2.2.2 直线的两点式方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册　

该高中数学导学案聚焦直线的两点式方程，涵盖两点式方程的形式、特点、适用范围及截距式方程相关内容。以斜拉桥实例导入，通过问题引导学生从已知两点确定直线出发，关联点斜式方程推导两点式，再过渡到截距式，搭建知识递进的学习支架。 导学案以实例培养学生数学眼光，通过问题驱动和分类讨论（如两点式斜率存在性、截距式过原点情况）发展数学思维，结合例题与跟踪训练（如三角形中线方程、面积最值问题）强化数学语言表达，分层练习与易错提示助力学生构建知识体系，提升应用能力。

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案2.2.2　直线的两点式方程 [学习目标]　1.掌握直线两点式方程的形式、特点及适用范围.(重点)2.了解直线截距式方程的形式、特点及适用范围. 导语 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，塔柱所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉缆索可看成过塔柱上一点与桥面上一点的直线.怎样表示直线的方程呢？本节课我们就来学习一下. 一、直线的两点式方程 问题1　我们知道已知两点可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程.若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 知识梳理 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 =，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式. 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时，不能用两点式方程表示. 当x1=x2时，直线方程为x=x1； 当y1=y2时，直线方程为y=y1. (2)两点式方程与这两个点的顺序无关. (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等. 例1　(课本例4)已知△ABC的三个顶点A(-5，0)，B(3，-3)，C(0，2)，求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线AM所在直线的方程. 例2 在△ABC中，已知A(5，-2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求： (1)顶点C的坐标； (2)直线MN的方程. 反思感悟　求经过两点的直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程. (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程. 跟踪训练1　已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程. 二、直线的截距式方程 问题2　若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 知识梳理 我们把方程+=1叫做直线的截距式方程，简称截距式.直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距都存在且不为0，可以直接代入截距式方程求解，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示. (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图. 例3　求过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. 延伸探究　若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 反思感悟　应用截距式方程的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法求解即可. (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式方程的逆向应用. 三、直线的截距式方程的应用 例4　过点P(3，2)的直线l与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点. (1)当P为AB的中点时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积S最小时，求直线l的方程. 反思感悟　直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a，0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S=|a|·|b|. 跟踪训练2　在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点P(3，1)作直线l.若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B.求·的最小值. 1.知识清单： (1)直线的两点式方程. (2)直线的截距式方程. 2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解. 1.过点(1，2)，(5，3)的直线方程是(　　) A.= B.= C.= D.= 2.在x轴、y轴上的截距分别是-3，4的直线方程是(　　) A.+=1 B.+=1 C.-=1 D.+=1 3.过点P(1，2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为　　　　　　　　　　　　. 4.已知点A(3，2)，B(-1，4)，则经过点C(2，5)且经过线段AB的中点的直线方程为　　　　　　　　. 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案2.2.2　直线的两点式方程参考答案 [学习目标]　1.掌握直线两点式方程的形式、特点及适用范围.(重点)2.了解直线截距式方程的形式、特点及适用范围. 导语 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，塔柱所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉缆索可看成过塔柱上一点与桥面上一点的直线.怎样表示直线的方程呢？本节课我们就来学习一下. 一、直线的两点式方程 问题1　我们知道已知两点可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程.若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 提示　由点斜式方程，得 y-y1=(x-x1)， 即=(x1≠x2，y1≠y2). 知识梳理 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 =，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式. 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时，不能用两点式方程表示. 当x1=x2时，直线方程为x=x1； 当y1=y2时，直线方程为y=y1. (2)两点式方程与这两个点的顺序无关. (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等. 例1　(课本例4)已知△ABC的三个顶点A(-5，0)，B(3，-3)，C(0，2)，求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线AM所在直线的方程. 解　如图，过B(3，-3)，C(0，2)的直线的两点式方程为=， 整理得5x+3y-6=0. 这就是边BC所在直线的方程. 边BC上的中线是顶点A与边BC中点M所连线段，由中点坐标公式，可得点M的坐标为，即. 过A(-5，0)，M两点的直线方程为=， 整理可得x+13y+5=0. 这就是边BC上中线AM所在直线的方程. 例2 在△ABC中，已知A(5，-2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求： (1)顶点C的坐标； (2)直线MN的方程. 解　(1)设点C(x，y)，∵AC边的中点M在y轴上，∴=0，∴x=-5. 又BC边的中点N在x轴上，∴=0，∴y=-3， 故点C的坐标是(-5，-3). (2)由(1)知点M的坐标是，点N的坐标是(1，0)， ∴直线MN的方程是=，即5x-2y-5=0. 反思感悟　求经过两点的直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程. (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程. 跟踪训练1　已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程. 解　由直线经过点A(1，0)，B(m，1)， 因此该直线斜率不可能为零， 但有可能不存在. (1)当直线斜率不存在，即m=1时， 直线方程为x=1； (2)当直线斜率存在， 即m≠1时，利用两点式， 可得直线方程为=， 即x-(m-1)y-1=0. 当m=1时， 直线方程也满足上式， 综上可得，直线方程为x-(m-1)y-1=0. 二、直线的截距式方程 问题2　若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 提示　由两点式方程，得 =，即+=1. 知识梳理 我们把方程+=1叫做直线的截距式方程，简称截距式.直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距都存在且不为0，可以直接代入截距式方程求解，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示. (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图. 例3　求过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. 解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为+=1. 又l过点(3，4)，所以+=1，解得a=-1. 所以直线l的方程为+=1， 即x-y+1=0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点，设直线l的方程为y=kx，因为l过点(3，4)，所以4=k·3，解得k=， 直线l的方程为y=x， 即4x-3y=0. 综上，直线l的方程为x-y+1=0或4x-3y=0. 延伸探究　若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距相等且不为0时， 设直线l的方程为+=1， 又l过点(3，4)，所以+=1，解得a=7， 所以直线l的方程为+=1，即x+y-7=0； (2)当直线l在两坐标轴上的截距相等且为0时，设直线l的方程为y=kx， 又l过点(3，4)，所以4=k·3，解得k=， 所以直线l的方程为y=x，即4x-3y=0. 综上，直线l的方程为x+y-7=0或4x-3y=0. 反思感悟　应用截距式方程的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法求解即可. (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式方程的逆向应用. 三、直线的截距式方程的应用 例4　过点P(3，2)的直线l与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点. (1)当P为AB的中点时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积S最小时，求直线l的方程. 解　(1)设A(a，0)，B(0，b)， ∵P(3，2)为AB的中点，∴A(6，0)，B(0，4)， ∴由截距式得直线l的方程为+=1， 即2x+3y-12=0. (2)方法一　由题意，设直线的截距式方程为+=1(a，b>0)， ∵直线过P(3，2)，∴+=1， ∴1=+≥2，∴ab≥24， 当且仅当=，即a=6，b=4时，等号成立， ∴△AOB的面积S=ab≥12， ∴△AOB面积的最小值为12，此时直线l的方程为+=1，即直线l的方程为2x+3y-12=0. 方法二　由题意知，直线l的斜率存在，且斜率k<0， 直线l的方程为y-2=k(x-3). 令x=0，则y=2-3k>0， 令y=0，则x=3->0. ∴△AOB的面积S=(2-3k)=6++≥6+2=12， 当且仅当=，即k=-时取等号， ∴Smin=12，此时直线l的方程为y-2=-(x-3)，即2x+3y-12=0. 反思感悟　直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a，0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S=|a|·|b|. 跟踪训练2　在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点P(3，1)作直线l.若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B.求·的最小值. 解　设A(a，0)，B(0，b)，a>0，b>0，则l的方程为+=1， 点P(3，1)在l上，故+=1， 又=(3-a，1)，=(-3，b-1)，则·=(3-a，1)·(-3，b-1)=3a+b-10=(3a+b)-10=+≥2=6，当且仅当=，即a=b=4时等号成立， 故当a=b=4时，·取得最小值且最小值为6. 1.知识清单： (1)直线的两点式方程. (2)直线的截距式方程. 2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解. 1.过点(1，2)，(5，3)的直线方程是(　　) A.= B.= C.= D.= 答案　B 解析　∵所求直线过点(1，2)，(5，3)， ∴所求直线方程是=. 2.在x轴、y轴上的截距分别是-3，4的直线方程是(　　) A.+=1 B.+=1 C.-=1 D.+=1 答案　A 3.过点P(1，2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为　　　　　　　　　　　　. 答案　2x-y=0或x-y+1=0 解析　当直线过原点即在坐标轴上的截距均为零时，得直线方程为2x-y=0； 当在坐标轴上的截距不为零时， 可设直线方程为-=1， 将x=1，y=2代入方程可得a=-1， 得直线方程为x-y+1=0. ∴直线方程为2x-y=0或x-y+1=0. 4.已知点A(3，2)，B(-1，4)，则经过点C(2，5)且经过线段AB的中点的直线方程为　　　　　　　　. 答案　2x-y+1=0 解析　线段AB的中点坐标为(1，3)， 由直线的两点式方程可得=， 即2x-y+1=0. . 学科网（北京）股份有限公司 $