暑期预习讲义（第13讲）——二次函数基础实际应用（最值模型）（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026年北师大版九年级数学上册

暑期预习讲义（第13讲）——二次函数基础实际应用（最值模型）（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 预习目标 1 预习重难点 2 课本原文预习填空 2 二.教材知识梳理解读 2 【要点一】二次函数实际问题通用解题六步流程（标准答题模板） 2 【要点二】核心模型一：销售利润最值模型（中考必考） 3 【要点三】核心模型二：矩形面积最值模型（几何最值核心） 4 【要点四】自变量取值范围判定+高频易错点精讲 4 三.经典题型精析（基础夯实） 5 【题型 1】基础销售利润最值问题 5 【题型 2】无靠墙矩形面积最值问题 7 【题型 3】靠墙围栏矩形面积最值问题 10 四.经典题型精析（基础夯实） 13 【题型 4】带价格限制的利润综合最值 13 【题型 5】墙长受限的面积最值问题 17 【题型 6】多条件限制的实际最值综合问题 20 五.同步自测 28 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 28 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 35 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 39 一.预习目标与填空 预习目标 1. 掌握二次函数解决实际最值问题的完整解题流程，能够根据题干情境设出自变量，准确梳理数量关系，列出二次函数解析式。 2. 熟练掌握中考两大核心基础模型：销售利润最值模型、矩形面积最值模型，吃透两类题型的固定列式规律与解题思路。 3. 理解实际问题中自变量的取值限制，明确理论顶点最值与实际最值的区别，掌握区间端点最值的求解方法。 4. 培养数形结合、建模解题的思维，能够检验结果合理性，舍去不符合实际情境的解，规范完成应用题作答。 预习重难点 重点：根据实际情境列二次函数解析式；利用顶点公式求解理论最值；熟练掌握利润、面积两类基础模型的解题套路。 难点：准确分析涨价、降价情境下利润与销量的变化关系；精准求解自变量实际取值范围；顶点超出取值区间时，利用端点求解实际最值。 课本原文预习填空 结合课本自主填空，夯实概念，扫清预习盲区 1. 利用二次函数解决实际问题，首先需要__________，明确变量的实际意义。 2. 销售问题核心公式：总利润 = __________ × 销售量。 3. 商品涨价，销售量会__________；商品降价，销售量会__________。 4. 靠墙围栏矩形问题，墙体替代一条边，围栏材料仅围__________条边。 5. 二次函数顶点最值是__________最值，只有当顶点横坐标在__________内时，顶点最值才是实际最值。 6. 若对称轴不在自变量取值区间内，函数最值只能在区间__________取得。 7. 实际应用题求解结果必须__________，舍弃不符合生活实际与题干限制的解。 预习填空参考答案 1. 设自变量 2. 单件利润 3. 减少；增加 4. 三 5. 理论；自变量取值范围 6. 端点 7. 检验 二.教材知识梳理解读 本讲核心为二次函数实际最值建模应用，区别于纯函数计算，重点考查“实际情境→数学建模→范围限定→最值取舍”的完整思维，是九年级期中、期末及中考高频应用题考点。本节梳理两大必考模型、通用解题流程、取值范围判定规则及高频易错点，一站式掌握核心考点。 【要点一】二次函数实际问题通用解题六步流程（标准答题模板） 所有二次函数最值实际问题，统一遵循以下流程作答，规范步骤、规避扣分，适配利润、面积两类所有题型： 步骤1：设准变量（关键）：设合理自变量（涨价/降价金额、矩形边长等），必须标注实际含义+单位，优先设变化量，不设最终所求量。 步骤2：梳理数量关系：结合题干条件，拆分核心等量（单件利润、销量、边长等），杜绝列式逻辑混乱。 步骤3：列写函数解析式：根据核心公式列等式，展开化简为标准二次函数形式。 步骤4：锁定自变量取值范围（必考步骤）：结合生活实际、题干限制列不等式组，求解的合法区间，这是实际最值与理论最值的核心区别。 步骤5：分类求取实际最值：① 若对称轴在自变量取值区间内，顶点最值为实际最值；② 若对称轴不在区间内，函数单调变化，最值取区间端点处函数值。 步骤6：检验作答：验证结果符合实际情境，舍去无效解，完整对应题干问题规范答题。 1. 设变量：设题目中动态变化的量为（涨价/降价金额、矩形边长等），清晰标注变量实际含义，单位统一。 2. 找关系：梳理题干中的数量逻辑，结合利润、面积公式，搭建变量之间的等量关系。 3. 列解析式：根据等量关系列出函数式，化简为标准二次函数形式。 4. 定范围：结合实际情境列不等式，确定自变量的取值范围（边长为正、销量非负、价格受限等）。 5. 求最值：判断对称轴是否在取值范围内。在范围内，取顶点最值；不在范围内，根据函数单调性，取区间端点最值。 6. 规范作答：检验结果合理性，舍去不合理解，完整书写答题结论。 【要点二】核心模型一：销售利润最值模型（中考必考） 1. 三大核心公式（必背） 单件利润 = 销售单价 − 进货成本总销 售量 = 原销售量 ± 变化销量 总利润 = 单件利润 × 总销售量 2. 两类经典题型通用公式（直接套用） 题型①：涨价销售模型 条件：原售价，进价，原销量，每涨价1元，少卖件。设涨价元。 单件利润：；销售量：；总利润：。 题型②：降价销售模型 条件：原售价，进价，原销量，每降价1元，多卖件。设降价元。 单件利润：；销售量：；总利润：。 3. 模型核心结论 所有常规销售利润函数，化简后，抛物线开口向下，只有最大利润，无最小利润。 4. 变量取值隐形限制 涨价/降价金额；销售量≥0；单件利润≥0；售价需符合题干限价要求。 【要点三】核心模型二：矩形面积最值模型（几何最值核心） 本模型分为无靠墙、靠墙（墙长充足/墙长受限）三类，核心是利用周长固定，将双变量转化为单变量二次函数，求解面积最大值。 1. 模型①：无靠墙矩形（四边全部围栏） 固定规律：周长为定值的矩形，长+宽=定值。设一边长为，另一边长=周长÷2−，面积。 核心结论：周长固定，正方形面积最大。 2. 模型②：墙长充足靠墙矩形（高频基础） 墙体无需围栏，围栏仅围三条边（两垂直墙、一平行墙）。设垂直于墙的边长为，围栏总长，则平行于墙的边长为。 面积解析式：，开口向下，顶点处取最大面积。 3. 模型③：墙长受限靠墙矩形（重难点） 当墙体最大长度＜顶点对应平行墙边长时，对称轴超出自变量取值区间，顶点理论最值无效，需根据函数单调性，在区间端点求取实际最大面积。 4. 边长硬性限制条件 所有边长必须＞0；平行墙边长≤墙体最大长度，据此列不等式求解合法范围。 【要点四】自变量取值范围判定+高频易错点精讲 二次函数实际问题最大扣分点：忽略自变量取值限制，直接套用顶点理论最值。所有实际最值，范围优先于公式。 1. 两类题型取值范围判定规则 销售类取值限制：① 涨跌价金额非负；② 销售量不能为负；③ 单件利润不能亏本；④ 售价满足题干限价要求。 面积类取值限制：① 所有矩形边长＞0；② 靠墙题型：平行墙边长≤墙体最大长度。 2. 最值取舍核心规则 规则一：对称轴在取值区间内，顶点最值有效，为实际最值； 规则二：对称轴在取值区间左侧，函数在区间内单调递减，最值取左端点； 规则三：对称轴在取值区间右侧，函数在区间内单调递增，最值取右端点。 3. 高频易错点汇总 ① 只列函数不解范围，直接算顶点最值，忽略实际限制； ② 靠墙模型误算四边围栏，错误列式； ③ 降价题型中，错误认为销量减少、利润降低； ④ 墙长受限题型，未压缩自变量区间，误用理论最值； ⑤ 求解后未检验，保留不符合实际的解。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】基础销售利润最值问题 核心考点：基础利润列式、顶点在取值区间内，直接求最大利润 【例题1】（2025·广东河源·模拟预测）某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为． （1）当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润； （2）如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润． 【答案】（1）当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元；（2）如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元． 【分析】本题主要考查了求一次函数的自变量的值，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据求出的值，进而根据销量乘以每件服装的利润，即可求解； （2）设销售利润为，根据题意，列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求得最值，即可． （1）解：当时，， 解得：， 元， 答：当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元； （2）设销售利润为，根据题意得出 ∵, ∴当时，利润最大，最大为： 答：如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元． 【变式1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）某超市销售某款商品每天的销售利润（元）与单价（元）之间的函数关系式为，则销售这款商品每天的最大利润为（    ） A．125元 B．150元 C．175元 D．200元 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，由函数解析式，利用配方法转化，根据函数的性质求最值． 解：∵，且，开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值， ∴销售这款商品每天的最大利润为150元， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知某快餐店卖出盒饭的数量x（单位：盒）与所获利润y（单位：元）满足函数解析式，则当卖出盒饭的数量为______时，获得的利润最大，最大利润为______元． 【答案】 600 2400 【分析】将函数解析式化成顶点式，即可得到利润最大时卖出的盒饭数量和最大利润。 解：函数解析式的二次项系数为 开口向下，有最大值； 当卖出盒饭的数量为600时，获得的利润最大，最大利润为2400元． 故答案为. 【点拨】本题考查的知识点为二次函数的图像与性质以及二次函数的顶点解析式，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键。 【变式3】（24-25九年级上·广东广州·期中）某商店销售一种商品，平均每天可以销售20件，每件盈利12元．为了扩大销售量，增加盈利，该商店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件商品降价1元，平均每天可以多卖5件． （1）若每件商品降价5元，每件商品盈利_____元，则平均每天可卖_____件商品，所得利润是_____元； （2）该商店想要一天的盈利最大，应降价多少元？所得的最大利润是多少？ 【答案】（1）7；45；315；（2）当降价4元时，盈利最大，所得的最大利润是320元 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意，列出函数关系式． （1）根据每件盈利12元，可得每件商品降价5元，列式可得每件商品的盈利，根据每件商品降价1元，平均每天可以多卖5件，可得平均每天可卖商品件数，根据售量每件盈利利润，可得所得利润； （2）设每件商品降价x元时，利润为w元，根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可． （1）解：根据题意，每件商品盈利元 平均每天可卖件商品 所得利润是元． 故答案为：7；45；315； （2）解：设每件商品降价x元时，利润为w元， 则， ∴当时，w最大． 答：该商店想要一天的盈利最大，应降价4元，所得的最大利润是320元． 思路总结：利润问题固定模板：单件利润×销售量，化简函数；开口向下必有最大值，优先判断对称轴是否在取值区间内，在区间内直接取顶点最值。 【题型 2】无靠墙矩形面积最值问题 核心考点：周长固定，求矩形最大面积 【例题2】（24-25九年级上·广西崇左·期末）现在有一段长的铁丝，要把它围成一个长方形． （1）若围成的长方形宽为，则长方形的长为 ， 面积为 ； （2）若围成的长方形面积为，则长方形的长为 ； （3）怎样围才能使得长方形的面积最大? 并求出最大面积． 【答案】（1）16，128；（2）20；（3）围成一个长方形的长为，面积最大值为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、矩形的面积公式、二次函数的性质等知识点，掌握运用求二次函数性质求最值的方法是关键． （1）直接根据长方形的周长公式和面积公式即可解答； （2）直接根据题意列一元二次方程求解即可； （3）设长方形的面积是S，然后求出解析式，最后根据二次函数的性质即可解答． （1）解：由长方形周长公式可得：长方形的长为：； 长方形的面积为：． 故答案为：16，128． （2）解：设长方形的一边长是，则相邻的另一边长是， 根据题意得：，解得：或20，则或4， 故围成的长方形的长是． 故答案为：． （3）解：设长方形的面积是S，则， ∵， ∴当时，长方形的面积S有最大值，最大面积为． 【变式1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图1，一张边长为、（为正整数）的长方形纸片的面积等于，将它通过割、拼，再补一个正方形，拼成一个新的正方形（如图2），可以取得的最小整数是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用长方形的面积公式，可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 解：根据题意得：， ， ． ，且， 当时，随的增大而增大， 当时，可以取得最小整数，此时． 故选：B． 【点拨】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，根据各数量之间的关系，找出k关于a的函数关系式是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）用一根长的绳子围成一个矩形，该矩形的面积最大是__________． 【答案】/4平方米 【分析】本题考查了二次函数的性质，先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可．求最值得问题常用的思路是转化为函数问题，利用函数的性质求解． 解：设矩形的一边长为，所以另一边长为， 其面积为， ∴当时，的最大值为4， ∴该矩形的面积最大是． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，把一边长为的正方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的盒子． （1）要使折成的盒子底面积为，那么剪掉的正方形边长为多少？ （2）折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由． 【答案】（1）；（2）最大值为，剪掉的正方形边长为 【分析】（1）设剪掉的正方形边长为，根据题意列方程求解即可得到答案； （2）设剪掉的正方形边长为，根据题意列出函数解析式，即可求出侧面积最大值和剪掉的正方形边长． （1）解：设剪掉的正方形边长为，根据题意，得 ． 解得：，（舍） 答：剪掉的正方形边长为； （2）解：设剪掉的正方形边长为， 则长方形盒子的侧面积为： ． 当时，有最大值． 即长方形盒子的侧面积最大值为，剪掉的正方形边长为． 【点拨】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的实际运用，，利用已知关系正确列出方程与函数式是解题关键． 思路总结：周长固定，长宽和为定值，设单边为变量，列二次函数；开口向下，顶点处取最大值，周长固定矩形中正方形面积最大。 【题型 3】靠墙围栏矩形面积最值问题 核心考点：三边围栏模型，区分平行墙、垂直墙边长列式 【例题3】（24-25九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． （1）求与之间的函数解析式； （2）当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 【答案】（1）；（2）当时，面积取最大值为 【分析】（1）先用含的式子将与墙面垂直的边长表示出来，由矩形面积公式直接列出函数解析式即可； （2）利用二次函数性质即可得到答案． （1）解：根据已知条件，与墙平行的边长为， 则垂直于墙的边长为：， ∴． （2）解：∵， ∴当时，面积取最大值为． 【变式1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）建筑队在工地一边靠墙（不限长）处，用85米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，则的最大值为（　　） A．418 B．484 C．516 D．648 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，正确列出解析式是解题的关键．设仓库的宽为米，根据题意可求得仓库的长为米，再由矩形的面积公式列出函数解析式，最后根据函数性质求最值即可． 解：设仓库的宽为米 则仓库的长为：米 根据题意可得： 当时，有最大值，最大值为484． 故选：B． 【变式2】（2025·浙江杭州·模拟预测）我们在求代数式的最小值时，可以考虑用如下方法求得： 解： ∵，∴，∴的最小值是4． 请用上面的方法解决下列问题，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，则当_____时，花园的面积最大是_____． 【答案】 5 【分析】根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值． 解：设，则，面积为， 由图可得：， ∵， ∴， 又∵且， ∴， ∴当时，y取得最大值，此时． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉，高新区某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地．让学生参与农耕劳作．如图；现计划利用校园围墙的一段（长）及长的篱笆围成一个长方形菜园，设的长为． （1）BC的长度为______m，长方形菜园的面积S（单位：）与AB的长x（单位m）之间的关系式为_______（用含x的式子表示） （2）通过探究，小明发现长方形菜园的面积S（单位：）与AB的长x（单位：m）之间的关系式也可以写成的形式．请求出a，n的值及菜园面积S的最大值． 【答案】（1），；（2），， S的最大值为 【分析】（1）首先根据设的长为，可得，再根据矩形面积=长×宽，即可得函数关系式； （2）把（1）中的函数解析式化为顶点式，根据解析式及二次函数的最值问题即可求得． （1）解：设的长为，则， 故， 故答案为：，； （2）解：， ，， ， 该抛物线的开口向下，当时，S有最大值，最大值为． 【点拨】本题考查了二次函数的应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质． 思路总结：靠墙模型只算三边围栏，精准区分平行、垂直墙体的边长表达式；先根据边长为正确定取值范围，再判断顶点是否可用，求解最值。 四.经典题型精析（基础夯实） 【题型 4】带价格限制的利润综合最值 核心考点：题干价格限制自变量范围，取舍理论最值 【例题4】（2025·辽宁营口·模拟预测）近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数（辆）与每辆车每天的租金（元）满足关系式（，且为的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共元，设租车公司每天的利润为元． （1）求与的函数关系式．（利润租金支出） （2）公司在“十一黄金周”的前天每天都获得了最大利润，但是后天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过元．请确定这天公司获得的总利润最多为多少元？ 【答案】（1）（，且为的整数倍）；（2）这天公司获得的总利润最多为元 【分析】（1）根据利润等于每辆车的利润乘以租出的车辆数，列式计算即可； （2）根据二次函数的性质分别求出前天和后天的利润最大值，然后相加即可得出获得的总利润最大值． （1）解：根据题意得 （，且为的整数倍）； （2）解：， ， 前天：当时，取得最大值，最大值为， 当时，随着的增大而增大，后天每辆车每天的租金不超过元， 后天：当时，的最大值为， （元）． 答：这天公司获得的总利润最多为元． 【变式1】（2025·四川绵阳·三模）2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大．（    ） 消毒液 每瓶售价（元） 每瓶成本（元） 每日其他费用（元） 每日最大产销量（瓶） 30 18 1200＋0.02x2 250 A．250 B．300 C．200 D．550 【答案】D 【分析】根据单日利润=单日的销售量×每瓶的利润－每日其他费用即可列出函数关系式，然后利用函数的最值问题即可求解 ． 解：根据题意，得 ∴， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向下，有最大值， 又∵， ∴当时，， 故选：D 【点拨】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）超市销售的某商品进价10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式，则利润w和售价x之间的函数关系为___________，该商品售价定为___________元/件时，每天销售该商品获利最大． 【答案】 ； 20． 【分析】根据利润=每件商品利润×销售量，可得利润w和售价之间的函数关系式；利用配方法，求所得二次函数的最大值即可得出结论． 解：某商品进价10元/件，售价x（元/件）， 每件商品的利润为：元； 销售量y（件）为：， 利润w和售价x之间的函数关系为：， ； ， ， 有最大值， 当时，取最大值，最大值为500； 故答案为：；20． 【点拨】此题考查二次函数的应用，正确读懂题意、列出函数关系式，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【变式3】（2025·江苏扬州·三模）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）． （1）猪肉粽每盒的进价为__________元； （2）若每盒利润率不超过，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350元？ （3）若满足，求商家每天的最大利润． 【答案】（1）40；（2）55元；（3）1750元 【分析】（1）设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可； （2）根据利润率得到x的取值范围，再根据每盒利润销乘以销售量列出方程，解方程即可； （3）列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值． （1）解：设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元， ，解得， 检验：当时，分式方程分母， ，所以是方程的解， 答猪肉粽每盒的进价为40元． （2）解：每盒利润率不超过，即， 解得， 由题意，得 ， 解得：（舍去），， 答：猪肉粽价格为55元时，商家每天获利1350元． （3）解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润， 则：， 配方得：， ∴当时， 随着的增大而增大， ∴当时， （元）， 答：商家每天的最大利润是1750元． 【题型 5】墙长受限的面积最值问题 核心考点：墙体长度有限，压缩自变量区间，端点求最值 【例题5】（26-27九年级·上海·暑假作业）阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： （1）当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； （2）当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； （3）矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）、小、；（2）、大、5；（3）花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据阅读材料即可求解； （2）根据阅读材料即可求解； （3）根据矩形面积公式列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 解：（1）当时，代数式有最小值； （2）代数式 当时，代数式有最大值5． （3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为，花园的面积为．根据题意，得 ，当时，有最大值32， 答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 【变式1】（2025·天津红桥·二模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解． 解：①∵四边形是矩形，分别为边的中点， ∴，， ∵篱笆的长度是， ∴， ∴， ∵的长不超过， ∴， ∴， ∴的长可以是，故①正确； ②设，则， ∴， 当时，解得，， ∵， ∴， ∴的长为，故②错误； ③∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，故③正确； 综上，正确结论有个， 故选：． 【变式2】（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是__________平方米．    【答案】450 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，从而可得，故，又菜园的面积，进而结合二次函数的性质即可解答． 解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为40米， ∴． ∴． 菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 【变式3】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）用长40米的篱笆围成一边靠墙（墙足够长）的矩形花圃，设垂直于墙的边长为x米，矩形面积为S平方米． （1）求S与x的函数关系式及自变量取值范围； （2）求S的最大值及对应x的值． 【答案】（1）；（2）当时，的最大值为 【分析】（1）设垂直于墙的边长为x米，则米，则可得S与x的函数关系式，再利用线段的非负性，可得自变量取值范围； （2）利用二次函数的性质即可解答． （1）解：垂直于墙的边长为x米，则米， ， ， ， ； （2）解：， 所以当时，的最大值为． 【题型 6】多条件限制的实际最值综合问题 核心考点：多重条件限制自变量，综合取舍合理解 【例题6】（2025·河北衡水·模拟预测）中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； （2）在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； （3）在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 【答案】（1）；（2）足球第二次落地点到点的距离为米；（3） 【分析】（1）当时，依题意得，设抛物线解析式为，代入，即可求解； （2），得出足球第一次落地点距点的距离为米，过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点，则，令，进而求得，进而求得的长； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为，代入，得出，根据题意可得点，点，分别代入解析式，求得的范围，即可求解． （1）解：当时，依题意得， 设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）令，则， 解得（舍去）， ∴足球第一次落地点距点的距离为米， 如图， ∵弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半， ∴过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点， ， ∴令，则， 解得， 则， ， ∴足球第二次落地点到点的距离为米； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为， ∵抛物线过， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 又∵抛物线开口向下， ，即， ． 若球落在区域内（含点）， ，， 点，点， 当时，，解得， 当时，，解得， ． 【变式1】（2026·浙江杭州·二模）如图，，是边上的一动点，并以的速度沿的方向运动，为内的一点，连接，设点运动时间为，，图是关于的函数的部分图象，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C．图象过点 D．图象过点 【答案】D 【分析】分别求出两段抛物线的解析式，再逐一判断即可求解． 解：如图，分别为点运动时所处的位置，由图可知点在上，点在上，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由图可知，当点运动在图对应的点为，点为第一段抛物线的顶点， ∴， 设第一段抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴第一段抛物线的解析式为， 当时，， ∴，故选项错误； ∵，， ∴， ∴， 由图可知，当点运动在图对应的点为，点为第二段抛物线的顶点， ∴， 同理可得第二段抛物线的解析式为， 由，解得， ∴， ∴，故选项错误； 把代入，得， ∴图象过点，故选项错误； 把代入，得， ∴图象过点，故选项正确． 【变式2】（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）已知，在抛物线上从左往右有两个点A，B；当点在与之间运动时，过点A，B分别作轴，轴的平行线，平行线相交于点M，N形成矩形，矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点，求点横坐标的范围_____． 【答案】 【分析】矩形中的整数点个数问题可以分解为横、纵坐标中的整数个数问题，通过设参数，分类讨论求整数的个数，判断是否满足题意即可． 解：设，， 由矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点可知，矩形的横向边界的点的横坐标为整数的个数，与纵向边界的点的纵坐标为整数的个数，满足相乘等于12， ， 设横向边界的整数个数为n， 分两种情况， 第一种，点A的横坐标为整数， ①若，则，， 显然，当时，，此时矩形内的整数点个数一定小于12， ， ，即矩形的纵向边界的长度大于横向边界的长度， ， 检验：若横向边界的整数为3，则，此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，满足题意； ②若，则，， 显然，当时，，此时矩形内的整数点个数一定小于12， ， ，即矩形的纵向边界的长度大于横向边界的长度， ， 检验：若横向边界的整数为3，则，此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，满足题意； ③若，则，， 显然，当时，，此时矩形内的整数点个数一定大于12， ， 或， 检验：若横向边界的整数为1，则，此时，不存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为12； 若横向边界的整数为2，则，此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为6，满足题意； 第二种，点A的横坐标不为整数， ①若，则， 由第一种情况可知，，此时，， 则，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，满足题意； ②若，则， 由第一种情况可知，， 或， 检验：若横向边界的整数为1，则，此时，不存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为12； 若横向边界的整数为2，则，此时，此时存在纵向边界上的点的纵坐标为整数的个数为6． 【变式3】（24-25九年级下·重庆开州·开学考试）在全国战“疫”期间，网络销售及快递小哥为我们提供了极大的生活便利．某网店专售一款电动牙刷，其成本为元/支，销售中发现该商品每天的销售量（支）与销售单价（元支）之间存在如图所示的关系． （1）请求出与的函数关系式； （2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）山川异域，风月同天，同舟共济，共克时艰．该网店店主决定从每天获得的利润中抽出元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？ 【答案】（1）；（2）该款电动牙刷销售单价定为元时，每天销售利润最大，最大销售利润为810元；（3）当该款电动牙刷的销售单价每支不低于元，且不高于元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于 元 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设每天的销售利润为W元，根据每天的利润每支电动牙刷的利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意可得，解之即可得到答案． 解：（1）解：设， 由题意得， ∴， ∴； （2）解：设每天的销售利润为W元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为810， 答：该款电动牙刷销售单价定为元时，每天销售利润最大，最大销售利润为810元； （3）解：由（2）和题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解不等式组得， 解不等式组，可知该不等式组无解， 综上所述，， 答：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于元，且不高于元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于 元． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·全国·周测）某种商品的单价为15元时，每天能卖出500个，单价每上涨1元，销量将减少20个．要使每天的销售金额最大，则单价应定为（   ） A．15元 B．18元 C．20元 D．22元 【答案】C 【分析】设单价定为元，根据题意建立销售金额的二次函数，利用顶点公式求出最大值对应的单价。 解：设单价定为元，则销量为个。 销售金额 ，化简得： 该二次函数开口向下，最大值出现在顶点处。顶点横坐标为 。 ∴当单价定为元时，销售金额最大，对应选项C。 故答案选C 【点拨】考察二次函数实际应用的销售问题 2．（26-27九年级上·全国·随堂练习）某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得最大利润是（　　） A．1 558元 B．1 550元 C．1 508元 D．20元 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的图象与性质可得当时，y取最大值，即一周可获得最大利润，即可求解． 解：∵， ∴抛物线的开口向下， ∵对称轴为， ∴当时，二次函数图象中，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取最大值，即一周可获得最大利润，最大利润是1558， 故选：A． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段检测）某商店经营衬衫，已知所获利润（元）与销售的单价（元）之间满足表达式，则所获利润最多为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】二次函数的图象开口向下，对称轴为，所以，当时，可以取得最大值． 解：二次函数的图象开口向下，对称轴为， 所以，当时，可以取得最大值， 即 ． 所以，所获利润最多为元． 故选：B． 【点拨】本题主要考查实际问题与二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键． 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）某种商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为．则这种商品每天的最大利润为（　　） A．0.1元 B．3元 C．25元 D．75元 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像与性质，确定其函数图像的顶点坐标，即可判断这种商品每天的最大利润． 解：对于该商品每天的销售利润y与单价x之间的函数关系式， 可知其函数图像开口向下，其顶点坐标为， 即当单价元时，该商品每天的最大利润为元． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 5．（23-24九年级上·河南商丘·期中）如图，一边靠墙（墙足够长），其他三边用长的篱笆围成一个矩形花园，这个花园的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，关键在于找出等量关系列出函数解析式．设矩形的宽为，根据矩形的面积公式即可求出函数关系式，再利用配方法求出函数最值． 解：设矩形的宽为，面积为，根据题意得： ， ∴时，菜园面积最大，最大面积是． 故选：C． 6．（24-25九年级下·浙江金华·阶段检测）如图，有长为的篱笆，现一面完全利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，围成的花圃的面积最大时的长是（    ）米．    A．4 B．5 C．3 D． 【答案】D 【分析】设，根据矩形的面积公式得到矩形的面积与x的函数关系，再根据自变量的取值范围即可求解． 解：设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∵二次函数对称轴为，开口向下， ∴当时，随x的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值， 故选：D． 【点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是抓住题干条件写出二次函数解析式并结合自变量的取值范围求出最值． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）某产品的成本是每件元，试销阶段每件产品的售价x（单位：元）与日销售量y（单位：件）之间的关系式为．为获得最大的日销售利润，每件产品的售价应定为（    ） A．120元 B．130元 C．150元 D．160元 【答案】D 【分析】本题考查的知识点为利用二次函数解决利润问题，解题的关键是写出正确的二次函数解析式． 根据题意，日销售利润为每件利润乘以销售量。建立二次函数模型，利用顶点式求最大值对应的售价． 解：设日销售利润元。 每件利润为元，销售量为件，则： 二次项系数为 此抛物线开口向下，最大值在顶点处 顶点横坐标为： 当售价定为160元时，日销售利润最大， 故选D． 8．（24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为（    ） A．45.51万元 B．45.56万元 C．45.6万元 D．45.606万元 【答案】C 【分析】设甲地销售品牌车x量，根据条件建立函数关系，利用二次函数的性质，求解即可． 解：设甲种品牌车x量，则乙地销售品牌车15-x量， 由题意可得： 总利润， 根据二次函数的性质和x为非负整数可得， 当时，获得利润最大， （万元） 故选：C． 【点拨】此题考查了二次函数的应用，利用配方法求函数最值，解题的关键是根据题意，正确求得函数关系式． 9．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若设的长度为x米，矩形菜园面积为S平方米．下列说法错误的是（    ） A．S与x的关系式为 B．当时， C．当时， D．不论a为何值，S的最大值均为1250 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程、二次函数的性质等知识，根据“矩形的面积=长×宽”即可得出S与x的关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 解：设，则，故选项A正确，不符合题意； （2）设，则， 根据题意得， 解得， 当时，符合题意； 当时，不符合题意；， 故B正确，不符合题意； ∵， ∴S有最大值，即当时，S的最大值为1250，故C正确，不符合题意； 当时，则，S随x的增大而增大， 当时，S的最大值为； 当时，S的最大值为1250． 综上所述，当a在0和50之间的时候，矩形菜园面积的最大值为1250平方米，故选项D符合题意； 故选：D． 10．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量（千克）与售价（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表，下列说法错误的是（    ） 售价（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量（千克） 250 240 230 220 … A．与之间的函数关系式为 B．当售价为72元时，月销售利润为7296元 C．当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元 D．销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元 【答案】C 【分析】根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项A；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项B；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项C；再根据二次函数的性质，即可判断选项D，综合即可得出答案． 解：∵月销售量（千克）与售价（元/千克）之间满足一次函数关系， ∴设与之间的函数关系式为， 将、代入， 可得：， 解得：， ∴与之间的函数关系式为，故选项A正确； 当时，， ∴月销售利润为：（元），故选项B正确； 设月销售利润为， ∴， ∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元， ∴（千克），即月销售量不超过千克， ∴当时，即， 解得：， ∴（元），故选项C错误； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故选项D正确． 故选：C 【点拨】本题考查了一次函数的应用、求一次函数解析式、二次函数的应用、二次函数的性质，解本题的关键在理解题意，正确得出函数解析式． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·全国·周测）某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩的收益是480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加1亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．该大户今年计划承租土地的最大收益是_________元． 【答案】96800 【分析】设承租m亩土地，利用总收益=亩数×单亩收益的等量关系列出关系式，然后利用二次函数的顶点式求出最大值 解：设该大户今年计划承租m亩土地，收益是W元， 则， 该大户今年计划承租土地的最大收益是96800元． 【点拨】本题考查了二次函数实际应用的最值问题，列出正确的等量关系式是关键 12．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）某商品的销售利润与销售单价存在二次函数关系，且二次项系数，当商品单价为160元和200元时，能获得同样多的利润，要使商品的销售利润最大，销售单价应定为______元． 【答案】180 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据商品单价为160元和200元时，能获得同样多的利润，得出二次函数的对称轴为直线，即可得出当销售单价应定为180元时，商品的销售利润最大． 解：∵当商品单价为160元和200元时，能获得同样多的利润， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数顶点坐标的横坐标为180， ∴当销售单价应定为180元时，商品的销售利润最大． 故答案为：180． 13．（2025九年级·全国·专题练习）已知商店某种毛绒玩具的进价为每件30元，在某段时间内若以每件元（50，且为整数）的价格出售，可卖出件．若要使该店铺销售该玩具的利润最大，则每件的售价应为______元． 【答案】40 【分析】本题考查了销售问题的数量关系：总利润=每件利润×数量，二次函数的顶点式，求出函数的解析式是解题的关键． 设总利润为，由总利润=每件利润×数量就可以表示出与售价之间的关系式，再由二次函数的性质就可以得出结论． 解：设总利润为， 由题意，得， ∴， ∵， ∴当时，， 答：每件的售价应为元． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是一个用长的铝合金条制成的矩形窗框．若要使窗户的透光面积最大，则AD的长为_______m． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，设，则，则根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可． 解：设透光面积为，，则， 窗户的透光面积． ， 当时，y取得最大值， 当的长为时，窗户的透光面积最大． 故答案为：． 15．（山西省大同市新荣区两校联考2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题）用的栅栏材料按如图所示的方式修建间鸡舍，则鸡舍的总面积最大是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设鸡舍的总面积为，宽为，则长为，则，通过二次函数的性质即可求解，根据题意找出二次函数关系式是解题的关键． 解：设鸡舍的总面积为，宽为，则长为， 根据题意，得， ∵， ∴当时，最大，为， 故答案为：． 16．（2023·江苏南通·一模）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，若墙的最大可利用长度为，则这块矩形场地的最大面积为 _______． 【答案】32 【分析】设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，得出自变量取值范围；由矩形面积公式，面积为，结合二次函数的性质得最大值为，注意实际问题中，考虑自变量取值范围． 解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为， 则， 矩形围栏的面积为， ∵， ∴当时，矩形有最大面积为， 此时与墙垂直的一边长为，与墙平行的一边长为，符合题意， 故答案为：32． 【点拨】本题考查抛物线的图象性质，二次函数极值的应用，能够根据题意列出解析式是解题的关键，注意实际情况中，自变量的取值范围． 17．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用米的长篱笆围成，则矩形面积的最大值是______平方米． 【答案】 【分析】根据题意可以列出相应的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题． 解：设与墙垂直的矩形的边长为xm， 则这个花园的面积是：S=x（16-2x）=-2x2+16x=-2（x-4）2+32， ∴当x=4时，S取得最大值，此时S=32， 即，与墙垂直的矩形的边长为4m时，矩形ABCD面积的最大值是32平方米． 故答案为：32． 【点拨】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答． 18．（24-25九年级上·全国·单元测试）某超市销售一款洗手液，其成本价为每瓶元，当销售单价定为元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款的销售单价为x（元），每天的销售量为（瓶）． （1）每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 _____； （2）销售这款“洗手液”每天的最大利润为 _____． 【答案】 360元 【分析】（1）根据销售单价每降低元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），列出函数关系式即可； （2）根据题意列出函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． （1）解：由题意，得：； 故答案为：； （2）设每天的销售利润为w元，则有： ， ∵， ∴二次函数图象开口向下， ∵， 解得， ∴， ∴当时，w有最大值，最大值为360元． 故答案为：360元． 【点拨】本题考查一次函数及二次函数的应用．找准等量关系，正确的列出相应的函数关系式是解题的关键． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·山东济宁·期中）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） （1）设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，围成的菜地面积最大？ 【答案】（1）；（2）当为米，围成的菜地面积最大． 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米，进行列式化简，即可作答． （2）结合长方形的面积等于长乘宽，则，再根据二次函数的图象性质进行分析，即可作答． （1）解：∵长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米， ∴（米） （2）解：设围成的菜地面积为， 依题意， ， ∵， ∴在时， 此时（米），取得最大值，且为平方米， ∴当为米，围成的菜地面积最大． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形养鸡场，设养鸡场的宽为，长为，面积为． （1）求y与x的函数关系，并写出x的取值范围； （2）当长方形的长、宽各为多少时，养鸡场的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）长方形的长为，宽为，最大面积为 【分析】（1）设养鸡场的宽为，则，根据长方形面积公式即可求解； （2）将二次函数一般式化为顶点式，结合x的取值范围，即可求出最值． （1）解：由题意得， ，， ∴， ∴； （2）解：， ∵-3<0，抛物线的对称轴为直线，位于之间， 当时，即时，面积y有最大值为27， 长方形的长为，宽为，最大面积为． 【点拨】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，正确得出y与x的函数关系式． 21．（本小题满分10分）（2025九年级上·全国·专题练习）某化工材料经售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价每千克70元时日均销售；单价每千克降低1元，日均多售．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元．当销售单价定为多少时，每天可获得最大利润？最大利润为多少？ 【答案】当销售单价定为65元时，每天可获得最大利润，最大利润为1950元． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意并掌握配方法的应用是解题的关键．本题设销售单价为x元，每天可获得利润为y元列出，并配方得到，即可得出当时，． 解：设销售单价为x元，每天可获得利润为y元． 由题意，得 ． ， 当时，． 答：当销售单价定为65元时，每天可获得最大利润，最大利润为1950元． 22．（本小题满分10分）（2026·内蒙古通辽·二模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； （3）当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）；；（2）当时，满足条件的花园面积能达到平方米；（3）当时，最大，最大面积是平方米 【分析】（1）根据矩形周长、面积公式列二次函数，结合墙长限制求自变量范围； （2）把代入解方程并检验取值； （3）配方法求二次函数在定义域内的最值． （1）解：米，三边栅栏总长为米， 米． ，即． 墙长米， ， 解得． （2）解：令，则， 整理，得， 解得或． ， ， 当时，满足条件的花园面积能达到平方米． （3）解：将化为顶点式为， ， 当时，最大，最大面积是平方米． 23．（本小题满分10分）（2026·江苏徐州·模拟预测）每年6月的第三个星期日是父亲节，商家推出“健康守护”特惠活动，一批便携式血压血糖测试仪计划在该月销售．根据市场调查，每台盈利200元时，每天可售出20台；若每降价1元，每天可多售出4台．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每台盈利不得低于120元．设每台降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； （2）每台降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）函数表达式为，x的取值范围是；（2）当每台降价80元时，每天的销售利润最大，那么最大利润为40800元 【分析】（1）根据每天的销售利润每台的利润销售量列式求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． （1）解：根据题意，可得：， ∵每台的利润不低于120元， ∴， 解得； ∴x的取值范围是； （2）解：在中， ∵，∴函数开口向下， ∵对称轴为，且， ∴时，y随x的增大而增大， ∴当时，． 答：当每台降价80元时，每天的销售利润最大，那么最大利润为40800元． 24．（本小题满分12分）（2024·辽宁营口·模拟预测）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… （1）直接写出y与t之间的函数解析式； （2）设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ （3）在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 【答案】（1）（，为整数）；（2）；第50天的日利润最大，最大日利润为4900元；（3）51天． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）依据题意销售利润=销售量×（售价-进价）易得出销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式， （3）根据销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式，求出利润超过4000元的天数即可． 解：（1）解：∵销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系， ∴设y与的一次函数关系式为：， 将，代入得， ， 解得，， ∴； （2）解：根据题意得，， 当时， ， 当时， ， ∴， 当时， ， ∵， ∴当时，W随t的增大而增大，当时，W随t的增大而减小， 时，． 当时， ， ∵， ∴W随t的增大而减小， 时，． ∵， ∴第50天日利润最大，且最大日利润为4900元； （3）解：当时，， 令， ∴， ∴，， ∴符合题意； 当时，， 令， ∴， ∴时，符合题意， ∴当时，日利润不低于4000元， ∴共有：（天）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第13讲）——二次函数基础实际应用（最值模型）（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 预习目标 1 预习重难点 2 课本原文预习填空 2 二.教材知识梳理解读 2 【要点一】二次函数实际问题通用解题六步流程（标准答题模板） 3 【要点二】核心模型一：销售利润最值模型（中考必考） 3 【要点三】核心模型二：矩形面积最值模型（几何最值核心） 4 【要点四】自变量取值范围判定+高频易错点精讲 4 三.经典题型精析（基础夯实） 5 【题型 1】基础销售利润最值问题 5 【题型 2】无靠墙矩形面积最值问题 6 【题型 3】靠墙围栏矩形面积最值问题 7 四.经典题型精析（基础夯实） 8 【题型 4】带价格限制的利润综合最值 8 【题型 5】墙长受限的面积最值问题 9 【题型 6】多条件限制的实际最值综合问题 11 五.同步自测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 13 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 16 一.预习目标与填空 预习目标 1. 掌握二次函数解决实际最值问题的完整解题流程，能够根据题干情境设出自变量，准确梳理数量关系，列出二次函数解析式。 2. 熟练掌握中考两大核心基础模型：销售利润最值模型、矩形面积最值模型，吃透两类题型的固定列式规律与解题思路。 3. 理解实际问题中自变量的取值限制，明确理论顶点最值与实际最值的区别，掌握区间端点最值的求解方法。 4. 培养数形结合、建模解题的思维，能够检验结果合理性，舍去不符合实际情境的解，规范完成应用题作答。 预习重难点 重点：根据实际情境列二次函数解析式；利用顶点公式求解理论最值；熟练掌握利润、面积两类基础模型的解题套路。 难点：准确分析涨价、降价情境下利润与销量的变化关系；精准求解自变量实际取值范围；顶点超出取值区间时，利用端点求解实际最值。 课本原文预习填空 结合课本自主填空，夯实概念，扫清预习盲区 1. 利用二次函数解决实际问题，首先需要__________，明确变量的实际意义。 2. 销售问题核心公式：总利润 = __________ × 销售量。 3. 商品涨价，销售量会__________；商品降价，销售量会__________。 4. 靠墙围栏矩形问题，墙体替代一条边，围栏材料仅围__________条边。 5. 二次函数顶点最值是__________最值，只有当顶点横坐标在__________内时，顶点最值才是实际最值。 6. 若对称轴不在自变量取值区间内，函数最值只能在区间__________取得。 7. 实际应用题求解结果必须__________，舍弃不符合生活实际与题干限制的解。 预习填空参考答案 1. 设自变量 2. 单件利润 3. 减少；增加 4. 三 5. 理论；自变量取值范围 6. 端点 7. 检验 二.教材知识梳理解读 本讲核心为二次函数实际最值建模应用，区别于纯函数计算，重点考查“实际情境→数学建模→范围限定→最值取舍”的完整思维，是九年级期中、期末及中考高频应用题考点。本节梳理两大必考模型、通用解题流程、取值范围判定规则及高频易错点，一站式掌握核心考点。 【要点一】二次函数实际问题通用解题六步流程（标准答题模板） 所有二次函数最值实际问题，统一遵循以下流程作答，规范步骤、规避扣分，适配利润、面积两类所有题型： 步骤1：设准变量（关键）：设合理自变量（涨价/降价金额、矩形边长等），必须标注实际含义+单位，优先设变化量，不设最终所求量。 步骤2：梳理数量关系：结合题干条件，拆分核心等量（单件利润、销量、边长等），杜绝列式逻辑混乱。 步骤3：列写函数解析式：根据核心公式列等式，展开化简为标准二次函数形式。 步骤4：锁定自变量取值范围（必考步骤）：结合生活实际、题干限制列不等式组，求解的合法区间，这是实际最值与理论最值的核心区别。 步骤5：分类求取实际最值：① 若对称轴在自变量取值区间内，顶点最值为实际最值；② 若对称轴不在区间内，函数单调变化，最值取区间端点处函数值。 步骤6：检验作答：验证结果符合实际情境，舍去无效解，完整对应题干问题规范答题。 1. 设变量：设题目中动态变化的量为（涨价/降价金额、矩形边长等），清晰标注变量实际含义，单位统一。 2. 找关系：梳理题干中的数量逻辑，结合利润、面积公式，搭建变量之间的等量关系。 3. 列解析式：根据等量关系列出函数式，化简为标准二次函数形式。 4. 定范围：结合实际情境列不等式，确定自变量的取值范围（边长为正、销量非负、价格受限等）。 5. 求最值：判断对称轴是否在取值范围内。在范围内，取顶点最值；不在范围内，根据函数单调性，取区间端点最值。 6. 规范作答：检验结果合理性，舍去不合理解，完整书写答题结论。 【要点二】核心模型一：销售利润最值模型（中考必考） 1. 三大核心公式（必背） 单件利润 = 销售单价 − 进货成本总销 售量 = 原销售量 ± 变化销量 总利润 = 单件利润 × 总销售量 2. 两类经典题型通用公式（直接套用） 题型①：涨价销售模型 条件：原售价，进价，原销量，每涨价1元，少卖件。设涨价元。 单件利润：；销售量：；总利润：。 题型②：降价销售模型 条件：原售价，进价，原销量，每降价1元，多卖件。设降价元。 单件利润：；销售量：；总利润：。 3. 模型核心结论 所有常规销售利润函数，化简后，抛物线开口向下，只有最大利润，无最小利润。 4. 变量取值隐形限制 涨价/降价金额；销售量≥0；单件利润≥0；售价需符合题干限价要求。 【要点三】核心模型二：矩形面积最值模型（几何最值核心） 本模型分为无靠墙、靠墙（墙长充足/墙长受限）三类，核心是利用周长固定，将双变量转化为单变量二次函数，求解面积最大值。 1. 模型①：无靠墙矩形（四边全部围栏） 固定规律：周长为定值的矩形，长+宽=定值。设一边长为，另一边长=周长÷2−，面积。 核心结论：周长固定，正方形面积最大。 2. 模型②：墙长充足靠墙矩形（高频基础） 墙体无需围栏，围栏仅围三条边（两垂直墙、一平行墙）。设垂直于墙的边长为，围栏总长，则平行于墙的边长为。 面积解析式：，开口向下，顶点处取最大面积。 3. 模型③：墙长受限靠墙矩形（重难点） 当墙体最大长度＜顶点对应平行墙边长时，对称轴超出自变量取值区间，顶点理论最值无效，需根据函数单调性，在区间端点求取实际最大面积。 4. 边长硬性限制条件 所有边长必须＞0；平行墙边长≤墙体最大长度，据此列不等式求解合法范围。 【要点四】自变量取值范围判定+高频易错点精讲 二次函数实际问题最大扣分点：忽略自变量取值限制，直接套用顶点理论最值。所有实际最值，范围优先于公式。 1. 两类题型取值范围判定规则 销售类取值限制：① 涨跌价金额非负；② 销售量不能为负；③ 单件利润不能亏本；④ 售价满足题干限价要求。 面积类取值限制：① 所有矩形边长＞0；② 靠墙题型：平行墙边长≤墙体最大长度。 2. 最值取舍核心规则 规则一：对称轴在取值区间内，顶点最值有效，为实际最值； 规则二：对称轴在取值区间左侧，函数在区间内单调递减，最值取左端点； 规则三：对称轴在取值区间右侧，函数在区间内单调递增，最值取右端点。 3. 高频易错点汇总 ① 只列函数不解范围，直接算顶点最值，忽略实际限制； ② 靠墙模型误算四边围栏，错误列式； ③ 降价题型中，错误认为销量减少、利润降低； ④ 墙长受限题型，未压缩自变量区间，误用理论最值； ⑤ 求解后未检验，保留不符合实际的解。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】基础销售利润最值问题 核心考点：基础利润列式、顶点在取值区间内，直接求最大利润 【例题1】（2025·广东河源·模拟预测）某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为． （1）当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润； （2）如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润． 【变式1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）某超市销售某款商品每天的销售利润（元）与单价（元）之间的函数关系式为，则销售这款商品每天的最大利润为（    ） A．125元 B．150元 C．175元 D．200元 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知某快餐店卖出盒饭的数量x（单位：盒）与所获利润y（单位：元）满足函数解析式，则当卖出盒饭的数量为______时，获得的利润最大，最大利润为______元． 【变式3】（24-25九年级上·广东广州·期中）某商店销售一种商品，平均每天可以销售20件，每件盈利12元．为了扩大销售量，增加盈利，该商店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件商品降价1元，平均每天可以多卖5件． （1）若每件商品降价5元，每件商品盈利_____元，则平均每天可卖_____件商品，所得利润是_____元； （2）该商店想要一天的盈利最大，应降价多少元？所得的最大利润是多少？ 思路总结：利润问题固定模板：单件利润×销售量，化简函数；开口向下必有最大值，优先判断对称轴是否在取值区间内，在区间内直接取顶点最值。 【题型 2】无靠墙矩形面积最值问题 核心考点：周长固定，求矩形最大面积 【例题2】（24-25九年级上·广西崇左·期末）现在有一段长的铁丝，要把它围成一个长方形． （1）若围成的长方形宽为，则长方形的长为 ， 面积为 ； （2）若围成的长方形面积为，则长方形的长为 ； （3）怎样围才能使得长方形的面积最大? 并求出最大面积． 【变式1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图1，一张边长为、（为正整数）的长方形纸片的面积等于，将它通过割、拼，再补一个正方形，拼成一个新的正方形（如图2），可以取得的最小整数是（    ） A． B． C． D．3 【变式2】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）用一根长的绳子围成一个矩形，该矩形的面积最大是__________． 【变式3】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，把一边长为的正方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的盒子． （1）要使折成的盒子底面积为，那么剪掉的正方形边长为多少？ （2）折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由． 思路总结：周长固定，长宽和为定值，设单边为变量，列二次函数；开口向下，顶点处取最大值，周长固定矩形中正方形面积最大。 【题型 3】靠墙围栏矩形面积最值问题 核心考点：三边围栏模型，区分平行墙、垂直墙边长列式 【例题3】（24-25九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． （1）求与之间的函数解析式； （2）当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 【变式1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）建筑队在工地一边靠墙（不限长）处，用85米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，则的最大值为（　　） A．418 B．484 C．516 D．648 【变式2】（2025·浙江杭州·模拟预测）我们在求代数式的最小值时，可以考虑用如下方法求得： 解： ∵，∴，∴的最小值是4． 请用上面的方法解决下列问题，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，则当_____时，花园的面积最大是_____． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉，高新区某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地．让学生参与农耕劳作．如图；现计划利用校园围墙的一段（长）及长的篱笆围成一个长方形菜园，设的长为． （1）BC的长度为______m，长方形菜园的面积S（单位：）与AB的长x（单位m）之间的关系式为_______（用含x的式子表示） （2）通过探究，小明发现长方形菜园的面积S（单位：）与AB的长x（单位：m）之间的关系式也可以写成的形式．请求出a，n的值及菜园面积S的最大值． 思路总结：靠墙模型只算三边围栏，精准区分平行、垂直墙体的边长表达式；先根据边长为正确定取值范围，再判断顶点是否可用，求解最值。 四.经典题型精析（基础夯实） 【题型 4】带价格限制的利润综合最值 核心考点：题干价格限制自变量范围，取舍理论最值 【例题4】（2025·辽宁营口·模拟预测）近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数（辆）与每辆车每天的租金（元）满足关系式（，且为的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共元，设租车公司每天的利润为元． （1）求与的函数关系式．（利润租金支出） （2）公司在“十一黄金周”的前天每天都获得了最大利润，但是后天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过元．请确定这天公司获得的总利润最多为多少元？ 【变式1】（2025·四川绵阳·三模）2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大．（    ） 消毒液 每瓶售价（元） 每瓶成本（元） 每日其他费用（元） 每日最大产销量（瓶） 30 18 1200＋0.02x2 250 A．250 B．300 C．200 D．550 【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）超市销售的某商品进价10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式，则利润w和售价x之间的函数关系为___________，该商品售价定为___________元/件时，每天销售该商品获利最大． 【变式3】（2025·江苏扬州·三模）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）． （1）猪肉粽每盒的进价为__________元； （2）若每盒利润率不超过，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350元？ （3）若满足，求商家每天的最大利润． 【题型 5】墙长受限的面积最值问题 核心考点：墙体长度有限，压缩自变量区间，端点求最值 【例题5】（26-27九年级·上海·暑假作业）阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： （1）当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； （2）当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； （3）矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【变式1】（2025·天津红桥·二模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是__________平方米．    【变式3】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）用长40米的篱笆围成一边靠墙（墙足够长）的矩形花圃，设垂直于墙的边长为x米，矩形面积为S平方米． （1）求S与x的函数关系式及自变量取值范围； （2）求S的最大值及对应x的值． 【题型 6】多条件限制的实际最值综合问题 核心考点：多重条件限制自变量，综合取舍合理解 【例题6】（2025·河北衡水·模拟预测）中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； （2）在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； （3）在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 【变式1】（2026·浙江杭州·二模）如图，，是边上的一动点，并以的速度沿的方向运动，为内的一点，连接，设点运动时间为，，图是关于的函数的部分图象，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C．图象过点 D．图象过点 【变式2】（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）已知，在抛物线上从左往右有两个点A，B；当点在与之间运动时，过点A，B分别作轴，轴的平行线，平行线相交于点M，N形成矩形，矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点，求点横坐标的范围_____． 【变式3】（24-25九年级下·重庆开州·开学考试）在全国战“疫”期间，网络销售及快递小哥为我们提供了极大的生活便利．某网店专售一款电动牙刷，其成本为元/支，销售中发现该商品每天的销售量（支）与销售单价（元支）之间存在如图所示的关系． （1）请求出与的函数关系式； （2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）山川异域，风月同天，同舟共济，共克时艰．该网店店主决定从每天获得的利润中抽出元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？ 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·全国·周测）某种商品的单价为15元时，每天能卖出500个，单价每上涨1元，销量将减少20个．要使每天的销售金额最大，则单价应定为（   ） A．15元 B．18元 C．20元 D．22元 2．（26-27九年级上·全国·随堂练习）某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得最大利润是（　　） A．1 558元 B．1 550元 C．1 508元 D．20元 3．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段检测）某商店经营衬衫，已知所获利润（元）与销售的单价（元）之间满足表达式，则所获利润最多为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）某种商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为．则这种商品每天的最大利润为（　　） A．0.1元 B．3元 C．25元 D．75元 5．（23-24九年级上·河南商丘·期中）如图，一边靠墙（墙足够长），其他三边用长的篱笆围成一个矩形花园，这个花园的最大面积是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·浙江金华·阶段检测）如图，有长为的篱笆，现一面完全利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，围成的花圃的面积最大时的长是（    ）米．    A．4 B．5 C．3 D． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）某产品的成本是每件元，试销阶段每件产品的售价x（单位：元）与日销售量y（单位：件）之间的关系式为．为获得最大的日销售利润，每件产品的售价应定为（    ） A．120元 B．130元 C．150元 D．160元 8．（24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为（    ） A．45.51万元 B．45.56万元 C．45.6万元 D．45.606万元 9．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若设的长度为x米，矩形菜园面积为S平方米．下列说法错误的是（    ） A．S与x的关系式为 B．当时， C．当时， D．不论a为何值，S的最大值均为1250 10．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量（千克）与售价（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表，下列说法错误的是（    ） 售价（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量（千克） 250 240 230 220 … A．与之间的函数关系式为 B．当售价为72元时，月销售利润为7296元 C．当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元 D．销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·全国·周测）某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩的收益是480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加1亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．该大户今年计划承租土地的最大收益是_________元． 12．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）某商品的销售利润与销售单价存在二次函数关系，且二次项系数，当商品单价为160元和200元时，能获得同样多的利润，要使商品的销售利润最大，销售单价应定为______元． 13．（2025九年级·全国·专题练习）已知商店某种毛绒玩具的进价为每件30元，在某段时间内若以每件元（50，且为整数）的价格出售，可卖出件．若要使该店铺销售该玩具的利润最大，则每件的售价应为______元． 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是一个用长的铝合金条制成的矩形窗框．若要使窗户的透光面积最大，则AD的长为_______m． 15．（山西省大同市新荣区两校联考2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题）用的栅栏材料按如图所示的方式修建间鸡舍，则鸡舍的总面积最大是______． 16．（2023·江苏南通·一模）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，若墙的最大可利用长度为，则这块矩形场地的最大面积为 _______． 17．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用米的长篱笆围成，则矩形面积的最大值是______平方米． 18．（24-25九年级上·全国·单元测试）某超市销售一款洗手液，其成本价为每瓶元，当销售单价定为元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款的销售单价为x（元），每天的销售量为（瓶）． （1）每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 _____； （2）销售这款“洗手液”每天的最大利润为 _____． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·山东济宁·期中）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） （1）设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，围成的菜地面积最大？ 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形养鸡场，设养鸡场的宽为，长为，面积为． （1）求y与x的函数关系，并写出x的取值范围； （2）当长方形的长、宽各为多少时，养鸡场的面积最大，最大面积是多少？ 21．（本小题满分10分）（2025九年级上·全国·专题练习）某化工材料经售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价每千克70元时日均销售；单价每千克降低1元，日均多售．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元．当销售单价定为多少时，每天可获得最大利润？最大利润为多少？ 22．（本小题满分10分）（2026·内蒙古通辽·二模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； （3）当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 23．（本小题满分10分）（2026·江苏徐州·模拟预测）每年6月的第三个星期日是父亲节，商家推出“健康守护”特惠活动，一批便携式血压血糖测试仪计划在该月销售．根据市场调查，每台盈利200元时，每天可售出20台；若每降价1元，每天可多售出4台．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每台盈利不得低于120元．设每台降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； （2）每台降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 24．（本小题满分12分）（2024·辽宁营口·模拟预测）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… （1）直接写出y与t之间的函数解析式； （2）设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ （3）在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $