线轴于点H，过A作直线于点G，交y轴于点D， 则，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数与三角形综合．熟练掌握坐标与图形，相似三角形的判定和性质，三角形面积公式，旋转性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，分类讨论，是解决问题的关键． 11．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹）． (1)在图①中画的高CH； (2)在图②的线段AC上画一点D，连结BD，使得； (3)在图③中的外部画一点F，使，且． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先观察线段的横向和纵向格数分别为3，3，交换横向和纵向数据后，再在目标点按正确方向画出新线段，其横向和纵向格数分别为3，3． （2）构造相似三角形，其相似比为，即可把分成两段，． （3）将沿水平方向移动两格到处，再在上取点，过点作的垂线交于点，则垂直平分，故． 【详解】（1）解：如图①，取格点，连接交于点，线段即为所求作． （2）解：如图②，取格点、，，，连接交于点，连接，点即为所求作． （3）解：如图③，连接、，交于，连接，线段即为所求作． 12．1综合与实践 【发现并提出问题】 在进行综合与实践活动时，学习小组发现可以将一张特殊的平行四边形硬纸片剪拼成一个有盖的直四棱柱形盒子（无损耗无重叠），在制作过程中，学习小组提出了一个问题：制作的盒子的高与四边形硬纸片的边长存在怎样的数量关系？ 【分析并解决问题】 探究一：盒子的高与正方形硬纸片的边长的数量关系 （1）以正方形的顶点O为坐标原点，，所在的直线为坐标轴建立如图1所示的平面直角坐标系，此时点B的坐标为，再以正方形的两条对角线交点P为位似中心，画一个正方形，使它与正方形位似，且相似比为，然后按图2的方式将正方形纸片沿虚线剪开，可拼接成如图3所示的四棱柱形有盖盒子． 请在图1中画出正方形，此时盒子的高h为______； 探究二：盒子的高与菱形硬纸片的边长的数量关系 （2）按探究一的方式将图4中的菱形硬纸片制作成了如图5所示的四棱柱形有盖盒子．在菱形中，若，，则盒子的高为______；（用含a的代数式表示） 【推广并创新应用】 探究三：盒子的高与矩形硬纸片的边长的数量关系 （3）如图6，矩形硬纸片中，，，将该纸片沿虚线剪开，把所得的四个阴影部分纸片再剪拼成一个长方形盖子，并与剩余部分一起拼接成一个四棱柱形有盖盒子，求盒子的高．（用含有m，n的代数式表示） 【答案】（1）如图1， 正方形即为所求； 1； （2）； （3）PQ＝ 【分析】本题考查了图形的位似，正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形等； （1）按要求作出位似图形，即可求解； （2）由位似的性质得，解和，即可求解； （3）四个阴影部分四边形是四个全等的正方形，由正方形的性质得，设，则，，由盒子得底部面积和盖子面积可得，即可求解； 掌握位似图形的画法，正方形的性质、菱形的性质，能熟练解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1， 正方形即为所求； 正方形与正方形相似比为， ， ， 点B的坐标为， ， 盒子的高h为1； 故答案为：1； （2）如图2，过作交于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）如图3， 由题意得， 四个阴影部分四边形是四个全等的正方形， ， 设， 则，， 由盒子得底部面积和盖子面积可得， ， ， 13．如图①~⑧是课本上的折纸活动． 【重温旧知】 上述活动，有的是为了折出特殊图形，如图①、③和⑧；有的是为了发现或证明定理，如图④和⑦；有的是计算角度，如图②；有的是计算长度，如图⑤和⑥． (1)图③中的的形状是________，图④的活动发现了定理“________”（注：填写定理完整的表述），图⑤中的的长是________． 【新的发现】 (2)图⑧中，在第3次折后，点D落在点处，直接写出点的位置特点． 【换种折法】 (3)图⑧中，在第1次折后，再次折叠，如图⑨，使点A与点F重合，折痕为，点D落在点处，与交于点P．说明P为的三等分点． 【继续探索】 (4)如何折叠正方形纸片ABCD得到边AD的五等分点？请画出示意图，简述折叠过程，并说明理由． 【答案】(1) 等腰三角形； 直角三角形斜边上的中点是斜边的一半 (2)点在上，且是的中点． (3) 设，，由题意，得，，． ∵为直角三角形，， ∴， ∴．解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得。 ∴P为CD的三等分点． (4) 如图①， P为的三等分点．折叠正方形纸片，使点B与点P重合，折痕为，点A落在点处，与交于点Q，则Q为的五等分点． 理由：设，在中，根据勾股定理，易得．易证，可得．所以Q是的五等分点． 【分析】（1）根据等角对等边即可求解；根据翻折性质即可求解；先证明，得到即可求解； （2）由翻折性质即可求出； （3）证明，由相似的性质即可求解； （4）由翻折性质即可求出． 【详解】（1）解：等腰三角形； 如图所示， 由翻折性质可得： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；．                                    直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 如图所示： 由翻折性质可得：，， ∴， ∴， ∴发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）解：点在上，且是的中点． （3）略 （4）略 【点睛】本题考查了几何问题，难度较大，灵活运用所学知识是解题关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 图形的相似 复习要点 1.相似图形对应角相等、对应边成比例，这是所有判定和计算的根本依据。 2.判定三角形相似有五种常用方法：定义、平行线、三边成比例、两边成比例且夹角相等、3.两角对应相等（含直角三角形的HL型）。 4.相似三角形对应线段和周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 5.位似图形是相似图形的特例，对应点连线交于一点（位似中心），且对应线段平行。 6.以原点为位似中心时，位似比为k，同侧坐标乘k，异侧坐标乘-k。 7.全等是相似比为1的特例，位似强调位置关系，但相似图形不一定位似。 复习重难点 重点： 熟练掌握相似三角形的判定方法（两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例）、相似三角形的性质（对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方），以及位似图形的概念、性质与作图。 难点： 灵活运用相似三角形的判定与性质，结合比例线段、面积关系等知识解决综合性的几何证明与计算问题。 知识点 相似图形与相似多边形： 相似图形的定义: 形状相同的平面图形叫做 （简称相似形）。两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形 或 得到。 要点速测 1．下列说法中正确的有（   ） ①所有的圆都是形状相同的图形； ②所有的正方形都是形状相同的图形； ③所有的等腰三角形都是形状相同的图形； ④所有的矩形都是形状相同的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 相似多边形的定义: 两个边数相同的多边形，如果一个多边形的各个角与另一个多边形的各个角 ，各边 ，那么这两个多边形叫做 。 要点速测 2．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 相似多边形的表示方法: 用符号“∽”表示相似，读作“ ”。例如，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，记作： 注意：在记两个多边形相似时，要把表示 的字母写在 上。 要点速测 3．如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 相似比: 相似多边形 叫做 。当两个多边形全等时，相似比为1。 要点速测 4．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 相似多边形的性质: 对应角相等 对应边成比例 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 要点速测 5．已知五边形五边形，若，则五边形与五边形的面积比为_____． 知识点相似三角形 相似三角形的判定方法（五种）: 判定方法一：两角分别相等 的两个三角形相似。这是最常用的判定方法——只需找到两个三角形的两个 相等即可。对于直角三角形，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似。 要点速测 6．如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 判定方法二：两边成比例且夹角相等 的两个三角形相似。注意：这个角必须是两边的 ，否则判断结果可能是错误的。 要点速测 7．如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 判定方法三：三边成比例 的两个三角形相似。 要点速测 8．若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 相似三角形的性质: (1) 对应角相等，对应边的比相等 (2) 对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 (3) 周长的比等于相似比 (4) 面积的比等于相似比的平方 提示：相似三角形的这些性质同样适用于一般相似多边形。 要点速测 9．如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 知识点 图形的位似 位似图形的定义: 如果两个相似多边形 ，且每组对应点与点O的距离之比都等于一个定值k（k≠0），那么这两个多边形叫做 ，点O叫做 。 简单来说：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边 （或共线） ，这样的两个图形叫做 。 要点速测 10．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 位似图形的性质: 具有相似图形的所有性质：对应角相等，对应边成比例；周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比（位似图形的相似比也叫位似比） 要点速测 11．如图，小华在学习了“位似”后，利用相关知识在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图1中标出与的位似中心点的位置（保留作图痕迹，无需说明理由）； (2)以坐标原点为位似中心，请你帮小华在图2中画出的位似图形，且与的位似比为2．（画出所有符合题意的图形） 位似图形的画法: 利用位似可以将一个图形 或 。在位似中心与各顶点连线（或延长线）上取点，使新顶点到位似中心的距离与原顶点到位似中心的距离之比等于给定的相似比。 要点速测 12．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中利用网格和无刻度直尺描出边上一点，使得； (2)以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为，请在所给的网格图中画出． 知识点 比例线段与黄金分割 比例线段: 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b = c:d，我们就说这四条线段是 ，简称 。 比例的基本性质：若a:b = c:d，则 = 比例中项：若a:b = b:c，则 = （b称为a、c的比例中项） 要点速测 13．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D．2 黄金分割: 如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，即 ，则P点叫做线段AB的 。 黄金比约为 0.618。 黄金矩形：两条邻边长度的比值约为0.618的矩形 黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形（底角为72°），底角平分线将其腰黄金分割 要点速测 14．宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 题型1 图形的相似 ▌例1 如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 解题要点 图形的相似 1.定义优先：形状相同、大小不一定相同，对应角相等，对应边成比例。 2.对应关系：书写相似符号（∽）时，务必保持顶点顺序一一对应，这是找准比例式的基础。 3.性质应用：相似三角形的对应高、中线、角平分线之比等于相似比；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 4.区分全等：全等是相似的特殊情况（相似比为1），若题中未说明大小关系，记得考虑两种情况（放大或缩小）。 ▌迁移练1-1平行四边形与平行四边形相似，，的对应边，平行四边形的面积为，则平行四边形的面积为_________． ▌迁移练1-2如图，与位似，点为位似中心，．若的面积为4，则的面积是________． ▌迁移练1-3风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝较短的那条对角线长度为______． 题型2 比例的性质 ▌例1 如果，那么下列比例式中成立的是（     ） A． B． C． D． 解题要点 比例的性质 1.基本性质：若 ，则 （交叉相乘），常用于由比例式求线段长或参数。 2.合比/分比性质： 可推出 ，常用于需要“整体代换”的证明题。 3.等比性质：若 （分母之和不为0），则各比等于 。 4.注意顺序：比例式中“前项”与“后项”的置不能随意调换，必须严格对应图形中的对应边。 ▌迁移练1-1对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2若，则的值是________ ． ▌迁移练1-3已知，满足，求、、的值． 题型3 由平行判断成比例的线段 ▌例1 23．如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 解题要点 由平行判断成比例的线段 1.核心定理：平行线分线段成比例（三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例）。 2.“A”字模型：在 中，若 ，则 （或 ）。 3.“X”字模型（8字型）：若 ，则 （交点O两侧对应成比例）。 4.识别平行线：看到题目中的平行符号，立即联想截线，找准被截的两条直线（或延长线）上的对应线段。 ▌迁移练1-1已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． ▌迁移练1-2如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3如图，已知，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型4 由平行截线求相关线段的长或比值 ▌例1 如图，已知直线，直线m交直线a、b、c于点A、B、C，直线n交直线a、b、c于点D、E、F，若，则（     ） A．2 B． C． D． 解题要点 由平行截线求相关线段的长或比值 1.设未知数：若比值已知或线段含未知量，常设 参与比例运算，建立方程求解。 2.找准对应边：严格区分“对应线段”，避免将 误写为 ，注意大边与小边的隶属关系。 3.整体代换：若只给部分线段和差关系（如 ），利用比例式列出整式方程。 4.结果检验：所求线段长必须为正数，且需满足三角形三边关系或图形实际限制。 ▌迁移练1-1如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2如图，已知，，，那么的长是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 ▌迁移练1-3如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． 题型5 利用两角对应相等判定相似 ▌例1 如图，是的角平分线，点是边上一点，请你用尺规作图法在线段上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 解题要点 利用两角对应相等判定相似 1.先找隐含角：公共角、对顶角、直角永远是隐含的等角，优先使用。 2.平行导角：利用平行线的同位角、内错角或同旁内角互补寻找另一对等角。 3.等角代换：利用同角（或等角）的余角、补角相等，或角平分线、等腰三角形等条件进行传递。 4.书写规范：判定后需明确指出“两角分别相等的两个三角形相似”，并对应写好顶点顺序。 ▌迁移练1-1如图，在菱形中，． (1)实践操作：利用尺规，作的平分线交于点．（要求不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． ▌迁移练1-2如图，为矩形的对角线，点F是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    ▌迁移练1-3如图，在中，，请用尺规作图法在上求作一点，使得，并写出的证明过程． 题型6 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 ▌例1 如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 解题要点 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 1.“夹角”是灵魂：必须是比例两边的夹角相等，绝对不能使用“其中一边的对角”（此为“边边角”，不成立）。 2.找准对应边：先确定相等角的两条夹边，分别比之，若比值相等则相似。 3.单位统一：若边长带不同单位，先化为同一单位再求比值。 4.常见陷阱：题目给出比例关系但夹角不一定相等时，需先证明夹角相等（如公共角、对顶角）。 ▌迁移练1-1观察下列每组三角形，根据标出的条件，不能判定两个三角形相似的是（　　） A． B． C． D． ▌迁移练1-2观察下列每组三角形，不一定相似的是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 题型7 利用三边对应成比例判定相似 ▌例1 如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（    ） A． B． C． D． 解题要点 利用三边对应成比例判定相似 1.排序法：将两个三角形的三边分别按从小到大（或从大到小）排列，再计算最长边之比、最短边之比、中间边之比。 2.最直接的判定：当图形角度不明显或角的条件不足时，优先考虑测量或计算三边比值。 3.计算细致：求比值时注意约分，若三组比值完全一致，则判定成立。 4.需确保存在性：前提是三个给定的线段确实能构成三角形（满足两边之和大于第三边）。 ▌迁移练1-1如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） ▌迁移练1-2如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，与的顶点都在格点上．求证：． 题型8 相似三角形的判定综合 ▌例1 42．如图，点是等边三角形的边上的一点，下面四个选项中的条件不能判定与相似的是（   ） A． B．， C． D． 解题要点 相似三角形的判定综合 1.优先尝试“两角”：在复杂图形中，AA（两角）判定法往往最快捷，先找平行线和公共角。 2.多次相似传递：若图中存在多个三角形，可先证一对相似，再通过等角或等边过渡到另一对。 3.熟悉基本模型：熟记“A字型”、“X字型”、“母子型（射影定理）”、“一线三等角”模型，快速定位判定方法。 4.综合运用性质：判定成功后，及时利用相似比去倒推题目要求的角度或线段长度。 ▌迁移练1-1如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知． (1)求证：； (2)若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积． ▌迁移练1-2如图，已知，点是边上一点，且，请用尺规作图法在边上找一点E，使，且相似比为．（保留作图痕迹，不写作法）    ▌迁移练1-3在矩形中，于点，连接，过点作交于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 题型9 选择或补充条件使两个三角形相似 ▌例1 如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 解题要点 选择或补充条件使两个三角形相似 1.从判定定理出发：逆向思考，缺什么补什么。缺角就补角（AA），缺边比例就补边（SSS或SAS）。 2.优先考虑角：补充一对等角通常最简单（如添加一个角等于已知角，或添加一组平行线）。 3.注意隐含条件：公共角和对顶角已经天然存在，不要遗漏，这往往能少补充一个条件。 4.验证充分性：补充条件后要确保判定定理完整（如补充SAS时，需确保是夹边比例且夹角相等，而不仅仅是任意两边）。 ▌迁移练1-1如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． ▌迁移练1-3如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 题型10 证明三角形的对应线段成比例 ▌例1 如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 解题要点 证明三角形的对应线段成比例 1.目标转化：要证 ，先看这些线段是否是某两个相似三角形的对应边。 2.构造相似：若不在同一对相似三角形中，常添加辅助线（如作平行线）构造“A字型”或“X字型”来搭建比例桥梁。 3.等量代换：若线段 与另一线段 相等，可先证 ，再利用 代换。 4.逆向分析：从结论倒推，想得到这个比例式需要证明哪两个三角形相似，逐步靠拢已知条件。 ▌迁移练1-1如图，在中，，垂足为． (1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． ▌迁移练1-2如图，在中，，点为边上的点，连结，作，使边交于点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． ▌迁移练1-3如图，在四边形中，平分，，E为的中点，连接，，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的值． 题型11 在网格中画与已知三角形相似的三角形 ▌例1 如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 解题要点 在网格中画与已知三角形相似的三角形 1.勾股定理求边长：先利用网格计算出原三角形各边的长度（小直角三角形的斜边）。 2.确定相似比：根据题目要求（如放大2倍、缩小一半）或特定顶点位置，确定新的边长。 3.利用网格特性：网格中长度为 、、 等线段可通过连接特定格点得到（横纵格数满足勾股定理）。 4.方向可变：新三角形可以旋转、翻转（轴对称），只要边长比例对应且角度相等即可。 ▌迁移练1-1如图，的三个顶点都在格点上，请在图的网格内画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． ▌迁移练1-2如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． ▌迁移练1-3如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 题型12 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 ▌例1 已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (3)在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 解题要点 画已知图形放大或缩小 倍后的位似图形 1.确定位似中心：中心可以是图形内、图形外、图形边上或顶点上，根据题意先标记。 2.连线截取：连接中心与各关键顶点，在射线上（或反向延长线上）按比例截取，使 。 3.分清内外：若要求图形与中心在同侧，则沿正向截取；若在异侧，则沿反向延长线截取（此时位似比为 ）。 4.保留作图痕迹：连线、截点保留清晰痕迹，最后用实线连接新图形的各顶点。 ▌迁移练1-1在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． ▌迁移练1-2如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有和格点（网格线的交点）O． (1)以点O为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，画出放大后的； (2)将绕点O顺时针旋转，得到，请你画出，并直接写出边在旋转过程中扫过的面积． ▌迁移练1-3如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点和点都是格点． (1)将先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，请画出； (2)以为位似中心，在网格图中作，使得与的相似比为； (3)利用网格图，过点向画垂线． 题型13 求位似图形的对应坐标 ▌例1 如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 解题要点 求位似图形的对应坐标 1.原点为位似中心：若位似中心是原点，则对应点坐标 ，其中 为位似比（ 同侧， 异侧）。 2.非原点位似中心：先平移图形使位似中心移至原点，变换后再平移回去；或利用向量的线性运算（）。 3.注意倍数变化：横纵坐标同时乘以 ，不要只乘一个方向。 4.多解情况：若未指明同侧还是异侧，通常 取正负两个值，对应两个答案。 ▌迁移练1-1如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为_____． ▌迁移练1-3如图，在中，三个顶点的坐标分别是．以点C为位似中心，在x轴下方作的位似图形，并把的边长放大为原来的2倍，那么点的坐标为_________． 题型14 在坐标系中画位似中心 ▌例1 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 解题要点 在坐标系中画位似中心 1.连线找交点：连接两组对应点的对应顶点（如 与 ， 与 ），其所在直线的交点即为位似中心。 2.利用待定系数法：求出 和 两条直线的解析式，联立解方程组，交点坐标即为中心。 3.验证：求出中心后，连接第三组对应点验证是否也经过该点（若不过则该图形只是相似，并非位似）。 4.特殊情况：若所有对应点连线互相平行（交点在无穷远处），则位似中心在图形的一侧，需根据坐标比例判断。 ▌迁移练1-1如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； (3)和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． ▌迁移练1-2在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系． (1)画出位似中心 (2)求出位似中心的坐标（写出过程） ▌迁移练1-3如图，在每个小正方形边长为1个单位长度的网格中，三个顶点分别为，，，若与是位外似图形，且，． (1)请直接写出位似中心的坐标： ； (2)在网格中将补充完整． 难点一 相似三角形的判定综合 核心知识点： 相似三角形的四种判定方法： 两角对应相等（AA）——最常用，只需找两个角； 两边对应成比例且夹角相等（SAS）——注意必须是“夹角”； 三边对应成比例（SSS）——计算量大，但最稳妥； HL（直角三角形专用）——斜边和一条直角边对应成比例。 ⚠️ 易错知识（思维定势的陷阱）： “对应”二字是灵魂，顺序不能乱： 写比例式时，必须保持同一个三角形的边在等号同侧。例如 ，则 。如果写成 就完全错了（把对应边配错了）。 易错点：题目给出图形，但没有标明字母对应顺序，需要自己根据角的相等来判断。很多同学直接把看起来像的两个三角形按位置对应，忽略了角是否真的相等。 “SSA”是致命假判定（没有“SSA”定理）： 已知两边和其中一边的对角对应成比例，不能判定相似！这和全等的“SSA”陷阱一样。必须找这两边的夹角，否则即使比例对，也不一定相似。 隐含条件的挖掘不足： 公共角（两个三角形重叠时）、对顶角、平行线带来的同位角/内错角，这些是AA判定的天然素材。 易错点：在复杂图形（如“A字型”和“X字型”混合）中，看漏平行线隐含的等角，导致只找到一个角相等就急着用AA，实际上另一个角没证出来。 多个三角形中选错配对对象： 图中往往有3个以上三角形，哪个和哪个相似？要用“传递法”，先证一组简单的相似，再通过边的比例关系过渡到目标三角形。 难点精练 1．如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． (1)发现 ①线段与线段之间的数量关系是________， ②直线与直线之间的位置关系是________ (2)探究 若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． (3)应用 在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）． 2．解答下列各题： (1)如图，在和中，，，，，连接，，________． (2)如图，在矩形中，，，连接，点为上一动点，为上一动点，且满足，连接，，求长的最小值． (3)某市规划在矩形区域内建设一个社区公园，如图，其中米，米．为了优化景观布局，设计师计划在主干道对角线上设置一个景观节点，在边上设置一个入口，使得，修建步行通路，与交于点，形成三角形商业活动区，四边形为休闲健身区，、、、为景观绿化区，种植不同品种的花卉．是否存在这样的点，使商业活动区的面积为矩形面积的？如果存在，求的长；如果不存在，请说明理由． 3．如图，在矩形中，，E是的中点，    (1)在上作一点F，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求的值． 4．综合与探究 【问题情境】 如图，在矩形中，，，点是边上的一动点，连接，以为直角边在其右侧作，使，其中与交于点，与交于点，连接． 【猜想证明】 (1)判断与的位置关系，并加以证明； 【深入探究】 (2)当时，求线段的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 难点二 利用相似求坐标 核心知识点： 将几何图形放入平面直角坐标系，利用相似三角形的对应边成比例，将线段长度转化为点的横纵坐标。常用模型：一线三垂直（K型图）、A字型与坐标轴的交点。 ⚠️ 易错知识（坐标系中最容易漏解和符号搞反）： 坐标的正负号是最大失分点（长度永远为正，坐标可正可负）： 通过相似比算出来的永远是线段长度（正数）。若点在 轴负半轴或 轴负半轴，必须加上负号。 案例：算得 到 轴的距离为 3，若 在第二象限，横坐标应为 ，而不是 。很多同学直接写 3 就丢了分数。 “不明确对应关系”导致的多解漏解（最经典的压轴陷阱）： 题目说“以 为顶点的三角形与 相似”，但没有明确 对应 、 对应 等。此时必须分两类讨论： 情况1：（按顺序对应）； 情况2：（交叉对应）。 易错点：只算一种情况，直接丢一半分。必须利用“夹角相等”来锁定对应关系，分情况列比例方程。 动点在直线或抛物线上运动时，忽略“位置”分类： 点 在直线 上，且使两三角形相似。解方程可能得到两个 值，但其中一个点可能在延长线上，图形是反向相似，需根据题目图形（如图中要求 在线段上）进行取舍。 难点精练 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，和是以点为位似中心的位似图形，且点与点在直线AB同侧．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．如图，正方形与正方形是位似图形，O为位似中心，相似比为，点A的坐标为，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点．直线经过B，C两点，点C是x轴正半轴上一点，且．在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1），若存在，点M的坐标为_______． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，线段、的长是一元二次方程的两根（），，． (1)求点A、C的坐标； (2)求直线的解析式； (3)在x轴上是否存在点P，使以点C、E、P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 难点三相似三角形——动点问题 核心知识点： 动点以一定速度运动，用时间 表示变化后的线段长度，由动点构成的新三角形与已知三角形相似。核心步骤： 设 秒后到达某位置； 用含 的代数式表示所有相关边长（注意：总长 − 已走路程）； 根据相似对应关系分情况列比例方程； 解方程并验证 是否在运动时间范围内。 ⚠️ 易错知识（压轴题的五大陷阱，条条致命）： 对应关系不固定，必须分类讨论（漏解重灾区）： 例如：在 中，，，点 从 沿 运动，点 从 沿 运动，速度分别为 1cm/s 和 2cm/s。问 为何值时， 与 相似？ 正解：分两类——① （ 对应 ， 对应 ）；② （ 对应 ， 对应 ）。两种情况算出两个 。 易错：只按一种顺序列比例式，丢掉另一种，导致只写一个答案。 运动范围是“生死线”，解出的 必须验证： 若点从 到 ，总长 10cm，速度 2cm/s，则 的有效范围是 。 易错：列分式方程解得 和 ，看都不看直接写两个。必须把 舍去，因为此时点已经越过终点，三角形不存在了。 “谁先到达终点”导致图形形状突变（双动点）： 若 速度不同，一个点到达终点后停止，另一个继续运动。此时新三角形的形状与之前完全不同，需要按时间段分段讨论（如 和 ）。 边长表示时“速度×时间”和“总长−速度×时间”搞反： 从 向 走，则 ，。 若 从 向 走，则 ，。 易错：不看起点，一律写成 ，起点不同，表达式完全不同。 “面积比”与“相似比”的转化在动点中的误用： 若题目说“动点构成的三角形面积是原三角形面积的 ”，很多同学直接令相似比 。 正解：面积比 = ，所以相似比 。平方关系永远不能忘。 难点精练 9．如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 10．如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 11．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 12．如图，在中，，，，D是的中点．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向点B匀速运动．当点P不与A、B重合时，过点P作的垂线交或于点Q，连接．设点P的运动时间为t秒．    (1)__________； (2)求的长（用含t的代数式表示）； (3)连接，当是直角三角形时，求t的值． 难点四 相似三角形实际应用 核心知识点： 利用相似三角形的性质测量无法直接到达的高度或宽度。三大模型： 影子模型（太阳光是平行光）； 镜子模型（入射角等于反射角）； 标杆/测角仪模型（构造“A字型”）。 ⚠️ 易错知识（实际问题最考验建模能力和生活常识）： “墙上的影子”处理不当（物理与数学结合的最大坑）： 如果物体的影子一部分落在地面上，一部分落在竖直墙面上。此时不能直接用“物高 : 影长 = 定值”。 正确做法：将墙上那一段影子平移到地面，视为物体高度“虚拟延长”后的影子，或者先利用墙高反推地面等效影长。或者，更直接的是过墙根作水平线，把图形分解为一个“A字型”相似 + 一个矩形。 易错：直接把地面影长 + 墙面影长当作总影长去列比例，完全错误！ 镜子问题中“人眼”位置的忽略： 镜子放在地面上，人通过镜子看到树顶。相似三角形是 “人眼—镜—树顶” 和 “人脚—镜—树脚”。 易错：人的高度是眼睛到地面的距离（约身高），但题目常直接给身高。列式时，人的对应边是“眼睛高度”，而不是“身高减脚”？通常是身高（视为平视），但若题目给的是“眼睛离地 1.6m”，必须用 1.6，而不是 1.7m。 单位换算与近似值取舍： 题目给出 ，，必须统一单位再算比。 实际问题求高度，若解出来是无理数，题目若没说“精确到”，就保留根号；若说了“精确到 0.1”，必须四舍五入，且要带单位。 难点精练 13．在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 14．如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 15．如图，在菱形中，点分别在和边上，点在边上，且．若，则四条线段中最长的是（     ）． A． B． C． D． 16．如图所示，矩形中，，，，，，则______ 难点五 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 核心知识点： 位似图形是特殊的相似图形，对应点连线交于位似中心。若以原点为位似中心，位似比为 ，则变换后点的坐标为 或 。 相似比 ； 周长比 = 相似比 ； 面积比 = 相似比的平方 。 ⚠️ 易错知识（位似特有的符号和倍数陷阱）： “反向位似”的负号不要丢： 若题目说“在位似中心同侧”，则 ，坐标乘 ；若说“异侧”或“反向延长线上”，则 ，坐标乘 。 易错点：求两个位似图形的相似比时，对应坐标的比值可能为负。面积比、周长比必须取正值，所以答案是 或 。很多同学直接写负数，直接判错。 位似中心不是原点时，不能用简单的坐标相除： 若位似中心是 ，对应点 和 。此时应先平移位似中心到原点，即计算相对坐标： 相对 为 ， 相对 为 。相似比 。 易错：直接算 或 ，虽然碰巧可能对（如果位似中心在原点），但一旦中心不在原点就全错。 周长比和面积比的前后顺序混淆： 题目问“两个位似图形的面积比是_______”，如果没有指明谁比谁，通常写“前：后”或默认“新：旧”。但若问“面积比为 ”，求“相似比”则对应为 。特别注意题目问的是“大比小”还是“小比大”，顺序写反不得分。 难点精练 17．如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 18．在沙滩上撑开的太阳伞如图所示，伞檐离地面的距离是，伞面撑开最宽处有，伞形成的阴影离伞脚，试问身高的小明在什么范围内不会被太阳光晒到？ 19．中原福塔又名“河南广播电视塔”，获得“河南当代最美建筑”一等奖．某综合与实践小组开展测量中原福塔高度的活动，记录如下： 活动主题 测量中原福塔的高度 测量工具 标杆、测距仪 测量过程 图1为实物图，图2为测量方案示意图． 测量方法： 把长为 的标杆垂直立于地面的点处，福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ． 将标杆沿着方向平移到点处，此时福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ， （所有点均在同一平面内） 计算 请根据上述数据，计算中原福塔的高度 项目反思 20．综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车肓区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 难点六 相似三角形的判定与性质综合 核心知识点： 判定：找到相似关系，建立比例桥梁。 性质：相似比 对应边比 ，对应高/中线/角平分线比 ，周长比 ，面积比 。 综合应用：先判定哪两个三角形相似，再用性质求未知线段或面积比。 ⚠️ 易错知识（综合题环环相扣，一步错步步错）： “面积比”与“相似比”的平方关系总是被记反（高频重灾区）： 若相似比为 ，则面积比为 。若已知面积比为 ，相似比为 （开平方）。 易错点：题目给出“面积比是 4:9”，让求周长比。很多同学直接填 ，大错！正确答案是 。口诀：面积开方得相似，周长等于相似比。 “对应高/中线/角平分线”必须也是“对应”的： 若 ， 中 边上的高对应的是 中 边上的高。如果题目给的是 边上的高，而对应过去找 边上的高，才是正确配对。乱配会直接导致比例式错误。 综合题中“设而不求”的中间量转换： 已知条件很少，直接求不出边长。需要设一个未知数 ，利用相似比列出方程（如 ），解出 后，再用性质求面积或周长。 易错点：设了未知数，但在列比例式时，忘记用含 的代数式替换掉变化后的线段（如 ，运动后 ， 等）。 难点精练 21．如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 22．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为10，则的长为______． 23．如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 93．图①、图②、图③是6×6的正方形网格．每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图①中，在边上取一点D，在边上取一点E，连结，使； (2)在图②中，在边上取一点F，； (3)在图③中，在内部取一点G，连结，使． 基础达标 1．如图，，与相交于点G．若则的长为（　　） A． B． C．12 D．20 2．在中，点，分别在边，上，那么在下列条件中，一定能够判定的选项是（    ） A． B． C． D． 3．小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 4．如图，在坐标系xOy中，两个南开校徽图标是位似图形，位似中心是点O，①号校徽与②号校徽的位似比为2：1．点在②号校徽上，则在①号校徽上与点M对应的N点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知和是以点O为位似中心的位似图形，，的面积为4，则的面积为（　　） A．6 B．10 C．25 D．12 7．如图，在边长为1的正方形网格中， ABC与DEF是位似图形，则ABC与DEF的面积比是（     ） A．4：1 B．2：1 C．：1 D．9：1 8．如图，与是以点为位似中心的图形（点，，的对应点分别为点，，）．若与的周长之比为，则的值为（    ） A． B． C． D．1 9．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，则树高是（　　） A． B． C． D． 10．如图，点P是的重心．过P作的平行线，分别交，于点D，E；作交于点F．若的面积为36，则四边形的面积为（     ） A．12 B．16 C．20 D．24 11．如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，，则______．    12．如图，与是位似图形，点O是位似中心，位似比为，如果，那么___________． 13．如图，在中，是上的一点，，，，则________． 14．如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，那么原来矩形的长边与短边的比值是______． 15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上． 已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，则树高_________m． 16．如图，菱形ABCD与菱形AEFG相似，AEFG的顶点G在ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H， ．若，，则菱形ABCD的边长为______． 17．中，，，是上的一点，且，设是某边上的一点，如果截得的三角形与原三角形相似，且它们的面积比是，则的长为___________． 18．已知，且，求的值． 19．综合与实践 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在旗杆底部所在的平面上，放置一个平面镜E．来测量学校旗杆的高度，当镜子中心与旗杆的距离米，镜子中心与测量者的距离米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆的顶端点A．已知测量者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米，求学校旗杆的高度是多少米． 任务一：在计算过程中C，D之间的距离应该是 米． 任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度． 任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用测量者在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，请你在备用图中画出该方案的示意图，并说明必要的已知条件． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．    (1)请在轴左侧画出，使其与关于原点位似，点、、分别与、、对应，且位似比为； (2)在（1）的条件下，写出点的对应点的坐标． 21．项目式学习． 背景 小军和小华在假期利用所学知识测量了某建筑的高度（如图）． 素材 首先，小军竖直站立在地面上的点C处，同一时刻，该建筑在太阳光下的影子顶端和小军在太阳光下的影子顶端分别落在地面上的点E、F处；随后，小华在点G处竖立一个高为1米的测角仪，测得该建筑顶端A的仰角，已知小军的身高米，米，米，米 说明 点B、E、C、F、G在同一直线上，点A、M、B在同一直线上，，图中所有点均在同一平面内． 问题 求该建筑的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，） 22．如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC． （1）求证：； （2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长． 23．如图，四边形，连接，，且． (1)求证：； (2)若的延长线交于点，求证：． 24．如图，在中，，，，为的中点．动点从点开始沿边以的速度运动，过点作，垂足为．设点的运动时间为（）． (1)当为何值时，四边形为矩形？ (2)设四边形的面积为，写出与的关系式； (3)是否存在某一时刻，使四边形与的面积比为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (4)当为何值时，的值最小？ 能力进阶 1．在中，，，，平分交于点D，垂直平分线段交于点E，交的延长线于点F，则之长为（　　） A．5 B．6 C． D．7 2．如图，中，，平分交于点D，交于点E，M为的中点，交的延长线于点F，．下列结论，①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有(   )． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧交于，连接，再分别以为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列说法中错误的是（   ）． A． B．∽ C． D． 4．如图，菱形中，，与交于点O，E为延长线上一点，且，连结，分别交于点F，G，连结， ①②③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④中正确的结论是（     ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 5．如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．则线段的长（    ） A． B． C． D． 6．如图，折叠矩形纸片ABCD，，，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合）．把沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H点． （1）如图1，若，则DG的长是______． （2）如图2，若点C恰在射线EF上，连接DH，则线段DH的长是______． 7．如图，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，…按此方法作下去，则点的坐标是_____． 8．如图，等腰与等腰，，，，，垂足为H，直线交于点O．将绕点C顺时针旋转，则的长的最大值是______． 9．如图，在中，是边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点为．已知点，点，则当，，三点共线时，点的坐标为____________． 10．已知，平面直角坐标系，两点． (1)如图1，点，是x轴上任意一点，且A、B、E三点不共线，三角形的面积为S，求S关于m的函数表达式； (2)①如图2，过点B且垂直于y轴的直线l，在直线l上有一点P，将点A绕着点P逆时针旋转，得到点Q，当点Q在x轴上时，点P的坐标是______； ②如图3，若点P在直线上，同样将点A绕着点P逆时针旋转，得到点Q，当点Q在x轴上时，求点P的坐标． 11．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹）． (1)在图①中画的高CH； (2)在图②的线段AC上画一点D，连结BD，使得； (3)在图③中的外部画一点F，使，且． 12．1综合与实践 【发现并提出问题】 在进行综合与实践活动时，学习小组发现可以将一张特殊的平行四边形硬纸片剪拼成一个有盖的直四棱柱形盒子（无损耗无重叠），在制作过程中，学习小组提出了一个问题：制作的盒子的高与四边形硬纸片的边长存在怎样的数量关系？ 【分析并解决问题】 探究一：盒子的高与正方形硬纸片的边长的数量关系 （1）以正方形的顶点O为坐标原点，，所在的直线为坐标轴建立如图1所示的平面直角坐标系，此时点B的坐标为，再以正方形的两条对角线交点P为位似中心，画一个正方形，使它与正方形位似，且相似比为，然后按图2的方式将正方形纸片沿虚线剪开，可拼接成如图3所示的四棱柱形有盖盒子． 请在图1中画出正方形，此时盒子的高h为______； 探究二：盒子的高与菱形硬纸片的边长的数量关系 （2）按探究一的方式将图4中的菱形硬纸片制作成了如图5所示的四棱柱形有盖盒子．在菱形中，若，，则盒子的高为______；（用含a的代数式表示） 【推广并创新应用】 探究三：盒子的高与矩形硬纸片的边长的数量关系 （3）如图6，矩形硬纸片中，，，将该纸片沿虚线剪开，把所得的四个阴影部分纸片再剪拼成一个长方形盖子，并与剩余部分一起拼接成一个四棱柱形有盖盒子，求盒子的高．（用含有m，n的代数式表示） 13．如图①~⑧是课本上的折纸活动． 【重温旧知】 上述活动，有的是为了折出特殊图形，如图①、③和⑧；有的是为了发现或证明定理，如图④和⑦；有的是计算角度，如图②；有的是计算长度，如图⑤和⑥． (1)图③中的的形状是________，图④的活动发现了定理“________”（注：填写定理完整的表述），图⑤中的的长是________． 【新的发现】 (2)图⑧中，在第3次折后，点D落在点处，直接写出点的位置特点． 【换种折法】 (3)图⑧中，在第1次折后，再次折叠，如图⑨，使点A与点F重合，折痕为，点D落在点处，与交于点P．说明P为的三等分点． 【继续探索】 (4)如何折叠正方形纸片ABCD得到边AD的五等分点？请画出示意图，简述折叠过程，并说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $