专题08 用勾股定理理解三角形的8大重难专题（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过“解题通法+8大题型+压轴挑战”构建系统性方法体系，覆盖定理证明、数与形应用及综合拓展，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|明确斜边直角边、构造直角三角形、利用不变量列方程、逆定理判断形状|从定理本质出发，提炼普适性解题策略| |8大题型|32题|证明用面积法/割补法，勾股数抓规律，折叠问题设未知数，网格图构造直角三角形|按“证明-数-形-综合”递进，形成概念-推导-应用链条| |压轴挑战|14题|跨知识点整合（旋转/对称/动态问题）、复杂等量关系建立|对接中考命题趋势，提升综合思维与创新意识|

专题08 用勾股定理理解三角形 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 勾股定理的证明 题型2 勾股数的探究问题 题型3 用勾股定理理解三角形 题型4 以弦图为背景的计算问题 题型5 勾股定理与网格图 题型6 勾股定理与折叠问题 题型7 利用勾股定理证明线段关系 题型8 以直角三角形的边为边到图形面积 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 勾股定理是直角三角形中最核心的数量关系，揭示了直角三角形三边之间的内在联系。解题时首先要明确哪条边是斜边、哪两条边是直角边，避免用错公式；其次要善于把待求线段或待证关系转化到直角三角形中，通过构造垂线、连接对角线、利用网格等方式创造直角三角形。对于折叠、旋转、弦图等综合问题，要抓住不变量（如折叠前后对应边相等、弦图中四个直角三角形全等），设未知数后用勾股定理建立方程。此外，勾股定理的逆定理可用于判断三角形是否为直角三角形，是把“数”的关系转化为“形”的判定的有力工具。 题型1 勾股定理的证明 ◆题型1 勾股定理的证明 题型模版 1. 常用证明方法：面积法、割补法、弦图法。 2. 通过图形面积关系建立等式，化简得到 a²+b²=c²。 1．（25-26八年级下·广东东莞·期中）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其中，，，，显然．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题： ①如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为 ． ②如图4，在中，，，，求边上的高． 3．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）勾股定理的证明方法中，面积法是最经典的思路．下面是基于“两个全等的直角三角形拼接”的证明． 【证法再现】如图1，把两个全等的直角和按图放置，已知 ． (1)请用含a，b，c的式子表示下列图形的面积： _________（用含a，b的代数式表示）； ________（用含a，b的代数式表示）； ________（用仅含的代数式表示）； (2)根据上述面积关系，完成勾股定理的证明过程． (3)【知识运用】如图2，南淝河北岸边有两点（看作直线上的两点）相距160米，为河两岸的两个便民取水点（看作两个点） ，垂足分别为 ，现要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个取水点的距离和最短．请在图中确定点的位置，并求出该最短距离和． 4．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片（△△），按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为　　 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与△的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在△中，，于点，，．取边上的点，连接，使得．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，求的长． 题型2 勾股数的探究问题 ◆题型2 勾股数的探究问题 题型模版 1. 勾股数是能构成直角三角形三边的正整数。 2. 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17 及其倍数。 5．（25-26八年级下·广东湛江·期末）如果把看作a，b，c的方程，那么满足该方程的正整数解a，b，c通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…，分析其中规律，第10个勾股数组为________． 6．（25-26八年级上·福建三明·期中）若，，为一组勾股数，且，则下列结论：①；②，，中必有一个是奇数；③，，中总有一个数是3的倍数，，，中总有一个数是5的倍数；④若是不小于7的质数，则的最小值为25．其中正确的有________（填序号）． 7．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”． (1)若，，则，的“调和数”_______． (2)若，，求，的“调和数”； (3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值． 8．（25-26八年级下·河南新乡·期中）2026年3月14日是第七个“国际数学日”，今年国际数学日的主题是“数学与希望”，勾股定理作为数学几何中最基本的定理之一，早在我国西汉时期的《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫作正整数直角三角形，这三个正整数叫作一组勾股数，如：3，4，5；6，8，10；8，15，17等都是勾股数． (1)小明在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们把这样的勾股数叫作完美勾股数．如3，4，5中，，；8，15，17中，，．判断12，35，37这组勾股数是不是完美勾股数，并说明理由； (2)有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长为，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值． 题型3 用勾股定理理解三角形 ◆题型3 用勾股定理理解三角形 题型模版 1. 已知两边求第三边，注意区分直角边与斜边。 2. 已知三边判断三角形形状：若 a²+b²=c² 则为直角三角形。 9．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在中，，D为边上一点．连接、E为边上一点，，连接，，记． (1)用含的代数式表示． (2)若是以为腰的等腰三角形，，求的长． (3)如图2，延长交于点F，若，求的长． 10．在中，，为中点，连接，作交于点．平分，交于点，若，，则的值为__________． 11．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)线段，于点A且，于点B且，点P为线段上任意一点，则图1中最小值为________；图2中最小值为________； (2)如图3，中，，，，点D是边的中点，点P是边上任意一点，则的最小值是________； (3)如图4，中，且，作于点D，过A点的射线m始终平行于，点E是高上任意一点，点F是射线m上一点，点G是线段上一点，且始终保持，则的最小值为________；则的最小值为________． 12．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图1，为等腰直角三角形，，动点从出发沿线段向终点运动，连接，以为直角边向右作等腰直角，斜边与交于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，过分别作于点于点．请探究：三条线段之间的数量关系； (3)若，D点在运动过程中，当等于多少时，的面积最大？并求出最大值． 题型4 以弦图为背景的计算问题 ◆题型4 以弦图为背景的计算问题 题型模版 1. 弦图中四个直角三角形全等，中间是正方形。 2. 利用大正方形、小正方形与直角三角形面积关系列方程。 13．学习了勾股定理后，小明将如图所示的“赵爽弦图”中的四个全等直角三角形与中间的小正方形恰好拼成如图所示的图形．若图中大正方形的边长为，则图中点与点之间的距离为______． 14．（25-26八年级上·广东深圳·期中）意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中，则四边形的面积为（   ） A．12 B．10 C．5 D．4 15．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：． 过点作于点，延长交于点，则平分．若，则．其中错误的结论有(   )    A．个 B．个 C．个 D．个 16．综合与实践 问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且． 特殊化探究：连接．设，． “运河小组”从线段长度的特殊化提出问题： (1)若，，求的面积． “武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题： (2)若，求证：． 深入探究：老师进一步提出问题： (3)如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：． 请你解答这三个问题． 题型5 勾股定理与网格图 ◆题型5 勾股定理与网格图 题型模版 1. 网格中构造直角三角形，利用勾股定理求线段长。 2. 注意格点坐标与水平、竖直距离。 17．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中，都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图． (1)如图所示，找一个格点，使； (2)如图所示，若点在网格线上（非格点），请作出点关于线段的对称点． 18．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图． (1)在图①中，画一个格点三角形，使得，，． (2)在图②中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数． 19．我们定义：对角线相等的四边形为等对四边形． (1)尝试：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为5的等对四边形，要求四个顶点均在格点上； (2)推理：如图2，已知中，以和为边在的外侧分别作等边三角形和，连接． 求证：四边形是等对四边形； (3)拓展：如图3，已知四边形是等对四边形，，，，求边的长． 20．（25-26八年级下·北京·期中）通过学习勾股定理的证明，我们发现借助面积相等，可以把很多图形拼成正方形．如图（1）把两个边长为的正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形．如图（2）是由个边长为的小正方形组成的图形，这个图形按图（3）的方式剪裁，并进行一定的旋转拼接，可拼成图（4）中的大正方形． (1)图（4）中拼成的正方形的边长为 ； (2)仿照上面的做法，将图（5）中这十个小正方形组成的图形，拼成一个大正方形，请在图（5）中画出裁剪方法，并求出拼成的正方形边长； (3)网格中的六边形是由边长为的正方形左上角剪去边长为的正方形所得，该六边形按一定的方法也可剪拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ； 如图甲，把六边形沿裁剪线，剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置．在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形． 题型6 勾股定理与折叠问题 ◆题型6 勾股定理与折叠问题 题型模版 1. 折叠前后对应边、对应角相等，折痕是对称轴。 2. 设未知数，利用勾股定理列方程求解。 21．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）如图，为等边三角形，且，点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点，若沿着直线DE翻折后，点A始终落在边BC上．若，则满足条件的a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）数学社团课上，老师拿出一张（其中，）的纸片，让同学们课堂上进行折纸操作：第一步，在边上找一点，沿向右折叠使点落在边上，铺平；第二步，在边上找一点，沿着折叠使落在边上，铺平；第三步，在边上找一点和边上找一点，沿着折叠使点落在点处，铺平；若最后测得恰好，则______ ． 23．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，，，是边上的高． (1)求的长； (2)①如图2，点E是线段上的一点（不包括点A和点D），和关于成轴对称，交边于点G．求证：； ②如图3，在①的条件下，直线交边于点H，求的最大值． 24．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，D是边上的点，且．连接，并将沿直线翻折后点C恰好落在边上的点E处，此时． F是直线上的一动点，连接，，则周长的最小值是_________． 题型7 利用勾股定理证明线段关系 ◆题型7 利用勾股定理证明线段关系 题型模版 1. 通过构造直角三角形，把线段关系转化为边长关系。 2. 常用方法：平方关系、和差关系、等量代换。 25．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在中，，，点是斜边上的动点，点在直线上，满足，于点，设．    (1)当时，求的度数（用含有的代数式表示）． (2)当时，请用一个等式表示线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)当时，请用一个等式直接写出线段，，之间的数量关系． 26．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，四边形中，，分别以线段，，，边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，连接，利用勾股定理可以得到：．根据材料提示完成下列问题： (1)如图2，是中边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，请写出，，，的等量关系___________； (2)如图3，在中，，，点是上一点，且，若，求证：是直角三角形； (3)如图4，在中，分别以线段，，为边向外作正方形，正方形的面积分别，，试求出的面积． 27．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：_____； (2)如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； (3)如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 28．（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 题型8 以直角三角形的边为边到图形面积 ◆题型8 以直角三角形的边为边到图形面积 题型模版 1. 以直角三角形三边为边向外作相似图形，面积满足 S₁+S₂=S₃。 2. 利用相似图形面积比等于对应边长比的平方。 29．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，以直角三角形的每一条边为边向上作三个正方形，其中阴影部分的各个几何图形面积与相等的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 30．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，Rt中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，若图中阴影部分的面积是，则的大小可以用，表示为（   ） A． B． C． D．2 31．[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 32．（25-26八年级下·重庆·期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)如图②，直角中，，，，则斜边上的高的长为______； (2)图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理． (3)如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48，，求该“勾股风车”图案的面积． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 33．如图，有一张等腰纸片，，小杰对其进行了操作：选取边上一点，连接，将沿所在直线翻折使得的对应线段交边于点，再将沿所在直线翻折，使得的对应线段恰好落在所在直线上，这样就得到了一幅热带鱼的图案，则的周长为（   ） A． B． C． D． 34．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，已知在中，，，，点D，E分别在边，上，连接，．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点，处，且边与在同一直线上，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则____________________ ． 35．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，交于点P，若，且的面积为4，则正方形的面积为（   ） A．20 B．30 C．40 D．50 36．如图，正方形ABCD边长为2，动直线l经过正方形中心O，线段与线段AB关于直线l对称，则点B到直线的距离最大值为___． 37．（25-26九年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，，，，点D是边上的一点，且，点E是边上一个动点，连接．现以为一边在右侧作等边，连接． （1）当点E与点B重合时， _______ ． （2）在点E运动过程中，线段的最小值为______． 38．（25-26八年级下·全国·阶段检测）攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点攀爬到点的最短路径长为____________． 39．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在的正方形网格中，点均在各小正方形的顶点处，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 40．如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 41．（25-26八年级下·福建南平·期中）我们知道，如果直角三角形的三边长都是正整数，这样的三个正整数就叫作一组勾股数．如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方和，即：，那么称为广义勾股数，给出下面的结论：①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数；⑤若，，，其中，，，，均为正整数，则，，为一组勾股数；⑥一个正奇数（除1外）与两个和等于此正奇数平方的连续正整数是一组勾股数．结论正确的是（    ） A．②③⑤⑥ B．①③④⑤ C．②⑤⑥ D．②④⑤⑥ 42．（25-26八年级下·浙江温州·期末）如图，在中，，，P为边上一点，连结，使长为整数的点P一共有_________个． 43．已知是等边三角形．    (1)如图1，也是等边三角形．点A、B、E三点不共线，求证：； (2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论； (3)如图3，点D是等边三角形外一点，若．试求的度数． 44．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，，P在边上运动．连接，若使长为整数的点共有12个，那么的面积是______________． 45．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1是由边长为1的正方形构成的的网格图，的顶点都在格点上． (1)请在上找一点，使得，画出； (2)如图2，平分，，，若，求的度数； (3)如图3，在和中，，，． ①求证：； ②若，求出与的面积之差． 46．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 阿波罗尼奥斯定理 在查阅资料时，发现三角形一条边的中线与三角形的另外两边之间存在一定关系，即三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边一半的平方加上这条中线的平方的和的2倍，这个定理被称作三角形中线定理，也被称作阿波罗尼奥斯定理． 定理证明： ①特殊条件（直角三角形斜边上的中线）下的证明： 如图1，在中，，为的中点，连接． 求证：． 证明：设，，．在中，，则， ∵为中点，， ∴（依据：__________） ∴， ∴， ∴． ②一般条件下的证明： 如图2，在中，为的中点，连接．求证：． 证明：如图2，过点作于点． 在中，由勾股定理得，．．．．．．．．． 任务： (1)材料中的依据是指__________． (2)完成材料中②一般条件下该定理证明的剩余部分． (3)在中，为的中点，，，，则__________． 47．（25-26八年级下·湖北十堰·期末）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题的目的． 【经历体验】 已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接、，设，． (1)①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是________； 【类比应用】 (2)根据上述的方法，构图求出代数式的最小值． 48．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知在中，，，点是边上一动点，以为斜边向下作，使，． (1)如图1，设的度数为， ①用含的代数式表示； ②当为何值时，； (2)设， ①如图2，延长交于，若，求长； ②如图3，连接，在点从点运动到点的过程中，求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 用勾股定理理解三角形 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 勾股定理的证明 题型2 勾股数的探究问题 题型3 用勾股定理理解三角形 题型4 以弦图为背景的计算问题 题型5 勾股定理与网格图 题型6 勾股定理与折叠问题 题型7 利用勾股定理证明线段关系 题型8 以直角三角形的边为边到图形面积 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 勾股定理是直角三角形中最核心的数量关系，揭示了直角三角形三边之间的内在联系。解题时首先要明确哪条边是斜边、哪两条边是直角边，避免用错公式；其次要善于把待求线段或待证关系转化到直角三角形中，通过构造垂线、连接对角线、利用网格等方式创造直角三角形。对于折叠、旋转、弦图等综合问题，要抓住不变量（如折叠前后对应边相等、弦图中四个直角三角形全等），设未知数后用勾股定理建立方程。此外，勾股定理的逆定理可用于判断三角形是否为直角三角形，是把“数”的关系转化为“形”的判定的有力工具。 题型1 勾股定理的证明 ◆题型1 勾股定理的证明 题型模版 1. 常用证明方法：面积法、割补法、弦图法。 2. 通过图形面积关系建立等式，化简得到 a²+b²=c²。 1．（25-26八年级下·广东东莞·期中）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （3）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （4）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积大正方形面积， 故答案为：； （3）根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （4）如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其中，，，，显然．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题： ①如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为 ． ②如图4，在中，，，，求边上的高． 【答案】(1) 证明：把两个全等的直角和如图2放置， ， 又， ， ， 即， 梯形的面积，， 四边形的面积 ， ∵四边形的面积梯形的面积的面积， ∴ ∴． (2)①；② 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，全等三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明，再根据梯形的面积，，四边形的面积，四边形的面积梯形的面积的面积，即可推出结论； （2）设边上的高为，根据割补法求出的面积，再利用的面积可求出结果； （3）由勾股定理得，，再结合列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①：设边上的高为， 由勾股定理得，， 的面积， 的面积， ， 即边上的高为， 故答案为：； ②如图， 在中，，，，， 由勾股定理得，， ， 又∵， ∴， ， ． 答：边上的高为． 3．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）勾股定理的证明方法中，面积法是最经典的思路．下面是基于“两个全等的直角三角形拼接”的证明． 【证法再现】如图1，把两个全等的直角和按图放置，已知 ． (1)请用含a，b，c的式子表示下列图形的面积： _________（用含a，b的代数式表示）； ________（用含a，b的代数式表示）； ________（用仅含的代数式表示）； (2)根据上述面积关系，完成勾股定理的证明过程． (3)【知识运用】如图2，南淝河北岸边有两点（看作直线上的两点）相距160米，为河两岸的两个便民取水点（看作两个点） ，垂足分别为 ，现要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个取水点的距离和最短．请在图中确定点的位置，并求出该最短距离和． 【答案】(1)，， (2) 证明：由（1）得，，，， ∵， ∴ ∴ 整理得； (3)，最短距离为米 【分析】（1）根据图形中数据进行列式计算即可； （2）因为，将（1）中各式代入整理即可得勾股定理； （3）作点关于的对称点，连接，与的交点即为，作交的延长线于，在利用勾股定理求得即为所求． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ； （2）证明：略； （3）解：作点关于的对称点，连接，与的交点即为，长度即为所求最短距离，作交的延长线于， 在中，米，（米）， 由勾股定理得：（米． 答：该最短距离和为200米． 4．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片（△△），按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为　　 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与△的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在△中，，于点，，．取边上的点，连接，使得．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，求的长． 【答案】（1）①； ②解：∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． （2） 【分析】本题主要考查了面积法验证勾股定理．熟练掌握全等三角形性质，三角形外角性质，勾股定理，面积法求三角形高，三角形中线性质，三角形、梯形、对角线互相垂直的四边形面积公式，是解题的关键． （1）①根据，得，由三角形外角性质得，即得；②根据，得，根据，即得； （2）根据，得，推出，得，得，连接，得，结合，求得 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ②略 （2）∵在中，，，． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 题型2 勾股数的探究问题 ◆题型2 勾股数的探究问题 题型模版 1. 勾股数是能构成直角三角形三边的正整数。 2. 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17 及其倍数。 5．（25-26八年级下·广东湛江·期末）如果把看作a，b，c的方程，那么满足该方程的正整数解a，b，c通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…，分析其中规律，第10个勾股数组为________． 【答案】 【分析】由勾股数组：，，，…可知，，，，…可得第n个勾股数中间的数为，据此计算即可得出结论． 【详解】解：由，，， … 第n个勾股数组中间的数为， 第10组勾股数组中间的数为，即勾股数组为． 6．（25-26八年级上·福建三明·期中）若，，为一组勾股数，且，则下列结论：①；②，，中必有一个是奇数；③，，中总有一个数是3的倍数，，，中总有一个数是5的倍数；④若是不小于7的质数，则的最小值为25．其中正确的有________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查“勾股数”的知识点，熟练利用勾股定理进行代数运算，通过数的特征进行演绎推理是解题关键． ①是勾股数的定义；②可以找反例证明是错误的；③④可以通过数的特征进行推理，利用余数判断即可． 【详解】对于结论①：由勾股数的定义，成立，故正确． 对于结论②：6，8，10是勾股数，但其中没有奇数，故错误． 对于结论③④： 对于a，b，c，我们可以假设这三个数互质，则 ，． 由上式可知，若b，c均为奇数，则a一定为偶数，故a，b，c三个数中一定有一个数为偶数， 不妨设，其中m，n为a的因式，且m，n均为整数，． ∴． ∵a，b，c均为正整数，且，， ∴，（其余情况不能同时满足a，b，c均为正整数，且，，，故舍去）． ∴，． 若a不为3的倍数，则m，n均不为3的倍数，所以m，n可以分别表示为或，或（其中k，j为非负整数）． 则，其中必有，或． 故若a不为3的倍数，则b一定为3的倍数． 若a不为5的倍数，则m，n均不为5的倍数，所以m，n可以分别表示为，（其中k，j为非负整数，p，q为1，2，3，4其中一个数） 若，则，此时b为5的倍数； 若，则，此时b为5的倍数； 若，或，，则， 此时c为5的倍数； 若，或，，则， 此时c为5的倍数， 故a，b，c中一定有5的倍数，③正确． 由题意，当时，因为为偶数，故不可能为不小于7的质数，舍去； ∴，可令，则． ∵m，n为正整数， ∴当时，，不合题意；当时，，不合题意； 当时，． ∴当时，c取得最小值，最小值为25，此时，符合题意． 故④正确． 故答案为：①③④． 7．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”． (1)若，，则，的“调和数”_______． (2)若，，求，的“调和数”； (3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据“调和数”的定义得出关于的一元一次方程，求解即可； （2）利用完全平方公式计算得出或，分两种情况，分别利用“调和数”的定义，计算即可得出结果； （3）求出，再结合且，，均为正整数，得出，，为勾股数组合，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：∵， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴； 综上所述，或； （3）解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵，，均为正整数， ∴， ∴将两边同时除以得， ∴， ∴， ∵且，，均为正整数， ∴，，为勾股数组合， 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 验证其他常见勾股数均不满足条件，因此的取值为或或． 8．（25-26八年级下·河南新乡·期中）2026年3月14日是第七个“国际数学日”，今年国际数学日的主题是“数学与希望”，勾股定理作为数学几何中最基本的定理之一，早在我国西汉时期的《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫作正整数直角三角形，这三个正整数叫作一组勾股数，如：3，4，5；6，8，10；8，15，17等都是勾股数． (1)小明在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们把这样的勾股数叫作完美勾股数．如3，4，5中，，；8，15，17中，，．判断12，35，37这组勾股数是不是完美勾股数，并说明理由； (2)有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长为，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值． 【答案】(1)是，见解析 (2)，a的值为7，b的值为1 【分析】（1）根据完美勾股数的定义可得答案； （2）由勾股定理可得a，b的关系式，变形可用含b 的代数式表示出a，再根据b的范围分别代值验证，可求得a，从而求解． 【详解】（1）解：这组勾股数是完美勾股数． 理由如下： ∵，， ∴12，35，37这组勾股数是完美勾股数． （2）解：由勾股定理得， 即． ∴． ∵，， ∴，． ∵a和b均为正整数， ∴b的值可能是1，2，3． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意． ∴a的值为7，b的值为1． 题型3 用勾股定理理解三角形 ◆题型3 用勾股定理理解三角形 题型模版 1. 已知两边求第三边，注意区分直角边与斜边。 2. 已知三边判断三角形形状：若 a²+b²=c² 则为直角三角形。 9．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在中，，D为边上一点．连接、E为边上一点，，连接，，记． (1)用含的代数式表示． (2)若是以为腰的等腰三角形，，求的长． (3)如图2，延长交于点F，若，求的长． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，，根据直角三角形两锐角互余得出； （2）分两种情况讨论：，，分别求出结果即可； （3）延长至点G使得，证明，得出，证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∴， 又， ∴， ， ； （2）解：若， ， ∴， ， 由勾股定理得：； 若， ， ∴ ∴根据解析（1）可得：， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：如图，延长至点G使得， ， ， ， ， ∴， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 10．在中，，为中点，连接，作交于点．平分，交于点，若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边中线定理可得，进而推出，结合垂直定义和角平分线性质推导出，作构造等腰直角三角形和直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：在中，为中点， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 过点D作于点G， ， 点为中点， ， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ． 11．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)线段，于点A且，于点B且，点P为线段上任意一点，则图1中最小值为________；图2中最小值为________； (2)如图3，中，，，，点D是边的中点，点P是边上任意一点，则的最小值是________； (3)如图4，中，且，作于点D，过A点的射线m始终平行于，点E是高上任意一点，点F是射线m上一点，点G是线段上一点，且始终保持，则的最小值为________；则的最小值为________． 【答案】(1)5，5 (2) (3)， 【分析】（1）连接交于点P，由点、、三点共线时，最小，结合勾股定理即可求解；作点关于的对称点，连接交于点，连接，根据图形的对称性可知，当点、、三点共线时，最小，由此求解即可； （2）作点关于的对称点，连接交于点，连接，根据图形的对称性可得，即当点、、三点共线时，最小，由此求解即可； （3）先由边角边的证明方法证明与全等，即可得，再由由图形的对称性可知，当点、点、点三点共线时，最小，结合勾股定理求解即可；作辅助线构造全等三角形，由此可得，再由点、点、点三点共线时，最小，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接交于点P，过点C作交的延长线于点H，如图， ， 当点、、三点共线时，最小， ，， 由勾股定理可得，， 最小值为； 作点关于的对称点，连接交于点，连接，如图． 由图形的对称性可知，， ， 当点、、三点共线时，最小， 同理可求， 最小值为； 故答案为：；； （2）解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，过点作交于点，连接，如图， 由图形的对称性可知，，， 当点、、三点共线时，最小， 即 在中，，，， 由勾股定理可得， 点是边的中点，， 为等腰三角形，且， ， 在中，， ， 在中，， 则的最小值是； 故答案为：； （3）解：连接，作点关于射线的对称点，连接交射线于点，连接，如图， 中，且， 为等腰直角三角形， ，且， ， 为的角平分线，即， 射线， ， ， 在与中， ， （）， ， 由图形的对称性可知，，， 当点、点、点三点共线时，最小， 即， ， 又， ， 在中，， 最小值为， 作，使，连接，连接交于点，如图， ， ， 在与中， ， （）， ， 当点、点、点三点共线时，最小， 即， ，， ， ， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，图形对称的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作点关于直线的对称点转化边的关系，以及作辅助线构造全等三角形． 12．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图1，为等腰直角三角形，，动点从出发沿线段向终点运动，连接，以为直角边向右作等腰直角，斜边与交于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，过分别作于点于点．请探究：三条线段之间的数量关系； (3)若，D点在运动过程中，当等于多少时，的面积最大？并求出最大值． 【答案】(1) 证明：与均为等腰直角三角形 ，， ， 在与中， ； (2)； 理由如下： ， ， ， 又 ， 在与中， ， ； (3)当时，最大，最大为1 【分析】（1）先证明，进而根据，即可证明； （2）先证明，根据，证明，得出，，即可得证； （3）根据全等三角形的性质可得，又，则要使最大，只要使最小即可，当时，最小，此时，，，． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ， ， ， 要使最大，只要使最小即可， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， 又∵垂线段最短， ∴当时，最小，即最小， 此时，，，， 当时，最大，最大为1． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 题型4 以弦图为背景的计算问题 ◆题型4 以弦图为背景的计算问题 题型模版 1. 弦图中四个直角三角形全等，中间是正方形。 2. 利用大正方形、小正方形与直角三角形面积关系列方程。 13．学习了勾股定理后，小明将如图所示的“赵爽弦图”中的四个全等直角三角形与中间的小正方形恰好拼成如图所示的图形．若图中大正方形的边长为，则图中点与点之间的距离为______． 【答案】 【分析】设直角三角形的较长直角边长为，较短直角边长为，则中间的小正方形长度为，根据图得到 ，即得，再利用勾股定理可得，即得，进而根据图即可求解． 【详解】解：设直角三角形的较长直角边长为，较短直角边长为，则中间的小正方形长度为， 由图可得，小正方形的边长为， ∴ ， ∴， ∵若图中大正方形的边长为， ∴， ∴ ， 解得， ∴， ∴， ∴图中点与点之间的距离为． 14．（25-26八年级上·广东深圳·期中）意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中，则四边形的面积为（   ） A．12 B．10 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键． 根据正方形的性质得到、、，根据全等三角形的性质证得、，设，证得四边形是菱形，，推出四边形是正方形，设正方形的面积为，正方形的面积为，根据六边形的面积为，列方程求解得出四边形的面积即可． 【详解】解：四边形、四边形是正方形 、、 在和中， 同理可证、、和四个三角形全等 、 设 四边形是菱形， 、 四边形是正方形 设正方形的面积为，正方形的面积为 、 六边形的面积为 四边形的面积为， 故选：B． 15．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：． 过点作于点，延长交于点，则平分．若，则．其中错误的结论有(   )    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定；过点作交延长线于点，证明得出，进而得出；过点作交的延长线于点，过点作，证明，，进而得出，，根据，不能得出，，即可判断②；根据全等三角的性质得出，得出，同理解得，进而即可判断③． 【详解】解：如图所示，过点作交延长线于点，   ， ， 又，， ， ， ， 即，故①正确 如图所示，过点作交的延长线于点，过点作   ， ， 又， ， 同理可证，， 若 ， ，则平分． 而，则， 不平分，故②错误． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得 ，故③正确 故错误的有1个，   故选：B． 16．综合与实践 问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且． 特殊化探究：连接．设，． “运河小组”从线段长度的特殊化提出问题： (1)若，，求的面积． “武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题： (2)若，求证：． 深入探究：老师进一步提出问题： (3)如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：． 请你解答这三个问题． 【答案】(1)6 (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (3)证明：设，正方形的边长为n，， 如图，过E分别作，的垂线，垂足分别为M、N， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据 “弦图”关系，设参数，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）由可知E是中点，从而可证，得到，再证即可得证； （3）用代数法思路证：设，正方形的边长为n，，先将表示出来，再证得到的表示，从而达到和的关系． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 即， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴． （2）略 （3）略 题型5 勾股定理与网格图 ◆题型5 勾股定理与网格图 题型模版 1. 网格中构造直角三角形，利用勾股定理求线段长。 2. 注意格点坐标与水平、竖直距离。 17．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中，都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图． (1)如图所示，找一个格点，使； (2)如图所示，若点在网格线上（非格点），请作出点关于线段的对称点． 【答案】(1) (2) 【分析】利用勾股定理构建以点为直角顶点的等腰直角三角形即可； 过点作的垂线，与格线相交于点，利用全等三角形的性质可得，即得垂直平分线段，再连接交于点，连接交于点，连接交于点，由线段垂直平分线的性质可得，，易证，得到，进而可证，得到，，即得，即得到，故点和点关于线段对称． 【详解】（1）略 （2）略 18．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图． (1)在图①中，画一个格点三角形，使得，，． (2)在图②中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据勾股定理可知，当两条直角边长度分别为1和2时，斜边为，当两条直角边长度分别为2和3时，斜边为，由此作图即可； （2）可以考虑作一个腰长为的等腰直角三角形． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：作图如下： 19．我们定义：对角线相等的四边形为等对四边形． (1)尝试：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为5的等对四边形，要求四个顶点均在格点上； (2)推理：如图2，已知中，以和为边在的外侧分别作等边三角形和，连接． 求证：四边形是等对四边形； (3)拓展：如图3，已知四边形是等对四边形，，，，求边的长． 【答案】(1) 解：如图所示， (2) 证明：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴ ∴ 即 在中， ∴ ∴； ∴四边形是等对四边形； (3) 【分析】（1）根据网格的特点以及勾股定理，画出的相交线段，进而即可求解； （2）连接，根据是等边三角形，得出，，进而证明，根据全等三角形的性质可得，即可得证； （3）分别以、为底作等腰、等腰，顶点均为点．证明，进而证明是等边三角形，勾股的逆定理得出，进而可得，延长交于点，可得，，，进而在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解： ∴四边形即为所求 （2）略 （3）解：如图3，分别以、为底作等腰、等腰，顶点均为点． ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 同理，也是等边三角形． ，， ∵， ∴ ∴ ∴ 延长交于点，如图所示， 则 ∴ ∴，， ∴ 在中，． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理．理解并掌握等线四边形的定义是解题的关键． 20．（25-26八年级下·北京·期中）通过学习勾股定理的证明，我们发现借助面积相等，可以把很多图形拼成正方形．如图（1）把两个边长为的正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形．如图（2）是由个边长为的小正方形组成的图形，这个图形按图（3）的方式剪裁，并进行一定的旋转拼接，可拼成图（4）中的大正方形． (1)图（4）中拼成的正方形的边长为 ； (2)仿照上面的做法，将图（5）中这十个小正方形组成的图形，拼成一个大正方形，请在图（5）中画出裁剪方法，并求出拼成的正方形边长； (3)网格中的六边形是由边长为的正方形左上角剪去边长为的正方形所得，该六边形按一定的方法也可剪拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ； 如图甲，把六边形沿裁剪线，剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置．在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)；见解析 【分析】（1）根据正方形的面积求解它的边长即可； （2）根据正方形的面积求解它的边长，根据边长寻找恰当的剪裁方法即可； （3）根据正方形的面积求解它的边长，根据边长寻找恰当的剪裁方法即可. 【详解】（1）解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为； （2）解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为； 裁剪方法及拼接后的正方形如图所示； （3）解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 裁剪方法及拼接后的正方形如图所示. 题型6 勾股定理与折叠问题 ◆题型6 勾股定理与折叠问题 题型模版 1. 折叠前后对应边、对应角相等，折痕是对称轴。 2. 设未知数，利用勾股定理列方程求解。 21．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）如图，为等边三角形，且，点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点，若沿着直线DE翻折后，点A始终落在边BC上．若，则满足条件的a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可知，，则，如图，作于，由为等边三角形，可得，则，，由勾股定理求得，由翻折后，点A始终落在边上，可得即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴， 如图，作于， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵翻折后，点A始终落在边上， ∴，即，，即， 解得，， ∴． 22．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）数学社团课上，老师拿出一张（其中，）的纸片，让同学们课堂上进行折纸操作：第一步，在边上找一点，沿向右折叠使点落在边上，铺平；第二步，在边上找一点，沿着折叠使落在边上，铺平；第三步，在边上找一点和边上找一点，沿着折叠使点落在点处，铺平；若最后测得恰好，则______ ． 【答案】 【分析】此题主要考查了图形的翻折及其性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角性质，勾股定理等知识，设，根据第三步折叠得是的垂直平分线，则，进而得，根据第一步折叠得是直角三角形，进而得，再根据得，由此得，然后根据第二步折叠得，据此得，再根据三角形的外角性质得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，继而得，据此可得的值，熟练掌握图形的翻折及其性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设， ∵第三步，沿着折叠使点落在点处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵第一步，沿向右折叠使点落在边上， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在，中， ∴， ∴， ∴， ∵第二步，沿着折叠使落在边上， ∴， ∴， 解得: ， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 23．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，，，是边上的高． (1)求的长； (2)①如图2，点E是线段上的一点（不包括点A和点D），和关于成轴对称，交边于点G．求证：； ②如图3，在①的条件下，直线交边于点H，求的最大值． 【答案】(1)； (2) ①证明：∵和关于成轴对称， ∴， ∴，， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②的最大值为． 【分析】（1）利用勾股定理和三角形的面积公式解答即可； （2）①利用轴对称的性质得到，，利用三角形的外角的性质和等式的性质解答即可； ②利用轴对称的性质和全等三角形的判定与性质得到，利用垂线段最短的性质得到当最小时，取得最大值，即点G与点D重合时，取得最小值为． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）①略 ②解：∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时，取得最大值， ∵G为上一点， ∴点G与点D重合时，取得最小值为， ∴FG的最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理及其推论，垂线段最短的性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 24．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，D是边上的点，且．连接，并将沿直线翻折后点C恰好落在边上的点E处，此时． F是直线上的一动点，连接，，则周长的最小值是_________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称、折叠问题、勾股定理、最短路径问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据轴对称的性质推出，，连接、、，将的周长转化为，其中的长度为定值，得到当、、三点共线时，有最小值，进而解题． 【详解】解：如图，连接、、， 由轴对称的性质可知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 由题意知，、关于对称，即垂直平分， ∵F是直线上的一动点， ∴， ∴，其中， 当、、三点共线时，有最小值， 即周长的最小值为； ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为： ． 题型7 利用勾股定理证明线段关系 ◆题型7 利用勾股定理证明线段关系 题型模版 1. 通过构造直角三角形，把线段关系转化为边长关系。 2. 常用方法：平方关系、和差关系、等量代换。 25．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在中，，，点是斜边上的动点，点在直线上，满足，于点，设．    (1)当时，求的度数（用含有的代数式表示）． (2)当时，请用一个等式表示线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)当时，请用一个等式直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据等边对等角可得，，进而根据三角形的外角的性质得出； （2）过点作交的延长线于点，交于点，根据平行线的性质以及余角的定义得出，则，等量代换得出，证明得出，进而根据是等腰直角三角形，得出，即可得证； （3）当时，由（2）可得是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可得，，在中，勾股定理得出关系式；当时，先证明，同理可得，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵是的一个外角， ∴； （2）解：如图所示，过点作交的延长线于点，交于点，    ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：当时， 如图所示，    设，， 由（2）可得是等腰直角三角形，， ∴，， 在中，， ∴ 当时，如图所示，过点作于点，    ∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴, 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设，， ∴，， 在中，， ∴， 当时，，等式仍然成立， ∴当时，， 综上所述，当时，；当时，． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理与三角形的外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 26．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，四边形中，，分别以线段，，，边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，连接，利用勾股定理可以得到：．根据材料提示完成下列问题： (1)如图2，是中边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，请写出，，，的等量关系___________； (2)如图3，在中，，，点是上一点，且，若，求证：是直角三角形； (3)如图4，在中，分别以线段，，为边向外作正方形，正方形的面积分别，，试求出的面积． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴设，则， ∵ ∴， ∵，， ∴在和中， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵， ， ∴， ∴是直角三角形； (3) 【分析】（1）在两个直角三角形中利用勾股定理分别表示，得出各边平方的关系，将正方形面积转化为边长平方，即可得出四个面积的等量关系； （2）设表示出，利用双直角三角形共高列方程求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形即可； （3）由正方形面积得三边平方与长，作高设元，利用共高列方程求高，最后用面积公式计算的面积即可． 【详解】（1）解：在和中， ，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴； （2）略 （3）解：如图，过点作于点， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴和中， ， 解得， ∴， ∴， ∴． 27．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：_____； (2)如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； (3)如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又，， ， ，， ， ， ； ， ， ， ； (3)， 如图，延长到使，连接， 为中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． （1）延长至点，使，连接， 根据可得，则可得，，再证，则可得，进而可得 ； （3）延长到使，连接，．根据可得，则可得，，进而可得，则可得．再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接，如图所示： ， 在中，，，是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边之间关系得：， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 28．（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 【答案】(1)、、 (2) ①证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴ ． ②证明：∵， ∴，， ∴， ， 故， 化简得． (3)97 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）①先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可；②由①中的全等，可得出，，再分别根据梯形面积公式以及等面积法将梯形转换为三个三角形的面积，得出两种表达方式，也可证出； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②略 （3）解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：， 故答案为：． 题型8 以直角三角形的边为边到图形面积 ◆题型8 以直角三角形的边为边到图形面积 题型模版 1. 以直角三角形三边为边向外作相似图形，面积满足 S₁+S₂=S₃。 2. 利用相似图形面积比等于对应边长比的平方。 29．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，以直角三角形的每一条边为边向上作三个正方形，其中阴影部分的各个几何图形面积与相等的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握手拉手的全等模型是解题的关键． 如图连接，证，得到，证，得到三点共线且，再证，由勾股定理，得，结合全等，得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据题意，可知四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， 又， ， 是直角三角形， ， 三点共线， ； ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 根据勾股定理，可知正方形的面积等于正方形面积之和， ， 又，， ， ； 综上所述，可知图形①、②的面积与的面积相等． 故选：A． 30．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，Rt中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，若图中阴影部分的面积是，则的大小可以用，表示为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质， 先根据等腰直角三角形的性质得，再设，然后根据勾股定理得，进而得，则此题可解． 【详解】解：如图所示， ∵都是等腰直角三角形， ∴， 设， ∵，即， ∴， ∴， 解得． 故选：B． 31．[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 【答案】[方法储备]，；[思考探究] ； [拓展延伸]①延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， 又， ， ，， 又， ， 为等腰直角三角形， ② 【分析】[方法储备] 由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解， [思考探究] 延长至点，使得，由得出，，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解， [拓展延伸] ①延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证， ②延长至点，使得，由，可得，，导角得，由，可得，，作，， ，通过勾股定理得到边长间的关系，代入，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，勾股定理，解题的关键是：熟练应用“倍长中线法”． 【详解】[方法储备]解： 在和中，， ， ， 在中，，即：， ， ， ， 故答案为： ，， [思考探究]解： 延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在中，， 而，， 垂直平分， ， 故答案为：， [拓展延伸]解： ①略 ②如图，延长至点，使得，连结，，， 为中点，同上“倍长中线”方法可得， ，， 设， ， ，， ，，， 分别过，作，，，为垂足， ， 设，，，， ，，， 解得， ， ， 故答案为：． 32．（25-26八年级下·重庆·期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)如图②，直角中，，，，则斜边上的高的长为______； (2)图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理． (3)如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48，，求该“勾股风车”图案的面积． 【答案】(1) (2) 梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即． (3)96 【分析】（1）根据勾股定理求出，利用面积法求出即可； （2）分别用梯形的面积公式和三个直角三角形面积求出梯形的面积，再根据两次求出的面积相等列出关系式，最后化简即可证明； （3）设直角三角形的较长直角边为x，较短直角边为 y，斜边为c，由题意及图形可知，，因为外轮廓周长为48，得，求得，在中，由勾股定理列等式求出x的值，即可解答 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵ ∴； （2）解：略； （3）解：设直角三角形的较长直角边为x，较短直角边为 y，斜边为c， 由题意及图形可知，为较短直角边，即， 因为外轮廓周长为48，且由4个全等的部分组成，每部分为斜边与较长直角边减6之和， 所以， 解得，即， 在中，由勾股定理得：， 代入数据得， 解得 所以该图案的面积为： 答：该"勾股风车"图案的面积为96 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 33．如图，有一张等腰纸片，，小杰对其进行了操作：选取边上一点，连接，将沿所在直线翻折使得的对应线段交边于点，再将沿所在直线翻折，使得的对应线段恰好落在所在直线上，这样就得到了一幅热带鱼的图案，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明得，过点作于点，在上取点，连接，使，分别求出，，得，进而可求出的周长． 【详解】解：根据题意得：，， 又， ∴， ∴， 过点作于点，在上取点，连接，使，如图， 则，， ∴； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由折叠得， ∴， ∴的周长． 34．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，已知在中，，，，点D，E分别在边，上，连接，．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点，处，且边与在同一直线上，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则____________________ ． 【答案】 【分析】本题考查图形的折叠、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用折叠的性质，根据题意建立方程．根据和两种情况展开讨论，当，设可得，根据折叠的性质得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当，可得是的中点，设，，可得，根据折叠的性质得，建立方程解方程即可得到答案． 【详解】解：当时，设，得， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 当时， ∵， ∴是的中点， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴ 当或时， 是以为腰的等腰三角形． 故答案为：或． 35．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，交于点P，若，且的面积为4，则正方形的面积为（   ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 连接，则，设，由题意得：，则故，则，解得：，在中，由勾股定理得， 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设， 由题意得：， ∴ ∴， ∵的面积为4， ∴， 解得：， ∴在中，由勾股定理得，， ∴正方形的面积为30， 故选：B． 36．如图，正方形ABCD边长为2，动直线l经过正方形中心O，线段与线段AB关于直线l对称，则点B到直线的距离最大值为___． 【答案】 【分析】先求出的长度，由于对称可得，，过点作垂直于于点，再求出到的距离，则只有当三点共线时有到的距离最大值． 【详解】解：， 则， 过点作垂直于于点， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∵ ∴当B、O、Q三点共线时距离最大， 则最大距离． 37．（25-26九年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，，，，点D是边上的一点，且，点E是边上一个动点，连接．现以为一边在右侧作等边，连接． （1）当点E与点B重合时， _______ ． （2）在点E运动过程中，线段的最小值为______． 【答案】 6 【分析】（1）当点E与点B重合时，为等边三角形，，作，交于点，由等边三角形的性质可得，，再结合勾股定理计算即可得出结果； （2）以为边在上方作等边三角形，连接，过点作于点，于点，证明，得出，当最小时，最小，由垂线段最短可得，当点与点重合时，最小，即最小，证明四边形为矩形，得出，即可得出结果． 【详解】解：（1）如图，当点E与点B重合时，为等边三角形，，作，交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，以为边在上方作等边三角形，连接，过点作于点，于点， ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， 由垂线段最短可得，当点与点重合时，最小，即最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 38．（25-26八年级下·全国·阶段检测）攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点攀爬到点的最短路径长为____________． 【答案】10 【分析】利用立体图形路径最小值为展开平面图的两点间距离，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：平面展开图为： ． 故答案为：10． 【点睛】本题考查立体图形中两点间最短路径问题，通用办法是展开为平面图形，两点间最短路径为两点线段长度，利用水平距离和竖直距离得到直角三角形，勾股定理求出两点线段长度．解决本题的关键是熟练掌握立体图形中两点间最短路径问题的计算方法． 39．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在的正方形网格中，点均在各小正方形的顶点处，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，等腰三角形的判定和性质，设小正方形的边长为1，根据勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，连接， 由勾股定理，得， ，， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 由图可知：与不平行； 综上：只有选项A正确； 故选A． 40．如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】根据勾股定理得出，根据正方形的性质得出，根据，求出， 根据三角形面积公式求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵正方形中，，， ∴． 41．（25-26八年级下·福建南平·期中）我们知道，如果直角三角形的三边长都是正整数，这样的三个正整数就叫作一组勾股数．如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方和，即：，那么称为广义勾股数，给出下面的结论：①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数；⑤若，，，其中，，，，均为正整数，则，，为一组勾股数；⑥一个正奇数（除1外）与两个和等于此正奇数平方的连续正整数是一组勾股数．结论正确的是（    ） A．②③⑤⑥ B．①③④⑤ C．②⑤⑥ D．②④⑤⑥ 【答案】C 【分析】根据广义勾股数和勾股数的定义，逐个判断每个结论，通过举例排除错误结论，计算验证正确结论，最终得到正确选项． 【详解】解：① 小于7的正整数平方为，，，，不存在两个正整数平方和等于7，所以7不是广义勾股数，故①不符合题意； ②因为，所以13是广义勾股数，故②符合题意； ③因为，，均为广义勾股数，和为，而无法写成两个正整数的平方和，所以不是广义勾股数，故③不符合题意 ④因为，，均为广义勾股数，积为，而无法表示两个正整数的平方和，故④不符合题意； ⑤ ， 又∵均为正整数， ∴，，为一组勾股数，故⑤符合题意； ⑥设除外的正奇数为，两个连续正整数为，由题意得， 解得：， ∴，二者均为正整数， ∵， 即，三个数均为正整数，符合勾股数定义，故⑥符合题意， 综上，正确结论为②⑤⑥． 42．（25-26八年级下·浙江温州·期末）如图，在中，，，P为边上一点，连结，使长为整数的点P一共有_________个． 【答案】3 【分析】先作等腰底边上的高，利用三线合一求出底边一半长，借助勾股定理算出高，得到取值范围，确定整数只能为2、3；对应垂足处1个点，，通过勾股计算得出底边左右两侧各个点，汇总得到符合条件的点P． 【详解】过点作于点， ， ∴ 在中，由勾股定理得： ， 根据垂线段最短，的最小值为； 当与或重合时，取得最大值， ∵的取值范围：， 若长为整数，则或： 时，点与垂足重合，满足条件，有个点； 时，设，在中： 解得，， 说明在、上各存在1个符合条件的点，共2个点． 综上，满足条件的点P一共有3个． 43．已知是等边三角形．    (1)如图1，也是等边三角形．点A、B、E三点不共线，求证：； (2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论； (3)如图3，点D是等边三角形外一点，若．试求的度数． 【答案】(1) 证明：如图1中，连接． ，都是等边三角形， ，，， ， ， ． (2) 如图2中，以为边向下作等边，连接． ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ，， ． (3) 【分析】（1）连接．根据证明即可解决问题； （2）以为边向下作等边，连接．证明，推出，再证明，即可解决问题； （3）以为边向下作等边，连接，作交的延长线于．同法可证：，可得，设，，利用勾股定理构建方程组，求出，即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图3中，以为边向下作等边，连接，作交的延长线于．    同法可证：， ，设，， 则有， 解得， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题． 44．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，，P在边上运动．连接，若使长为整数的点共有12个，那么的面积是______________． 【答案】15 【分析】先估算出，，设点到的距离为，则，由内的正整数有、、、、、、、、，共个，且长为整数的点共有12个，，得出的长能为、、，且这三个长度的点只有一个，的长能为、、、，且这四个长度的点均有个，此时还差个点，进而得出的最短的长度为，此时，最后再由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 设点到的距离为， ∵P在边上运动． ∴， ∵内的正整数有、、、、、、、、，共个，且长为整数的点共有12个，， ∴的长能为、、，且这三个长度的点只有一个，的长能为、、、，且这四个长度的点均有个，此时还差个点， ∴的最短的长度为，此时， ∴由勾股定理可得：， ∴的面积是． 45．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1是由边长为1的正方形构成的的网格图，的顶点都在格点上． (1)请在上找一点，使得，画出； (2)如图2，平分，，，若，求的度数； (3)如图3，在和中，，，． ①求证：； ②若，求出与的面积之差． 【答案】(1) 解：如图所示． (2) (3) ①证明：在上截取， ， ， ， ， ， ； ② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）在上截取，证，得到，再证，即可求解； （3）①在上截取，证，得到，同时由可得，即可求证；②延长至点，使得，连结，作于，证，得到，根据三线合一，得，由，求得，根据勾股定理，求得，再根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在上截取， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ． （3）解：①略 ②延长至点，使得，连结，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 46．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 阿波罗尼奥斯定理 在查阅资料时，发现三角形一条边的中线与三角形的另外两边之间存在一定关系，即三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边一半的平方加上这条中线的平方的和的2倍，这个定理被称作三角形中线定理，也被称作阿波罗尼奥斯定理． 定理证明： ①特殊条件（直角三角形斜边上的中线）下的证明： 如图1，在中，，为的中点，连接． 求证：． 证明：设，，．在中，，则， ∵为中点，， ∴（依据：__________） ∴， ∴， ∴． ②一般条件下的证明： 如图2，在中，为的中点，连接．求证：． 证明：如图2，过点作于点． 在中，由勾股定理得，．．．．．．．．． 任务： (1)材料中的依据是指__________． (2)完成材料中②一般条件下该定理证明的剩余部分． (3)在中，为的中点，，，，则__________． 【答案】(1)直角三角形斜边中线等于斜边的一半 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形的性质分析即可解答； （2）如图2，过点作于点．由勾股定理可得、、，易得；由中点的定义可得，即，则，然后代入整理即可解答； （3）先求得，再将相关条件代入求即可． 【详解】（1）解：∵为中点，， ∴（依据：直角三角形斜边中线等于斜边的一半）． （2）证明：如图2，过点作于点． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴，即． （3）解：∵为的中点，， ∴， ∵，，， ∴，解得：（已舍去负值）． 47．（25-26八年级下·湖北十堰·期末）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题的目的． 【经历体验】 已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接、，设，． (1)①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是________； 【类比应用】 (2)根据上述的方法，构图求出代数式的最小值． 【答案】(1)①，；②5 (2) 【分析】（1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据两点之间线段最短得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值． 【详解】（1）解：①在中，， 在中，； ②连接，由①得， 根据两点之间线段最短，有（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作，交的延长线于H，如图， ∵，， 则四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； （2）解： 如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 根据两点之间线段最短，有（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，则四边形为长方形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 即的最小值为． 48．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知在中，，，点是边上一动点，以为斜边向下作，使，． (1)如图1，设的度数为， ①用含的代数式表示； ②当为何值时，； (2)设， ①如图2，延长交于，若，求长； ②如图3，连接，在点从点运动到点的过程中，求的最小值． 【答案】(1)①；② (2)①长为；②的最小值为 【分析】（1）①利用直角三角形性质和三角形内角和定理即可求得答案； ②先得出，当时，，此时，，列方程求解即可求得答案； （2）①根据题意可得垂直平分，则，推出，，在上取点H，连接，使，得出，则，设，则，运用勾股定理可得，根据题意建立方程求解即可； ②作点B关于的对称点，连接，，，取的中点M，连接，，可得：，F，D三点共线，是等边三角形，利用勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出：，，再由两点之间线段最短即可求得答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴当α为时，； （2）解：①∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴，， 在上取点H，连接，使，如图， 则， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴长为； ②作点B关于的对称点，连接，，，取的中点M，连接，，如图， 则，， ∴，F，D三点共线，是等边三角形， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 在中，， 在中，点M是斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称-最短路径问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $