专题05 整式加减中6大特殊题型（专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

**基本信息** 聚焦整式加减6大特殊题型，以“问题情境-方法提炼-迁移应用”构建体系，强化抽象能力与运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |无关型问题|5题|系数为0法|从整式化简到含参系数分析，培养推理意识| |缺项型问题|5题|特定项系数消去法|深化同类项合并与参数关系理解| |错看型问题|5题|符号纠错与整体还原法|强化代数式变形中的严谨性| |整体性问题|5题|整体代换思想|建立局部与整体的数学联系，发展模型意识| |规律型问题|5题|归纳推理法|从具体情境抽象数量关系，提升创新意识| |新定义问题|5题|概念转化与规则应用法|培养数学语言表达与问题解决能力|

专题05 整式加减中6大特殊题型 常考题型·精准突破 题型1 整式加减中的无关型问题 题型2 整式加减中的缺项型问题 题型3 整式加减中的错看型问题 题型4 整式加减中的整体性问题 题型5 整式加减中的规律型问题 题型6 整式加减中的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1整式加减中的无关型问题 1．已知多项式的值与的取值无关，代数式的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式合并后，根据多项式的值与字母x取值无关，确定出m与n的值即可． 【详解】解： 多项式的值与的取值无关， ， ， ， 故答案为：． 2．【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）运用合并同类项法则进行计算即可； （2）判断，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，且的值和的取值无关， ∴，． ∴，． ∴． 3．已知代数式，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算、代数式求值以及根据代数式的值与某字母无关求参数的值． （1）根据题意先求出的表达式，利用去括号法则去掉括号，再合并同类项得到的最简形式； （2）由于的值与x的取值无关，说明含x的项的系数为0，在的最简形式中找出含x的项，令其系数为0，解方程求出y的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 当，时， ∴原式． （2）解：由（1）知，， ∵的值与x的取值无关， ∴含x的项的系数为0， 在中，含x的项为，其系数为， ∴， 解得． 4．已知多项式，； (1)若，求代数式的值； (2)若代数式的值与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查非负性，整式的加减运算，整式的无关性的计算，理解非负性，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据非负性可得的值，代入，运用整式的加减运算法则计算即可； （2）根据整式的加减运算计算，再根据值与无关，确定的系数，且该系数为零，列式得到的值，代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得，， ∴， ∴ ； （2）解： ， ∵代数式的值与无关， ∴， 解得，， ∴． 5．已知多项式，多项式，多项式，代数式． (1)化简代数式M； (2)若代数式M的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，整式加减中的无关型问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用整式的加减混合运算法则即可求解； （2）根据多项式M的值与x的取值无关，即含有x的项为零，结合（1）中所求代数式M即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ； （2）解：由（1）可知，， ∵多项式M的值与x的取值无关， ∴ ∴． ◆题型2 整式加减中的缺项型问题 6．多项式合并同类项后不含项，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，合并同类项后不含项项，则合并后的系数为，由此可解，解题的关键是掌握合并同类项法则． 【详解】解：， ∵合并同类项后不含项， ∴， ∴， 故答案为：． 7．已知多项式化简后不含项． (1)求的值； (2)化简并求多项式的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式去括号合并得到最简结果，由结果不含项，即可得到的值； （2）先将所求式子去括号合并得到最简结果，再将（1）中所求的的值代入，计算即可求出值． 【详解】（1）解： ， 结果不含项， ， 解得； （2） ， 当时，原式． 8．已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，多项式的概念，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据去括号和合并同类项法则将多项式化简，再根据不含三次项可知，三次项的系数为0，即可求出m的值； （2）由（1）可得，该多项式为，再整体代入计算求值即可． 【详解】（1）解：， 该多项式不含三次项， ， ； （2）解：由（1）可得，该多项式为， 当，时， ． 9．已知多项式不含项和项，则的值为（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式的相关概念解答即可． 【详解】解：项系数为，项合并同类项后系数为， ∵多项式不含项和项， ∴， ∴，， 则． 故选：D． 10．多项式与多项式A的和为．式子不含一次项（t为常数）． (1)求多项式A． (2)求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则． （1）根据题意列出算式即可求出答案； （2）令多项式中含有x的一次项系数之和为零即可求出t的值． 【详解】（1）解： ； （2）， ∵不含一次项， ∴， ∴． ◆题型3 整式加减中的错看型问题 11．小马虎做一道数学题“两个多项式A，B，已知，试求的值”．小马虎将看成，计算结果为． (1)求多项式A； (2)求出当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，代数式求值，注意计算的准确性即可． (1)由题意得，即可求解； (2)计算，再将代入即可求解； 【详解】（1）解：(1)由题意得： （2）∵ ∴当时， 12．一位同学做一道题：“已知两个多项式，，计算”，他误将“”看成“”求得的结果为，已知 (1)求这道题的正确答案； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减运用，求出的值是解答本题的关键． （1）根据误操作“”的结果和已知A，先求出B，再计算正确的． （2）的值与x无关，即所有含x的项系数为零，从而求解y． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴． （2）解：， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 13．数学课上老师出了这样一道题目：“当时，求的值．”小明同学把错抄成了，但他的计算结果却是正确的，这是怎么回事？ (1)请你通过化简，说明小明计算结果正确的原因． (2)小聪据此又改编了一道题，请你试一试：无论x取何值，多项式的值都不变，求的值． 【答案】(1)，理由： ， 原式的值与a的取值无关， 故小明计算结果正确； (2)14 【分析】本题考查了整式的加减中的无关题型、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可化简，再根据化简的结果做出判断即可； （2）将原式化为，根据无论取何值，多项式的值都不变，求出，代入计算，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）， ∵无论x取何值，多项式的值都不变， ∴， 解得：， 则． 14．某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式加减的实质是去括号、合并同类项是解答此题的关键． （1）根据列出代数式，去括号合并同类项即可； （2）先根据 列出代数式，去括号合并同类项求出结果，再根据的值与x的取值无关，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ； （2） ， 的值与x的取值无关， ， 15．有这样一道题：计算的值，其中，．甲同学把“”错抄成了“”，他的计算结果也是正确的，你知道这是怎么回事吗？ 【答案】见解析． 【分析】原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断． 【详解】解： ， 结果与x的取值无关，故甲同学把“”错抄成了“”，但他计算的结果也是正确的． 【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ◆题型4 整式加减中的整体性问题 16．阅读材料：在合并同类项中，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3)9 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值． （1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）将看作一个整体，代入求值即可； （3）先进行变形，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解：∵， ∴． （3）解：， ∵，，， ∴原式． 17．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 （1）若，则的值为_________； （2）若，求的值； 【类比迁移】 （3）两地相距60千米，甲、乙两人同时从两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 【答案】（1）7；（2）；（3）2或4小时 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，求代数式的值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将原式变形后整体代入已知数值计算即可； （2）将原式去括号，合并同类项后并整理，然后整体代入已知数值计算即可； （3）由题意易得，则，根据题意分相遇前两人相距20千米和相遇后两人相距20千米列式计算即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：7； （2），， ； （3）由题意得， 则， 若相遇前两人相距20千米时， （小时）， 若相遇后两人相距20千米时， （小时）， 即甲、乙两人出发2小时或4小时后两人相距20千米． 18．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则； “整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 ． （2）已知，求的值； 拓广探索： （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（）利用整体思想，把看成一个整体，合并即可得到结果； （）原式可化为，把整体代入即可； （）依据，，，即可得到，，整体代入进行计算即可； 本题考查了代数式求值，熟练掌握整体的思想是解题的关键． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）∵， ∴原式， ， ； （3）∵，，， ∴，， ∴原式． 19．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【简单应用】 ①已知，则_____； ②已知，求的值； (2)【拓展提高】 已知，，求式子的值． 【答案】(1)①2025；② (2) 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，代数式求值，掌握整式的加减-化简求值的运算法则以及整体代入思想是关键． （1）①把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； ②把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （2）将代数式变形为，再化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ， 故答案为： 2025； ②， ． （2）解：∵， ． 20．“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法．它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材的部分内容． 把和各看成一个整体，对下列各式进行化简： （1）； （2）． 【问题解决】 （1）对上面方框中（2）的式子进行化简，写出化简过程； 【简单应用】 （2）①已知，则______； ②已知，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，求整式的值． 【答案】（1）（2）①1；②24；（3） 【分析】本题考查化简求值，灵活运用各种化简的方法是本题的关键． （1）先分别将和看成一个整体化简即可； （2）①将整体代入计算； ②将看成一个整体后化简，并将代入计算； （3）将原式写成形式，将整体代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）①∵， ∴ ， 故答案为：1； ②∵， ∴ ； （3） ， ∵， ∴原式． ◆题型5 整式加减中的规律型问题 21．如图，第1个图案是由1个黑色和6个白色的六边形组成的，第2个，第3个，…，第个图案都可以看成是由第1个图案经过平移得到的．在第个图案中，白色六边形比黑色六边形多__________个． 【答案】 【详解】解：第个图案中，黑色六边形的数量为个； 白色六边形：第1个有个， 第2个有个， 第3个有个， 可得第个图案中白色六边形数量为个； ∴白色六边形比黑色六边形多：个． 22．对于各位数字不为零且各不相同的任意三位数，将其百位数字移到十位，将其十位数字移到个位，将其个位数字移到百位，得到，则称的“右移数”为．例如852的“右移数”是285，则369的“右移数”=________；若对于满足上述条件的三位数，满足为整数，在满足条件的数中，任意取两个不同的数，用其中的大数减去小数，得到的差都可以表示为（为正整数，为非负整数）的形式，当符合要求的正整数取得最大值时，将得到的差表示为的形式为：________． 【答案】 【分析】第一空根据“右移数”的定义直接求解，第二空先设三位数的百位、十位、个位数字分别为，写出和的代数式，根据为整数推导得到数字满足的整除条件，再找出满足条件的最大和最小，计算得到最大差，最后将差表示为的形式，得到取最大值时的表达式． 【详解】第一空：根据“右移数”的定义，将369的个位数字移到百位，百位数字移到十位，十位数字移到个位，得到右移数为； 第二空：设三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为，其中是到的整数，且互不相等，则 ， ，计算得：， 因为为整数，所以能被整除， 又为整数， 则 能被8整除， 又，且与互质， 所以能被8整除，即，为整数，且， 找出满足条件的最小：取最小不重复的，，得，满足条件，故最小； 找出满足条件的最大：取最大不重复的时，得，得，满足条件，故最大； 计算最大差：， 因为，所以符合要求的最大正整数，，因此差表示为． 23．取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题． (1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示） 【答案】(1)； (2)； (3)积木①②组合的最远延伸长度是；积木①②③组合的最远延伸长度是 【分析】（1）根据题干性质求解即可； （2）根据题干性质求解即可； （3）根据题干性质求解即可． 【详解】（1）解：均匀积木重心在中点，上层积木最多能超出下层；多层依次外伸时，第1块相对第2块最多伸，第2块相对第3块最多伸，第3块相对第4块最多伸，…，第n块相对下一块最多伸； 只推积木①至最远：①相对②最多延伸； 再固定①②推②：①②总质量为，②相对③最多延伸， 再叠加①相对②的，总延伸； 再固定①②②推③：①②②总质量为，相对④最多延伸， 总延伸； 故答案为：；； （2）解：固定①，推②至最远：②相对③最多伸，①跟着②一起外伸，总延伸； 固定①②相对位置，三块①②③放在④上，推③至最远， 设③相对④向右伸出，支撑边界为④的右端， 各块重心坐标（以④右端为，向右为正）： ① ②同①，为， ③， 三块总重心等于（临界平衡）： ， 解得 总延伸长度（最右端超出④的总长） ． （3）解：1．积木①先延伸 (相对②超出)，再固定①②推②： 设②相对③最远可伸， 由题意得，解得， 所以①②组合总延伸：； 2．再固定①②推③：①②②总质量为，③相对下层最远可伸， 总延伸：． 24．观察下列各式的特点： 第1组：； 第2组：； 第3组：； … (1)根据上述规律，写出第n组数；__________，__________，__________； (2)小李猜想：当第n组数，时，b与c的奇偶性相同，请你判断他的猜想是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)正确，详见解析 【分析】（1）根据题意探究规律即可； （2）两个式子相减即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：，为偶数， ∴b与c的奇偶性一致． 25．阅读与探究 阅读下列材料，并解答后面的问题： “四平八稳” 在中华传统文化中，“四平八稳”常用来形容做事稳妥、周全，不偏不倚，其中“四”与“八”也象征着平衡与和谐．对于一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“平稳数”．对于平稳数m，任意去掉一个数位上的数字，可以得到四个三位数，这四个三位数的和记为． 举例说明： 取，因为千位与个位之和，百位与十位之和，且，所以6336是平稳数．去掉千位得336，去掉百位得636，去掉十位得636，去掉个位得633，则． (1)四位数8442 平稳数（填是或不是）； (2)已知8424是平稳数，计算； (3)若一个平稳数m的千位上的数字与个位上的数字之和为12，且能被5整除，求满足条件的所有平稳数中的最大数． 【答案】(1)不是 (2)2934 (3) 【分析】（1）根据平稳数的定义进行判断即可； （2）根据题意求出结果即可； （3）设千位上的数字为a，百位上的数字为b，则个位上的数字为，十位上数字为，根据题意得出，，求出，根据且能被5整除，得出能被5整除，然后结合，，求出最大值即可． 【详解】（1）解：因为千位与个位之和为，百位与十位之和，且，所以8442不是平稳数． （2）解：； （3）解：设千位上的数字为a，百位上的数字为b，则个位上的数字为，十位上数字为，根据题意得： ，， 解得：，， 去掉千位得：， 去掉百位得， 去掉十位得， 去掉个位得， ， ∴ ， ∴要使能被5整除，必须使能被5整除， ∵，， ∴要使满足条件的所有平稳数最大，则、， ∴，， ∴满足条件的所有平稳数中的最大数为． ◆题型6 整式加减中的新定义问题 26．定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）： ①与；②与 ． (2)多项式与的“对消值”为 ． (3)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 【答案】(1)② (2)0 (3)2 【分析】（1）求出每组中两个代数式的和，进行判断即可； （2）根据题意直接计算求解即可； （3）求出，根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：，不是常数，故①不是“对消多项式”； ，为常数，故②是“对消多项式”； （2）解：； （3）解： ， ∵多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴“对消值”为2． 27．新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下： ，， ，，， …… 新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： ，，，， …… 利用以上规律计算： (1)______，______； (2)计算：． 【答案】(1)； (2)6 【分析】（1）由题意可知，，即可求解． （2）由题意可知，，化简代数式即可求解． 【详解】（1）解：根据可知， 根据可知； （2）解： 28．已知三个整式：，，，如果A为第1项，B为第2项，C为第3项，且满足：第k项与第项的和减去第项的结果为第项．比如：第1项与第2项的和减去第3项的结果为第4项． 由此递推： （1）第5项为________； （2）第24项为________； 如果记前两项的和为，前三项的和为，前四项的和为，……，则前n项的和为，则 （3）________； （4）________． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】本题主要依托整式的加减运算考查规律问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据规则先计算出第4项的代数式，再计算出第5项即可； （2）根据规则先计算出前几项的代数式，发现规律，再根据规律写成第24项的代数式即可； （3）结合已知定义列出前几项，总结出下标为奇数的代数式规律即可； （4）结合已知定义列出前几项，总结出下标为偶数的代数式规律即可． 【详解】（1）解：根据题意，得第4项为， 第5项为， 故答案为：； （2）解：根据题意，得第6项为， 第7项为， 从第三项开始两个为一组，每组中的系数都为1，y的系数互为相反数，且绝对值依次增加6， ∵， ∴第24项是第11组的第2项， ∵， ∴第24项为； （3）解：； ； ； ； ； ； 通过观察可得： 的规律是的系数为，所以 故答案为：； （4）解：由（3）中解答过程知，， 的规律是的系数为，的系数为， 所以， 故答案为：． 29．定义一种新的运算，观察下列各式： ， ， ， ． (1)根据观察到的规律，计算； (2)用代数式表示的结果； (3)若，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，整式的加减，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义直接求解即可； （2）根据新定义直接求解即可； （3）由，得到，再将所求式子化简，最后将代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：根据题意，可知， ， 将代入，得． 30．【定义】如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”． 【发现】若n是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个正整数为． 例如：若，交换百位数字与个位数字得到652，，则，，所以． 【解决问题】： (1)____________； (2)小晋同学想用学过的“整式的加减”知识说明上述【发现】是正确的，他的说理过程如下：设“异数”n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．（请你继续完成小晋同学的说理过程） (3)若s，t都是“异数”，，（其中x为小于10的正整数），求的最小值，并写出此时x的值． 【答案】(1)3 (2) 解：设“异数”n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．则， ∴交换个位与百位后得数为：， ，c均为整数， 必为整数． (3)最小值为7，，3，4，6． 【分析】本题主要考查新定义题型、数字规律、整式的加减运算、绝对值等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据“异数”和的定义求解即可； （2）根据题意可得，交换个位与百位后得数为：，再求得即可解答； （3）根据“异数”的定义，易得、，结合s，t都是“异数”，，（其中x为小于10的正整数）可得的取值有2，3，4，6，9；的最小值，解化简根据绝对值求最小值即可解答． 【详解】（1）解：∵，交换百位数字与个位数字得到673，，则， ∴， ∴． 故答案为3． （2）略 （3）解：，t都是“异数”，，（其中x为小于10的正整数）， 的取值有2，3，4，6，9； ，， ，， ∴的最小值的最小值，即数轴上x到1和8的距离之和， 当时，，当时，由最小值7； 当时，； 当时，，当时，有最小值7． ∴最小值为7，此时，3，4，6． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出a与b的值，但可以将看作一个整体，其值即为2，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则______； (2)若，求的值； (3)设多项式，，，若的结果与x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将所求代数式变形后整体代入已知条件计算； （2）先化简代数式，再整体代入已知条件求值； （3）先计算并合并同类项，根据结果与取值无关，得到对应各次项的系数为，再整体代入计算所求代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： ； （3）解： ， ∵的结果与的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 2．（25-26七年级·全国·暑假作业）一位同学做一道题：“已知两个多项式A和B，其中，试求．”他误将“”看成“”，得出的结果是．请你帮他求出这道题的正确结果． 【答案】 【分析】根据运算出的值，再代入运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．（2026·宁夏银川·二模）一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为半和数．例如三位正整数234中，十位数字3恰好等于百位数字2与个位数字4之和的一半，所以234是“半和数”；又如369中，十位数字6恰好等于百位数字3与个位数字9之和的一半，所以369也是“半和数”． (1)已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是______；若它的百位数字为（为不为0的偶数），个位数字为0，则十位数字为______，这个数为______（用含的代数式表示）； (2)设一个“半和数”的百位数字为，十位数字为，（，，，均为整数），个位数字为，则，，的关系式为______． (3)小颖发现任意一个“半和数”的个位数字（个位数字不为0）和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是111的倍数！请你判断这一结论是否正确，并说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)结论正确，理由： 设一个“半和数”的百位数字为m，个位数字为n（m，n均为正整数，且m、n不为0）， 则这个“半和数”用含m，n的代数式表示为： ， 将这个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”， ∴新的“半和数”为：， 将新“半和数”与原“半和数”相加得： ∵m，n均为正整数，且m、n不为0， ∴为正整数， ∴是的倍数， ∴任意一个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是的倍数． 【分析】（1）根据定义计算十位数字，再表示出三位数即可； （2）直接根据定义推导得到，，的关系式； （3）分别用代数式表示原半和数、新半和数，求和化简后即可判断结果是否为111的倍数． 【详解】（1）解：∵该三位数是“半和数”，百位数字是7，个位数字是1， ∴十位数字为， ∴这个数是． 当百位数字为，个位数字为时， ∴十位数字为，这个三位数为． （2）根据“半和数”的定义，十位数字等于百位数字与个位数字之和的一半，可得 ， 整理得． （3）略 4．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）【新视角 新定义题】阅读下面方框内的材料，解答下面问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因为，所以是对称式．而式子中的字母a，b交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)下列式子：①；②；③，其中是对称式的是 （填序号）． (2)①写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为8的单项式，使该单项式是对称式； ②写出一个只含有字母a，b的三次三项式，使该多项式是对称式； (3)已知 ， ，求，并判断所得结果是否是对称式． 【答案】(1)①③ (2)①；②（答案不唯一） (3)，不是对称式 【分析】（1）根据对称式的含义即可作出判断； （2）根据对称式的含义及单项式的定义即可完成； （3）去括号合并同类项即可求得，根据对称式的含义判断是否是对称式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是对称式； ∵， ∴不是对称式； ∵， ∴是对称式； 即其中是对称式的是①③； （2）解：①根据题意得：该单项式是； ②根据题意得：该多项式可以为； （3）解：∵， ， ∴ ， ∵， ∴所得结果不是对称式． 5．（25-26七年级下·辽宁·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是___________（填序号）； ①与；②与；③与； (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 【答案】(1)②③ (2) 【分析】（1）判断和是否为常数即可得到结果； （2）根据和为常数，可知所有含未知数项的系数均为0，求出的值后计算常数项即可得到对消值. 【详解】（1）解：，和不是常数，故①不是“对消多项式”； ，和为常数，故②是“对消多项式”； ，和为常数，故③是“对消多项式”； （2）解：∵ ； ∵与互为“对消多项式”，和为常数， ∴， ∴ 解得， ∴，即它们的对消值为. 6．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项：将多项式合并为，再由多项式与x无关，可得，即可求解； （2）设，表示面积，计算面积差：，系数为0：因面积差与x无关，含x项系数为0，即可求出a、b关系． 【详解】（1）解：关于x的多项式的值与x的取值无关， ， ， 解得：． （2）解：设， 由图可知：， ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 含x项的系数为0， 即， ． 7．（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）把原多项式去括号后合并同类项，再仿照题意求解即可； （2）根据整式的加减运算法则求出的结果，再根据的值与x无关得到的结果中含x的项的系数为0，据此列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 (1)若，则的值为_________； (2)若，求的值； 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）将原式变形后整体代入已知数值计算即可； （2）将原式去括号，合并同类项后并整理，然后整体代入已知数值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 9．（25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)小明的计算不正确，正确的整式为 (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，以及整式的值与的取值无关的条件． （1）利用等式关系，移项展开求出被遮住的整式，验证小明答案． （2）代入计算，合并同类项后令的系数为，求解的值． 【详解】（1）解：∵设所遮住的整式为， ∴，即， 化简，得：， ∴小明的计算不正确，正确的整式为； （2）解：∵， ∴， 即， ∵的值与的取值无关， ∴，解得：． 10．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）“整体思想”是数学解题中的一种重要思想，它在整式的加减中应用极为广泛．我们知道， ①； ②． ①、②中就是把和各看成了一个整体进行的化简． 请利用“整体思想”尝试解决下列问题： (1)把看成一个整体，化简； (2)若时，整式，当时，求整式的值． 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）把看成一个整体，仿照示例化简即可； （2）将代入中化简得，再将代入所求式子，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：将代入中得， ， ∴， ∴， 当时，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整式加减中6大特殊题型 常考题型·精准突破 题型1 整式加减中的无关型问题 题型2 整式加减中的缺项型问题 题型3 整式加减中的错看型问题 题型4 整式加减中的整体性问题 题型5 整式加减中的规律型问题 题型6 整式加减中的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1整式加减中的无关型问题 1．已知多项式的值与的取值无关，代数式的值为______． 2．【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 3．已知代数式，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 4．已知多项式，； (1)若，求代数式的值； (2)若代数式的值与无关，求的值． 5．已知多项式，多项式，多项式，代数式． (1)化简代数式M； (2)若代数式M的值与x的取值无关，求y的值． ◆题型2 整式加减中的缺项型问题 6．多项式合并同类项后不含项，则的值是______． 7．已知多项式化简后不含项． (1)求的值； (2)化简并求多项式的值． 8．已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 9．已知多项式不含项和项，则的值为（　 ） A． B． C． D． 10．多项式与多项式A的和为．式子不含一次项（t为常数）． (1)求多项式A． (2)求t的值． ◆题型3 整式加减中的错看型问题 11．小马虎做一道数学题“两个多项式A，B，已知，试求的值”．小马虎将看成，计算结果为． (1)求多项式A； (2)求出当时，的值． 12．一位同学做一道题：“已知两个多项式，，计算”，他误将“”看成“”求得的结果为，已知 (1)求这道题的正确答案； (2)若的值与无关，求的值． 13．数学课上老师出了这样一道题目：“当时，求的值．”小明同学把错抄成了，但他的计算结果却是正确的，这是怎么回事？ (1)请你通过化简，说明小明计算结果正确的原因． (2)小聪据此又改编了一道题，请你试一试：无论x取何值，多项式的值都不变，求的值． 14．某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 15．有这样一道题：计算的值，其中，．甲同学把“”错抄成了“”，他的计算结果也是正确的，你知道这是怎么回事吗？ ◆题型4 整式加减中的整体性问题 16．阅读材料：在合并同类项中，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 17．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 （1）若，则的值为_________； （2）若，求的值； 【类比迁移】 （3）两地相距60千米，甲、乙两人同时从两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 18．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则； “整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 ． （2）已知，求的值； 拓广探索： （3）已知，求的值． 19．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【简单应用】 ①已知，则_____； ②已知，求的值； (2)【拓展提高】 已知，，求式子的值． 20．“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法．它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材的部分内容． 把和各看成一个整体，对下列各式进行化简： （1）； （2）． 【问题解决】 （1）对上面方框中（2）的式子进行化简，写出化简过程； 【简单应用】 （2）①已知，则______； ②已知，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，求整式的值． ◆题型5 整式加减中的规律型问题 21．如图，第1个图案是由1个黑色和6个白色的六边形组成的，第2个，第3个，…，第个图案都可以看成是由第1个图案经过平移得到的．在第个图案中，白色六边形比黑色六边形多__________个． 22．对于各位数字不为零且各不相同的任意三位数，将其百位数字移到十位，将其十位数字移到个位，将其个位数字移到百位，得到，则称的“右移数”为．例如852的“右移数”是285，则369的“右移数”=________；若对于满足上述条件的三位数，满足为整数，在满足条件的数中，任意取两个不同的数，用其中的大数减去小数，得到的差都可以表示为（为正整数，为非负整数）的形式，当符合要求的正整数取得最大值时，将得到的差表示为的形式为：________． 23．取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题． (1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示） 24．观察下列各式的特点： 第1组：； 第2组：； 第3组：； … (1)根据上述规律，写出第n组数；__________，__________，__________； (2)小李猜想：当第n组数，时，b与c的奇偶性相同，请你判断他的猜想是否正确，并说明理由． 25．阅读与探究 阅读下列材料，并解答后面的问题： “四平八稳” 在中华传统文化中，“四平八稳”常用来形容做事稳妥、周全，不偏不倚，其中“四”与“八”也象征着平衡与和谐．对于一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“平稳数”．对于平稳数m，任意去掉一个数位上的数字，可以得到四个三位数，这四个三位数的和记为． 举例说明： 取，因为千位与个位之和，百位与十位之和，且，所以6336是平稳数．去掉千位得336，去掉百位得636，去掉十位得636，去掉个位得633，则． (1)四位数8442 平稳数（填是或不是）； (2)已知8424是平稳数，计算； (3)若一个平稳数m的千位上的数字与个位上的数字之和为12，且能被5整除，求满足条件的所有平稳数中的最大数． ◆题型6 整式加减中的新定义问题 26．定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）： ①与；②与 ． (2)多项式与的“对消值”为 ． (3)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 27．新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下： ，， ，，， …… 新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： ，，，， …… 利用以上规律计算： (1)______，______； (2)计算：． 28．已知三个整式：，，，如果A为第1项，B为第2项，C为第3项，且满足：第k项与第项的和减去第项的结果为第项．比如：第1项与第2项的和减去第3项的结果为第4项． 由此递推： （1）第5项为________； （2）第24项为________； 如果记前两项的和为，前三项的和为，前四项的和为，……，则前n项的和为，则 （3）________； （4）________． 29．定义一种新的运算，观察下列各式： ， ， ， ． (1)根据观察到的规律，计算； (2)用代数式表示的结果； (3)若，请计算的值． 30．【定义】如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”． 【发现】若n是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个正整数为． 例如：若，交换百位数字与个位数字得到652，，则，，所以． 【解决问题】： (1)____________； (2)小晋同学想用学过的“整式的加减”知识说明上述【发现】是正确的，他的说理过程如下：设“异数”n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．（请你继续完成小晋同学的说理过程） (3)若s，t都是“异数”，，（其中x为小于10的正整数），求的最小值，并写出此时x的值． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出a与b的值，但可以将看作一个整体，其值即为2，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则______； (2)若，求的值； (3)设多项式，，，若的结果与x的取值无关，求的值． 2．（25-26七年级·全国·暑假作业）一位同学做一道题：“已知两个多项式A和B，其中，试求．”他误将“”看成“”，得出的结果是．请你帮他求出这道题的正确结果． 3．（2026·宁夏银川·二模）一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为半和数．例如三位正整数234中，十位数字3恰好等于百位数字2与个位数字4之和的一半，所以234是“半和数”；又如369中，十位数字6恰好等于百位数字3与个位数字9之和的一半，所以369也是“半和数”． (1)已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是______；若它的百位数字为（为不为0的偶数），个位数字为0，则十位数字为______，这个数为______（用含的代数式表示）； (2)设一个“半和数”的百位数字为，十位数字为，（，，，均为整数），个位数字为，则，，的关系式为______． (3)小颖发现任意一个“半和数”的个位数字（个位数字不为0）和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是111的倍数！请你判断这一结论是否正确，并说明理由． 4．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）【新视角 新定义题】阅读下面方框内的材料，解答下面问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因为，所以是对称式．而式子中的字母a，b交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)下列式子：①；②；③，其中是对称式的是 （填序号）． (2)①写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为8的单项式，使该单项式是对称式； ②写出一个只含有字母a，b的三次三项式，使该多项式是对称式； (3)已知 ， ，求，并判断所得结果是否是对称式． 5．（25-26七年级下·辽宁·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是___________（填序号）； ①与；②与；③与； (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 6．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 7．（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 8．（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 (1)若，则的值为_________； (2)若，求的值； 9．（25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． 10．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）“整体思想”是数学解题中的一种重要思想，它在整式的加减中应用极为广泛．我们知道， ①； ②． ①、②中就是把和各看成了一个整体进行的化简． 请利用“整体思想”尝试解决下列问题： (1)把看成一个整体，化简； (2)若时，整式，当时，求整式的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整式加减中6大特殊题型 常考题型·精准突破 题型1 整式加减中的无关型问题 题型2 整式加减中的缺项型问题 题型3 整式加减中的错看型问题 题型4 整式加减中的整体性问题 题型5 整式加减中的规律型问题 题型6 整式加减中的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1整式加减中的无关型问题 1．2 2．(1) (2) 3．(1) (2) 4．(1) (2) 5．(1) (2) ◆题型2 整式加减中的缺项型问题 6． 7．(1) (2)； 8．(1) (2) 9．D 10．(1) (2) ◆题型3 整式加减中的错看型问题 11．(1) (2) 12．(1) (2) 13．(1)，理由： ， 原式的值与a的取值无关， 故小明计算结果正确； (2)14 14．(1) (2) 15．见解析． ◆题型4 整式加减中的整体性问题 16．(1) (2)1 (3)9 17．（1）7；（2）；（3）2或4小时 18．（1）；（2）；（3）． 19．(1)①2025；② (2) 20．（1）（2）①1；②24；（3） ◆题型5 整式加减中的规律型问题 21． 22． 23．(1)； (2)； (3)积木①②组合的最远延伸长度是；积木①②③组合的最远延伸长度是 24．(1) (2)正确，详见解析 25．(1)不是 (2)2934 (3) ◆题型6 整式加减中的新定义问题 26．(1)② (2)0 (3)2 27．(1)； (2)6 28．（1） （2） （3） （4） 29．(1) (2) (3) 30．(1)3 (2) 解：设“异数”n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．则， ∴交换个位与百位后得数为：， ，c均为整数， 必为整数． (3)最小值为7，，3，4，6． 综合攻坚·知能拔高 1．(1) (2) (3) 2． 3．(1)，， (2) (3)结论正确，理由： 设一个“半和数”的百位数字为m，个位数字为n（m，n均为正整数，且m、n不为0）， 则这个“半和数”用含m，n的代数式表示为： ， 将这个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”， ∴新的“半和数”为：， 将新“半和数”与原“半和数”相加得： ∵m，n均为正整数，且m、n不为0， ∴为正整数， ∴是的倍数， ∴任意一个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是的倍数． 4．(1)①③ (2)①；②（答案不唯一） (3)，不是对称式 5．(1)②③ (2) 6．(1) (2) 7．(1)2 (2) 8．(1)7 (2) 9．(1)小明的计算不正确，正确的整式为 (2) 10．(1) (2)32 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $