暑假专题作业：一元一次不等式-2025-2026学年苏科版 数学七年级下册

**基本信息** 聚焦一元一次不等式核心素养，以题载法构建从概念到综合应用的系统性训练，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与性质|单选1/3、填空11|不等式性质应用、定义辨析|从概念生成到性质推导，夯实基础| |解法与解集表示|单选2、解答17/18|不等式求解步骤、数轴表示|原理推导到直观表达，培养几何直观| |整数解与参数问题|单选4/6/7、填空12/13|解集范围确定、参数推导|深化解集理解，发展推理意识| |实际应用与综合拓展|单选5/9/10、填空14-16、解答19-21|建模、新定义转化、跨学科迁移|应用拓展体现模型意识，衔接中考|

暑假专题作业：一元一次不等式-2025-2026学年数学七年级下册苏科版（2024） 一、单选题 1．若，则下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 2．不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则盖住的符号是（     ） A． B． C．> D．< 3．已知是关于x的一元一次不等式，则m为（     ） A． B． C． D． 4．不等式组的整数解有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在一场篮球比赛中，某队罚篮得分为10分，投进2分球和3分球共48个．如果这支球队在本场比赛中总得分超过115分，那么他们投进3分球的个数至少是（    ） A．8 B．9 C．10 D．1 6．如果关于的不等式组仅有四个整数解：，，，，那么满足这个不等式组的整数，组成的有序数对最多共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．若整数使关于的一元一次不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数的和为（     ） A． B． C． D． 8．由，，三个数字组成的进制数记作，．若，且．则以下关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论：若，则方程组的解为；若，都为正数，则；无论为何值，始终有成立；若，则的最大值为33．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．a与7的差小于1，用不等式表示为：_____． 12．若不等式组有四个整数解，则的取值范围为______________． 13．关于x的不等式的最大整数解可表示为，则符合条件的a的值是__________． 14．某奶茶店推出开业特惠活动：单次消费满30元可享八折优惠；若先办理10元的会员卡后再消费，可享七折优惠（办卡费用直接计入本次总消费）．小明想买单价为8元的奶茶若干杯，他至少买________杯时，办卡消费更划算． 15．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程，都是关于x的不等式组 的相伴方程，则m的取值范围为_________． 16．关于的不等式组，下列四个结论： ①若不等式的解集是，则不等式的解集是； ②若不等式组的解集中任意一个的值都在的范围内，则的取值范围是； ③若不等式组仅有5个整数解，则； ④若不等式组无解，则；其中正确的结论是__________．（填写序号） 三、解答题 17．解不等式并把解集在数轴上表示出来． 18．利用数轴解不等式组：，并求它的最小整数解． 19．某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，学校至多能够提供资金4320元，学校至少要购进多少个甲种书柜？ 20．对任意实数，，定义一种新运算“”：．例如：．若满足，求的取值范围． 21．【阅读材料】数学课上王老师提出如下问题： 已知：，且，，求的取值范围． 小明同学的解法的部分过程如下： 解：， ①，（用含的代数式来表示） ， ， ， 即②． 又， ， ， ， 的取值范围是． 根据材料解决下列问题 (1)请将小明同学解题过程的缺失部分补充出来：①________________②________________； (2)求不等式组的所有整数解之和________． (3)已知：，且，，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：、∵ ，∴不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，得，该选项式子错误，不符合题意； 、∵，∴不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，得，该选项式子错误，不符合题意； 、∵，∴不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，得，该选项式子错误，不符合题意； 、∵，∴不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，得，该选项式子正确，符合题意． 2．A 【详解】解：由数轴可知，不等式的解集为：； 则， 故盖住的符号为． 3．C 【分析】含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， ∴． 4．B 【分析】先对不等式组中的两个不等式分别求解，得到不等式组的公共解集后，在解集范围内找出符合条件的整数个数． 【详解】解：原式 对于不等式① 移项得， ， 解得． 对于不等式② 移项得， ， 解得． 故不等式组的解集为， 即满足解集内的整数有3和4，共2个． 5．C 【分析】理清数量关系，设出未知数，根据总得分的限制条件列出不等式，求解后取符合题意的最小整数即可． 【详解】解：设投进个3分球，则投进2分球的个数为个， 根据题意，总得分超过115分，可得：， 解得：， 为正整数， 的最小取值为10，即至少投进10个3分球． 6．C 【分析】先解不等式组得到解集，再根据已知的四个整数解确定和的取值范围，找出范围内的整数，计算有序数对的个数即可． 【详解】解不等式组： 解不等式得；解不等式得； ∴不等式组的解集为 ∵不等式组仅有四个整数解，，，， ∴，， 解不等式，得， ∵是整数， ∴的取值为，，，共个， 解不等式，得， ∵是整数， ∴的取值为，，共个， ∴有序数对共有个． 7．C 【分析】先解不等式组得到解集，再根据“有且只有3个整数解”确定m的取值范围，找出范围内所有整数m，计算它们的和即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∴不等式组的解集为； ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴三个整数解为， 可得， 不等式两边同乘4得， 解得. ∵是整数， ∴符合条件的为， ∴所有符合条件的整数的和为． 8．C 【分析】根据进制的定义将等式两边展开，化简得到关于的表达式，利用6进制每位数字小于6的性质求出的值，再代入选项验证得到正确结果． 【详解】解：根据进制定义，可得， ∵ ∴ 化简得，即， 可得 又∵，代入得 ∵是6进制数，各位数字满足，，为正整数 ∴， 解得， 即 ∵是整数， ∴ 代入得， 验证得，符合条件． 代入选项验证：A．，，，错误； B．，，，错误； C．，，，正确； D．，，，错误． 9．D 【分析】根据题意列出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结果． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故输入的的取值范围是． 10．C 【分析】先解二元一次方程组得到,关于的表达式，再逐个验证四个结论，统计正确结论的个数即可得到答案． 【详解】解：原方程组为， 得， 解得， 把代入得：， 解得， 验证：当时，，， ∴方程组的解为，符合题意； 验证：∵，都为正数， ∴，， 解得，符合题意； 验证：， ∴无论取何值，都有，符合题意； 验证：∵， ∴， 解得， ， ∵，且， ∴当时，取得最大值，最大值为，不符合题意； 综上，正确的结论有3个． 11． 【分析】先表示出a与7的差，再根据不等关系列出不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 答案为． 12． 【分析】先分别解不等式得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定关于的不等式，求解即可. 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 因此不等式组的解集为， 不等式组有四个整数解， 不等式组的四个整数解为， ∴ 解得. 13．或 【分析】先求解原不等式得到的取值范围，根据最大整数解的定义列出关于的不等式组，结合是整数的条件，求出符合条件的的值. 【详解】解：∵ ， 移项得 ， 系数化为得 ， ∵是原不等式的最大整数解， 因此满足 ，且为整数， 解第一个不等式得，即， 解第二个不等式得，即， ∴的取值范围是， ∴， 由是整数，可得是整数， 结合的范围可得，整数或， 解得或，验证两个值均符合题意. 14． 【分析】本题设购买奶茶的杯数为正整数，分别表示两种方案的消费金额，根据办卡更划算列一元一次不等式求解，结合为正整数得到最小取值． 【详解】解：设小明买杯奶茶，为正整数杯奶茶的原价总金额为元不办卡消费时，单次满元可享八折， 由 得（为正整数）， 此时不办卡总花费为元； 办卡消费时，总花费为元要使办卡消费更划算， 可得不等式 整理得 解得 因为为正整数，所以的最小值为 验证可知时，办卡花费均高于不办卡，因此至少买杯． 15． 【分析】先求解两个一元一次方程得到方程的解，再解给定的不等式组得到其解集，根据相伴方程的定义，两个方程的解都是不等式组的解，据此列出关于的不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 解得， 解得， ， 解得， ∴不等式组的解集为， 方程，都是不等式组的相伴方程， 和都是不等式组的解， ∴， 解得， ∴m的取值范围为． 16．①④/④① 【分析】先化简原不等式组，根据不等式的解集是，求出，进而可判断①正确；根据不等式组的解集中任意一个的值都在的范围内，得出，可判断②错误；根据不等式组仅有5个整数解，得出，进而可判断③错误；根据不等式组无解，可得，进而可判断④正确． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ①若不等式的解集是，则， 解得， 将代入不等式得， 解得，故①正确； ②若不等式组的解集中任意一个的值都在的范围内，则， 解得，结论给出的错误，故②错误； ③若不等式组仅有个整数解，，则个整数解为， ∴， 解得，与结论给出的范围不符，故③错误； ④若不等式组无解，根据不等式组解集法则，可得， 解得，故④正确． 综上可知，正确的结论是①④． 17．， 解集在数轴上表示，如图： 【分析】根据一元一次不等式的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可解出不等式的解，最后把不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为1：， 解集在数轴上表示略． 18．数轴如下： ， 原不等式组的解集为， 最小整数解为 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在数轴上表示略： ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的最小整数解为． 19．(1)甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元 (2)8个 【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买个，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元． （2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买个； 由题意得：， 解得：， 答：学校至少要购进个甲种书柜． 20． 【详解】解：由得，　　　　　　　　 解得：， 即的取值范围为． 21．(1)①；② (2)7 (3) 【分析】（1）根据等式和不等式的性质即可求解； （2）分别解每一个不等式，再取解集的公共部分作为不等式组的解集即可； （3）先求出，然后求出的取值范围，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得， 解①得 解②得 不等式组的解集为，所有整数解为，4 所有整数解之和为； （3）解：， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $